文档内容
专题 7.3 空间直线、平面的平行【八大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)........................................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)....................................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)......................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:42)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:28)..........................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:32)(cid:43)(cid:53)(cid:54)(cid:28)......................................................................................................................18
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)..................................................................................................................................22
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:36)(cid:55)(cid:27)(cid:28)..............................................................................................................26
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:36)(cid:57)(cid:58)(cid:55)(cid:27)(cid:28)..........................................................................................................................30
1(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:32)(cid:59)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)
(cid:25)(cid:47)(cid:63)(cid:52) (cid:64)(cid:21)(cid:65)(cid:66) (cid:25)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
2022 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:17)(cid:13)(cid:88)(cid:10) (cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:32)(cid:59)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:36)(cid:94)
(cid:89)9(cid:21)(cid:73)5(cid:68) (cid:47)(cid:95)(cid:96)(cid:73)(cid:97)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:36)(cid:99)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:101).(cid:102)(cid:103)
(1)(cid:15)(cid:70)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:62)
2022 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:90)(cid:86)(cid:87)(cid:17)(cid:13)(cid:88)(cid:10) (cid:104)(cid:82)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:67)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:73)(cid:108)(cid:63)(cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:35)(cid:111)
(cid:32)(cid:59)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:33)(cid:35)(cid:59)(cid:33)(cid:35)(cid:72)
(cid:89)19(cid:21)(cid:73)12(cid:68) (cid:34)(cid:25)(cid:112)(cid:73)(cid:101)(cid:93)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:36)(cid:113)
(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
2023(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:86)(cid:10)(cid:89)18(cid:21)(cid:73) (cid:21)(cid:36)(cid:64)(cid:114)(cid:37)(cid:42)(cid:73)(cid:99)(cid:76)(cid:20)(cid:115)(cid:21)(cid:59)(cid:116)(cid:60)(cid:21)(cid:36)
(cid:30)(cid:31)
12(cid:68) (cid:117)(cid:118)(cid:25)(cid:112)(cid:73)(cid:119)(cid:54)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:93)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:32)(cid:59)
(2)(cid:77)(cid:78)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:33)(cid:35)(cid:59)(cid:33)(cid:35)
2024(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:86)(cid:10)(cid:89)17(cid:21)(cid:73) (cid:32)(cid:35)(cid:59)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:73)(cid:101)(cid:124)(cid:76)(cid:70)(cid:125)(cid:21)
(cid:72)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:72)(cid:40)
15(cid:68) (cid:36)(cid:89)(cid:101)(cid:126)(cid:127)(cid:36)(cid:117)(cid:118)(cid:25)(cid:112)(cid:73)(cid:119)(cid:54)(cid:71)(cid:128)(cid:122)(cid:70)
(cid:41)(cid:73)(cid:74)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:55)(cid:27)
2024(cid:82)(cid:91)(cid:92)(cid:86)(cid:10)(cid:89)17(cid:21)(cid:73)12 (cid:21)(cid:129)(cid:63)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:27)(cid:62)(cid:32)(cid:59)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)
(cid:68) (cid:38)(cid:72)(cid:40)(cid:41).
(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:47)1 (cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:28)
1(cid:136)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)
(1)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)
(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)
(cid:142)(cid:143)(cid:33)(cid:35)(cid:144)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:146)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:146)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34).
(cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141)(cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:141)
.
(cid:149)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)”.
(2)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)
(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)
(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:142)(cid:143)(cid:162)(cid:149)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:146)(cid:33)(cid:35)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:34).
(cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141)
(cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:141)
.
(cid:149)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)”.
(3)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:36)(cid:165)(cid:27)
(cid:137)(cid:165)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:166)(cid:167).(cid:168)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:129)(cid:73)(cid:154)(cid:76)(cid:30)(cid:31)(cid:169)(cid:71)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:170)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)
(cid:93)(cid:162)(cid:89)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:171)(cid:133)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:164)(cid:32)(cid:73)(cid:102)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34).
(cid:150)(cid:165)(cid:156)(cid:175)(cid:101)(cid:145)(cid:72)(cid:171)(cid:133)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:166)(cid:167).(cid:142)(cid:143)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:63)(cid:49)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:175)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72)
(cid:171)(cid:133)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:154)(cid:76)(cid:162)(cid:171)(cid:133)(cid:62)(cid:32)(cid:165)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:171)(cid:133)(cid:33)(cid:35)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:164)(cid:32)(cid:176)(cid:93)(cid:48)(cid:63)(cid:175)(cid:36)(cid:62)(cid:32).
2(cid:136)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)
(1)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)
(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)
(cid:142)(cid:143)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34).
(cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141)
(cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:178)
.
(cid:149)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:159)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)”.
(2)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:36)(cid:179)(cid:180)
(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)
(cid:142)(cid:143)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:181)(cid:109)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:62)(cid:32)(cid:68)(cid:182)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34).
(cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141)(cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:141)
.
(3)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)
(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)
(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:142)(cid:143)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:109)(cid:145)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:34).
(cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141)
(cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:141)
.
(cid:149)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)”.
(4)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:169)(cid:183)(cid:40)(cid:41)
(cid:137)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:169)(cid:71)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:184)(cid:185)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35).
(cid:150)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:32)(cid:187)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:48)(cid:188)(cid:36)(cid:32)(cid:43)(cid:53)(cid:54)(cid:163)(cid:128).
(cid:152)(cid:189)(cid:162)(cid:33)(cid:35)(cid:144)(cid:101)(cid:47)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:181)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:171)(cid:133)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34).
(cid:192)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:193)(cid:129)(cid:187)(cid:194)(cid:161)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:48)(cid:188)(cid:73)(cid:188)(cid:173)(cid:36)(cid:32)(cid:43)(cid:195)(cid:55)(cid:196)(cid:44)(cid:45).
(cid:197)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:68)(cid:182)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:89)(cid:194)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:198)(cid:163)(cid:33)(cid:34).
(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:47)2 (cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:110)(cid:199)(cid:28)
1(cid:136)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:199)
(1)(cid:38)(cid:200)(cid:199)(cid:10)(cid:201)(cid:30)(cid:31)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:49)(cid:193)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:190)(cid:109)(cid:62)(cid:32)(cid:202)(cid:181)(cid:7)(cid:203)(cid:47)(cid:122)
(2)(cid:204)(cid:27)(cid:33)(cid:35)(cid:151)(cid:117)(cid:36)(cid:181)(cid:3)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:73)(cid:142)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:73)(cid:206)(cid:117)(cid:73)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:128)(cid:3)(cid:98)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:122)
(3)(cid:204)(cid:27)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:212)4(cid:10)(cid:213)(cid:174)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:214)(cid:48)(cid:30)(cid:36)(cid:62)(cid:32)(cid:186)(cid:72)(cid:177)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:122)
(4)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:106)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34).
2(cid:136)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:110)(cid:199)
(1)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:38)(cid:200)(cid:10)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:33)(cid:35)(cid:202)(cid:181)(cid:7)(cid:203)(cid:47)(cid:122)
(2)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:33)(cid:35)(cid:144)(cid:181)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:146)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:146)(cid:33)
(cid:35)(cid:33)(cid:34)((cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)—(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)”)(cid:122)
(3)(cid:204)(cid:27)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:49)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:48)(cid:181)(cid:62)(cid:32)(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:217)((cid:80)
(cid:155)(cid:156)“(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)—(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)”).
3(cid:136)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:110)(cid:199)
(1)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:38)(cid:200)(cid:10)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:202)(cid:181)(cid:7)(cid:203)(cid:47)(cid:73)(cid:99)(cid:72)(cid:218)(cid:30)(cid:199)(cid:219)(cid:58)((cid:220)(cid:99)(cid:27))(cid:122)(2)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:62)(cid:32)(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)
((cid:108)(cid:63)(cid:110)(cid:199)).
(3)(cid:221)(cid:62)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)((cid:20)(cid:115)(cid:59)(cid:116)(cid:60)(cid:21)(cid:154)(cid:27))(cid:122)
(4)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)((cid:20)(cid:115)(cid:59)(cid:116)(cid:60)(cid:21)(cid:154)(cid:27)).
(cid:22)(cid:110)(cid:199)(cid:222)(cid:223)(cid:72)(cid:224)(cid:219)(cid:28)
1(cid:136)(cid:221)(cid:62)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:201)(cid:158)a α(cid:73)a β(cid:73)(cid:159)α//β.
2(cid:136)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:201)(cid:158)α//β(cid:73)β//γ(cid:73)(cid:159)α//γ.
⊥ ⊥
3(cid:136)(cid:221)(cid:62)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:201)(cid:158)a α(cid:73)b α(cid:73)(cid:159)a//b.
4(cid:136)(cid:158)α//β(cid:73)a α(cid:73)(cid:159)a//β.
⊥ ⊥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)
(cid:22)(cid:45)1(cid:28)(cid:87)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:87)19-20(cid:24)(cid:101)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:194)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)E(cid:73)F(cid:68)
1 1 1
(cid:182)(cid:93)AB(cid:73)AC(cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:159)EF(cid:72) (cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:3)(cid:56)(cid:93)(cid:87) (cid:88) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶
1 1
𝐴𝐸:𝐸𝐵 𝐴𝐹:𝐹𝐶 𝐵 𝐶
A(cid:136)(cid:235)(cid:35) B(cid:136)(cid:33)(cid:34) C(cid:136)(cid:163)(cid:164) D(cid:136)(cid:33)(cid:34)(cid:46)(cid:163)(cid:164)
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:3)(cid:56),(cid:154)(cid:173)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:33)(cid:34).(cid:219)(cid:58)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:36)(cid:239)(cid:240)(cid:40)(cid:201)(cid:154)(cid:37)(cid:42).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:242)(cid:156)(cid:49) (cid:71), =
(cid:48)(cid:76) 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸:𝐸𝐵 𝐴𝐹:𝐹𝐶
(cid:243)(cid:242)𝐸(cid:156)𝐹∥𝐵𝐶
1 1
(cid:48)(cid:76) 𝐵𝐶∥𝐵 𝐶
1 1
(cid:244)(cid:20)𝐸(cid:10)𝐹B∥.𝐵 𝐶
(cid:22)(cid:245)(cid:118)1-1(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:73)(cid:49)(cid:53)(cid:110)(cid:248)AC (cid:71)(cid:73)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93)B O(cid:135)C O(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1 1 1
(cid:159)(cid:53)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:249)(cid:232)(cid:71)(cid:72)EF(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:181)(cid:87) (cid:88)A(cid:136)3(cid:145) B(cid:136)4(cid:145)
C(cid:136)5(cid:145) D(cid:136)6(cid:145)
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:39)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93)B O(cid:73)C O(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:244)EF B C (cid:73)(cid:219)(cid:58)(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:219)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70).
1 1 1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:39)(cid:98)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93)B O(cid:73)C O(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:244)E∥F B C (cid:73)
1 1 1 1
(cid:242)(cid:156)(cid:72)(cid:232)B C (cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:232)(cid:254)(cid:181)3(cid:145)(cid:10)AD, BC(cid:73)A D (cid:73)(cid:48)(cid:76)(cid:203)∥(cid:181)4(cid:145).
1 1 1 1
(cid:244)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:245)(cid:118)1-2(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:60)(cid:61)(cid:207)(cid:208)(cid:117)ABCD(cid:73)E(cid:59)H(cid:68)(cid:182)(cid:93)AB(cid:59)AD(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)F(cid:59)G
(cid:68)(cid:182)(cid:93)BC(cid:59)CD(cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10)(cid:62)(cid:32)EH(cid:72)(cid:62)(cid:32)FG(cid:33)(cid:34)(cid:136)
𝐶𝐹 𝐶𝐺
𝐶𝐵 𝐶𝐷
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:128)(cid:68)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:58)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:36)(cid:239)(cid:240)(cid:40)(cid:68)(cid:69)(cid:30)(cid:31),
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28) E(cid:59)H(cid:68)(cid:182)(cid:93)AB(cid:59)AD(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:159) (cid:73)
∵ 𝐸𝐻 ∥ 𝐵𝐷
(cid:243) F(cid:59)G(cid:68)(cid:182)(cid:93)BC(cid:59)CD(cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:159) (cid:73)
𝐶𝐹 𝐶𝐺
∵ (cid:73) 𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐹𝐺 ∥ 𝐵𝐷
∴(cid:244)𝐸(cid:62)𝐻(cid:32)∥E𝐹H𝐺(cid:72)(cid:62)(cid:32)FG(cid:33)(cid:34)(cid:136)
(cid:22)(cid:245)(cid:118)1-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:234)·(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:15)·(cid:258)(cid:259)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:232)(cid:53)(cid:156)3(cid:36)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156)
1 1 1 1
(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑃,𝑄
1
𝐵𝐶,𝐶𝐶
(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10) // (cid:122)
1
(2)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:260)𝐴𝐷 𝑃𝑄 (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:136)
1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝐴−(cid:87)𝐵1(cid:88)𝑄𝑃(cid:165)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:32)(cid:73)(cid:173)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:219)(cid:58)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:262)(cid:219)(cid:180)(cid:122)
1 1
𝐴𝐵𝐶 𝐷(cid:87)2(cid:88)(cid:52)(cid:262)(cid:265)(cid:35)(cid:261)(cid:135)(cid:24)(cid:73)(cid:204)(cid:27)(cid:260)(cid:248)(cid:248)(cid:261)(cid:7)(cid:118)(cid:52)(cid:262)(cid:125)(cid:266).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
1
𝐵𝐶
(cid:242)(cid:156) (cid:68)(cid:182)(cid:156)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1
(cid:48)(cid:76)𝑃,𝑄// (cid:73) 𝐵𝐶,𝐶𝐶
1
(cid:242)(cid:156)(cid:250)𝐵𝐶(cid:110)(cid:248)𝑃𝑄 (cid:36)(cid:232)(cid:53)(cid:156)3(cid:73)
1 1 1 1
(cid:48)(cid:76) =𝐴𝐵𝐶=𝐷−3𝐴(cid:73)𝐵 𝐶 𝐷// (cid:73)
1 1 1 1
(cid:244)(cid:207)𝐶(cid:208)(cid:117)𝐷 𝐴𝐵 (cid:156)(cid:33)𝐶(cid:34)𝐷(cid:207)(cid:208)(cid:117)𝐴𝐵(cid:73)
1 1
(cid:48)(cid:76) /𝐴/𝐵𝐶 𝐷(cid:73)
1 1
(cid:244) 𝐵𝐶// 𝐴(cid:122)𝐷
1
(cid:87)2𝐴(cid:88)𝐷(cid:39)(cid:21)𝑃𝑄(cid:185)(cid:173)(cid:73)(cid:250)(cid:110)(cid:117) (cid:36)(cid:35)(cid:261)(cid:156)3×3=9(cid:73)
1 1
1 𝐵𝐶𝐶3 𝐵9 1 3 3 9
= = ×3× = (cid:73) = × × = (cid:73)
1 1 1 2 2 4 2 2 2 8
𝑆△𝐵𝐵 𝑃 𝑆△𝐶 𝐵 𝑄 𝑆△𝐶𝑃𝑄
9 9 27
(cid:244) = × = (cid:73)
1 4 8 8
𝑆△𝐵 𝑄𝑃 9− 2−
(cid:243) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:244) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1
𝐴𝐵⊥ 𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐴1𝐵⊥ 𝐵 𝑃𝑄 1 27 27
(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:156) = × ×3= .
