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专题09 二次函数中的面积问题
1．如下图所示，已知抛物线 与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A(-2,0)和点
B(4,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当 取得最大值时，求点M的坐标；
(3)在直线BC的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）、将三点坐标代入解析式列出方程组求解即可；
（2）、过点M作MD平行于y轴，也BC交于D，则可得： ，
用待定系数法求出BC解析式，设出M、D坐标，代入可得出S的表达式，配成顶点式求最值即可；
（3）四边形ABMC的面积= ，则结合（2）可列出方程，求解即可．
（1）
解：将 代入抛物线解析式得：，
解得： ，
；
（2）
过点M作 轴交BC于D，交OB于E，过C作 于F，
为矩形，
，
设直线BC的解析式为： ，
将点（0，4）、（4，0）代入得： ，
解得： ，
则直线BC的解析式为： ，
设 ，则 ，
，
，
，
∵点M在直线BC的上方，
，
∴当 时， 最大，此时 ，
∴ ；
（3）由（2）得： ，
点M在直线BC的上方，
，
，
四边形ABMC的面积= ，
则由题意得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，割补法
求面积，二次函数最值，熟练掌握以上知识点并综合运用是解题的关键．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y
轴交于点B（0，3），点A在x轴正半轴上，且满足BC=BA，(1)求抛物线的解析式：
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最
大值；
(3)如图②所示，在抛物线上一点D（在对称轴AC的右侧），有∠ACD=30°，求出D点的坐标：并
探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD=60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，存在， 或
【分析】(1)由题意可设抛物线解析式为y=a(x−3)2+6，将B(0,3)代入可得a，则可求解析式；
(2)连接PO，设 ，分别求出 ， ， ，再由
及二次函数的性质，即可求得最大值；
(3)设点D的坐标为 ，过D作对称轴的垂线，垂足为G，可求得DG、CG，在
Rt△CGD中，根据勾股定理可求得CG，可得方程，解方程可得点D的坐标，可求得AG、GD，连
接AD，在Rt△ADG中，AD=AC=6，∠CAD=120°，可知点Q在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴
的交点上，此时，∠CQD=60°，设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，AQ2=OA2+QO2=9+m2=36，解方程求
出m的值，即可求得点Q的坐标．
（1）解：抛物线的顶点坐标为C(3,6)，
故可设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+6，
将B(03)代入，可得 ，
故 ；
（2）
解：如图：连接PO，
由题意可知，BO=3，BC=BA，
由勾股定理得： ，
∴OA=3，
设 ，
则 ，
，
，
，当 时， 的面积最大，最大为 ；
（3）
解：存在；
设D点坐标为 ，
过点D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG=t-3， ，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，t=3(舍去)，
，
， ，
连接AD，在 中， ，
， ，
点Q在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，
此时， ，设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，
，
，
，
解得 或
综上，Q点的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和
圆的知识综合解题是关键．
3．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
(1)求该抛物线的解析式：
(2)如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面
积最大时，求△APM周长最小值；
(3)如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线）y'的对称轴上是否存在点Q
使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)抛物线 ；
(2)C APM = ；
最短
△(3)在新抛物线）y'的对称轴上存在点Q（-7，7）或（-7， ）或（-7，- ），使得△ACQ为
等腰三角形．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式先代入对称轴，化为 再代入点B
（2，0），点C（0，4）坐标得出 ，解方程组即可；
（2）先求A点坐标，当y=0时， ，解方程得出点A（-4，0），再利用待定系
数法求直线AC解析式为 ，过点P作PD∥y轴，交AC于D，设P（m, ）D
（m， ）S APC= ，求出点P（-2，4）作点P关于y轴的对称点
△
P′（2，4），连结AP′交y轴于M，得出PM=P′M，利用两点之间线段最短PM+AM=P′M+AM≥AP′即
可；
（3）解在新抛物线y'的对称轴上存在点Q使得 ACQ为等腰三角形，先求出原抛物线的顶点坐标
△
为（-1， ），将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，新抛物线的顶点坐标为（-7，- ）求
出新抛物线为 ，设新抛物线对称轴于x轴的交点为E（-7,0）分三种情况，第一
种情况作AC的垂直平分线交新抛物线对称轴于Q，证明 AOC为等腰直角三角形，再求
1
∠Q1OE=45°，∠EQO=180°-∠QOE-∠QEO=180°-45°-90°=△45°，得出QE=OE=7，第二种情况以点
1 1 1 1
A为圆心，AC长为半径交新抛物线对称轴于两点Q、Q，设Q点的纵坐标的绝对值为n，利用勾
2 3
股定理列方程 ；第三种情况以点C为圆心，AC长为半径与新抛物线对称轴没交点，
，然后综合即可．
（1）
解：∵对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线 ，
