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专题09 二次函数中的面积问题
1．如下图所示，已知抛物线 与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A(-2,0)和点
B(4,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当 取得最大值时，求点M的坐标；
(3)在直线BC的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y
轴交于点B（0，3），点A在x轴正半轴上，且满足BC=BA，
(1)求抛物线的解析式：
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最
大值；
(3)如图②所示，在抛物线上一点D（在对称轴AC的右侧），有∠ACD=30°，求出D点的坐标：并
探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD=60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
(1)求该抛物线的解析式：
(2)如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面
积最大时，求△APM周长最小值；
(3)如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线）y'的对称轴上是否存在点Q
使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图1，抛物线y=mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线
段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点
P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+ E'B的最小值．
5．如图，已知抛物线 经过A( ，0)，B( ， )两点，与x轴的另一个交点为C，
顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求 的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点 是直线 上方的抛物线上一动点，是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点 是直线 上方的抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ．是否存在点 ，使以点
， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．7．如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点．
点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当PA+PB的值最小时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点Q(Q与B不重合)，使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接
写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，
OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M 、M 、M 使得 M BC、 M BC、 M BC的面积均为定值S，
1 2 3 1 2 3
求出定值S及M 、M 、M 这三个点的坐标． △ △ △
1 2 3
9．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x
轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存
在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．10．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴
与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．
（1）求二次函数解析式及顶点坐标；
（2）点P为线段BD上一点，若S△BCP= ，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符
合条件的点M的坐标．
11．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）
经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐
标为m， ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
△（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程
中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d 、d ，当d +d 最大时，求直
1 2 1 2
线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
12．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足
S PAB=8，并求出此时P点的坐标．
△