1 3 1 3 8 8
𝐴−𝐵 𝑄𝑃 𝑆△𝐵 𝑄𝑃⋅𝐴𝐵
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)
(cid:22)(cid:45)2(cid:28)(cid:87)2024·(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:256)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35)ABCD(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:33)(cid:35)
ABCD(cid:73) = = =12(cid:73) =0(cid:73)(cid:190)𝑃−M𝐴(cid:73)𝐵N𝐶𝐷(cid:68)(cid:182)(cid:156)PD(cid:73)AC(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136) 𝑃𝐴⊥
4𝑃𝐴 4𝐴𝐵 3𝐴𝐷 𝐵𝐴⋅𝐴𝐷(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35)PBC(cid:122)
(2)(cid:52)(cid:194)(cid:232)𝑀(cid:260)𝑁 (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:136)
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝑀(cid:87)−𝐴1𝐶(cid:88)𝐷(cid:204)(cid:27)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:36)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:73)(cid:30)(cid:31) // (cid:73)(cid:154)(cid:30)(cid:173) //(cid:33)(cid:35)PBC(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:204)(cid:27)(cid:194)(cid:232)(cid:260)(cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:7)(cid:118)(cid:52)(cid:70). 𝑀𝑁 𝑃𝐵 𝑀𝑁
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:267)(cid:268)BD(cid:73)(cid:39)ABCD(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:159)(cid:181)BD(cid:164)AC(cid:98)(cid:47)N(cid:136)
M(cid:73)N(cid:68)(cid:182)(cid:156)PD(cid:73)BD(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) // (cid:136)
(cid:243)∵ (cid:33)(cid:35)PBC(cid:73) (cid:33)(cid:35)PBC∴𝑀(cid:73)𝑁(cid:244) 𝑃𝐵//(cid:33)(cid:35)PBC(cid:136)
(cid:87)2𝑃(cid:88)𝐵⊂ =0(cid:73)𝑀𝑁⊄ (cid:73) (cid:33)(cid:34)(cid:207)𝑀𝑁(cid:208)(cid:117)ABCD(cid:156)(cid:272)(cid:117)(cid:136)
∵=𝐵𝐴⋅𝐴=𝐷 =∴1𝐵2𝐴(cid:73)⊥𝐴𝐷 =∴ =3(cid:73) =4(cid:73)
∵4𝑃𝐴 4𝐴1𝐵 3𝐴𝐷 ∴𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐷
= =6(cid:136)
2
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐷⋅𝐶𝐷
1 3
(cid:243) (cid:33)(cid:35)ABCD(cid:73)M(cid:156)PD(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:159)M(cid:174)(cid:33)(cid:35)ACD(cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:156) = = (cid:136)
2 2
𝑃𝐴⊥ ℎ 𝑃𝐴
1
= =3(cid:136)
3
(cid:22)∴𝑉
(cid:245)
𝑀−
(cid:118)
𝐴𝐶
2
𝐷
-1(cid:28)
𝑆
(cid:87)
△
2
𝐴
0
𝐶
2
𝐷
4
⋅
·
ℎ
(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:62)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:206)(cid:117)(cid:73)
1 1 1 1
(cid:73) =6(cid:73) = = =2(cid:73) =60°(cid:73)(cid:47) (cid:49)𝐴(cid:32)𝐵𝐶(cid:43)𝐷−𝐴(cid:234)𝐵(cid:73)𝐶(cid:190)𝐷 =2(cid:73) (cid:156)(cid:32)𝐴𝐵(cid:43)𝐶𝐷 (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136)𝐴𝐵∥
1
𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐷𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐹 𝐵𝐶
(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) (cid:33)(cid:35) (cid:122)
1 1 1
(2)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:260)𝐶 𝐸∥ 𝐴(cid:36)𝐷𝐷(cid:275)𝐴(cid:35)(cid:261)(cid:136)
1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝐶(cid:87)−𝐶1(cid:88)𝐸𝐹(cid:39)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:173)(cid:174)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:39)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:262)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:39)(cid:276)(cid:277)(cid:38)(cid:15)(cid:52)(cid:262) (cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:173)(cid:174) =90°(cid:73)(cid:39)(cid:278)(cid:279)(cid:38)(cid:15)(cid:52)(cid:262)(cid:249)(cid:208)(cid:53)(cid:73)(cid:74)(cid:204)(cid:27)(cid:276)(cid:277)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:35)(cid:261)(cid:7)(cid:118)(cid:52)
(cid:262)(cid:249)(cid:161)(cid:35)(cid:36)(cid:35)(cid:261)(cid:73)(cid:52)(cid:262)𝐵(cid:275)𝐶(cid:35)(cid:261). ∠𝐵𝐶𝐸(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:39)(cid:171)(cid:133)(cid:154)(cid:173) (cid:73)(cid:243) (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:33)(cid:35) (cid:136) 𝐶𝐶 ∥𝐷𝐷 𝐷𝐷 ⊂ 𝐴𝐷𝐷 𝐴 𝐶𝐶 ⊂ 𝐴𝐷𝐷 𝐴
1 1 1
∴𝐶𝐶 ∥ (cid:190)𝐴𝐷𝐷= 𝐴 (cid:73)
∵𝐴(cid:207)𝐸(cid:208)∥𝐶(cid:117)𝐷 𝐴𝐸(cid:156)𝐶(cid:33)𝐷(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
∴ 𝐴(cid:73)𝐷𝐶𝐸
(cid:243)∴𝐶𝐸∥𝐴𝐷(cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1
𝐴𝐷⊂(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐷𝐷 𝐴(cid:136) 𝐶𝐸⊂ 𝐴𝐷𝐷 𝐴
1 1
(cid:243)∴𝐶𝐸∥ 𝐴=𝐷𝐷(cid:73)𝐴(cid:190) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1
𝐶(cid:33)𝐶(cid:35)∩𝐶𝐸 𝐶(cid:33)(cid:35)𝐶𝐶 (cid:136)𝐶𝐸⊂ 𝐶𝐶 𝐸
1 1 1
(cid:243)∴ 𝐴𝐷(cid:33)𝐷(cid:35)𝐴 ∥ (cid:73)𝐶𝐶 𝐸
1 1
𝐶 𝐸⊂(cid:33)(cid:35) 𝐶𝐶 𝐸 (cid:136)
1 1 1
(cid:87)∴2𝐶(cid:88)𝐸(cid:49)∥ 𝐴𝐷𝐷(cid:71)𝐴(cid:73) =2(cid:73) =4(cid:73) =60°(cid:73)
(cid:39)(cid:276)(cid:277)(cid:38)△(cid:15)𝐵(cid:154)𝐶(cid:173)𝐸 =𝐶𝐸22+4𝐵2𝐸 ×2×∠𝐵4𝐸×𝐶cos60°=2 3(cid:73)
2+ 2= 𝐵𝐶2(cid:73) −2
∴𝐵𝐶 𝐶=𝐸90°(cid:136)𝐵𝐸
∴∠(cid:156)𝐵(cid:32)𝐶𝐸(cid:43) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136)
∵𝐹 = 3(cid:73)𝐵𝐶 = 2+ 2= 7(cid:73)
∴ (cid:39) 𝐶 (cid:278) 𝐹 (cid:279)(cid:38)(cid:15)(cid:173) 𝐸𝐹 = 𝐶𝐸 𝐶 2 𝐹 + 2=2 2(cid:73) = 2+ 2= 7(cid:73)
1 1 1 1
𝐶 𝐸 𝐶 𝐶 𝐶𝐸 𝐶 𝐹 𝐶 𝐶 𝐶𝐹
2 2 2 7 3
(cid:39)(cid:276)(cid:277)(cid:38)(cid:15)(cid:173)cos = 1 1 = = (cid:73)
1 𝐸𝐹 +𝐶 𝐹 − 1 𝐶 𝐸 2 + 7 7 × −8 7 7
∠𝐸𝐹𝐶 2𝐸𝐹⋅𝐶 𝐹
2
(cid:244)sin = 3 =2 10(cid:73)
1
7 7
(cid:159) ∠𝐸𝐹 = 𝐶 1 × 1 7 − × 7×2 10= 10(cid:73)
1 2 7
𝑆△𝐶 𝐸𝐹
1 1 1
(cid:243) = ×2×2=2(cid:73) = ×2× 3= 3(cid:73) = ×2× 3= 3(cid:73)
1 2 1 2 2
𝑆△𝐶 𝐶𝐸 𝑆△𝐶 𝐶𝐹 𝑆△𝐶𝐸𝐹
(cid:244)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:275)(cid:35)(cid:261)(cid:156) 10+2 3+2(cid:136)
1
(cid:22)(cid:245)(cid:118)2-𝐶2(cid:28)−(cid:87)𝐶𝐸2𝐹024·(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136)
1 1 1 1 1
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 −𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐷𝐷(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
1 1
(2)(cid:158) 𝐴=6𝐶(cid:73)(cid:52)(cid:47) 𝐴(cid:174)𝐶(cid:33)𝐸(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274).
1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)𝐵𝐷(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:238)𝐵(cid:167)(cid:250)(cid:110)𝐴(cid:248)𝐸(cid:36)𝐶 (cid:40)(cid:41)(cid:173)(cid:174) // (cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:173)(cid:30)(cid:122)
1 1
(cid:87)2(cid:88)(cid:204)(cid:27)(cid:128)(cid:248)(cid:261)(cid:199)(cid:52)(cid:262)(cid:47)(cid:174)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:273)(cid:274). 𝐴𝐶 𝐴 𝐶
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:49)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73) // (cid:190) = (cid:73)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:48)(cid:76)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)𝐴(cid:117)𝐵(cid:73)𝐶(cid:48)𝐷(cid:76)−𝐴𝐵/𝐶/𝐷 (cid:73)𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐴𝐴 𝐶𝐶
1 1 1 1
(cid:243) (cid:33)(cid:35)𝐴𝐴 𝐶 (cid:73)𝐶 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76)𝐴𝐶 𝐴//𝐶(cid:33)(cid:35) .
1 1 1 1
(cid:87)2𝐴(cid:88)𝐶(cid:285)⊄(cid:250)(cid:110)(cid:248)𝐴𝐶(cid:36)𝐸(cid:232)(cid:53)𝐴𝐶(cid:156)⊂ ( >𝐴0𝐶)𝐸(cid:73)(cid:159) 𝐴=𝐶 2+ 2𝐴+𝐶𝐸 2=6(cid:73)(cid:70)(cid:173) =2 3(cid:73)
1
(cid:48)(cid:76) = (2 3) 2 +(2 𝑎 3) 𝑎2 =2 6(cid:73) 𝐵𝐷 = = 𝑎 (2 𝑎 3) 2𝑎 +( 3) 2 = 𝑎 15(cid:73)
𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐸𝐶
(cid:48)(cid:76) = 1 ×2 6× 15 2 ( 6) 2 =3 6(cid:73)
2
𝑆△𝐴𝐶𝐸
− 1 1
(cid:285)(cid:47) (cid:174)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:156) (cid:73)(cid:159) = (cid:73)(cid:201) = (cid:73)
3 3
𝐵 𝐴𝐸𝐶 𝑑 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶 𝑉𝐵−𝐴𝐸𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝐷𝐸 𝑆△𝐴𝐸𝐶⋅𝑑
1 1 1
(cid:201) × ×2 3×2 3× 3= ×3 6 (cid:73)(cid:70)(cid:173) = 2(cid:73)
3 2 3
⋅𝑑 𝑑
(cid:201)(cid:47) (cid:174)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:156) 2.
𝐵 𝐴𝐸𝐶
(cid:22)(cid:245)(cid:118)2-3(cid:28)(cid:87)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:47)E(cid:73)F(cid:73)G(cid:73)H(cid:68)(cid:182)(cid:49)(cid:232) (cid:73) (cid:73) (cid:73)
(cid:234)(cid:136) 𝐴−𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷(1)(cid:158)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:30)(cid:31)(cid:10) (cid:33)(cid:35) (cid:122)
𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴𝐵∥ 𝐸𝐹𝐺𝐻
(2)(cid:158)E(cid:73)F(cid:73)G(cid:73)H(cid:286)(cid:156)(cid:48)(cid:49)(cid:232)(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:156) (cid:73)(cid:287)(cid:35)(cid:248) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:156) (cid:73)(cid:52) 1(cid:136)
1
𝑉
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:39)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117) 𝐴− (cid:173) 𝐵𝐶𝐷 (cid:73)(cid:39)(cid:32) 𝑉 (cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37) 𝐶𝐷 (cid:38) 𝐺 (cid:38) 𝐹𝐸 (cid:15) 𝐻 (cid:173) //(cid:33) 𝑉 (cid:35) (cid:73)𝑉 (cid:288)(cid:238)
(cid:167)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:173) (cid:73)𝐸(cid:201)𝐹𝐺(cid:154)𝐻(cid:173)(cid:30)(cid:122) 𝐸𝐹∥𝐺𝐻 𝐸𝐹 𝐴𝐵𝐷
(cid:87)2(cid:88)(cid:267)(cid:268) (cid:73) (cid:73)𝐸(cid:289)𝐹(cid:194)∥𝐴(cid:232)𝐵(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:135)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:27) (cid:275)(cid:247)(cid:262)(cid:106)(cid:73)(cid:163)(cid:75)(cid:173) (cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:262)
1
𝐸𝐷 𝐸𝐺 𝐸−𝐷𝐻𝐺 𝐸−𝐶𝐷𝐺𝐹 𝑉 𝑉
1(cid:136)
𝑉
(cid:22)𝑉 (cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88) (cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
(cid:73)(cid:243) (cid:33)∵(cid:35) (cid:73)𝐸𝐹𝐺𝐻 (cid:33)(cid:35) (cid:73)
∴𝐸𝐹∥𝐺(cid:33)𝐻(cid:35) 𝐸(cid:136)𝐹⊂ 𝐴𝐵𝐷 𝐺𝐻⊂ 𝐴𝐵𝐷
∴𝐸𝐹∥ (cid:33)(cid:35)𝐴𝐵𝐷 (cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73)
∵𝐸𝐹⊂ (cid:73) 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶∩ 𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:243)∴𝐸𝐹∥𝐴𝐵(cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
𝐸𝐹⊂(cid:33)(cid:35) 𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:136) 𝐴𝐵⊂ 𝐸𝐹𝐺𝐻
(cid:87)∴2𝐴(cid:88)𝐵∥(cid:267)(cid:268)𝐸𝐹(cid:73)𝐺𝐻 (cid:73)
(cid:156)(cid:232) 𝐸(cid:36)𝐷(cid:71)𝐸(cid:47)𝐺(cid:73)
∵𝐸(cid:47) (cid:174)𝐴(cid:33)𝐶(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274) (cid:128)(cid:98)(cid:47) (cid:174)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274) (cid:36)(cid:101)(cid:290)(cid:73)
(cid:47)∴ (cid:174)𝐸(cid:33)(cid:35) 𝐷𝐻𝐺(cid:36)(cid:273)(cid:274) 𝑑𝐸−𝐷𝐻𝐺(cid:128)(cid:98)(cid:47)𝐶(cid:174)(cid:33)(cid:35)𝐷𝐻𝐺 (cid:36)(cid:273)(cid:274)𝑑𝐶−𝐷𝐻𝐺 (cid:36)(cid:101)(cid:290)(cid:73)
(cid:159)(cid:194)
𝐸
(cid:232)(cid:260)
𝐶𝐷𝐺𝐹
(cid:36)(cid:248)(cid:261)
𝑑𝐸−
=
𝐶𝐷1𝐺𝐹 𝐴
=
𝐶𝐷1𝐺1𝐹 𝑑𝐴 1 −𝐶𝐷𝐺𝐹
=
1
(cid:73)
2 3 3 2 4 8
𝐸−𝐷𝐻𝐺 𝑉 𝑑𝐸−𝐷𝐻𝐺⋅𝑆△𝐷𝐻𝐺 𝑑𝐶−𝐷𝐻𝐺 ⋅ 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑉
(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261) = 1 = 1 1 3 = 3 (cid:73)
3 3 四边形 3 2 4 8
𝐸−𝐶𝐷𝐺𝐹 𝑉 𝑑𝐸−𝐶𝐷𝐺𝐹⋅𝑆 𝐶𝐷𝐺𝐻 𝑑𝐴−𝐶𝐷𝐺𝐹 ⋅ 𝑆△𝐵𝐶𝐷 𝑉
(cid:244) 1= 2 3= 1 (cid:136)
2
𝑉 𝑉 +𝑉
𝑉 𝑉(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)
(cid:22)(cid:45)3(cid:28)(cid:87)2024(cid:24)(cid:194)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:156)(cid:272)(cid:117)(cid:73) (cid:265)(cid:35) (cid:73)(cid:190)
(cid:68)(cid:182)(cid:156)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:164)(cid:98)(cid:62)𝑃(cid:32)−𝐴.(cid:52)𝐵𝐶(cid:30)𝐷(cid:10) // .𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀,𝑁
𝐴𝐵,𝑃𝐶 𝐶𝑀𝑁 𝑃𝐴𝐷 𝑙 𝑀𝑁 𝑙
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:293)(cid:294)(cid:39)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:139)(cid:230)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:173)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:295) (cid:36)(cid:71)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
𝑃𝐷 𝐺 𝐺𝐴,𝐺𝑁 1
(cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) // (cid:73)(cid:190) = (cid:73)
2
∵𝐺,𝑁 𝑃𝐷,𝑃𝐶 ∴𝐺𝑁 𝐶𝐷 𝐺𝑁 𝐶𝐷
1
(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:190) (cid:156)(cid:272)(cid:117)(cid:73) // (cid:73)(cid:190) = (cid:73)
2
∵𝑀 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∴𝐴𝑀 𝐶𝐷 𝐴𝑀 𝐶𝐷
// (cid:73)(cid:190) = (cid:73) (cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
∴𝐺𝑁//𝐴𝑀(cid:73)(cid:243)𝐺𝑁 (cid:33)𝐴𝑀(cid:35) ∴ (cid:33)𝐴𝑀(cid:35)𝑁𝐺 (cid:73)
∴𝑀𝑁//𝐴(cid:33)𝐺(cid:35) 𝑀(cid:73)𝑁⊄ 𝑃𝐴𝐷,𝐴𝐺⊂ 𝑃𝐴𝐷
(cid:243)∴𝑀𝑁 (cid:33)(cid:35)𝑃𝐴𝐷 (cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73)
𝑀𝑁/⊂/ . 𝑀𝑁𝐶 𝑃𝐴𝐷∩ 𝑀𝑁𝐶 𝑙
∴𝑀𝑁 𝑙
(cid:22)(cid:245)(cid:118)3-1(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:296)(cid:297)·(cid:258)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:93)(cid:250)(cid:110)(cid:117)(cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:232) (cid:234)
(cid:87)(cid:220)(cid:72)(cid:298)(cid:47)(cid:299)(cid:58)(cid:88)(cid:73)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93)PD(cid:73)AC(cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐼 𝑃𝐴(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) .
(2)(cid:158)(cid:33)(cid:35)𝐸𝐹 (cid:33)(cid:35)𝑃𝐵𝐶 = (cid:73)(cid:30)(cid:31)(cid:10) // .
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)𝑃𝐴(cid:28)𝐵(cid:87)∩1(cid:88)(cid:204)𝐸(cid:27)𝐹𝐼(cid:71)(cid:50)𝑙(cid:32)(cid:38)(cid:15)(cid:300)𝐸(cid:32)𝐹(cid:35)(cid:33)𝑙 (cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:39)(cid:87)1(cid:88)(cid:173) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:31).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)𝐸1(cid:88)𝐹(cid:267)(cid:268) 𝑃𝐵, 𝐶
(cid:242)(cid:156)(cid:265)(cid:35) (cid:93)(cid:250)(cid:110)(cid:117)𝐵(cid:73)𝐷(cid:48)(cid:76) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
(cid:243)(cid:242)(cid:156) (cid:93)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:48)(cid:76) (cid:93)𝐹 𝐵𝐷 (cid:36)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:73)
(cid:48)(cid:76) 𝐸// 𝑃𝐷(cid:73) 𝐸𝐹 △𝑃𝐵𝐷
(cid:242)(cid:156)𝐸𝐹 (cid:33)𝑃𝐵(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76)𝐸𝐹⊄//(cid:33)(cid:35)𝑃𝐵𝐶 𝑃𝐵⊂ 𝑃𝐵𝐶
𝐸𝐹 𝑃𝐵𝐶
(cid:87)2(cid:88) (cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
/∵/ 𝐸(cid:73),𝐹 𝑃𝐷,𝐵𝐷
∴𝐸𝐹 (cid:33)𝑃𝐵(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
∵𝐸𝐹⊄//(cid:33)(cid:35)𝑃𝐴𝐵(cid:73)𝑃𝐵⊂ 𝑃𝐴𝐵
(cid:158)∴(cid:33)𝐸𝐹(cid:35) 𝑃𝐴(cid:33)𝐵(cid:35) = (cid:73)
(cid:243) 𝑃(cid:33)𝐴𝐵(cid:35)∩ (cid:73)𝐸𝐹𝐼 𝑙
(cid:48)𝐸(cid:76)𝐹⊂// . 𝐸𝐹𝐼
(cid:22)(cid:245)𝐸(cid:118)𝐹3-2𝑙(cid:28)(cid:87)24-25(cid:24)(cid:123)·(cid:234)(cid:301)·(cid:114)(cid:258)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:151)1(cid:93)(cid:39)(cid:250)(cid:110)(cid:117) Rt Rt (cid:302)(cid:196)(cid:36)(cid:101)(cid:161)(cid:128)(cid:303)(cid:206)(cid:117)(cid:73)
(cid:169)(cid:71) =2(cid:73)(cid:289) (cid:59) (cid:68)(cid:182)(cid:304) (cid:305)(cid:306)(cid:214)(cid:173)E(cid:72)𝐴𝐵F𝐶(cid:299)𝐷,(cid:58)(cid:73)△(cid:142)𝐴𝐵(cid:151)𝐸2, (cid:136)△(cid:285)𝐶(cid:33)𝐷(cid:35)𝐹 (cid:33)(cid:35) = (cid:73)
(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:10)𝐵// (cid:122) △𝐴𝐵𝐸 △𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐵,𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐸∩ 𝐶𝐷𝐸 𝑙
𝑙 𝐶𝐷(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:293)(cid:294)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:30)(cid:31) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:111)(cid:101)(cid:307)(cid:201)(cid:154)(cid:173)(cid:30).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:242)(cid:156) // (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝐶𝐷(cid:33)(cid:35) 𝐴(cid:73)𝐵𝐸(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:243) (cid:33)(cid:35) (cid:73)𝐶(cid:33)𝐷(cid:35)𝐴𝐵 𝐴𝐵(cid:33)⊂(cid:35) 𝐴=𝐵𝐸(cid:73)(cid:48)𝐶𝐷(cid:76)⊄// 𝐴.𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐸
(cid:22)𝐶(cid:245)𝐷(cid:118)⊂3-3(cid:28)𝐸(cid:87)𝐶2𝐷3-24(cid:24)(cid:101)𝐴𝐵(cid:246)𝐸·(cid:207)∩(cid:308)(cid:309)𝐸(cid:284)𝐶·𝐷(cid:258)(cid:71)𝑙(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)𝑙 (cid:171)𝐶𝐷(cid:133)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:156)
(cid:310)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸
𝑆𝐶
(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
(2)(cid:285)(cid:33)(cid:35)𝑆𝐴 (cid:33)(cid:35)𝐸𝐷𝐵 = (cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10) // .