∵抛物线 过点B（2，0），点C（0，4）．
∴ ，
解得： ，
抛物线 ；
（2）
解：当y=0时， ，
整理得 ，
∴ ，
， ，
点A（-4，0），
设AC解析式为 ，代入坐标得：
，
解得 ，
∴AC解析式为 ，
过点P作PD∥y轴，交AC于D，设P（m, ），
D（m， ），
∴PD= -（ ）= ，∴S APC= ，
△
∴当m=-2时S APC =4， ，
最大
△
∴点P（-2，4），
∵AP= 为定值，
作点P关于y轴的对称点P′（2，4），
连结AP′交y轴于M，
∴PM=P′M，
∴PM+AM=P′M+AM≥AP′，
∴PM+MA最短时C APM =AP+AP′= + ；
最短
△
（3）
解在新抛物线y'的对称轴上存在点Q使得 ACQ为等腰三角形，
△
原抛物线的顶点坐标为（-1， ），
将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，新抛物线的顶点坐标为（-4-（-1+4），- ），即
（-7，- ），
∵抛物线旋转抛物线开口大小不变，开口方向改变，
∴新抛物线为 ，设新抛物线对称轴于x轴的交点为E（-7,0），
分三种情况，第一种情况作AC的垂直平分线交新抛物线对称轴于Q，
1
∵OC=OA=4，∠AOC=90°，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC的垂直平分线过坐标原点O，
∴∠Q1OE=45°，
∵QE⊥x轴，
1
∴∠EQO=180°-∠QOE-∠QEO=180°-45°-90°=45°，
1 1 1
∴QE=OE=7，
1
∴点Q（-7，7），
1
第二种情况以点A为圆心，AC长为半径交新抛物线对称轴于两点Q、Q，
2 3
AC= ，
∴AQ=AC= ，设Q点的纵坐标的绝对值为n，
在Rt AQE中AE=-4-（-7）=3，
△
，即 ，
解得 ，
∴Q（-7， ），Q（-7，- ），
2 2
第三种情况以点C为圆心，AC长为半径与新抛物线对称轴没交点，
∵ ，
综合在新抛物线）y'的对称轴上存在点Q（-7，7）或（-7， ）或（-7，- ），使得△ACQ
为等腰三角形．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，直线解析式，两点间距离，三角形面积，二次函
数的性质，轴对称图形性质，两点之间线段最短，抛物线旋转，等腰三角形性质，线段垂直平分
线，勾股定理，解一元二次方程，辅助圆，本题难度大，综合性质强，应用知识多，掌握以上知
识和技能是解题关键．
4．如图1，抛物线y=mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线
段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点
P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+ E'B的最小值．
【答案】（1） ， ；（2） 最大值为6，点P的坐标为( ， )；
（3）E'A+ E'B的最小值为
【分析】（1）把点（-1，0），B（0，3）代入 ，即可求得 的值，得到抛物线
的解析式令 ，求出抛物线与 轴交点，根据待定系数法可以确定直线AB的解析式；
（2）设点P的坐标为( ， )，则点N的坐标为( ， )，利用
，得到 ，利用二次函数的性质即可求解；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′= ，构造相似三角形，可以证明AM′就是E'A+ E'B的最小值．
【详解】（1）∵抛物线 （m≠0）与x轴交于点（-1，0）与y轴交于点B（0，
3），
则有 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
令 ，得到 ，
解得： 或 ，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为 ，则 ，解得 ，
∴直线AB解析式为 ；
（2）如图，
设点P的坐标为( ， )，
∵PE⊥OA交直线AB于点N，交x轴于E，
∴点N的坐标为( ， )，
∵ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为6，
此时点P的坐标为( ， )；
（3）如图中，在 轴上 取一点M′使得OM′= ，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′•OB= ，
∴OE′2=OM′•OB，
∴ ，
∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴ ，
∴M′E′= BE′，
∴E'A+ E'B=AE′+E′M′=AM′，此时E'A+ E'B最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值=AM′= ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、两点间线段
最短等知识，第(3)问解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E'A+ E'B的最小值．
5．如图，已知抛物线 经过A( ，0)，B( ， )两点，与x轴的另一个交点为C，
顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求 的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说
明理由．【答案】（1） ；（2）① ，P( ， )，②存在，P( ， )或(0，5)
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①根据S = PG（x -x ），即可求解；
PBC C B
△
②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5…①，
令y=0，则x=-1或-5，
即点C（-1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y=x+1…②，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
，∵− ＜0，
∴S 有最大值，当t=- 时，其最大值为 ；
PBC
△
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（- ，- ），
过该点与BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：y=-x+m，将点（- ，- ）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y=-x-4…③，
