专题09与旋转有关的最值问题（解析版）-重难点突破八年级数学下册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 09 与旋转有关的最值问题 题型一 费马点最值 1．如图，在 中， ， ， ，点 为 内一点，连接 、 、 ， 且 ，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点 为旋转中心，将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到△ （得到 、 的对应点分别为点 、 ，则 ， ． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， 将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到△ （得到 、 的对应点分别为点 、 ， ， ， ， ， ， ； （2） ， 为等边三角形， ， ， 而 ， ， 点 在直线 上， 同理可得点 、 、 共线， ， ，， 即 ． 故答案为 ， ． 2．如图，已知等腰三角形 ， ， ，点 为 内一点（点 不在 边 界上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出 的最小值为 ． 【解答】解：如图：以 为边作等边三角形 ，以 为边作等边 ．连接 交 于 点．和 是等边三角形 ， ， 且 ， 当 、 、 、 四点共线时， 值最小， ， 是 的垂直平分线 ， ， ， ， ， ， 最小值为 ， 故答案为 ． 3．如图，在 中， ， ，点 为 内一点，连接 、 、 ， 的最小值为 A． B． C． D． 【解答】解：将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．由旋转的性质可知： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 当 ， 在直线 上时， 的值最小， ， ， ， 的最小值为 ， 故选： ． 4．已知： 是边长为1的正方形 内的一点，求 的最小值． 【解答】解：将 绕点 顺时针旋转60度，可得 为等边三角形． 即得 要使最小只要 ， ， 在一条直线上， 即如下图：可得最小 ． 此时 ， 所以 ， ，， ， 则 ， 在 中，勾股定理得： ． 5．如图，已知 ， ， ，点 在 内，将 绕着点 逆时针方向旋转 得到 ．则 的最小值为 A． B．8 C． D． 【解答】解：如图，连接 ， ，过 作 垂线交 延长线于 ，绕着点 逆时针方向旋转 得到 ， ， ， ， 为等边三角形， 即 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 6．问题背景：如图1，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 与 交于点 ，可推出结论： ． 问题解决：如图2，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则点 到 三个顶点的距离和的最小值是 ．【解答】（1）证明：如图1，在 上截取 ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：如图2：以 为边作等边三角形 ，以 为边作等边 ．连接 ，作 ， 交 的延长线于 ． 和 是等边三角形 ， ， ， 在 和 中 ， 当 、 、 、 四点共线时， 值最小， ， ， ， ，． ， ， ， 最小值为 ， 故答案为 ， 7．（1）【操作发现】 如图1，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 6 5 度． （2）【解决问题】 ①如图2，在边长为 的等边三角形 内有一点 ， ， ，求 的面积． ②如图 3，在 中， ， ， 是 内的一点，若 ， ， ，则 ． （3）【拓展应用】如图4是 ， ， 三个村子位置的平面图，经测量 ， ， ， 为 内的 一个动点，连接 ， ， ．求 的最小值． 【解答】（1）【操作发现】 解：如图1中， 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， ， ， ， 故答案为：65． （2）【解决问题】 ①解：如图2中， 将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到△ ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ，即 ， ，， ． ②如图3，将 绕着点 按顺时针方向旋转 ，得到 ， ， ， △ 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2． （3）【拓展应用】 解：如图4中，将 绕 顺时针旋转 ，得到 ，连接 、 ． 