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)𝑆𝐴(cid:28)𝐵(cid:87)∩1(cid:88) 𝑆𝐶𝐷 𝑙= (cid:73)(cid:311)(cid:162)𝐴𝐵(cid:30)(cid:31)𝑙 // (cid:73)(cid:173)(cid:30) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:30)(cid:31) //(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶∩(cid:73)𝐵𝐷(cid:39)(cid:32)𝑂(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)𝑆(cid:38)𝐴 (cid:15)𝐸(cid:30)𝑂(cid:31) //𝑆𝐴. 𝐸𝐷𝐵
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)𝐴(cid:28)𝐵(cid:87)1(cid:88)(cid:267)𝑆𝐶(cid:268)𝐷 (cid:73)(cid:164) (cid:98)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73) 𝐴𝐵 𝑙
(cid:242)(cid:156) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)𝐴(cid:73)𝐶(cid:244) (cid:156)𝐵𝐷 (cid:71)(cid:47)𝑂(cid:73) 𝑂𝐸
(cid:243) (cid:156)𝐴(cid:310)𝐵𝐶(cid:232)𝐷 (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:244) //𝑂 .𝐴𝐶
(cid:243)𝐸 (cid:33)(cid:35)𝑆𝐶 (cid:73) (cid:33)𝑆𝐴(cid:35) 𝐸𝑂(cid:73)(cid:244) //(cid:33)(cid:35) .
𝑆𝐴⊄ 𝐸𝐷𝐵 𝐸𝑂⊂ 𝐸𝐷𝐵 𝑆𝐴 𝐸𝐷𝐵
(cid:87)2(cid:88)(cid:242)(cid:156) // (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) .
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵⊄ 𝑆𝐶𝐷 𝐶𝐷⊂ 𝑆𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑆𝐶𝐷(cid:243)(cid:242)(cid:156)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76) // .𝑆𝐴𝐵∩ 𝑆𝐶𝐷 𝑙 𝐴𝐵⊂ 𝑆𝐴𝐵
(cid:22)(cid:21)𝐴(cid:29)𝐵4 𝑙(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:42)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:28)
(cid:22)(cid:45)4(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:315)·(cid:316)(cid:43)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)E(cid:156)(cid:32)(cid:43)
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷
(cid:234)(cid:317)(cid:103)A(cid:36)(cid:194)(cid:128)(cid:68)(cid:47)(cid:73)F(cid:156)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73)(cid:168) //(cid:33)(cid:35) (cid:129)(cid:73) =(cid:87) (cid:88)
𝑃𝐹
𝑃𝐶 𝑃𝐴 𝐸𝐵𝐹 𝑃𝐶
1 1
A(cid:136)3 B(cid:136)4 C(cid:136) D(cid:136)
3 4
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:173)(cid:262)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:288)(cid:238)(cid:167)(cid:33)(cid:34)(cid:173)(cid:262)(cid:44)(cid:45)(cid:3)(cid:56)(cid:201)(cid:154).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)
(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:164) (cid:98)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268)
(cid:242)(cid:156) //(cid:33)𝐴(cid:35)𝐶 𝐵𝐸 𝐺(cid:33)(cid:35) 𝐹(cid:73)𝐺(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:48)(cid:76) // (cid:73)
𝑃𝐴 𝐵𝐸𝐹,𝑃𝐴⊂ 𝑃𝐴𝐶 𝑃𝐴𝐶∩ 𝐵𝐸𝐹 𝐹𝐺 𝑃𝐴 𝐹𝐺
(cid:48)(cid:76) = (cid:73)(cid:242)(cid:156) // (cid:156) (cid:36)(cid:194)(cid:128)(cid:68)(cid:47)(cid:73)
𝑃𝐹 𝐴𝐺
𝑃𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶,𝐸 𝐴𝐷
1 1 1
(cid:159) = = , = (cid:201) = .
3 4 4
𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐺 𝑃𝐹
(cid:244)(cid:20)𝐺𝐶(cid:10)D 𝐵𝐶
.
𝐴𝐶 𝑃𝐶
(cid:22)(cid:245)(cid:118)4-1(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:171)(cid:133)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:265)(cid:35)(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:164) (cid:98)(cid:47)
(cid:73) (cid:156) (cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:49) (cid:234)(cid:73) = (cid:73) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159) (cid:36)𝑃(cid:318)−𝐴(cid:156)𝐵(cid:87)𝐶𝐷 (cid:88) 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝑂 𝐸 𝐴𝐷 𝐹 𝑃𝐴 𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐹 𝑃𝐶 𝐵𝐸𝐹 𝜆3
A(cid:136)1 B(cid:136) C(cid:136)2 D(cid:136)3
2
1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167) (cid:73)(cid:173)(cid:174) = (cid:73)(cid:204)(cid:27) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:173)(cid:174) // (cid:73)(cid:219)(cid:58)(cid:44)(cid:45)(cid:118)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:73)
3
𝐴𝐺
△𝐴𝐸𝐺∼△𝐶𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝑃𝐶 𝐵𝐸𝐹 𝐺𝐹 𝑃𝐶
(cid:173)(cid:174) = = (cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70).
𝐴𝑃 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:70) 𝜆 (cid:125)(cid:162)𝐴𝐹(cid:241)(cid:28)𝐴𝐺(cid:285) (cid:72) (cid:164)(cid:98)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:73)
𝐴𝑂 𝐵𝐸 1 𝐺 1 𝐹𝐺
(cid:242)(cid:156) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:159) = = (cid:73)
2 2
𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:39)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:154)(cid:173) // (cid:73)(cid:159) (cid:73)
𝐴𝐵𝐶𝐷1 1 𝐴𝐷 𝐵𝐶 △𝐴𝐸𝐺∼△𝐶𝐵𝐺
(cid:48)(cid:76) = = (cid:73)(cid:48)(cid:76) = (cid:73)
2 3
𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐺
(cid:243)(cid:242)(cid:156)𝐺𝐶 𝐵 / 𝐶 /(cid:33)(cid:35) (cid:73)𝐴𝐶 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73)
𝑃𝐶 𝐵𝐸𝐹 𝑃𝐶⊂ 𝑃𝐴𝐶 𝐵𝐸𝐹∩ 𝑃𝐴𝐶 𝐺𝐹
(cid:48)(cid:76) // (cid:73)(cid:48)(cid:76) = = =3.
𝐴𝑃 𝐴𝐶
(cid:244)(cid:20) 𝐺 (cid:10) 𝐹 D. 𝑃𝐶 𝜆 𝐴𝐹 𝐴𝐺
(cid:22)(cid:245)(cid:118)4-2(cid:28)(cid:87)2024·(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:284)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73) (cid:35) (cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:208)(cid:53)(cid:156)1(cid:36)(cid:156)(cid:250)(cid:110)(cid:117),(cid:47) (cid:49)
𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸
(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:73) = .
𝑃𝐸
𝑃𝐶 𝐸𝐶 𝑚(cid:87)1(cid:88)(cid:158) //(cid:33)(cid:35) (cid:129)(cid:73)(cid:52) (cid:318)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:158)𝑃𝐴 (cid:35) 𝐸(cid:73)𝐵(cid:232)𝐷(cid:260) 𝑚 (cid:248)(cid:261)(cid:295)(cid:173)(cid:322)(cid:257)(cid:318)(cid:73)(cid:52)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:24).
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)𝑃(cid:237)𝐶⊥(cid:28)(cid:87)𝐸1𝐵(cid:88)𝐷(cid:238)(cid:167)(cid:35)𝐸(cid:35)−(cid:33)𝐵𝐶(cid:34)𝐷(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:173)(cid:174)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:288)(cid:238)(cid:167)𝑃−(cid:33)𝐴(cid:34)𝐵𝐶(cid:32)𝐷(cid:43)(cid:196)(cid:44)(cid:45)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:56)(cid:73)(cid:238)(cid:167)(cid:221)(cid:62)(cid:173)(cid:174)(cid:128)(cid:118)(cid:73)(cid:288)(cid:238)(cid:167)(cid:248)(cid:261)(cid:36)(cid:322)(cid:257)(cid:318)(cid:177)(cid:101)(cid:145)(cid:327)(cid:173)(cid:174) .
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:285) = . 𝑃𝐴
(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶∩𝐵𝐷(cid:33)(cid:35)𝑂 = (cid:73) //(cid:35) (cid:73)
∵𝑃𝐴 ⊂// 𝑃𝐴𝐶 𝑃𝐴𝐶∩ 𝐸𝐵𝐷 𝐸𝑂 𝑃𝐴 𝐸𝐵𝐷
∴𝑃𝐴 𝐸𝑂 1
= = = (cid:73) =1.
2
𝐸𝑂 𝐶𝐸 𝐶𝑂
∴𝑃𝐴 𝐶𝑃 𝐶𝐴 ∴𝑚
(cid:87)2(cid:88)(cid:70)(cid:199)(cid:101)(cid:10)(cid:323)(cid:324)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:325)(cid:326)(cid:56)(cid:73)(cid:285) (0(cid:73)0(cid:73)p)(cid:73)(cid:181) =( (cid:73)1(cid:73)0)(cid:73) = (cid:73)
(cid:285) = (cid:73)(cid:159) = + =( +𝑃 )(cid:73) 𝐵𝐷 −1 𝑃𝐶 (1,1,−𝑝)
𝐶𝐸(cid:35)𝑛𝐶𝑃(cid:73) 𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐸 −𝑛,−𝑛 1,𝑛𝑝
∵𝑃𝐶⊥ 𝐸(cid:73)𝐵𝐷
∴𝑃𝐶⊥𝐸𝐵 1
= + =0(cid:173)(cid:10) = (cid:73)
2 2
∴(cid:242) 𝑃 (cid:156) 𝐶⋅𝐵𝐸 − (cid:36) 𝑛 (cid:265)(cid:35) (1−𝑛)−𝑛𝑝 (cid:220) ⋅ (cid:245) 𝑝 (cid:73)(cid:244)(cid:201) 𝑛 (cid:174)(cid:35) 𝑝 + (cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:295)(cid:322)(cid:257)(cid:318).
𝐸−𝐵𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐷 1 𝐸1 𝐵𝐶𝐷
(cid:174)(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274) = = = 2 (cid:73)
2 2 2 2
𝑝
𝐸 𝐵𝐶𝐷 𝑑 𝑛𝑝 𝑝 + 𝑝+𝑝≤
2
(cid:168)(cid:328)(cid:168) = (cid:73)(cid:201) = 2(cid:129)(cid:295)(cid:322)(cid:257)(cid:318).(cid:244)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:24)(cid:156) 2.
𝑝 𝑝 𝑝 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:70)(cid:199)(cid:123)(cid:10)(cid:285) = . PAC(cid:71)(cid:73)(cid:165)EH//PA(cid:73)(cid:164)AC(cid:98)H.
(cid:35) 𝐴𝐶(cid:73)∩𝐵𝐷 𝑂 △
∵𝑃𝐴⊥(cid:35)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:73)
∴𝐸𝐻⊥(cid:176)(cid:93)𝐴𝐵(cid:174)𝐶𝐷(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274).
∴(cid:242)𝐸(cid:156)𝐻 𝐸 (cid:36)(cid:265)𝐵𝐶(cid:35)𝐷 (cid:220)(cid:245)(cid:73)(cid:201)(cid:52)EH(cid:322)(cid:257)(cid:129)PA(cid:36)(cid:318).
𝐸(cid:35)−𝐵𝐶𝐷(cid:73) 𝐵(cid:35)𝐶𝐷 (cid:73) .
(cid:244)∵𝑃𝐶E⊥(cid:49)(cid:76)𝐸𝐵O𝐷C(cid:156)𝑂(cid:62)𝐸⊂(cid:329)(cid:36)𝐸(cid:290)𝐵(cid:330)𝐷(cid:234)∴(cid:73)𝑂(cid:168)𝐸⊥EH𝑃𝐶(cid:295)(cid:322)(cid:257)(cid:318)(cid:129)(cid:73)EH(cid:156)(cid:330)(cid:36)(cid:290)(cid:329)(cid:73)H(cid:156)(cid:330)(cid:331).
1 1
(cid:146)(cid:129) = =2 =4(cid:73) =4 =4× = 2.
2
𝑃𝐴 𝐶𝐻 |𝑂𝐶|
𝐸𝐻 𝐶𝐴 2|𝑂𝐶| 𝑃𝐴 𝐸𝐻 |𝑂𝐶|
(cid:22)(cid:245)(cid:118)4-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:234)·(cid:332)(cid:91)(cid:333)(cid:334)·(cid:316)(cid:43)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)
(cid:117)(cid:73)(cid:310)(cid:35) (cid:156)(cid:250)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:73) (cid:156)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐷 𝑀 𝑃𝐷 𝑁 𝐵𝐶
(1)(cid:168) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:129)(cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) .
𝑀 𝑃𝐷 𝑀𝑁 𝑃𝐴𝐵(2)(cid:168) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:52)(cid:262)(cid:47) (cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:73)(cid:335)(cid:31)(cid:15)(cid:39).
(cid:22)(cid:70)(cid:21)𝑃𝐵(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:87)𝐴1𝑀(cid:88)𝑁(cid:295) (cid:71)(cid:47)𝑀(cid:156) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:204)(cid:27)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:40)(cid:41)(cid:300)(cid:33)(cid:34)(cid:7)(cid:15)(cid:181)
// = (cid:73)(cid:201)𝐴𝑃 (cid:156)𝐸(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)𝐸(cid:117)𝑀,(cid:73)𝐸𝐵(cid:159) // (cid:73)(cid:322)(cid:230)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:30)(cid:219)(cid:180)(cid:122)
𝐵𝑁 𝑀𝐸,𝐵𝑁 𝑀𝐸 𝐵𝑁𝑀𝐸 𝑀𝑁 𝐵𝐸 1
(cid:87)2(cid:88)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:163)(cid:164)(cid:98) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:173) // (cid:73)(cid:204)(cid:27)(cid:163)(cid:336)(cid:44)(cid:154)(cid:173) = (cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:37)(cid:42)
2
𝑃𝑀
(cid:36)(cid:50)(cid:51). 𝐴𝑁,𝐵𝐷 𝑂 𝑂𝑀 𝑃𝐵 𝑂𝑀 𝑀𝐷 𝑀
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:295) (cid:71)(cid:47)(cid:156) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
𝐴𝑃 𝐸 𝐸𝑀,𝐸𝐵
(cid:49) (cid:71)(cid:73) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:156) (cid:71)(cid:47)(cid:73)
△𝑃𝐴𝐷 𝑀 1𝑃𝐷 𝐸 𝐴𝑃
// = (cid:73)
2
∴𝐸𝑀 𝐴𝐷,𝐸𝑀 𝐴𝐷
(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:71)(cid:73) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
𝐴𝐵𝐶1𝐷 𝑁 𝐵𝐶
// = (cid:73)
2
∴𝐵𝑁 𝐴𝐷,𝐵𝑁 𝐴𝐷
// = (cid:73)
∴𝐵(cid:207)𝑁(cid:208)(cid:117)𝑀𝐸,𝐵𝑁 (cid:156)𝑀(cid:33)𝐸(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
∴ // 𝐵𝑁𝑀𝐸 (cid:35) (cid:35) (cid:73)
∴𝑀𝑁//𝐵(cid:33)𝐸(cid:35),𝑀𝑁⊄(cid:122)𝑃𝐴𝐵,𝐵𝐸⊂ 𝑃𝐴𝐵
(cid:87)∴2𝑀(cid:88)𝑁(cid:267)(cid:268) 𝑃𝐴𝐵(cid:73)(cid:163)(cid:164)(cid:98) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
//(cid:35)𝐴𝑁,𝐵(cid:73)𝐷(cid:35) 𝑂(cid:35) =𝑂𝑀 (cid:35) (cid:73)
∵𝑃𝐵 𝐴𝑀𝑁 𝑃𝐵𝐷∩ 𝐴1𝑀𝑁 𝑂𝑀,𝑃𝐵⊂ 𝑃𝐵𝐷
// (cid:73) = = = (cid:73)
2
𝑃𝑀 𝑂𝐵 𝐵𝑁
(cid:201) ∴ (cid:337) 𝑃𝐵 (cid:49)(cid:47) 𝑂𝑀 M(cid:73)𝑀 M 𝐷(cid:156)𝑂 P 𝐷 D(cid:234)𝐴𝐷(cid:317)(cid:103)P(cid:47)(cid:36)(cid:194)(cid:128)(cid:68)(cid:47).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:32)(cid:43)(cid:53)(cid:54)(cid:28)
(cid:22)(cid:45)5(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:36)(cid:232)(cid:53)(cid:156)1(cid:73)(cid:47) (cid:93)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:71)(cid:331)(cid:73)(cid:47) (cid:93)(cid:33)(cid:35)
1 1 1
(cid:36)(cid:195)(cid:205)(cid:32) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73)(cid:190) (cid:33)(cid:35) 𝐴𝐶(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:43) (cid:36)(cid:53)(cid:156)𝑃(cid:87) (cid:88)𝐴𝐴 𝐷 𝐷 𝑄
1 1 1 1 1 1 1 1
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐵 𝐷 𝑃𝑄∥ 𝐴𝐴 𝐵 𝐵 𝑃𝑄A(cid:136) 1 B(cid:136) 2 C(cid:136) 2 D(cid:136) 3
2 2 2
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:300)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:36)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:219)(cid:58)(cid:278)(cid:279)(cid:38)(cid:15)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:267)(cid:268) (cid:73) (cid:73)(cid:159) (cid:162)(cid:47) .(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)
1 1 1
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑃
(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵𝑃𝑄∥ (cid:73)𝐴𝐴 𝐵 𝐵= (cid:73)𝐴𝐵 𝐷 ∩ 𝐴𝐴 𝐵 𝐵 𝐴𝐵 𝑃𝑄⊂ 𝐴𝐵 𝐷
1 1
∴𝑃𝑄∥ = 𝐴𝐵1 ∵ = 𝐷1𝑃 × 𝑃 12 𝐴 +12= 2.
2 1 2 2
(cid:244)∴𝑃
(cid:20)
𝑄
(cid:10)B
𝐴
.
𝐵
(cid:22)(cid:245)(cid:118)5-1(cid:28)(cid:87)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:62)(cid:194)(cid:232)(cid:233) (cid:36)(cid:310)(cid:232)(cid:135)(cid:265)(cid:35)(cid:208)(cid:53)(cid:286)(cid:156) 1， ， (cid:68)(cid:182)
1 1 1
(cid:93)(cid:232) ， (cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73) (cid:190) =2 = (cid:73) (cid:168) 𝐴𝐵𝐶−//𝐴 (cid:33)𝐵(cid:35)𝐶 (cid:129)(cid:73) (cid:36)(cid:318)(cid:156)(cid:87) 𝑀(cid:88) 𝑁
1 1 1 1 1
𝐵𝐶3 𝐴 𝐵 2 𝐶𝑀 𝐵 𝑁 𝜆 1 𝑀𝑁 𝐴𝐴 𝐶 1𝐶 𝜆
A(cid:136) B(cid:136) C(cid:136) D(cid:136)
4 3 2 3
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:162) (cid:165) // (cid:164) (cid:98) (cid:73)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:154)(cid:173) // (cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:154)(cid:173)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)
1 1 1 1
𝑁 𝑁𝑃 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶 𝑃 𝑀𝑁 𝐶𝑃 𝑀𝑁𝑃𝐶
(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) = = = (cid:73)(cid:201)(cid:173).