同理直线CD的表达式为：y=2x+2…④，
联立③④并解得：x=-2，即点H（-2，-2），
同理可得直线BH的表达式为：y= x-1…⑤，
联立①⑤并解得：x=- 或-4（舍去-4），
故点P（- ，- ）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y=2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s=5，
即直线BP′的表达式为：y=2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（- ，- ）或（0，5）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算
等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点 是直线 上方的抛物线上一动点，是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点 是直线 上方的抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ．是否存在点 ，使以点
， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，点 ；（3）存在， ，
．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）连接 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，设点 的坐标为 ，得出
，从而推出 ，即可推出当 时，
的面积最大，从而求出点 的坐标.
（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA和BE，OA
和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．【详解】（1）由抛物线 过点 ， ，
则 ，解得 ．
二次函数的解析式为 ．
（2）存在．如图，连接 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ．
设点 的坐标为 ，则 ．
， ， ．
当 时， ，
．
．
，
当 时， 有最大值．
此时 ．
存在点 ，使 的面积最大．（3）存在点 ，坐标为 ， ．
理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为 BE=1-c，
①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，
∴ ，
即 ，
整理得，c2+c-2=0，
解得c =-2，c =1（舍去），
1 2
此时， ,
点Q（-2，2）；
②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，
∴ ，
即 ，
整理得，4c2-c-3=0，
解得 ，c =1（舍去），
2
此时， ,
点 ；综上所述，存在点 ， 使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
【点睛】本题考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法
求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，（2）判断出与AC平行的
直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，（3）要分情况讨论．
7．如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点．
点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当PA+PB的值最小时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点Q(Q与B不重合)，使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接
写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；（2）当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（
，0）；（3）点Q的坐标为（2，3）或（1﹣ ，﹣3）或（1+ ，﹣3）．
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得
解；（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线
问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求
出与x轴的交点即可．（3）S =S 且CD是两三角形的公共底边知|y |=y =3，据此得y =3或
CDQ BCD Q B Q
y =-3，再分别求解可得． △ △
Q
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，
解得 ，
∴直线AB′的解析式为y=7x﹣3，
令y=0，则7x﹣3=0，
解得x= ，
所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（ ，0）．
（3）∵S =S ，且CD是两三角形的公共底边，
CDQ BCD
∴|y |=y =△3， △
Q B
则y =3或y =﹣3，
Q Q
当y =3时，﹣（x﹣1）2+4=3，
Q
解得：x=0或x=2，
则点Q（2，3）；
当y =﹣3时，﹣（x﹣1）2+4=﹣3，
Q
解得：x=1﹣ 或x=1+ ，
则点Q坐标为（1﹣ ，﹣3）或（1+ ，﹣3）；
综上，点Q的坐标为（2，3）或（1﹣ ，﹣3）或（1+ ，﹣3）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、轴
对称-最短路线问题及三角形的面积问题．
8．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，
OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M 、M 、M 使得 M BC、 M BC、 M BC的面积均为定值S，
1 2 3 1 2 3
求出定值S及M 、M 、M 这三个点的坐标． △ △ △
1 2 3
【答案】（1）y=﹣ x2+ x+2；(2) P（4， ）或（2，﹣ ）或（﹣2， ）；（3）M （ ，
1
），. M （ ， ），M （ ， ），S= .