将 绕 顺时针旋转 ，得到 ， ， ， ， ，， ， 过点 作 交 的延长线于点 ， ， ， 在 中， ， ， ， 即 的最小值为 ． 8．问题提出 （1）如图①，已知 中， ，将 绕点 逆时针旋转 得△ ，连接 ．则 ； 问题探究 （2）如图②，已知 是边长为 的等边三角形，以 为边向外作等边 ， 为 内一点， 将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为点 ． ①求证： ； ②求 的最小值； 问题解决 （3）如图③，某货运场为一个矩形场地 ，其中 米， 米，顶点 ， 为两个出口， 现在想在货运广场内建一个货物堆放平台 ，在 边上（含 ， 两点）开一个货物入口 ，并修 建三条专用车道 ， ， ．若修建每米专用车道的费用为10000元，当 ， 建在何处时，修 建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）【解答】解：问题提出： （1）由旋转有， ， ， 根据勾股定理得， ， 故答案为： ； 问题探究： （2）① 是等边三角形， ， ， 由旋转得， ， ， ， 在 和 中 ； ②如图1，连接 ， ， 是等边三角形， ， 由①有， ，， 由两点之间线段最短得， ， ， 当点 ， ， ， 在同一条直线上时， 取最小值为 的长， 作 ， 为边长是 的等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即： 取最小值为12； 实际应用： （3）如图2， 连接 ， ，将 绕点 逆时针旋转 ，得△ ， 由（2）知，当 ， ， ， 在同一条直线上时， 最小，最小值为 ， 在 上， 当 时， 取最小值， 设 交 于 ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 最少费用为 万元； 建在 中点 米）处，点 在过 且垂直于 的直线上，且在 上方 米 处，最少费用为 万元． 9．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在 是一个可以变化的角）， ， ，以 为边 在 的下方作等边 ，求 的最大值． 小明是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合，他的方法是以点 为旋转中心将 逆时针旋转 得到△ ，连接 ，当点 落在 上时，此题可解（如图 （1）请你回答： 的最大值是 6 ． 参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，等腰 ，边 ， 为 内部一点，则 的最小值是多少？为什 么？（结果可以不化简） 提示：要解决 的最小值问题，可仿照题目给出的作法，把 绕 点逆时针旋转 ，得 到△ ． （3）如图4， 是等边 内一点， ， ， ，则 ．【解答】解：（1）如图2， 逆时针旋转 得到△ ， ， ， ， △ 是等边三角形， ， 在△ 中， ，即 ， 当点 、 、 三点共线时， ，即 ， 的最大值是：6， 故答案是：6． （2） 的最小值是 ． 理由：如图3， 是等腰三角形， ， 以 为中心，将 逆时针旋转 得到△ ，则 ， ， ， ． 当 、 、 、 四点共线时， 最短，即线段 最短， ， 长度即为所求． 过 作 延长线于 ． 由旋转可知， ， ．， ， ， ． 在 △ 中， ， 的最小值是： （或 ． （3）如图4，将 绕点 逆时针旋转 ，使得 与 重合，点 旋转至点 ，连接 ，则 是边长为3的等边三角形， 是边长为3、4、5的直角三角形， ． 故答案为： ．10． 中， ， ， ， 为 内一个动点，则 的最小值为 ． 【解答】解：如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ， ，过点 作 交 的延长线于 ． ， ， ， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ． 故答案为： ． 题型二 轨迹类最值（瓜豆） 11．如图， 是等边三角形， ， 是 的中点， 是直线 上一动点，线段 绕点 逆 时针旋转 ，得到线段 ，当点 运动时，则 的最小值为 A．2 B． C． D． 【解答】解：作 于 ， 于 ，如图，设 ， 在 中， ，而 ， ， 线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ， ， ， 易得 ， 当 在 上时， ， ， 在 中， ， 此时 没有最小值， 当 在 的延长线上时， ， ， 在 中， ， 当 时， 有最小值 ， 的最小值为 ． 解法二：过点 作 于 ，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 于 ， 于 ，过点 作 于 ．证明 ，推出 ，推出点 的运动轨迹是直线 ， 当 时， 的值最小，最小值 ． 故选： ． 12．如图，在 中， ， ，直线 ， 是 上的一个动点，连接 ， 将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则点 运动过程中， 的最小值是 2 ． 