2
𝜆
𝑁𝑃 1− 𝜆 𝐶𝑀
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:162) (cid:165) // (cid:164) (cid:98) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
1 1 1 1
𝑁 𝑁𝑃 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶 𝑃 𝐶𝑃(cid:242)(cid:156) // (cid:73) // (cid:73)(cid:244) (cid:203)(cid:35),
1 1
(cid:242)(cid:156)𝑀𝐶//𝐵 (cid:33)𝐶(cid:35) ∴𝑁𝑃 𝑀(cid:73)𝐶(cid:33)(cid:35)𝑁,𝑃,𝑀,𝐶 (cid:33)(cid:35) = (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1
(cid:48)(cid:76)𝑀𝑁// (cid:73)(cid:243)𝐴𝐴 𝐶//𝐶 , 𝑀𝑁𝑃𝐶∩ 𝐴𝐴 𝐶 𝐶 𝐶𝑃 𝑀𝑁⊂ 𝑀𝑁𝑃𝐶
(cid:207)(cid:208)𝑀(cid:117)𝑁 𝐶𝑃(cid:156)(cid:33)𝑁(cid:34)𝑃(cid:207)(cid:208)𝑀(cid:117)𝐶 (cid:73)
∴(cid:243) =𝑀2𝑁𝑃𝐶= (cid:73)
1
𝐶𝑀 𝐵 𝑁 𝜆
= = = (cid:73)
2
𝜆
∴𝑁𝑃 1− 𝜆 𝐶𝑀
2
(cid:48)(cid:76) = .
3
𝜆
(cid:244)(cid:20)(cid:10)B(cid:136)
(cid:22)(cid:245)(cid:118)5-2(cid:28)(cid:87)2023·(cid:332)(cid:256)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:250)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:249)(cid:232)(cid:53)(cid:286)(cid:156)2(cid:73)D(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)M(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)E
1 𝑃−𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:156) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:164) (cid:98)(cid:47)Q(cid:73)(cid:159)(cid:188)(cid:35) (cid:36)(cid:35)(cid:261)(cid:156)(cid:87) (cid:88)
3
𝑃𝐶 𝑃𝐸 𝑃𝐶 𝐷𝐸𝑀 𝐴𝑃 𝑀𝐷𝐸𝑄
A(cid:136) 34 B(cid:136) 34 C(cid:136) 51 D(cid:136)5 51
6 12 6 36
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:154)(cid:173)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:154)(cid:173)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:154)(cid:173)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)
(cid:128)(cid:303)(cid:206)(cid:117)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:39)(cid:208)(cid:205)(cid:3)(cid:56)(cid:52)(cid:70). 𝑀𝐷𝐸𝑄
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:242)(cid:156)M(cid:73)D(cid:68)(cid:182)(cid:156)AB(cid:73)BC(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:244) // (cid:73)(cid:243) (cid:33)(cid:35) , (cid:33)(cid:35) ，(cid:48)(cid:76)
//(cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝑀𝐷 𝐴𝐶 𝑀𝐷⊂ 𝑀𝐷𝐸𝑄𝐴𝐶⊄ 𝑀𝐷𝐸𝑄
(cid:39)𝐴𝐶(cid:98) 𝑀(cid:33)𝐷(cid:35)𝐸𝑄 ,(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = ,(cid:244) // // (cid:73)
𝐴𝐶⊂ 𝑃𝐴𝐶 𝑀𝐷𝐸𝑄∩ 𝑃𝐴𝐶 𝑄𝐸 𝐴𝐶 𝑄𝐸 𝑀𝐷1 1 1 2
(cid:243) = (cid:73)(cid:244) = (cid:136)(cid:49)(cid:128)(cid:303)(cid:206)(cid:117)MDEQ(cid:71)(cid:73) =1(cid:73) = = (cid:73)
3 3 3 3
𝑃𝐸 𝑃𝐶 𝑃𝑄 𝑃𝐴 2𝑀𝐷 𝐸𝑄 𝐴𝐶
(cid:49) (cid:71)(cid:73) = 2 = 4 (cid:73) =1(cid:73)(cid:159) 2= 4 +12 × 4 ×1×cos60°= 13 (cid:73)
3 3 3 3 9
△𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝑃𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 −2
2
(cid:244)(cid:206)(cid:117)(cid:36)(cid:24)(cid:156) 2 1 × 2 = 51(cid:73)(cid:244) = 1 × 1+ 2 × 51=5 51(cid:136)
2 3 6 2 3 6 36
𝐷𝐸 − 1−
𝑆𝑀𝐷𝐸𝑄
(cid:244)(cid:20):D(cid:136)
(cid:22)(cid:245)(cid:118)5-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:234)·(cid:312)(cid:270)(cid:338)(cid:339)(cid:340)·(cid:258)(cid:259)(cid:88)(cid:49)(cid:232)(cid:53)(cid:156)2(cid:36)(cid:250)(cid:110)(cid:248)ABCD﹣A B C D (cid:71)(cid:73)(cid:47)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93)
1 1 1 1
(cid:232)C D (cid:73)B C (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)P(cid:93)(cid:234)(cid:265)(cid:35)A B C D (cid:95)(cid:101)(cid:47)(cid:73)(cid:158)AP (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:43)AP(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:295)(cid:318)(cid:341)(cid:342)(cid:93)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:87) (cid:88) ∥
A(cid:136)[3 2(cid:73) 5] B(cid:136)[ 5(cid:73)2 2] C(cid:136)[3 2(cid:73) 6] D(cid:136)[ 6(cid:73)2 2]
2 4
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:68)(cid:182)(cid:295)(cid:232)A B (cid:59)A D (cid:36)(cid:71)(cid:47)M(cid:59)N(cid:73)(cid:267)(cid:268)MN(cid:73)(cid:154)(cid:30)(cid:33)(cid:35)AMN (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:73)(cid:173)P(cid:47)(cid:49)(cid:32)(cid:43)
1 1 1 1
MN(cid:234)(cid:136)(cid:39)(cid:146)(cid:154)(cid:37)(cid:42)(cid:168)P(cid:49)MN(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:129)(cid:73)AP(cid:322)(cid:126)(cid:122)(cid:168)P(cid:72)M(cid:46)N(cid:299)(cid:58)(cid:129)(cid:73)∥ AP(cid:322)(cid:257)(cid:136)(cid:139)(cid:230)(cid:52)(cid:70)(cid:62)(cid:205)(cid:194)(cid:205)
(cid:117)(cid:173)(cid:125)(cid:266)(cid:136)
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:73)(cid:68)(cid:182)(cid:295)(cid:232)A B (cid:59)A D (cid:36)(cid:71)(cid:47)M(cid:59)N(cid:73)(cid:267)(cid:268)MN(cid:73)(cid:267)(cid:268)B D (cid:73)
1 1 1 1 1 1
M(cid:59)N(cid:59)E(cid:59)F(cid:156)(cid:48)(cid:49)(cid:232)(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) MN B D (cid:73)EF B D (cid:73)
1 1 1 1
∵MN EF(cid:73)(cid:243)MN (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:73)E∴F (cid:33)∥(cid:35)BDEF(cid:73)∥ MN (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:122)
∴(cid:267)(cid:268)∥NF(cid:73)(cid:39)NF ⊄A B (cid:73)NF(cid:343)A B (cid:73)⊂A B AB(cid:73)A B∴(cid:343)AB∥(cid:73)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:154)(cid:173)NF AB(cid:73)NF∥(cid:343)AB(cid:73)(cid:159)(cid:207)(cid:208)(cid:117)ANFB∥(cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
(cid:159)AN F∥B(cid:73)(cid:172)AN (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:73)FB (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:73)(cid:159)AN (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:136)
(cid:243)AN∥∩NM(cid:343)N(cid:73) ⊄(cid:33)(cid:35)AMN (cid:33)(cid:35)B⊂DEF(cid:136) ∥
(cid:243)P(cid:93)(cid:234)(cid:265)(cid:35)A B∴C D (cid:95)(cid:101)∥(cid:47)(cid:73)(cid:190)AP (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:73) P(cid:47)(cid:49)(cid:32)(cid:43)MN(cid:234)(cid:136)
1 1 1 1
∥ ∴
(cid:49)Rt AA M(cid:71)(cid:73)AM= 2+ 2= 22+12= 5(cid:73)
1 1 1
△ 𝐴𝐴 𝐴 𝑀
(cid:193)(cid:15)(cid:73)(cid:49)Rt AA N(cid:71)(cid:73)(cid:52)(cid:173)AN= 5(cid:73)(cid:159) AMN(cid:156)(cid:128)(cid:303)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:136)
1
(cid:168)P(cid:49)MN(cid:36) △ (cid:71)(cid:47)(cid:129)(cid:73)AP(cid:322)(cid:126)(cid:156) 22+( △ 2) 2 =3 2(cid:73)
2 2
(cid:168)P(cid:72)M(cid:46)N(cid:299)(cid:58)(cid:129)(cid:73)AP(cid:322)(cid:257)(cid:156) 5(cid:136)
(cid:32)(cid:43)AP(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:295)(cid:318)(cid:341)(cid:342)(cid:93) 3 2, 5 (cid:136)
2
∴
(cid:244)(cid:20)(cid:10)A(cid:136)(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)
(cid:22)(cid:45)6(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:344)(cid:301)(cid:270)(cid:280)·(cid:258)(cid:259)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:68)(cid:182)
1 1 1 1 1 1
(cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47).(cid:52)(cid:30)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐻 𝐵 𝐷 𝐸,𝐹,𝐺
𝐷𝐶,𝐵𝐶,𝐻𝐶
(1) (cid:207)(cid:47)(cid:203)(cid:35)(cid:122)
(2)𝐹(cid:33),𝐺(cid:35),𝐻,𝐵 (cid:33)(cid:35) .
1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)𝐸𝐹(cid:237)𝐺(cid:28)∥(cid:87)1(cid:88)𝐵(cid:267)𝐷(cid:268)𝐷B𝐵H(cid:73)(cid:39)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:154)(cid:173) // (cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:31)F(cid:73)G(cid:73)H(cid:73)B(cid:207)(cid:47)(cid:203)(cid:35)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:39)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:31). 𝐹𝐺 𝐵𝐻
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
𝐵𝐻
(cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47),
(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:73) ∵𝐹,𝐺 𝐵𝐶,𝐻𝐶
∴𝐹𝐺 △ 𝐶𝐵(cid:73)𝐻
∴𝐹𝐺 ∥ 𝐵(cid:207)𝐻(cid:47)(cid:203)(cid:35)(cid:122)
(cid:87)∴2𝐹(cid:88),𝐺,(cid:39)𝐻,(cid:87)𝐵1(cid:88)(cid:133) (cid:73)
𝐹𝐺 ∥ 𝐵𝐻(cid:33)(cid:35) (cid:35) (cid:73)
1 1 1 1
∵𝐹𝐺 ⊄ (cid:33)(cid:35)𝐵𝐷𝐷 𝐵 ,𝐵(cid:122)𝐻⊂ 𝐵𝐷𝐷 𝐵
1 1
(cid:243)∴𝐹𝐺 ∥(cid:68)(cid:182)(cid:93)𝐵𝐷𝐷 𝐵 (cid:36)(cid:71)(cid:47)
∵𝐸 ,𝐹 (cid:73)𝐷𝐶,𝐵𝐶
∴𝐸𝐹(cid:33)∥(cid:35)𝐷𝐵 (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1
𝐸𝐹⊄ (cid:33)𝐵𝐷(cid:35)𝐷 𝐵,𝐷𝐵⊂(cid:122) 𝐵𝐷𝐷 𝐵
1 1
∴𝐸𝐹 ∥ =𝐵𝐷𝐷 𝐵(cid:35) (cid:35) (cid:73)
∵𝐸(cid:33)𝐹(cid:35)∩𝐹𝐺 𝐹(cid:33),𝐸𝐹(cid:35)⊂ 𝐸𝐹𝐺.,𝐹𝐺⊂ 𝐸𝐹𝐺
1 1
(cid:22)∴(cid:245)(cid:118)𝐸6𝐹-1𝐺(cid:28)(cid:87)∥ 2024𝐵·(cid:269)𝐷𝐷(cid:270)𝐵(cid:345)(cid:346)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:330)(cid:260) (cid:71)(cid:73) (cid:156)(cid:330)(cid:260)(cid:36)(cid:347)(cid:47)(cid:73) (cid:93)(cid:330)(cid:260)(cid:265)(cid:35)(cid:36)(cid:330)(cid:331)(cid:73)(cid:207)(cid:208)
(cid:117) (cid:93)(cid:265)(cid:35)(cid:36)(cid:95)(cid:268)(cid:250)(cid:110)(cid:117)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝑃(cid:162)𝑂(cid:47) 𝑃 (cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:156) . 𝑂
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸,𝐹 𝑃𝐷,𝑃𝐴 𝐸,𝐹,𝑂 𝛼
(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) (cid:122)
(2)(cid:158)(cid:330)(cid:260)(cid:36)(cid:265)(cid:35)𝛼 (cid:330)∥(cid:290)(cid:329)(cid:156)𝑃𝐵2𝐶(cid:73)(cid:24)(cid:156) 3(cid:73)(cid:285)(cid:47) (cid:49)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:132)(cid:348)(cid:73)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261).
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:154)𝑀(cid:30) 𝐸(cid:33)𝐹(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35)𝑃−𝑀𝐵(cid:73)𝐶(cid:288)(cid:39)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)
(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) (cid:122) 𝐸𝐹 ∥ 𝑃𝐵𝐶 𝑂𝐸 ∥ 𝑃𝐵𝐶
(cid:87)2(cid:88)(cid:39)(cid:21)(cid:185)(cid:154)𝛼(cid:173)∥(cid:73)(cid:47) 𝑃(cid:174)𝐵𝐶(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:128)(cid:98)(cid:47) (cid:174)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:73)(cid:288)(cid:39)(cid:194)(cid:232)(cid:260)(cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:7)(cid:118)(cid:73)(cid:349)(cid:350)(cid:66)(cid:351)(cid:73)
(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70). 𝑀 𝑃𝐵𝐶 𝑂 𝑃𝐵𝐶
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:242)(cid:156) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:48)(cid:76) (cid:73)
(cid:242)(cid:156)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:250)(cid:110)𝐸(cid:117),𝐹(cid:73)(cid:48)(cid:76) 𝑃𝐷 ,𝑃𝐴 (cid:73)(cid:102)(cid:172) 𝐸𝐹 ∥ (cid:73)𝐴𝐷
(cid:243) (cid:33)(cid:35)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)𝐴𝐷(cid:76)∥ 𝐵𝐶(cid:33)(cid:35) 𝐸𝐹(cid:73)∥ 𝐵𝐶
(cid:267)𝐸(cid:268)𝐹⊄ (cid:73)𝑃𝐵(cid:159)𝐶,𝐵(cid:156)𝐶⊂ (cid:36)(cid:71)𝑃(cid:47)𝐵𝐶(cid:73)(cid:243) (cid:156)𝐸𝐹(cid:36)∥(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝑃𝐵(cid:48)𝐶(cid:76) (cid:73)
(cid:243) 𝐵𝐷(cid:33),𝑂(cid:35)𝐸 𝑂 𝐵𝐷(cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝐸 𝑃𝐷 𝑂𝐸 ∥ 𝑃𝐵
(cid:48)𝑂(cid:76)𝐸⊄ (cid:33)𝑃𝐵(cid:35)𝐶,𝑃𝐵(cid:73)⊂(cid:243) 𝑃𝐵𝐶 = (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76)(cid:33)𝑂𝐸(cid:35)∥ 𝑃(cid:33)𝐵𝐶(cid:35) 𝑂(cid:73)𝐸∩𝐸𝐹 𝐸 𝑂𝐸,𝐸𝐹⊂ 𝑂𝐸𝐹
(cid:201)(cid:33)(cid:35) 𝑂𝐸(cid:33)𝐹(cid:35)∥ .𝑃𝐵𝐶
𝛼 ∥ 𝑃𝐵𝐶(cid:87)2(cid:88)
(cid:39)(cid:21)(cid:133)(cid:73) (cid:33)(cid:35) .
(cid:267)(cid:268) (cid:73)𝑃(cid:159)𝑂⊥ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = 3.
(cid:242)(cid:156)𝑂(cid:39)𝐶(cid:87)1(cid:88)𝑂(cid:36)𝐵(cid:30)(cid:31)𝑂𝐶(cid:154)(cid:133)2(cid:33),𝑃(cid:35)𝑂 (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76)(cid:47) (cid:174)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:128)𝛼(cid:98)(cid:47)∥ (cid:174)(cid:33)𝑃𝐵(cid:35)𝐶 (cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:73)
(cid:48)(cid:76) 𝑀 = 𝑃𝐵𝐶 = = 𝑂1 𝑃𝐵𝐶 = 1 × 1 ×2×2× 3=2 3(cid:73)
3 3 2 3
𝑉𝑃−𝑀𝐵𝐶 𝑉𝑀−𝑃𝐵𝐶 𝑉𝑂−𝑃𝐵𝐶 𝑆△𝑂𝐵𝐶⋅𝑃𝑂
(cid:48)(cid:76)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:156)2 3.
3
𝑃−𝑀𝐵𝐶
(cid:22)(cid:245)(cid:118)6-2(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:269)(cid:270)(cid:352)(cid:353)·(cid:258)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:62)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:156)(cid:250)(cid:110)(cid:117)(cid:73)
1 1 1 1
(cid:156)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) = =3(cid:136) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
1 1
𝐸 𝐴𝐴 𝐴𝐵 2,𝐴𝐴
(1)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:136)
(2)(cid:49) (cid:234)(cid:93)𝐴−(cid:354)𝐵(cid:337)𝐷𝐸(cid:49)(cid:101)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) .(cid:142)(cid:143)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:355)(cid:335)(cid:31) (cid:47)(cid:50)(cid:51)(cid:74)(cid:30)(cid:31).(cid:142)(cid:143)(cid:220)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:355)
1 1
(cid:335)(cid:31)(cid:15)𝐷𝐷(cid:39). 𝑃 𝑃𝐴 𝐶 𝐸𝐵𝐷 𝑃
1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:238)(cid:167) = = (cid:66)(cid:351)(cid:154)(cid:173)(cid:122)
3
𝑉𝐴−𝐵𝐷𝐸 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐸⋅𝑆△𝐴𝐵𝐷
(cid:87)2(cid:88)(cid:168) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:129)(cid:356)(cid:357)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:285) = (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:31) // (cid:59) //
1 1 1 1
(cid:73)(cid:102)(cid:172)𝑃(cid:173)(cid:174)𝐷𝐷 //(cid:33)(cid:35) (cid:73) /𝑃/𝐴(cid:33)𝐶(cid:35) (cid:73)𝐸𝐵(cid:201)𝐷(cid:154)(cid:173)(cid:30)𝐴𝐶.∩𝐵𝐷 𝑂 𝑂𝐸 𝑂𝐸 𝐴 𝐶 𝐷𝐸 𝐴
1 1
(cid:22)𝑃 (cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)𝑂(cid:87)𝐸1(cid:88)(cid:49)(cid:62)𝑃(cid:207)𝐴 (cid:232)𝐶 (cid:233)𝐷𝐸 𝑃𝐴 𝐶 (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:156)(cid:250)(cid:110)(cid:117)(cid:73)
1 1 1 1
(cid:48)(cid:76) (cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
1
𝐴𝐴 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷1 1 3 1
(cid:48)(cid:76) = = = × × ×2×2=1.