2 3
【分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物
线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形
BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐
标，确定出交点，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求
M坐标，且求出定值S的值即可．
【详解】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣ ，
则抛物线解析式为y=﹣ （x+1）（x﹣3）=﹣ x2+ x+2；（2）抛物线y=﹣ （x+1）（x﹣3）=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ，
∴D（1， ），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4， ）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣ ）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2， ）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴y=﹣ x+2，
设与直线BC平行的解析式为y=﹣ x+b，
联立得： ，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时， =36﹣8（3b﹣6）=0，
△
解得：b= ，即y=﹣ x+ ，
此时交点M 坐标为（ ， ）；
1
可得出两平行线间的距离为 ，
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为 的直线方程为y=﹣ x+ ，联立解得：M （ ， ），M （ ， ），
2 3
此时S= ．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，
利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
9．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x
轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存
在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2， ）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；
（3）E点坐标为（ ， ）时，△CBE的面积最大．
【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，
分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表
示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的
坐标．
【详解】（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC= ，MP=|t+1|，PC= ，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
①当MC=MP时，则有 =|t+1|，解得t= ，此时M（2， ）；
②当MC=PC时，则有 =2 ，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，
7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2 ，解得t=﹣1+2 或t=﹣1﹣2 ，此时M（2，﹣1+2 ）或
（2，﹣1﹣2 ）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2， ）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2
）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S =S +S = EF•OD+ EF•BD= EF•OB= ×3（﹣x2+3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
CBE EFC EFB
△ △ △
∴当x= 时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（ ， ），
即当E点坐标为（ ， ）时，△CBE的面积最大．
10．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴
与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．
（1）求二次函数解析式及顶点坐标；
（2）点P为线段BD上一点，若S△BCP= ，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符
合条件的点M的坐标．
【答案】（1）y=x ² 2x﹣3，D（1， 4）；（2）P（2，-2）（3）点M的坐标（5，12）或（ ，
）．
【详解】解：（1）把A（ 1，0）和B（3，0）两点代入抛物线y=x ²+bx+c中得：，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=x ² 2x﹣3=（x 1）² 4，
∴D（1， 4），………………4分
（2）C（0， 3），由勾股定理得：BC ²=3 ²+3 ²=18，
CD ²=1 ²+（4﹣3）²=2，
BD ²=（3﹣1）²+4 ²=20，
∴CD ²+BC ²=BD ²，
即∠BCD=90°，
∴△BCD是直角三角形；
∴S△BCD=3
由S△BCP= ，得出P为BD中点
∴P（2，-2）
（3）∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠BDE=tan∠CMN= = ，
∴ ，
同理可求得：CD的解析式为：y= x 3，
设N（a， a 3），M（x，x ² 2x 3），
如图2，过N作GF∥y轴，过M作MG⊥GF于G，过C作CF⊥GF于F，
则△MGN∽△NFC，
∴ ，
∴ ，则 ，∴x ₁=0（舍），x ₂=5，
当x=5时，x ² 2x 3=12，∴M（5，12），………………11分
②如图3，过N作FG∥x轴，交y轴于F，过M作MG⊥GF于G，
∴△CFN∽△NGM，
∴ ，∴ ，则
∴x1=0（舍），x2= ，当x= 时，y=x2 2x 3= ，
∴M（ ， ），………………13分
综上所述，点M的坐标（5，12）或（ ， ）．……………………………14分
11．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）
经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐
标为m， ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（△2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程
中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d 、d ，当d +d 最大时，求直
1 2 1 2
线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）S=- m2+ m，最大值为 ；（3）①（ ， ），②45°.
【详解】（1）令x=0代入y=﹣3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）当y=0时，0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=−3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为(1,0)，
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
S=S −S =S +S −S = ×m×3+ ×1×(﹣m2+2m+3)− ×1×3=− (m− )2+
四边形OAMB AOB
△ △OBM △OAM △AOB
∴当m= 时,S取得最大值 .
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（ ， ）；
②过点M′作直线l ∥l′，过点B作BF⊥l 于点F根据题意知：d +d =BF，
1 1 1 2
∵∠BFM′=90°，
∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧BM′H上，
∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l ，
1
∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），
∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，
过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，
∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，
∴x= ，
cos∠M′BG= ，
∵l ∥l′，
1
∴∠BCA=90°，∠BAC=45°.
考点：1二次函数综合题；2一次函数；3勾股定理；4圆.
12．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足
S PAB=8，并求出此时P点的坐标．
△【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（ ，
4）或（ ，4）或（1，﹣4）．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方
程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
△
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S PAB=8，
△
∴ AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2 ，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）时，满足S PAB=8．
△
【点睛】1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的性质；3．二次函数图像上点的坐标特
征．