【解答】解：取线段 的中点 ，连接 ，如图所示． ， ， 为等边三角形，且 为 的对称轴， ， ， ，． 在 和 中， ， ， ． 当 时， 最小， 点 为 的中点， 此时 ． 故答案为：2． 13．如图， 直线 于点 ， ，点 是直线 上一动点，以 为边向上作等边 ，连接 ，则 的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图，以 为边作等边三角形 ，连接 ，过点 作 于点 ， 和 为等边三角形，， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 是直线 的动点， 在直线 上运动， 的最小值为 ， ， ． 故选： ． 14．如图， 中， ， ， 为 中点， 是线段 上一动点，连接 ， 将线段 绕点 沿逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，则点 在运动过程中， 的最大值为 ，最小值为 ． 【解答】解：如图所示，取 的中点 ，连接 ， 由旋转可得 ， ， 又 ， ， 为 中点， ， ， ，， ， ①如图1所示，当 时， 最短，此时 是等腰直角三角形， ， 即 的最小值为 ； ②当 与 重合时， ； ③如图2所示，当 与 重合时， ， 即 的最大值为 ． 故答案为： ， ． 15．如图，在 中， ， ，点 是 边的中点，点 是 边上一个动点， 连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．则 的最小值是A． B．1 C． D． 【解答】解：解法一：如图在 的下方作等边 ，作射线 ． ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 点 在射线 上运动（点 是定点， 是定值）， 当 时， 的值最小，最小值 ， 解法二：如图， 的上方，作等边 ，连接 ，过点 作 于 ．， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， 的值最小时， 的值最小， 当 时， 的最小值 ， 的最小值为1． 故选： ．16．如图，在 中， ， ， 是 的中点， 是直线 上的一个动点， 连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则在点 运动过程中， 的最小值是 ． 【解答】解：如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ， ， ， ， 旋转角为 ， ， 又 ， ， 是等腰直角 的对称轴， ， ， 又 旋转到 ， ， 在 和 中， ， ，， 根据垂线段最短， 时， 最短，即 最短， ， ， ， ， 故答案为： ． 17．在平面直角坐标系中，已知 轴上一点 ， 为 轴上的一动点，连接 ，以 为边作等边 ，如图所示，连接 ，则 的最小值是 3 ． 【解答】解：如图所示，在第二象限以 为边长作等边 ， 连接 ，延长 交 轴于点 ，连接 ， 、 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中，， ， ， ， ， ， 点 随着点 的运动形成的图形是直线 ， ， ， ， ， ， 点 是 的中点， ， 是 的中垂线， ， ， 又 点 在直线 上运动， 点 、 、 三点共线时， 的值最小，最小值为 的长， ， ， ， 的最小值为3． 故答案为：3．题型三 其他最值 18．如图，在 中， ， ， 为 边上一动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 至 ，则线段 的最小值为 ． 【解答】解：如图所示，过点 作 于 ， 由旋转可得， ， ， ， ， 当 最短时， 最短，且 ， 为 边上一动点， 当 时， 最短， ， ， ， 当 时， ， 此时， ， 故答案为： ．19．如图，在三角形 中， ， ， ， ，将三角形 绕顶点 逆时针 旋转得到三角形 ， 与 相交于点 ，则线段 长度的最小值为 A．6 B．5.2 C．4.8 D．4 【解答】解：当 与 垂直时， 有最小值，如图， 由旋转的性质知 ， ， ， ， ． 故选： ． 20．如图，在 中， ， ， 为边 上一动点 点除外），把线段 绕着点沿着顺时针的方向旋转 至 ，连接 ，则 面积的最大值为 A．16 B．8 C．32 D．10 【解答】解：如图，过点 作 于 ，作 于点 ， ， ， ， ， ， 将线段 绕 点顺时针旋转 得到线段 ， ， ， ，且 ， ， 在 和 中， ， ， ，面积 ， 当 时， 面积的最大值为8， 故选： ． 21．如图， 是等边三角形 外一点， ， ，当 长最大时， 的面积为 ． 【解答】解：如图1，以 为边作等边 ，连接 ． ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 中， ， ， ，， 的最大值为5， 的最大值为5， 此时点 在 上， 如图2，过点 作 于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ， 故答案为： ． 22．如图，在 中， ，将 绕顶点 逆时针旋转得到△ ， 是 的中点， 是 的中点，连接 ，若 ， ，则线段 的最大值为 6 ．【解答】解：连接 ． 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为6， 故答案为6． 23．如图，在 中， ， ， ，点 是线段 上的一个动点，连接 ，将 线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值是 ． 【解答】解：如图，过点 作 于 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， ， ， ，且 ， ，且 ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时， 有最小值为 ， 故答案为 24．如图， 中， ， ， ，点 是斜边上任意一点，将点 绕点 逆时针 旋转 得到点 ，则线段 长度的最小值为 A． B． C． D．3 【解答】解：由旋转的性质得， ， ， 为等边三角形，， 当 最短， 最短， 当 时， 最短， 此时 ， 即 ， 在 中， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， 线段 长度的最小值是 ， 故选： ． 25．如图，在 中， ， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转， 得到△ ，点 为线段 中点，点 是线段 上的动点，将 绕点 按逆时针方向旋转的过 程中，点 的对应点是点 ，则线段 的最大值与最小值之差为 ． 【解答】解：如图，过点 作 ， 为垂足， 在 中， ， ， ，设 ，在 中， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， 当 在 上运动， 与 垂直的时候， 绕点 旋转，使点 的对应点 在线段 上时， 最小，最小值为： ． 当 在 上运动至点C，ABC 绕点B旋转，使点P的对应点 P 1在线段AB的延长线上时， EP 1最大， EP BCBE 82 2 最大值为： 1 ， EP (82 2)(42 2)44 2 1的最大值与最小值之差为 ． 故答案为44 2 ． 26．如图，ABC 中，C 90，AC 6，BC 4，点O是AC 的中点，以O为旋转中心，将ABC 绕 点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A、B、C，则BC的最大值为 8 ． 【解答】解：连接OB，BC，如图， 点O是AC 中点， 1 OC  AC 3 2 ，在RtBOC中，OB 32 42 5，  ABC绕点O旋转得△ABC， OCOC 3，  BC�OBOC （当且仅当点B、O、C共线时，取等号）， BC的最大值为358， 即在旋转过程中点B、C两点间的最大距离是8． 故答案为：8． 27．如图，等边ABC 中，BC 12，D为BC的中点，E为ABC 内一动点，DE 2，连接AE，将线 段AE绕点A逆时针旋转60得AF ，连接DF ，则线段DF 的最小值为 6 32 ． 【解答】解：如图，以ED为边作等边DEG，连接AD，EF ，AG，  ABC是等边三角形，点D是BC中点， BDCD6，ADBC AD AB2 BD2 6 3， 将线段AE绕点A逆时针旋转60得AF ，AE  AF ，EAF 60， AEF 是等边三角形， AEEF，AEF 60，  DEG 是等边三角形 DE EG3，GED60AEF AEGFED， 在AEG和FED中， EAEF  AEGFED  EGED ， AEGFED(SAS) ， DF  AG， AG�ADDG  ， 当点A，点G ，点D三点共线时，AG值最小，即DF 值最小， DF 最小值 ADDG6 32， 故答案为：6 32． 28．如图，RtABC中，ACB90，A30，AB6，点P是AC 边上的一个动点，将线段BP绕点 3 B顺时针旋转60得到线段 BQ ，连接 CQ ，则在点P运动过程中，线段 CQ 的最小值为 2 ． 【解答】解：将RtABC绕点B顺时针旋转60得到RtEBD， 则此时E，C，B三点在同一直线上， ABC 60， PBQ60 ， ABPEBQ ， 随着P点运动，总有AE EB， PBQB ， 总有 APBEQB(SAS) ，即E， Q ，D三点在同一直线上， Q 的运动轨迹为线段ED， 当 CQED 时， CQ 的长度最小， RtABC中，ACB90，A30，AB6， BC BD3，EC 3，即C为EB的中点，  CQED ，D90， CQ//BD ， CQ 为EBD的中位线， 1 3 CQ BD 2 2 ， 3 故答案为：2 ．