3 3 2 2
𝑉𝐴−𝐵𝐷𝐸 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐸⋅𝑆△𝐴𝐵𝐷
(cid:87)2(cid:88)(cid:168) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:129)(cid:356)(cid:357)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1
(cid:285) 𝑃 =𝐷𝐷(cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73) 𝑃𝐴 𝐶 𝐸𝐵𝐷
(cid:242)𝐴(cid:156)𝐶∩𝐵𝐷(cid:156)(cid:250)𝑂(cid:110)(cid:117)(cid:73)𝑂(cid:48)𝐸(cid:76) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:243) (cid:156)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1
(cid:48)(cid:76)𝐴𝐵𝐶//𝐷 (cid:73)(cid:243) (cid:33)(cid:35)𝑂 𝐴𝐶(cid:73) (cid:33)(cid:35)𝐸 𝐴(cid:73)𝐴(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1
(cid:243) (cid:156)𝑂𝐸 𝐴(cid:36)𝐶(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝑂(cid:48)𝐸⊄(cid:76) /𝑃/𝐴 𝐶(cid:190)𝐴 𝐶=⊂ (cid:73)𝑃(cid:48)𝐴(cid:76)𝐶 𝑂(cid:156)𝐸(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)𝑃𝐴(cid:117)𝐶(cid:73)
1 1 1 1
(cid:48)𝑃(cid:76) 𝐷𝐷// (cid:73) 𝐷𝑃 𝐴 𝐸 𝐷𝑃 𝐴 𝐸 𝐷𝑃𝐴 𝐸
1
(cid:243) 𝐷𝐸(cid:33)(cid:35)𝐴 𝑃 (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1
(cid:243)𝐷𝐸⊄ =𝑃𝐴(cid:73)𝐶 𝐴 𝑃⊂ (cid:33)(cid:35)𝑃𝐴 𝐶(cid:73) 𝐷𝐸 𝑃𝐴 𝐶
(cid:48)𝐷(cid:76)𝐸(cid:33)∩(cid:35)𝑂𝐸 𝐸//(cid:33)𝐷𝐸(cid:35),𝑂𝐸⊂. 𝐵𝐷𝐸
1
𝑃𝐴 𝐶 𝐸𝐵𝐷
(cid:22)(cid:245)(cid:118)6-3(cid:28)(cid:87)2024·(cid:332)(cid:256)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:117)ABCD(cid:93)(cid:250)(cid:110)(cid:117)(cid:73)E(cid:73)F(cid:73)
1 1 1 1
G(cid:68)(cid:182)(cid:93)(cid:232) (cid:73) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
1 1 1 1
𝐵𝐵 𝐵 𝐶 𝐶𝐶
(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
1 1
(2)(cid:158)(cid:47) (cid:49)(cid:265)𝐴(cid:35)𝐸A𝐹BCD(cid:36)(cid:358)𝐴𝐷(cid:359)𝐺(cid:93)(cid:207)(cid:208)(cid:117)ABCD(cid:36)(cid:71)(cid:331)(cid:73) = =4(cid:73)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261).
1 1 1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)𝐴(cid:237)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:238)(cid:167)(cid:207)(cid:232)(cid:233)(cid:71)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:76)(cid:300)(cid:71)(cid:47),(cid:154)𝐴(cid:173)𝐴(cid:32)(cid:32)2(cid:33)𝐴𝐵(cid:34),(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)𝐴(cid:30)(cid:31)−𝐴(cid:32)𝐷(cid:35)𝐺(cid:33)(cid:34),(cid:111)(cid:172)(cid:154)(cid:30)
(cid:31)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34).(cid:87)2(cid:88)(cid:154)(cid:39)(cid:207)(cid:232)(cid:233)(cid:36)(cid:248)(cid:261),(cid:154)(cid:173)(cid:193)(cid:265)(cid:128)(cid:24)(cid:36)(cid:194)(cid:232)(cid:260)(cid:36)(cid:248)(cid:261),(cid:139)(cid:230)(cid:238)(cid:167)(cid:194)(cid:232)(cid:260)(cid:71)(cid:128)(cid:248)(cid:261)(cid:199)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:267)(cid:268)EG(cid:73) .
1
𝐵𝐶(cid:242)(cid:156)E(cid:73)G(cid:68)(cid:182)(cid:93)(cid:232) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:48)(cid:76) (cid:73) = .
1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:156) (cid:73) 𝐵𝐵= 𝐶𝐶 (cid:73)(cid:48)(cid:76) 𝐸𝐺(cid:73)∥𝐵 𝐶= 𝐸𝐺 (cid:73)𝐵 𝐶
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:48)(cid:76)(cid:207)𝐴 (cid:208)𝐷(cid:117)∥𝐵 𝐶 𝐴(cid:93)𝐷(cid:33)(cid:34)𝐵(cid:207)𝐶(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:159)𝐸𝐺∥𝐴 𝐷 . 𝐸𝐺 𝐴 𝐷
1 1 1 1
(cid:242)(cid:156) (cid:33)𝐸𝐺(cid:35)𝐷 𝐴 (cid:73) (cid:33)(cid:35) 𝐷(cid:73)𝐺(cid:48)∥𝐴(cid:76)𝐸 (cid:33)(cid:35) .
1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:156)𝐷E(cid:73)𝐺F⊂(cid:68)(cid:182)(cid:93)𝐴𝐷(cid:232)𝐺 𝐴(cid:73)𝐸⊄ (cid:36)(cid:71)𝐴𝐷(cid:47)𝐺(cid:73)(cid:48)(cid:76) 𝐴 𝐸∥ . 𝐴𝐷 𝐺
1 1 1 1
(cid:242)(cid:156) (cid:73)(cid:48)(cid:76)𝐵𝐵 𝐵.𝐶 𝐸𝐹∥𝐵𝐶
1 1 1
(cid:242)(cid:156)𝐴𝐷 ∥𝐵𝐶(cid:33)(cid:35) 𝐸(cid:73)𝐹∥𝐴𝐷 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) (cid:33)(cid:35) .
1 1 1 1
(cid:242)(cid:156)𝐴𝐷 ⊂(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐷 𝐺(cid:73) 𝐸𝐹⊄ (cid:33)(cid:35)𝐴𝐷 𝐺(cid:73)(cid:190) 𝐸𝐹∥ =𝐴𝐷(cid:73)𝐺
1 1 1 1
(cid:48)(cid:76)(cid:33)𝐸𝐹(cid:35)⊂ 𝐴(cid:33)𝐸(cid:35)𝐹 𝐴 𝐸.⊂ 𝐴 𝐸𝐹 𝐴 𝐸∩𝐸𝐹 𝐸
1 1
𝐴 𝐸𝐹∥ 𝐴𝐷 𝐺
(cid:87)2(cid:88)(cid:267)(cid:268)AC(cid:73)BD(cid:73)(cid:155) = (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:159) (cid:33)(cid:35)ABCD.
1 1
𝐴𝐶∩𝐵𝐷 𝑂 𝐴1𝑂 𝐴 𝑂⊥
(cid:242)(cid:156) =4(cid:73)(cid:48)(cid:76) = =2(cid:73)(cid:48)(cid:76) = = 2.
2
2𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝑂 𝐴𝐶
(cid:242)(cid:156) =4(cid:73)(cid:48)(cid:76) = 14(cid:73)
1 1
(cid:159)(cid:207)𝐴(cid:232)(cid:233)𝐴 𝐴 𝑂 (cid:36)(cid:248)(cid:261) =2×2× 14=4 14.
1 1 1 1
(cid:244)(cid:194)(cid:232)(cid:260) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 (cid:36) 𝐵 (cid:248) 𝐶 (cid:261) 𝐷 = 1 𝑉 = 1 ×4 14=2 14(cid:73)
1 1 1 6 6 3
𝐺−𝐴𝐴 𝐷 𝑉 𝑉
(cid:201)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:156)2 14.
1 1
3
𝐴 −𝐴𝐷 𝐺
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:36)(cid:55)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:45)7(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:284)·(cid:316)(cid:43)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:360)(cid:35)(cid:248) (cid:71)(cid:73) // (cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)
(cid:208)(cid:117)(cid:73) = (cid:136) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐷𝐸 2𝐶𝐹(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:136)
(2)(cid:158)G(cid:93)(cid:232) 𝐴(cid:36)𝐷𝐸(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:30)𝐵(cid:31)𝐶𝐹(cid:10) // (cid:136)
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝐵(cid:87)𝐶 1(cid:88)(cid:238)(cid:167)(cid:361)(cid:38)(cid:145)(cid:327)𝐴𝐸(cid:73)(cid:219)𝐹𝐺(cid:58)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:40)(cid:41)(cid:73)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:179)(cid:15)(cid:201)(cid:173).
(cid:87)2(cid:88)(cid:30)(cid:31) (cid:36)(cid:362)(cid:53)(cid:32)(cid:72) (cid:36)(cid:362)(cid:53)(cid:32)(cid:164)(cid:47)(cid:299)(cid:58)(cid:73)(cid:288)(cid:204)(cid:27)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:15)(cid:201)(cid:173).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)𝐸(cid:28)𝐹,𝐴(cid:87)𝐺1(cid:88)(cid:39) 𝐷𝐶(cid:73)(cid:173) // (cid:73)(cid:172) (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:39) // (cid:73) (cid:33)(cid:35)▱𝐴𝐵(cid:73)𝐶𝐷 (cid:33)𝐵𝐶(cid:35) 𝐴𝐷(cid:73)(cid:173)𝐴𝐷/⊂/(cid:33)(cid:35)𝐴𝐸𝐷(cid:73)𝐵𝐶⊄ 𝐴𝐸𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐸𝐷
(cid:243)𝐷𝐸 𝐶𝐹 =𝐶𝐹⊄ 𝐴𝐸(cid:33)𝐷(cid:35)𝐷𝐸⊂(cid:73)(cid:48)(cid:76)𝐴(cid:33)𝐸𝐷(cid:35) 𝐶/𝐹/(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐸.𝐷
(cid:87)2𝐵(cid:88)𝐶∩(cid:362)𝐶(cid:53)𝐹 𝐶,𝐵(cid:72)𝐶,𝐶𝐹⊂(cid:36)(cid:362)(cid:53)𝐵(cid:32)𝐶(cid:68)𝐹(cid:182)(cid:164)(cid:98)(cid:47) 𝐴,𝐷𝐸(cid:73) 𝐵𝐶𝐹
1 2
𝐸𝐹,𝐴𝐺 𝐷𝐶 𝑂 𝑂
(cid:39) // (cid:73) = (cid:73)(cid:173) = (cid:73)(cid:39) // (cid:73)G(cid:93)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:173) = (cid:73)
1 2
(cid:242)(cid:146)𝐷𝐸(cid:47) 𝐶𝐹, (cid:299)𝐷𝐸(cid:58)(cid:73)2(cid:155)𝐶𝐹(cid:156) (cid:73)𝐶(cid:363)𝑂(cid:139)(cid:33)𝐶(cid:35)𝐷 𝐵𝐶(cid:33)(cid:35)𝐴𝐷 = 𝐵(cid:73)𝐶(cid:33)(cid:35) (cid:33)𝐶𝑂(cid:35) 𝐶𝐷= (cid:73)
1 2
(cid:39)(cid:87)1(cid:88)𝑂(cid:133)𝑂(cid:73)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)𝑂 (cid:35) (cid:73)(cid:48)𝐴(cid:76)𝑂𝐸∩// .𝐴𝐸𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝑂𝐸∩ 𝐵𝐶𝐹 𝐹𝐺
(cid:22)(cid:245)(cid:118)7-1(cid:28)(cid:87)20𝐴24𝐷𝐸(cid:24)(cid:194)·(cid:83)(cid:84)𝐵𝐶·(cid:26)𝐹(cid:21)(cid:291)(cid:292)𝐴(cid:88)𝐸(cid:49)(cid:207)𝐹𝐺(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73) (cid:33)(cid:35) = =90
∘
= (cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:73)(cid:190) = .(cid:52)(cid:30)(cid:10)𝑃− 𝐴𝐵𝐶(cid:33)𝐷(cid:35) 𝑃𝐶. ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷,∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷
,𝐴𝐵 3𝐶𝐷 𝑀 𝑃𝐵 𝑃𝐵 3𝑃𝑀 𝐶𝑀 ∥ 𝑃𝐴𝐷
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:49)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:295)(cid:101)(cid:47) (cid:73)(cid:214) = (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:154)(cid:30)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:173)
// (cid:73)(cid:288)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)𝐴𝐵(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)𝑁(cid:38)(cid:15)(cid:154)𝐴(cid:30)𝑁 𝐶/𝐷/(cid:33)(cid:35) 𝐶𝑁(cid:73),𝑀(cid:238)𝑁(cid:167)(cid:196)(cid:44)(cid:45)(cid:32)(cid:43)(cid:30)𝐴𝑁(cid:173)𝐶𝐷 // (cid:73)(cid:288)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)
𝐶(cid:36)𝑁(cid:37)(cid:38)𝐴𝐷(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:30) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:288)(cid:219)(cid:58)(cid:35)(cid:35)𝐶𝑁(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)𝑃(cid:38)𝐴𝐷(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:201)(cid:154)(cid:173)(cid:30). 𝑀𝑁 𝐴𝑃
𝑀𝑁 𝑃𝐴𝐷(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:49)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:295)(cid:101)(cid:47) (cid:73)(cid:214) = (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
𝐴𝐵 𝑁 𝐴𝑁 𝐶𝐷 𝐶𝑁,𝑀𝑁
(cid:49)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:71)(cid:73) = =90 (cid:73)
∘
(cid:48)(cid:76) //𝐴𝐵𝐶(cid:73)𝐷(cid:201) ∠/𝐴/𝐵𝐶(cid:73)(cid:243)∠𝐵𝐶𝐷= (cid:73)
(cid:48)(cid:76)𝐶(cid:207)𝐷(cid:208)(cid:117)𝐴𝐵 𝐶(cid:156)𝐷(cid:33)(cid:34)𝐴𝑁(cid:207)(cid:208)(cid:117)𝐶(cid:73)𝐷(cid:48)(cid:76)𝐴𝑁 // (cid:73)
(cid:243) (cid:33)(cid:35)𝐴𝑁𝐶𝐷 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76)𝐶𝑁//𝐴(cid:33)𝐷(cid:35) (cid:73)
𝐶𝑁⊄ 𝑃𝐴𝐷,𝐴𝐷⊂ 𝑃𝐴1𝐷 𝐶𝑁 𝑃𝐴𝐷
(cid:49)(cid:194)(cid:205)(cid:117) (cid:71)(cid:73) = = (cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
3
𝑀𝑃 𝐴𝑁
(cid:243) (cid:33) 𝐴 (cid:35) 𝐵𝑃 𝑃𝐵 (cid:33)𝐴𝐵(cid:35) (cid:73)(cid:48) 𝑀 (cid:76) 𝑁 𝐴 // 𝑃 (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:243)𝑀𝑁⊄ =𝑃𝐴𝐷,𝐴𝑃⊂ (cid:33)𝑃(cid:35)𝐴𝐷 (cid:73)(cid:48)𝑀(cid:76)𝑁(cid:33)(cid:35) 𝑃𝐴𝐷//(cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:243)𝑀𝑁∩(cid:33)𝐶𝑁(cid:35) 𝑁,𝑀(cid:73)𝑁,(cid:48)𝐶𝑁(cid:76)⊂ //(cid:33)𝑀(cid:35)𝑁𝐶 . 𝑀𝑁𝐶 𝑃𝐴𝐷
(cid:22)𝐶(cid:245)𝑀(cid:118)⊂7-2(cid:28)(cid:87)𝑀𝑁23𝐶-24(cid:24)(cid:101)𝐶(cid:246)𝑀·(cid:301)(cid:256)(cid:301)𝑃(cid:364)𝐴·𝐷(cid:316)(cid:43)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:171)(cid:133)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
(cid:156)(cid:310)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐸 𝑆𝐶
(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) (cid:33)(cid:35) (cid:122)
(2)(cid:158) (cid:156)(cid:310)𝑆𝐴(cid:232)∥ (cid:36)(cid:71)𝐸(cid:47)𝐷𝐵(cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10) (cid:33)(cid:35) .
(cid:22)(cid:70)(cid:21)𝐹(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝐴(cid:87)𝐵1(cid:88)(cid:267)(cid:268)AC(cid:73) 𝐸𝐹 ∥ = (cid:73)𝑆𝐴(cid:288)𝐷(cid:30)(cid:31) // (cid:201)(cid:154)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)𝐴(cid:36)𝐶∩(cid:37)𝐵(cid:38)𝐷(cid:30)(cid:31)𝑂(cid:33)(cid:35) /𝑆/𝐴(cid:33)(cid:35)𝐸𝑂 (cid:201)(cid:154)(cid:122)
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:285) = 𝐸(cid:73)𝑂𝐹(cid:242)(cid:156) 𝑆𝐴(cid:93)𝐷(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
(cid:48)(cid:76) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝐴(cid:267)𝐶,(cid:268)𝐵𝐷 (cid:73)(cid:243)𝐴𝐶(cid:156)∩𝐵(cid:310)𝐷(cid:232) 𝑂(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝐴𝐵𝐶𝐷
､
𝑂 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂𝐸 𝐸 𝑆𝐶(cid:48)(cid:76)(cid:49) (cid:71)(cid:181)(cid:10) (cid:73)(cid:243) (cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76) △𝑆(cid:33)𝐴𝐶(cid:35) .𝑆𝐴 ∥ 𝐸𝑂 𝑆𝐴⊄ 𝐸𝐷𝐵,𝐸𝑂⊂ 𝐸𝐷𝐵
(cid:87)2(cid:88)𝑆(cid:158)𝐴 ∥(cid:156)(cid:310)(cid:232)𝐸𝐷𝐵(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:190)(cid:39)(cid:87)1(cid:88)(cid:133) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
(cid:48)(cid:76)(cid:49) 𝐹 (cid:71)𝐴(cid:181)𝐵(cid:10)(cid:159) (cid:73)(cid:243) 𝑂(cid:33)𝐵(cid:35)𝐷 (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76) △ 𝐵(cid:33)𝐴𝐷(cid:35) (cid:73) 𝐴𝐷 ∥ 𝐹𝑂 𝐹𝑂⊄ 𝑆𝐴𝐷,𝐴𝐷⊂ 𝑆𝐴𝐷
(cid:39)(cid:87)𝐹1(cid:88)𝑂(cid:133)∥ 𝑆 𝐴𝐷 (cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76) 𝑆(cid:33)𝐴(cid:35)∥ 𝐸𝑂.,𝐸𝑂⊄ 𝑆𝐴𝐷,𝑆𝐴⊂ 𝑆𝐴𝐷
(cid:243) 𝐸𝑂 ∥ = 𝑆𝐴𝐷 (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)𝐸(cid:76)𝑂(cid:33)∩(cid:35)𝐹𝑂 𝑂 ,𝐸(cid:33)𝑂,𝐹(cid:35)𝑂⊂ (cid:73)(cid:243)𝐸𝑂𝐹 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) (cid:33)(cid:35) .
𝐸𝑂𝐹 ∥ 𝑆𝐴𝐷 𝐸𝐹⊂ 𝐸𝑂𝐹 𝐸𝐹 ∥ 𝑆𝐴𝐷
(cid:22)(cid:245)(cid:118)7-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:299)(cid:365)·(cid:258)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:265)(cid:35) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156)(cid:232)
(cid:73) (cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73) = . 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹
𝐴𝐵 𝑃𝐶 𝐴𝐸 2𝐸𝐵 𝐹𝐶 2𝑃𝐹
(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
𝐵𝐹 𝑃𝐷𝐸
(2)(cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:93)(cid:354)(cid:337)(cid:49)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173) //(cid:33)(cid:35) (cid:366)(cid:158)(cid:337)(cid:49)(cid:52)(cid:262) (cid:36)(cid:318)(cid:122)(cid:158)(cid:220)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:335)(cid:31)(cid:15)(cid:39).
