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专题 09 与旋转有关的最值问题
题型一 菱形中的
1．如图，在 中， ， ， ，点 为 内一点，连接 、 、 ，
且 ，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点 为旋转中心，将 绕点
顺时针方向旋转 ，得到△ （得到 、 的对应点分别为点 、 ，则 ，
．
2．如图，已知等腰三角形 ， ， ，点 为 内一点（点 不在 边
界上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出 的最小值为
．
3．如图，在 中， ， ，点 为 内一点，连接 、 、 ，
的最小值为
A． B． C． D．4．已知： 是边长为1的正方形 内的一点，求 的最小值．
5．如图，已知 ， ， ，点 在 内，将 绕着点 逆时针方向旋转
得到 ．则 的最小值为
A． B．8 C． D．
6．问题背景：如图1，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 与 交于点 ，可推出结论：
．
问题解决：如图2，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则点 到
三个顶点的距离和的最小值是 ．
7．（1）【操作发现】
如图1，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 度．（2）【解决问题】
①如图2，在边长为 的等边三角形 内有一点 ， ， ，求 的面积．
②如图 3，在 中， ， ， 是 内的一点，若 ， ，
，则 ．
（3）【拓展应用】
如图4是 ， ， 三个村子位置的平面图，经测量 ， ， ， 为 内的
一个动点，连接 ， ， ．求 的最小值．
8．问题提出
（1）如图①，已知 中， ，将 绕点 逆时针旋转 得△ ，连接 ．则
；
问题探究
（2）如图②，已知 是边长为 的等边三角形，以 为边向外作等边 ， 为 内一点，
将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为点 ．
①求证： ；
②求 的最小值；
问题解决
（3）如图③，某货运场为一个矩形场地 ，其中 米， 米，顶点 ， 为两个出口，
现在想在货运广场内建一个货物堆放平台 ，在 边上（含 ， 两点）开一个货物入口 ，并修
建三条专用车道 ， ， ．若修建每米专用车道的费用为10000元，当 ， 建在何处时，修
建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）9．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在 是一个可以变化的角）， ， ，以 为边
在 的下方作等边 ，求 的最大值．
小明是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合，他的方法是以点 为旋转中心将
逆时针旋转 得到△ ，连接 ，当点 落在 上时，此题可解（如图
（1）请你回答： 的最大值是 ．
参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，等腰 ，边 ， 为 内部一点，则 的最小值是多少？为什
么？（结果可以不化简）
提示：要解决 的最小值问题，可仿照题目给出的作法，把 绕 点逆时针旋转 ，得
到△ ．
（3）如图4， 是等边 内一点， ， ， ，则 ．
10． 中， ， ， ， 为 内一个动点，则 的最小值为．
题型二 矩形中的问题
11．如图， 是等边三角形， ， 是 的中点， 是直线 上一动点，线段 绕点 逆
时针旋转 ，得到线段 ，当点 运动时，则 的最小值为
A．2 B． C． D．
12．如图，在 中， ， ，直线 ， 是 上的一个动点，连接 ，
将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则点 运动过程中， 的最小值是 ．
13．如图， 直线 于点 ， ，点 是直线 上一动点，以 为边向上作等边 ，连接
，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图， 中， ， ， 为 中点， 是线段 上一动点，连接 ，将线段 绕点 沿逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，则点 在运动过程中， 的最大值为
，最小值为 ．
15．如图，在 中， ， ，点 是 边的中点，点 是 边上一个动点，
连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．则 的最小值是
A． B．1 C． D．
16．如图，在 中， ， ， 是 的中点， 是直线 上的一个动点，
连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则在点 运动过程中， 的最小值是
．
17．在平面直角坐标系中，已知 轴上一点 ， 为 轴上的一动点，连接 ，以 为边作等边，如图所示，连接 ，则 的最小值是 ．
题型三 正方形中的问题
18．如图，在 中， ， ， 为 边上一动点，连接 ，将线段 绕点
顺时针旋转 至 ，则线段 的最小值为 ．
19．如图，在三角形 中， ， ， ， ，将三角形 绕顶点 逆时针
旋转得到三角形 ， 与 相交于点 ，则线段 长度的最小值为
A．6 B．5.2 C．4.8 D．4
20．如图，在 中， ， ， 为边 上一动点 点除外），把线段 绕着点
沿着顺时针的方向旋转 至 ，连接 ，则 面积的最大值为A．16 B．8 C．32 D．10
21．如图， 是等边三角形 外一点， ， ，当 长最大时， 的面积为 ．
22．如图，在 中， ，将 绕顶点 逆时针旋转得到△ ， 是 的中点，
是 的中点，连接 ，若 ， ，则线段 的最大值为 ．
23．如图，在 中， ， ， ，点 是线段 上的一个动点，连接 ，将
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值是 ．
24．如图， 中， ， ， ，点 是斜边上任意一点，将点 绕点 逆时针
旋转 得到点 ，则线段 长度的最小值为A． B． C． D．3
25．如图，在 中， ， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转，
得到△ ，点 为线段 中点，点 是线段 上的动点，将 绕点 按逆时针方向旋转的过
程中，点 的对应点是点 ，则线段 的最大值与最小值之差为 ．
26．如图， 中， ， ， ，点 是 的中点，以 为旋转中心，将 绕
点 旋转一周， 、 、 的对应点分别为 、 、 ，则 的最大值为 ．
27．如图，等边 中， ， 为 的中点， 为 内一动点， ，连接 ，将线
段 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．28．如图， 中， ， ， ，点 是 边上的一个动点，将线段 绕点
顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则在点 运动过程中，线段 的最小值为 ．