𝐴𝐺
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236) 𝐴𝐷 (cid:237)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:294)(cid:39) 𝐺 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34) 𝑃 (cid:36) 𝐺 (cid:37)(cid:38)(cid:38) 𝐵 (cid:15) 𝐷 (cid:30) 𝐹 (cid:31)(cid:35) //(cid:35)𝐷𝐺 (cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:31) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:114)(cid:285)(cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:337)(cid:49)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173) //(cid:35) (cid:73)(cid:39)𝐹(cid:32)𝑀(cid:35)𝐵(cid:33)(cid:34)𝑃(cid:36)𝐷(cid:40)𝐸(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:201)(cid:154)𝐵(cid:173)𝐹(cid:47) (cid:156)(cid:232)𝑃𝐷𝐸(cid:36)(cid:71)(cid:47).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)𝐴1𝐷(cid:88)(cid:49) (cid:234)(cid:295)𝐺 (cid:47) (cid:73)𝑃(cid:214)𝐺(cid:173) 𝐵=𝐷𝐹 (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73) 𝐺 𝐴𝐷
𝐷𝐶 𝑀 𝐶𝑀 2𝐷𝑀 𝐹𝑀 𝐵𝑀(cid:49) (cid:71)(cid:73)(cid:47) (cid:59) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:59) (cid:234)(cid:36)(cid:194)(cid:128)(cid:68)(cid:47)(cid:73)(cid:159)(cid:181) //
(cid:243)△𝐶𝐷(cid:35)𝑃 (cid:59)𝐹 𝑀(cid:35) 𝑃𝐶 𝐷𝐶 𝐹𝑀 𝑃𝐷
(cid:39)𝐹(cid:32)𝑀(cid:35)⊄(cid:33)(cid:34)𝑃𝐷(cid:36)𝐸(cid:37)(cid:38)𝑃𝐷(cid:38)⊂(cid:15)(cid:10)𝑃𝐷𝐸//(cid:35)
(cid:243) // (cid:190) = (cid:73)𝐹(cid:207)𝑀(cid:208)(cid:117)𝑃𝐷𝐸 (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)
(cid:159)𝐷(cid:181)𝑀 /𝐸/𝐵 𝐷(cid:73)𝑀(cid:243) 𝐸𝐵(cid:35)∴ (cid:59) 𝐷𝐸𝐵𝑀(cid:35) (cid:73) //(cid:35)
(cid:39)(cid:98)𝐷𝐸 𝐵(cid:35)𝑀 (cid:59)𝐵𝑀⊄ 𝑃(cid:35)𝐷𝐸 𝐷(cid:73)𝐸⊂ 𝑃𝐷𝐸 =∴𝐵𝑀(cid:73) (cid:35)𝑃𝐷𝐸//(cid:35)
(cid:243) 𝐹𝑀(cid:35)⊂ 𝐹𝑀(cid:73)𝐵 𝐵/𝑀/(cid:35)⊂ 𝐹𝑀𝐵 𝐹𝑀∩𝐵𝑀 𝑀 ∴ 𝐹𝑀𝐵 𝑃𝐷𝐸
(cid:87)𝐵2(cid:88)𝐹⊂(cid:114)(cid:285)𝐹(cid:49)𝑀(cid:232)𝐵 ∴(cid:234)𝐵𝐹(cid:337)(cid:49)(cid:47)𝑃𝐷(cid:73)𝐸(cid:214)(cid:173) //(cid:35)
(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:164) 𝐴(cid:98)𝐷 𝐺 𝑃𝐺 𝐵𝐷𝐹
𝐶𝐺 𝐵𝐷 𝐻
//(cid:35) (cid:73) (cid:35) (cid:73)(cid:35) (cid:35) =
∵(cid:39)𝑃(cid:32)𝐺(cid:35)(cid:33)𝐵(cid:34)𝐷(cid:36)𝐹(cid:40)𝑃(cid:41)𝐺(cid:38)⊂(cid:15)(cid:10)𝑃𝐺𝐶// 𝑃𝐺𝐶∩ 𝐵𝐷𝐹 𝐹𝐻
𝑃2𝐺 𝐹𝐻
(cid:159)(cid:49) (cid:71)(cid:73) = = (cid:73)(cid:121)(cid:133) (cid:73)
3
𝐶𝐹 𝐶𝐻
△𝐶𝑃𝐺 𝐶𝑃 𝐶𝐺 △𝐷𝐺𝐻∽△𝐵𝐶𝐻
= = 1 (cid:73) (cid:47) (cid:156)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:201) =1.
2
𝐺𝐻 𝐷𝐺 𝐴𝐺
∴(cid:22)𝐶(cid:21)𝐻 (cid:29)𝐵 8 𝐶 (cid:33)(cid:34)∴(cid:3)(cid:56) 𝐺 (cid:36)(cid:57) 𝐴 (cid:58) 𝐷 (cid:55)(cid:27)(cid:28) 𝐷𝐺
(cid:22)(cid:45)8(cid:28)(cid:87)2024(cid:24)(cid:194)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:73)(cid:171)(cid:133)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:36)(cid:265)(cid:35) (cid:156)(cid:367)(cid:117).
1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:87)1(cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
1 1 1
(cid:87)2(cid:88)(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:234)𝐴𝐵(cid:93)(cid:354)𝐶 (cid:337)(cid:49)(cid:47)𝐴 (cid:73)𝐶(cid:214)𝐷 //(cid:33)(cid:35) (cid:366)(cid:158)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:368)(cid:38)(cid:47) (cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:122)(cid:158)(cid:220)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:335)(cid:31)(cid:15)(cid:39).
1 1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝐶(cid:87)𝐶 1(cid:88)(cid:39)(cid:232)(cid:233) 𝑃 𝐵𝑃 (cid:36)𝐴(cid:40)𝐶(cid:41)𝐷(cid:133)(cid:73) // (cid:73)(cid:173)(cid:174)𝑃 //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:193)(cid:15)(cid:154)(cid:173) //
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:288)(cid:204)(cid:27)(cid:35)(cid:35)(cid:221)𝐴(cid:62)𝐵𝐶(cid:36)𝐷(cid:37)−𝐴(cid:38)(cid:38)𝐵(cid:15)𝐶.𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 𝐶
1 1
(cid:87)2(cid:88)𝐴(cid:121)𝐶(cid:133)𝐷(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) // (cid:73)(cid:49) (cid:36)(cid:362)(cid:53)(cid:32)(cid:234)(cid:295)(cid:47) (cid:73)(cid:214) = (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:159)
1 1 1 1 1 1
(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)𝐴(cid:34)𝐵(cid:207)𝐶(cid:208)𝐷(cid:117)(cid:73)(cid:173)(cid:174) // 𝐴 (cid:73)𝐷(cid:288)𝐵(cid:204)𝐶(cid:27)(cid:32)(cid:35)𝐶(cid:33)𝐶(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:30)(cid:31)𝑃 . 𝐶 𝐶 𝐶𝑃 𝐵𝑃
1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:125)𝐵(cid:162)𝐵(cid:241)𝐶(cid:28)𝑃(cid:87)1(cid:88)(cid:39)(cid:232)(cid:233) 𝐵𝑃 𝐴 𝐷(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:154)(cid:133)(cid:73) // (cid:73)
1 1 1 1 1 1
(cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝐴(cid:33)𝐵(cid:35)𝐶𝐷−𝐴 𝐵(cid:73)𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐶
1 1 1 1 1 1
∵𝐴𝐵 ⊄//(cid:33)(cid:35)𝐷𝐴 𝐶 (cid:73)𝐷𝐶 ⊂ 𝐴 𝐶 𝐷
1 1 1
(cid:193)∴𝐴(cid:15)𝐵(cid:154)(cid:30) 𝐴//𝐶(cid:33)𝐷(cid:35) (cid:73)(cid:172) = (cid:73) 、 (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:33)(cid:35) 𝐵/𝐶/(cid:33)(cid:35) 𝐴 𝐶 (cid:122)𝐷 𝐴𝐵 ∩𝐵 𝐶 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐶⊂ 𝐴𝐵 𝐶
1 1 1
(cid:87)∴ 2(cid:88)(cid:337)𝐴𝐵(cid:49)𝐶(cid:177)(cid:369)(cid:36)(cid:47)𝐴 𝐶(cid:73)𝐷(cid:214) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1
// =𝑃 (cid:73)𝐵𝑃 𝐴 𝐶 𝐷
1 1 1 1
∵(cid:207)𝐴 (cid:208)𝐵(cid:117)𝐶𝐷,𝐴 𝐵(cid:156)(cid:33)𝐶(cid:34)𝐷(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
1 1
∴ //𝐴 𝐵(cid:73)𝐶𝐷
1 1
∴(cid:142)𝐴(cid:151)𝐷(cid:48)(cid:247)𝐵(cid:10)𝐶(cid:49) (cid:36)(cid:362)(cid:53)(cid:32)(cid:234)(cid:295)(cid:47) (cid:73)(cid:214) = (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
1 1
𝐶 𝐶// (cid:73) = 𝑃(cid:73) 𝐶 𝐶 𝐶𝑃 𝐵𝑃
1 1 1 1
∵𝐵 𝐵//𝐶 𝐶 𝐵 𝐵= 𝐶 𝐶(cid:73)
1 1 1 1
∴(cid:207)𝐵 (cid:208)𝐵(cid:117)𝐶 𝑃,𝐵 𝐵(cid:156)(cid:33)𝐶(cid:34)𝑃(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
1
(cid:159)∴ // 𝐵𝐵 𝐶𝑃= (cid:73)
1 1
𝐵𝑃// 𝐵 𝐶(cid:73),𝐵(cid:243)𝑃 𝐵 (cid:33)𝐶 (cid:35) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1 1
∴𝐵𝑃//𝐴(cid:33)(cid:35)𝐷 𝐵𝑃.⊄ 𝐴 𝐶 𝐷 𝐴 𝐷⊂ 𝐴 𝐶 𝐷
1 1
(cid:22)∴𝐵(cid:245)𝑃(cid:118)8-1(cid:28)𝐴(cid:87)𝐶2𝐷3-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:332)(cid:91)(cid:370)(cid:371)(cid:364)·(cid:316)(cid:43)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:49)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73)O(cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:68)
1 1 1 1
(cid:182)(cid:93) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐶 𝑀,𝑁
1 1 1
𝑂𝐷 𝐴 𝐷
(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
1 1
(2)(cid:158)P(cid:93)𝑀𝑁 (cid:36)(cid:71)(cid:47)𝐴𝐶(cid:73)𝐶(cid:52)𝐴(cid:30)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) .
1 1 1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)𝐶(cid:28)𝐷(cid:87)1(cid:88)(cid:204)(cid:27)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:38)(cid:15)𝑀(cid:72)𝑁(cid:32)𝑃(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)𝐴𝐶(cid:37)𝐶(cid:38)𝐴(cid:38)(cid:15)(cid:201)(cid:154)(cid:173)(cid:70)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:201)(cid:154)(cid:173)(cid:70).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
1
𝐴 𝑂(cid:242)(cid:156) (cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
1 1 1 1
(cid:242)(cid:156)𝑀,𝑁 (cid:33)(cid:35) 𝑂𝐷 𝐴(cid:73)𝐷 (cid:33)(cid:35) 𝑀𝑁(cid:73) 𝐴 𝑂
1 1 1 1 1
(cid:48)(cid:76)𝑀𝑁⊄//(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶𝐶 𝐴 . 𝐴 𝑂⊂ 𝐴𝐶𝐶 𝐴
1 1
(cid:87)2(cid:88)𝑀(cid:242)𝑁(cid:156) (cid:68)𝐴(cid:182)𝐶𝐶(cid:93)𝐴 (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:156) (cid:33)𝑁(cid:35),𝑃 𝐴(cid:73)𝐷 𝐶 𝐷(cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝑁𝑃 𝐴 𝐶
1 1 1 1 1 1
(cid:48)(cid:76)𝑁𝑃/⊄/(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶𝐶 𝐴 (cid:73)𝐴 𝐶 ⊂ 𝐴𝐶𝐶 𝐴
1 1
(cid:243) 𝑁/𝑃/(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐶𝐶 𝐴(cid:73) = (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1
(cid:48)(cid:76)𝑀𝑁(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐶//𝐶(cid:33)𝐴(cid:35) 𝑀𝑁∩.𝑁𝑃 𝑁,𝑀𝑁,𝑁𝑃⊂ 𝑀𝑁𝑃
1 1
(cid:22)(cid:245)(cid:118)8-𝑀2(cid:28)𝑁𝑃(cid:87)23-24(cid:24)𝐴𝐶(cid:101)𝐶(cid:246)𝐴·(cid:299)(cid:365)·(cid:258)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73) = = =2 3(cid:73)
= = = =2. 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐶
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝑃𝐷 𝑃𝐵
(1)(cid:158)(cid:47) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) .
𝐸 𝑃𝐶 𝑀 𝐷𝐶 𝐵𝐸𝑀 𝑃𝐴𝐷
(2)(cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:93)(cid:354)(cid:337)(cid:49)(cid:101)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173) //(cid:33)(cid:35) (cid:366)(cid:158)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:355)(cid:52)(cid:262) (cid:36)(cid:318)(cid:10)(cid:158)(cid:220)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:355)(cid:335)(cid:31)(cid:15)(cid:39).
𝑃𝐹
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236) 𝑃𝐷 (cid:237)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:311)(cid:162)(cid:30) 𝐹 //(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐹 (cid:73) 𝑃 / 𝐵 / 𝐶 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)𝐹𝐷(cid:34)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:39)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:135)(cid:40)𝐵𝑀(cid:41)(cid:73)(cid:219)(cid:58)𝑃(cid:33)𝐴𝐷(cid:34)(cid:32)𝐸(cid:36)𝑀(cid:40)(cid:41)(cid:73)𝑃(cid:201)𝐴(cid:154)𝐷(cid:37)(cid:38)(cid:337)(cid:49)(cid:40).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:242)(cid:156) = = =2 3(cid:73)(cid:48)(cid:76) (cid:156)(cid:128)(cid:208)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:73)
(cid:242)(cid:156) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:48)(cid:76)𝐵𝐶 𝐵𝐷 (cid:73)𝐷𝐶 △𝐵𝐶𝐷
(cid:242)(cid:156)𝑀 =𝐷𝐶 =2(cid:73) =2𝐵𝑀3(cid:73)⊥𝐶𝐷
(cid:48)(cid:76)𝐴𝐷 𝐴=𝐵 𝐵=𝐷30 (cid:73)
∘
(cid:48)(cid:76)∠𝐴𝐷𝐵=3∠0𝐴𝐵+𝐷60 =90 (cid:73)
∘ ∘ ∘
∠𝐴𝐷𝐶(cid:48)(cid:76) (cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
(cid:242)(cid:156)𝐴𝐷⊥(cid:33)𝐶𝐷(cid:35) (cid:73)𝐴𝐷 𝐵𝑀(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:243)(cid:47)𝐵(cid:156)𝑀⊄ (cid:36)(cid:71)𝑃(cid:47)𝐴𝐷(cid:73) 𝐴(cid:156)𝐷⊂ (cid:36)(cid:71)𝑃(cid:47)𝐴𝐷(cid:73) 𝐵𝑀 𝑃𝐴𝐷
(cid:48)(cid:76)𝐸 /𝑃/𝐶 (cid:73) 𝑀 𝐷𝐶
(cid:242)(cid:156)𝐴𝐷 (cid:33)𝐸𝑀(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:243) 𝐸𝑀⊄ =𝑃𝐴(cid:73)𝐷 𝐴𝐷⊂(cid:33)(cid:35) 𝑃𝐴𝐷(cid:73) 𝐸(cid:33)𝑀(cid:35) (cid:73)𝑃𝐴𝐷
(cid:48)𝐸(cid:76)𝑀(cid:33)∩(cid:35)𝐵𝑀 /𝑀/(cid:33)(cid:35)𝐸𝑀⊂ (cid:122) 𝐵𝐸𝑀 𝐵𝑀⊂ 𝐵𝐸𝑀
𝐵𝐸𝑀 𝑃𝐴𝐷
(cid:87)2(cid:88)(cid:337)(cid:49)(cid:73) =2(cid:73)
𝑃𝐹
(cid:162) (cid:165) // 𝐹𝐷(cid:164) (cid:72) (cid:73)(cid:288)(cid:162) (cid:165) // (cid:73)(cid:164) (cid:98) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
(cid:159)𝐴(cid:201)(cid:156)𝐴𝑁(cid:48)(cid:52)𝐵(cid:73)𝐶 𝐶𝐷 𝑁 𝑁 𝑁𝐹 𝑃𝐶 𝑃𝐷 𝐹 𝐴𝐹
𝐹
(cid:39) =30 +60 =90 (cid:73)(cid:48)(cid:76) =90 (cid:73)
∘ ∘ ∘ ∘
(cid:48)∠(cid:76)𝐴𝐵𝐶 =120 90 =30 (cid:73) ∠𝑁𝐴𝐵
∘ ∘ ∘
(cid:49)(cid:62) ∠ (cid:205) 𝐷𝐴𝑁 (cid:73) − = tan30 =2 3(cid:73)
3
∘
△𝐴𝐷𝑁 𝑁𝐷 𝐴𝐷⋅
(cid:48)(cid:76) =2 3 2 3=4 3(cid:73)
3 3
𝐶𝑁 −
1
(cid:48)(cid:76) = (cid:73)
2
𝐷𝑁
𝐶𝑁
(cid:39) // (cid:173) = =2(cid:73)
𝑃𝐹 𝐶𝑁
𝑁𝐹 𝑃𝐶 𝐹𝐷 𝐷𝑁
(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:168) = =2(cid:129)(cid:73)(cid:173) // (cid:73)
𝑃𝐹 𝐶𝑁
(cid:39) (cid:33)𝐹(cid:35)𝐷 𝐷𝑁(cid:73) (cid:33)(cid:35) 𝑁𝐹 (cid:73) 𝑃𝐶 (cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:243)𝑁𝐹⊄// (cid:73)𝑃𝐵𝐶 (cid:33)𝑃𝐶(cid:35)⊂ (cid:73)𝑃𝐵𝐶 (cid:33)(cid:35)𝑁𝐹 (cid:73) /𝑃/𝐵(cid:33)𝐶(cid:35) (cid:73)
𝐴𝑁 𝐵𝐶= 𝐴(cid:73)𝑁⊄ (cid:33)𝑃(cid:35)𝐵𝐶 𝐵𝐶(cid:73)⊂ (cid:33)𝑃𝐵(cid:35)𝐶 𝐴𝑁(cid:73) 𝑃𝐵𝐶
𝐴(cid:48)𝑁(cid:76)∩(cid:33)𝑁(cid:35)𝐹 𝑁//𝑁(cid:33)𝐹(cid:35)⊂ (cid:73)𝐴(cid:242)𝑁𝐹(cid:156) 𝐴𝑁⊂(cid:33)(cid:35) 𝐴𝑁𝐹(cid:73)
(cid:48)(cid:76) //𝐴(cid:33)𝑁(cid:35)𝐹 . 𝑃𝐵𝐶 𝐴𝐹⊂ 𝐴𝑁𝐹
(cid:22)(cid:245)𝐴(cid:118)𝐹8-3(cid:28)(cid:87)𝑃2𝐵3𝐶-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:301)(cid:256)(cid:301)(cid:364)·(cid:258)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73)(cid:265)(cid:35) (cid:156)(cid:250)(cid:110)(cid:117)(cid:73)(cid:47) (cid:73) (cid:68)
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹(cid:182)(cid:156) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:285)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = .
𝐴𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐶𝐷∩ 𝑃𝐵𝐸 𝑙
(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
(2)(cid:30)(cid:31)(cid:10)𝐷𝐹// (cid:122) 𝑃𝐵𝐸
𝐷𝐹 𝑙
(3)(cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:93)(cid:354)(cid:337)(cid:49)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173) //(cid:33)(cid:35) (cid:366)(cid:158)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:52)(cid:262) (cid:36)(cid:318)(cid:122)(cid:158)(cid:220)(cid:337)(cid:49)(cid:73)(cid:335)(cid:31)(cid:15)(cid:39).
𝐴𝑁
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236) 𝐴𝐵 (cid:237)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:295)PB 𝑁 (cid:36)(cid:71)(cid:47) 𝐸 Q 𝑁 (cid:73)(cid:267)(cid:268)Q 𝐹𝐵 F(cid:73) 𝐷 EQ(cid:73)(cid:39)(cid:21)(cid:185)(cid:154)(cid:30)𝑁𝐵(cid:173)(cid:207)(cid:208)(cid:117)DEQF(cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:154)(cid:30)(cid:173)
// (cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:154)(cid:30)(cid:173)(cid:219)(cid:180)(cid:122)
𝐷(cid:87)𝐹2(cid:88)𝑄(cid:39)𝐸(cid:87)1(cid:88)(cid:300)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:154)(cid:30)(cid:173)(cid:219)(cid:180)(cid:122)
(cid:87)3(cid:88)(cid:295)AB(cid:36)(cid:71)(cid:47)N(cid:73)(cid:39)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:154)(cid:173) // (cid:73)(cid:288)(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:42)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:173) //(cid:33)(cid:35)DBF(cid:73)(cid:74)(cid:154)
𝐸𝑁 𝐵𝐷 𝐸𝑁
(cid:173) =1(cid:136)
𝐴𝑁
(cid:22)𝑁(cid:70)𝐵(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:295)PB(cid:36)(cid:71)(cid:47)Q(cid:73)(cid:267)(cid:268)QF(cid:73)EQ(cid:73)
(cid:242)(cid:156)(cid:47)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:156)AD(cid:73)PC(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1
(cid:39)(cid:21)(cid:185)(cid:154)(cid:30)(cid:173) // (cid:73)(cid:190) = = (cid:73) // (cid:73)
2
𝑄𝐹 𝐵𝐶 𝑄𝐹 𝐵𝐶 𝑄𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐸
(cid:48)(cid:76) // (cid:73)(cid:190) = (cid:73)
(cid:48)(cid:76)𝑄(cid:207)𝐸(cid:208)(cid:117)𝐷𝐸DEQF𝑄(cid:156)𝐸(cid:33)𝐷(cid:34)𝐸(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
(cid:172) (cid:33)(cid:35)PBE(cid:73) (cid:33)(cid:35)PBE(cid:73) 𝐷𝐹 𝑄𝐸
(cid:48)𝐷(cid:76)𝐹⊄//(cid:33)(cid:35)PBE𝑄.𝐸⊂
𝐷𝐹
(cid:87)2(cid:88)(cid:285)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73)
𝑃𝐶𝐷∩ 𝑃𝐵𝐸 𝑙(cid:39)(cid:87)1(cid:88)(cid:154)(cid:173) //(cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76) // . 𝐷𝐹 𝑃𝐵𝐸 𝐷𝐹⊂ 𝑃𝐶𝐷
(cid:87)3(cid:88)𝐷(cid:49)𝐹(cid:232)𝑙AB(cid:234)(cid:337)(cid:49)(cid:47)N(cid:156)AB(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:267)(cid:268)EN(cid:73)BD(cid:73)
(cid:242)(cid:156)E(cid:156)AD(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝐸𝑁 𝐵𝐷 𝐸𝑁⊄ 𝐹𝐵𝐷 𝐵𝐷⊂ 𝐹𝐵𝐷
𝐸𝑁 𝐹𝐵𝐷
(cid:146)(cid:129) =1(cid:136)
𝐴𝑁
𝑁𝐵
(cid:101)(cid:59)(cid:81)(cid:20)(cid:21)
1(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:246)·(cid:372)(cid:256)·(cid:316)(cid:43)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:194)(cid:145)(cid:220)(cid:193)(cid:36)(cid:62)(cid:32)l(cid:73)m(cid:73)n(cid:73)(cid:190) (cid:73)(cid:159)“ ”(cid:93)“ ”(cid:36)(cid:87) (cid:88)
A(cid:136)(cid:373)(cid:68)(cid:220)(cid:374)(cid:63)(cid:145)(cid:327) B(cid:136)(cid:374)(cid:63)(cid:220)(cid:373)(cid:68)(cid:145)(cid:327) 𝑙∥𝑚 𝑚∥𝑛 𝑙∥𝑛
C(cid:136)(cid:373)(cid:63)(cid:145)(cid:327) D(cid:136)(cid:375)(cid:220)(cid:373)(cid:68)(cid:376)(cid:220)(cid:374)(cid:63)(cid:145)(cid:327)
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:72)(cid:32)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:3)(cid:56)(cid:73)(cid:219)(cid:58)(cid:373)(cid:63)(cid:145)(cid:327)(cid:36)(cid:38)(cid:200)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:70)(cid:10)(cid:158) (cid:73)(cid:243) (cid:73)(cid:159) (cid:73)(cid:244)(cid:373)(cid:68)(cid:40)(cid:196)(cid:324)(cid:73)
(cid:218)(cid:100)(cid:73)(cid:158) (cid:73)(cid:243) 𝑚(cid:73)∥𝑛(cid:159) 𝑙∥(cid:73)𝑚(cid:244)(cid:374)(cid:63)𝑙∥(cid:40)𝑛(cid:196)(cid:324).
(cid:244)“ ”𝑙(cid:93)∥“𝑛 ”𝑙(cid:36)∥(cid:373)𝑚(cid:63)(cid:145)𝑚(cid:327).∥𝑛
(cid:244)(cid:20)𝑚(cid:10)∥C𝑛. 𝑙∥𝑛
2(cid:136)(cid:87)2024·(cid:95)(cid:377)(cid:378)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:285) (cid:73) (cid:93)(cid:109)(cid:161)(cid:220)(cid:193)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:73) (cid:73) (cid:93)(cid:109)(cid:145)(cid:220)(cid:193)(cid:36)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:190) = (cid:159)“ // ”(cid:93)“ //
(cid:190) // ”(cid:36)(cid:87) (cid:88) 𝛼 𝛽 𝑚 𝑙 𝛼∩𝛽 𝑙 𝑚 𝑙 𝑚 𝛽
𝑚A(cid:136)𝛼(cid:373)(cid:68)(cid:220)(cid:374)(cid:63)(cid:145)(cid:327) B(cid:136)(cid:373)(cid:68)(cid:374)(cid:63)(cid:145)(cid:327)
C(cid:136)(cid:374)(cid:63)(cid:220)(cid:373)(cid:68)(cid:145)(cid:327) D(cid:136)(cid:375)(cid:220)(cid:373)(cid:68)(cid:376)(cid:220)(cid:374)(cid:63)(cid:145)(cid:327)
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:21)(cid:185)(cid:73)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:72)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:219)(cid:58)(cid:373)(cid:68)(cid:145)(cid:327)(cid:59)(cid:374)(cid:63)(cid:145)(cid:327)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:110)(cid:199)(cid:73)(cid:201)
(cid:154)(cid:52)(cid:70).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:168) // (cid:129)(cid:73) (cid:154)(cid:379)(cid:49) (cid:95)(cid:46)(cid:380) (cid:95)(cid:73)(cid:244)(cid:220)(cid:379)(cid:179)(cid:262) // (cid:190) // (cid:73)(cid:48)(cid:76)(cid:373)(cid:68)(cid:40)(cid:220)(cid:196)(cid:324)(cid:122)
𝑚 𝑙 𝑚 𝛼 𝛽 𝑚 𝛽 𝑚 𝛼(cid:168) // (cid:190) // (cid:129)(cid:73)(cid:285)(cid:337)(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:73) (cid:73)(cid:190) // (cid:73)
(cid:242)(cid:156)𝑚 𝛽// 𝑚(cid:73)(cid:48)𝛼(cid:76) // (cid:73)(cid:238)(cid:167)(cid:62)(cid:32)𝑛(cid:72)⊂(cid:33)𝛼 (cid:35)𝑛(cid:33)⊄𝛽(cid:34)(cid:36)(cid:40)𝑛(cid:41)(cid:38)𝑚(cid:15)(cid:73)(cid:154)(cid:133) // (cid:73)
(cid:48)(cid:76)𝑚//𝛽(cid:73)(cid:201)(cid:374)(cid:63)𝑛(cid:40)𝛽(cid:196)(cid:324)(cid:73)(cid:244)“ // ”(cid:93)“ // (cid:190) // ”(cid:36)(cid:374)(cid:63)(cid:220)𝑛(cid:373)(cid:68)𝑙 (cid:145)(cid:327).
(cid:244)(cid:20)𝑚(cid:10)C.𝑙 𝑚 𝑙 𝑚 𝛽 𝑚 𝛼
3(cid:136)(cid:87)2024·(cid:332)(cid:91)(cid:381)(cid:284)·(cid:123)(cid:225)(cid:88)(cid:171)(cid:133) (cid:156)(cid:33)(cid:35) (cid:144)(cid:36)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:159)(cid:246)(cid:382)(cid:113)(cid:21)(cid:71)(cid:250)(cid:368)(cid:36)(cid:93)(cid:87) (cid:88)
A(cid:136)(cid:337)(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:73)(cid:214)(cid:173) (cid:73)𝑚 𝛼 B(cid:136)(cid:337)(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:73)(cid:214)(cid:173) (cid:73) //
C(cid:136)(cid:337)(cid:49)(cid:62)(cid:32)𝑛(cid:73)(cid:214)(cid:173)𝑛/⊥/𝑚(cid:73)𝑛/⊥/ 𝛼 D(cid:136)(cid:337)(cid:49)(cid:62)(cid:32)𝑛(cid:73)(cid:214)(cid:173)𝑛/⊥/𝑚(cid:73)𝑛 𝛼
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)𝑛 (cid:21)(cid:185)(cid:73)𝑛(cid:219)(cid:58)𝑚(cid:32)(cid:35)𝑛 (cid:33)𝛼(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:72)(cid:40)(cid:41)(cid:73)(cid:383)(cid:384)𝑛(cid:37)(cid:38)(cid:73)(cid:201)𝑛 (cid:154)𝑚(cid:52)(cid:70)𝑛.⊥𝛼
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:195)(cid:98)A(cid:71)(cid:73)(cid:168)(cid:62)(cid:32) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:385)(cid:164)(cid:129)(cid:73)(cid:146)(cid:129)(cid:220)(cid:337)(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:73)(cid:214)(cid:173) (cid:73) (cid:73)(cid:48)(cid:76)A(cid:386)(cid:387)(cid:122)
(cid:195)(cid:98)B(cid:71)(cid:73)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:73)(cid:168) (cid:129)𝑚(cid:73)(cid:162)(cid:62)(cid:32)𝛼 (cid:165)(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:214)(cid:173) = 𝑛(cid:73) 𝑛⊥𝑚 𝑛⊥𝛼
(cid:242)(cid:156) (cid:73) (cid:73)(cid:48)(cid:76)𝑚⊥𝛼(cid:73) 𝑛 𝛽 𝛼∩𝛽 𝑎
(cid:243)(cid:242)𝑚(cid:156)⊥𝛼 (cid:73)𝑎⊂(cid:154)𝛼(cid:173) // (cid:73)𝑚(cid:242)⊥(cid:156)𝑎 (cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
(cid:168) (cid:72)(cid:33)𝑚(cid:35)⊥𝑛(cid:385)(cid:164)(cid:129)(cid:73)𝑎 (cid:285)𝑛(cid:385)(cid:357)(cid:156)𝑛(cid:73)⊄𝛼(cid:49),𝑎(cid:62)⊂(cid:32)𝛼 (cid:234)(cid:295)(cid:101)𝑛(cid:47)𝛼(cid:73)(cid:165) (cid:73)(cid:221)(cid:357)(cid:156) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
(cid:49)𝑚(cid:33)(cid:35) (cid:95)(cid:73)𝛼(cid:162)(cid:47) (cid:165)(cid:62)(cid:32) 𝐴(cid:73) 𝑚 𝑃 𝑃𝑂⊥𝛼 𝑂 𝑂𝐴
(cid:242)(cid:156) 𝛼 (cid:73)(cid:190) 𝐴 =𝑎⊥(cid:73)𝑂𝐴 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:243)(cid:242)𝑎(cid:156)⊥𝑃𝑂 (cid:33)(cid:35)𝑃𝑂∩(cid:73)𝑂𝐴(cid:48)(cid:76)𝑂 𝑃𝑂,𝑂(cid:73)𝐴(cid:201)⊂ 𝑃(cid:73)𝑂𝐴 𝑎⊥ 𝑃𝑂𝐴
(cid:49)(cid:162) (cid:135)𝑃𝐴(cid:368)⊂(cid:38)(cid:36)(cid:33)𝑃𝑂(cid:35)𝐴(cid:95)(cid:73)(cid:162)𝑎(cid:47)⊥(cid:165)𝑃𝐴(cid:62)(cid:32)𝑎(cid:73)⊥(cid:214)𝑚(cid:173) (cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
(cid:242)(cid:156)𝑎 𝑚 (cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)(cid:48)𝑃(cid:76)(cid:337)(cid:49)(cid:62)𝑛(cid:32) (cid:73)(cid:214)𝑛(cid:173)⊥𝑚 (cid:73) 𝑛// 𝑎
(cid:158)(cid:62)𝑛(cid:32)⊄𝛼/,𝑎/⊂(cid:73)𝛼(cid:146)(cid:129)(cid:337)(cid:49)𝑛 (cid:33)𝛼(cid:35) // (cid:190) (cid:73)𝑛(cid:49)(cid:62)(cid:32)𝑛⊥(cid:295)𝑚(cid:101)(cid:47)𝑛 (cid:73)𝛼
(cid:49)(cid:33)(cid:35)𝑚(cid:95)(cid:162)𝛼 (cid:165)(cid:62)(cid:32) (cid:73)𝛽(cid:238)(cid:167)𝛼(cid:35)𝑚(cid:35)⊂(cid:33)𝛽(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:181)𝑚 // (cid:73)(cid:48)𝑄(cid:76)B(cid:250)(cid:368)(cid:122)
𝛽 𝑄 𝑛⊥𝑚 𝑛 𝛼
(cid:195)(cid:98)C(cid:71)(cid:73)(cid:168)(cid:62)(cid:32) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:163)(cid:164)(cid:129)(cid:73)(cid:158) // (cid:73)(cid:159)(cid:62)(cid:32) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:374)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:48)(cid:76)C(cid:386)(cid:387)(cid:122)
(cid:195)(cid:98)D(cid:71)(cid:73)(cid:168) // (cid:129)𝑚(cid:73)(cid:158) /𝛼/ (cid:73)(cid:154)(cid:173) //𝑛 (cid:46)𝑚 (cid:73)(cid:48)𝑛(cid:76)D(cid:386)(cid:387)𝛼.
(cid:244)(cid:20)(cid:10)B. 𝑚 𝛼 𝑛 𝑚 𝑛 𝛼 𝑛⊂𝛼
4(cid:136)(cid:87)2023·(cid:319)(cid:270)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:49)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:71)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:59) (cid:36)(cid:299)(cid:331)(cid:73)(cid:76)(cid:246)(cid:72)(cid:62)(cid:32) (cid:33)(cid:34)
(cid:36)(cid:93)(cid:87) (cid:88) 𝐷−𝐴𝐵𝐶 𝑀,𝑁 △𝐴𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐷 𝑀𝑁
A(cid:136)(cid:62)(cid:32) B(cid:136)(cid:33)(cid:35) C(cid:136)(cid:33)(cid:35) D(cid:136)(cid:33)(cid:35)
𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐶𝐷(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:295) (cid:71)(cid:47)(cid:156) (cid:73)(cid:39) (cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:135) (cid:36)(cid:299)(cid:331)(cid:73)(cid:30)(cid:173) // (cid:73)(cid:219)(cid:58) (cid:220)(cid:33)(cid:34) (cid:73)
(cid:154)(cid:37)(cid:38)A(cid:386)(cid:387)(cid:122)𝐶(cid:204)𝐷(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)𝐸 (cid:34)(cid:36)𝑀(cid:37)(cid:38)𝑁(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:30)△(cid:173)𝐴𝐶𝐷//(cid:33)△(cid:35)𝐵𝐶𝐷 (cid:73)(cid:154)(cid:37)(cid:38)B(cid:250)𝑀(cid:368)𝑁(cid:122)(cid:219)𝐴𝐵(cid:58) (cid:33)𝐶(cid:35)𝐷 (cid:73)𝐴𝐵
(cid:33)(cid:35) (cid:135) (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:154)(cid:37)(cid:38)𝑀C𝑁(cid:59)D(cid:386)(cid:387)𝐴(cid:136)𝐵𝐷 𝑀∈ 𝐴𝐶𝐷 𝑀∉
(cid:22)(cid:70)𝐵(cid:125)𝐶(cid:162)𝐷(cid:241)𝑁(cid:28)∈(cid:142)(cid:151)(cid:48)𝐵(cid:247)𝐶𝐷(cid:73)(cid:295)𝑁∉(cid:71)(cid:47)(cid:156)𝐴𝐶𝐷(cid:73)(cid:267)(cid:219) (cid:59) (cid:73)
𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐸 𝐵2𝐸 2
(cid:39) (cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:135) (cid:36)(cid:299)(cid:331)(cid:73)(cid:154)(cid:173) = (cid:73) = (cid:73)
1 1
𝐴𝑀 𝐵𝑁
𝑀 𝑁 △𝐴𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐷 𝑀𝐸 𝑁𝐸
1 1 1
(cid:159) = (cid:73) = (cid:73)(cid:201) = = (cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
3 3 3
𝐸𝑀 𝐸𝑁 𝐸𝑀 𝐸𝑁
(cid:243)(cid:39)𝐸𝐴 (cid:220)(cid:33)𝐸𝐵(cid:34) (cid:73)(cid:244)𝐸
A
𝐴 (cid:386)𝐸(cid:387)𝐵(cid:122) 𝑀𝑁 𝐴𝐵
(cid:39) 𝐶/𝐷/ (cid:73)(cid:190)𝐴𝐵 (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)𝑀(cid:76)𝑁B(cid:250)𝐴(cid:368)𝐵 (cid:122) 𝑀𝑁⊄ 𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵⊂ 𝐴𝐵𝐷 𝑀𝑁 𝐴𝐵𝐷
(cid:242)(cid:156) (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:220)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:48)(cid:76)C(cid:386)(cid:387)(cid:122)
(cid:242)(cid:156)𝑀∈(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶𝐷(cid:73)𝑁∉(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶𝐷(cid:73)(cid:48)(cid:76)𝑀𝑁(cid:72)(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶𝐷(cid:220)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:48)(cid:76)D(cid:386)(cid:387)(cid:136)
(cid:244)(cid:20)(cid:10)𝑁∈B(cid:136) 𝐵𝐶𝐷 𝑀∉ 𝐵𝐶𝐷 𝑀𝑁 𝐵𝐶𝐷
5(cid:136)(cid:87)2024·(cid:301)(cid:256)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:62)(cid:194)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:47)D(cid:73)E(cid:68)(cid:182)(cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:73)
1 1 1 1 1
= = = 2 = =2 =2(cid:73)(cid:47) 𝐴(cid:356)𝐵(cid:357)𝐶−𝐴 𝐵= 𝐶 (0< <1)(cid:73)(cid:158) (cid:33)𝐴𝐴(cid:35),𝐶𝐶 (cid:73)(cid:159) (cid:36)(cid:318)(cid:156)
1 1 1
𝐴(cid:87)𝐵 (cid:88)𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴 𝐷 𝐶𝐸 𝐶 𝐸 𝐹 𝐵𝐹 𝜆𝐵𝐷 𝜆 𝐵 𝐸∥ 𝐴𝐶𝐹 𝜆
2 1 1 1
A(cid:136) B(cid:136) C(cid:136) D(cid:136)
3 2 3 4
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:213)(cid:174)(cid:162)(cid:62)(cid:32) (cid:190)(cid:72)(cid:62)(cid:32) (cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:102)(cid:172)(cid:154)(cid:76)(cid:368)(cid:38) (cid:47)(cid:50)(cid:51)(cid:73)(cid:111)
1
𝐴𝐶 𝐵 𝐸 𝐹(cid:172)(cid:52)(cid:70)(cid:201)(cid:154).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:49) (cid:234)(cid:295)(cid:101)(cid:47) (cid:214)(cid:173) = (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
1 1
(cid:72) (cid:164)(cid:98)(cid:101)(cid:47)𝐵𝐵(cid:73)(cid:201)(cid:156)(cid:48)(cid:52)𝐺(cid:87)(cid:142)(cid:151)𝐵(cid:48)𝐺(cid:247)(cid:88)2𝐵.𝐺 𝐶𝐺,𝐴𝐺
𝐴𝐺 𝐵𝐷 𝐹
(cid:30)(cid:31)(cid:142)(cid:246)(cid:10)
(cid:238)(cid:167)(cid:171)(cid:133) =2 =2(cid:73) = =3(cid:73)
1 1 1
(cid:49)(cid:62)(cid:194)𝐶(cid:232)𝐸(cid:233) 𝐶 𝐸 ∴(cid:71)𝐶(cid:73)𝐶 𝐵/𝐵/ (cid:73)(cid:190) = =2(cid:73)
1 1 1 1 1
∴(cid:207)(cid:208)(cid:117) 𝐴𝐵(cid:156)𝐶−(cid:33)𝐴(cid:34)𝐵(cid:207)𝐶(cid:208)(cid:117)(cid:73)𝐵 𝐺 𝐶𝐸 (cid:73) 𝐵 𝐺 𝐶𝐸
1 1
∴ (cid:33)𝐵(cid:35)𝐺𝐶𝐸 (cid:73) (cid:33)(cid:35) ∴(cid:73)𝐵 𝐸∥𝐶𝐺//(cid:33)(cid:35)
1 1
(cid:201)∵𝐵 𝐺/⊄/(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶𝐺. 𝐶𝐺⊂ 𝐴𝐶𝐺 ∴𝐵 𝐺 𝐴𝐶𝐺
1
𝐵 𝐺 𝐴𝐶𝐹 1
(cid:243) (cid:73) = =
2
𝐵𝐹 𝐵𝐺
△𝐵𝐹𝐺∽△𝐷𝐹𝐴 ∴𝐷𝐹 𝐷𝐴
1 1
= (cid:73)(cid:201) (cid:36)(cid:318)(cid:156) .
3 3
∴𝐵𝐹 𝐵𝐷 𝜆
(cid:244)(cid:20)(cid:10)C.
6(cid:136)(cid:87)2024·(cid:207)(cid:308)(cid:388)(cid:284)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:49)(cid:194)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:73)
1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐵𝐵 𝐵𝐵 3𝐵𝐷 𝑀 𝐴 𝐶
(cid:190) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:234)(cid:73)(cid:158) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159) =(cid:87) (cid:88)
1 1 1 1
𝑁𝐵1
𝑀 𝐴 𝐶 𝑁 𝐵𝐵 𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐷𝐶 𝑁𝐵
A(cid:136)2 B(cid:136)3 C(cid:136)4 D(cid:136)5
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:171)(cid:133)(cid:145)(cid:327)(cid:300)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:204)(cid:27)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:219)(cid:58)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)
(cid:117)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:166)(cid:21)(cid:185)(cid:73)(cid:165)(cid:262)(cid:151)(cid:117)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:285) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1
(cid:242)𝑃(cid:156) 𝐴(cid:156)𝐴 (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1 1
(cid:48)(cid:76)𝑀 /𝐴/ 𝐶 ,
1
(cid:243) 𝑀𝑃(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶 (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1
(cid:48)𝑀(cid:76)𝑃⊄//(cid:33)𝐴(cid:35)𝐷𝐶 𝐴(cid:73)𝐶 ⊂ 𝐴𝐷𝐶
1
(cid:162)(cid:47)𝑀(cid:165)𝑃 // 𝐴𝐷(cid:73)𝐶(cid:164) (cid:98) ,(cid:159)(cid:121)(cid:133) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1
(cid:243)(cid:242)𝑃(cid:156) 𝑃𝑁 𝐴𝐷= 𝐵𝐵 (cid:33)𝑁(cid:35) (cid:73)𝑃𝑁 (cid:33)𝐴(cid:35)𝐷𝐶 (cid:73)
(cid:48)(cid:76)(cid:33)𝑀(cid:35)𝑃∩𝑃/𝑁/(cid:33)𝑃(cid:35),𝑀𝑃⊂. 𝑃𝑀𝑁 𝑃𝑁⊂ 𝑃𝑀𝑁
1
(cid:243) (cid:33)𝑃𝑀(cid:35)𝑁 , 𝐴𝐷𝐶
(cid:48)𝑀(cid:76)𝑁⊂//(cid:33)(cid:35)𝑃𝑀𝑁 .
1
(cid:242)(cid:156)𝑀𝑁// , 𝐴𝐷𝐶
(cid:48)(cid:76)𝐴(cid:207)𝑃(cid:208)(cid:117)𝐷𝑁 (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
𝐴𝑃𝑁𝐷1 1
(cid:48)(cid:76) = = = ,
2 1 2 1
𝐴𝑃 𝐷𝑁 𝐴𝐴 𝐵𝐵
(cid:242)(cid:156) = (cid:73)
1
𝐵𝐵 3𝐵𝐷 1 1 5
(cid:48)(cid:76) = + = + = ,
3 1 2 1 6 1
𝑁𝐵 𝐷𝐵 𝐷𝑁 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵
5 1
= = ,
1 1 6 1 6 1
𝑁𝐵 𝐵𝐵5− 𝐵𝐵 𝐵𝐵
(cid:48)(cid:76) =6 1=5.
1
𝑁𝐵1 6𝐵𝐵1
(cid:244)(cid:20) 𝑁 (cid:10) 𝐵 D. 𝐵𝐵
7(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:301)(cid:256)·(cid:258)(cid:259)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:93)(cid:101)(cid:161)(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:389)(cid:390)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:177)(cid:161)(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:71)(cid:76)(cid:246)(cid:207)(cid:161)(cid:113)(cid:21)(cid:71)(cid:73)(cid:64)
(cid:113)(cid:21)(cid:36)(cid:391)(cid:9)(cid:93)(cid:87) (cid:88)//(cid:33)(cid:35) (cid:122)
①𝐵𝑀//(cid:33)(cid:35)𝐴𝐷𝐸(cid:122)
②𝐶(cid:33)𝑁(cid:35) /𝐴/𝐵(cid:33)𝐹(cid:35) (cid:122)
③(cid:33)(cid:35)𝐵𝐷𝑀//(cid:33)(cid:35)𝐴𝐹𝑁.
④A(cid:136)𝐵𝐷𝐸 𝑁𝐶𝐹B(cid:136) C(cid:136) D(cid:136)
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)①(cid:237)②(cid:28)③(cid:392)④(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:33)①(cid:35)②(cid:389)③(cid:390)(cid:151)(cid:254)(cid:393)(cid:196)(cid:250)(cid:110)(cid:248)①②④ (cid:73)(cid:173)(cid:262)②③//(cid:33)④(cid:35) (cid:73)(cid:37)(cid:42) (cid:250)(cid:368)(cid:122)(cid:39)
(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:173)(cid:262) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:37)𝐴(cid:42)𝐵𝐶𝐷(cid:250)−𝐸(cid:368)𝐹(cid:122)𝑀𝑁(cid:39) // 𝐵𝑀(cid:73)(cid:173)(cid:262) 𝐴𝐷//𝑁(cid:33)𝐸(cid:35) ①(cid:73)(cid:193)(cid:15) //
(cid:33)(cid:35)𝐷𝐶𝑀(cid:73)𝑁(cid:30)(cid:31)(cid:33)𝐴(cid:35)𝐵𝐹𝐸 //(cid:33)(cid:35)𝐶𝑁 (cid:73)(cid:37)𝐴(cid:42)𝐵𝐹𝐸(cid:250)(cid:368)(cid:122)②(cid:39) // (cid:73)𝐵𝐷 /𝐹/𝑁 (cid:73)(cid:190) 𝐵𝐷 =𝐴𝐹(cid:73)𝑁(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:35)𝐵𝑀 //
(cid:33)(cid:35)𝐴𝐹𝑁(cid:73)(cid:37)(cid:42) (cid:250)𝐵(cid:368)𝐷(cid:136)𝑀 𝐴𝐹𝑁 ③ 𝐵𝐷 𝐹𝑁 𝐵𝐸 𝐶𝑁 𝐵𝐷∩𝐵𝐸 𝐵 𝐵𝐷𝐸
(cid:22)(cid:70)(cid:125)𝑁𝐶(cid:162)𝐹(cid:241)(cid:28)(cid:392)④(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:389)(cid:390)(cid:151)(cid:254)(cid:393)(cid:196)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:73)(cid:142)(cid:151)1(cid:48)(cid:247)(cid:122)
(cid:195)(cid:98) (cid:73)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) 𝐴𝐵(cid:73)𝐶𝐷−𝐸𝐹𝑀𝑁
①//(cid:33)(cid:35) 𝐵𝐶𝑀(cid:73)𝐹 (cid:250)(cid:368)𝐴(cid:122)𝐷𝑁𝐸 𝐵𝑀⊂ 𝐵𝐶𝑀𝐹
∴(cid:195)𝐵(cid:98)𝑀 (cid:73)(cid:33)𝐴(cid:35)𝐷𝑁𝐸 ①//(cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
/②/(cid:33)(cid:35) 𝐷𝐶(cid:73)𝑀𝑁 (cid:250)(cid:368)(cid:122)𝐴𝐵𝐹𝐸 𝐶𝑁⊂ 𝐷𝐶𝑀𝑁
∴(cid:195)𝐶(cid:98)𝑁 (cid:73)(cid:142)𝐴(cid:151)𝐵𝐸2𝐹(cid:48)(cid:247)②(cid:73)(cid:121)(cid:133) = // (cid:73)(cid:159)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
(cid:159) ③/ / (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)𝐷𝑁 𝐵𝐹(cid:33),𝐷(cid:35)𝑁 𝐵𝐹(cid:73) //(cid:33)(cid:35)𝐵𝐷𝑁𝐹(cid:122)
(cid:193)𝐵(cid:15)𝐷(cid:154)(cid:173)𝐹(cid:207)𝑁(cid:208)𝐵(cid:117)𝐷⊄ (cid:156)𝐴𝐹(cid:33)𝑁(cid:34)(cid:207)𝐹𝑁(cid:208)⊂(cid:117)(cid:73)(cid:159)𝐴𝐹𝑁//∴𝐵𝐷(cid:73) 𝐴𝐹𝑁
(cid:242)(cid:156) (cid:73)𝐴𝐵𝑀𝑁 (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159) /𝐵/𝑀(cid:33)(cid:35)𝐴𝑁 (cid:73)(cid:190) = (cid:73)
𝐵𝑀⊄(cid:33)𝐴(cid:35)𝐹𝑁 𝐴𝑁(cid:73)⊂(cid:33)(cid:35)𝐴𝐹𝑁//(cid:33)(cid:35)𝐵𝑀 (cid:73) 𝐴(cid:250)𝐹𝑁(cid:368)(cid:122) 𝐵𝐷∩𝐵𝑀 𝐵
𝐵(cid:195)𝐷(cid:98),𝐵𝑀(cid:73)⊂(cid:142)(cid:151)𝐵3𝐷(cid:48)𝑀(cid:247)(cid:73)∴(cid:39) 𝐵(cid:133)𝐷𝑀 // (cid:73)𝐴𝐹(cid:242)𝑁(cid:156)③ (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76)④//(cid:33)(cid:35) (cid:73) ③ 𝐵𝐷 𝐹𝑁 𝐵𝐷⊄ 𝑁𝐶𝐹 𝐹𝑁⊂ 𝑁𝐶𝐹
(cid:242)(cid:156)𝐵𝐷// 𝑁𝐶=𝐹 (cid:73)(cid:48)(cid:76)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
(cid:48)(cid:76)𝐵𝐶//𝐸𝑁(cid:73),𝐵𝐶(cid:242)(cid:156)𝐸𝑁 (cid:33)(cid:35) (cid:73)𝐵𝐶𝑁𝐸(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:243)(cid:242)𝐵(cid:156)𝐸 𝐶𝑁 = 𝐵(cid:73)𝐷(cid:190)⊄ 𝑁𝐶𝐹(cid:33)(cid:35)𝐶𝑁⊂ (cid:73) 𝑁𝐶𝐹 𝐵𝐸 𝑁𝐶𝐹
𝐵𝐷∩𝐵𝐸 𝐵 𝐵𝐷,𝐵𝐸⊂ 𝐵𝐷𝐸(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:250)(cid:368)(cid:136)
∴(cid:57)(cid:234)(cid:73)𝐵(cid:250)𝐷𝐸(cid:368)(cid:36)(cid:113)(cid:21)𝑁(cid:391)𝐶𝐹(cid:9)(cid:93)∴④ (cid:136)
(cid:244)(cid:20)(cid:10)A(cid:136) ①②③④
8(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:246)·(cid:207)(cid:308)(cid:196)(cid:186)·(cid:258)(cid:259)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73)(cid:171)(cid:133)E(cid:73)F(cid:73)G(cid:73)H(cid:73)(cid:68)(cid:182)(cid:93)
1 1 1 1 1
(cid:73) (cid:73) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:159)(cid:246)(cid:382)(cid:219)(cid:180)(cid:71)(cid:386)(cid:387)(cid:36)(cid:93)𝐴𝐵(cid:87)𝐶𝐷 − (cid:88)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴
1 1 1 1 1
𝐵 𝐴𝐷 𝐵 𝐶 𝐶 𝐷
A(cid:136)C(cid:73)G(cid:73) (cid:73)F(cid:207)(cid:47)(cid:203)(cid:35) B(cid:136)(cid:62)(cid:32) //(cid:33)(cid:35)
1 1 1
C(cid:136)(cid:33)(cid:35) 𝐴//(cid:33)(cid:35) D(cid:136)(cid:62)(cid:32)𝐸E𝐹F(cid:135)HG𝐵(cid:48)𝐷𝐷(cid:196)𝐵(cid:205)(cid:36)(cid:250)(cid:394)(cid:318)(cid:156) 2
1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝐻𝐶(cid:238)𝐺(cid:167)(cid:32)(cid:32)(cid:33)𝐵𝐷(cid:34)𝐷(cid:201)𝐵(cid:154)(cid:37)(cid:42)A(cid:73)(cid:238)(cid:167)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:173)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:201)(cid:154)(cid:37)(cid:42)B(cid:73)(cid:238)(cid:167)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:201)(cid:154)(cid:173)
(cid:395)(cid:396)(cid:37)(cid:42)C(cid:73)(cid:238)(cid:167)(cid:235)(cid:35)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:104)(cid:397)(cid:199)(cid:213)(cid:174)(cid:169)(cid:205)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:39)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:208)(cid:205)(cid:3)(cid:56)(cid:52)(cid:70)D.
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:295) (cid:71)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) ,
1
(cid:39)(cid:98) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)𝐵𝐶(cid:73)(cid:49)(cid:250)𝑀(cid:110)(cid:248)(cid:71)(cid:154)𝐵(cid:133)𝑀,𝐹𝑀// ,
1 1
(cid:243) 𝐹 =𝐴𝐷 // (cid:73)(cid:48)(cid:76)(cid:207)(cid:208)(cid:117)𝐴 𝐹 𝐵(cid:156)𝑀(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:244) // ,
1 1 1 1
(cid:242)𝐵(cid:146)𝐺 //𝐶𝑀,𝐵(cid:73)𝐺(cid:244)C𝐶(cid:73)𝑀G(cid:73) (cid:73)F(cid:207)(cid:47)𝐵(cid:203)𝐺𝐶(cid:35)𝑀(cid:73)(cid:244)A(cid:250)(cid:368)(cid:73), 𝐵 𝑀 𝐶𝐺
1 1
𝐶𝐺 𝐴 𝐹 𝐴(cid:295) (cid:71)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) ,
(cid:39)𝐴(cid:98)𝐵 𝑁(cid:286)(cid:156)(cid:71)(cid:47)𝐹(cid:73)𝑁,(cid:48)𝐸𝑁(cid:76) // // ,
1
𝑁(cid:33),𝐸(cid:35),𝐹 (cid:73) (cid:33)(cid:35)𝐹𝑁 𝐵𝐷,𝐸(cid:73)𝑁(cid:48)𝐵(cid:76)𝐵 //(cid:33)(cid:35) ,
1 1 1 1 1 1
(cid:193)𝐹𝑁(cid:15)⊄ //𝐷(cid:33)𝐵(cid:35)𝐵 𝐷 𝐵𝐷, 𝐷𝐵𝐵=𝐷 𝐹𝑁(cid:33)(cid:35) 𝐷𝐵,𝐵 𝐷
1 1
(cid:48)(cid:76)𝐸(cid:33)𝑁(cid:35) /𝐷/(cid:33)𝐵𝐵(cid:35)𝐷 𝐸𝑁∩(cid:73)𝐹𝑁 𝑁,(cid:33)𝐸𝑁(cid:35),𝐹𝑁⊂(cid:73)(cid:244)(cid:62)𝐸𝐹(cid:32)𝑁 //(cid:33)(cid:35) (cid:73)B(cid:250)(cid:368)(cid:73)
1 1 1 1
𝐸𝐹𝑁 𝐷𝐵𝐵 𝐷 𝐸𝐹⊂ 𝐸𝐹𝑁 𝐸𝐹 𝐵𝐷𝐷 𝐵
(cid:114)(cid:158)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73)(cid:238)(cid:167)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)𝐻(cid:36)𝐶(cid:40)𝐺(cid:41)(cid:154)(cid:173)𝐵(cid:33)𝐷(cid:35)𝐷 𝐵 // (cid:73)(cid:363)𝐻(cid:139)𝐶𝐺(cid:177)∩(cid:72) 𝐵(cid:72)𝐶𝐶 𝐵(cid:163)(cid:164)(cid:395)𝐺𝐶(cid:396)(cid:73)(cid:244)C𝐵𝐷(cid:386)𝐷(cid:387)𝐵(cid:73)∩ 𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐵𝐵
1 1
𝐵𝐵 𝐺𝐶 𝐵𝐵 𝐺𝐶
(cid:39)(cid:98) // // // (cid:73)(cid:48)(cid:76) // ,
1 1 1 1
(cid:244) 𝐺𝐻(cid:156)𝐵(cid:62)𝐷(cid:32),𝐵E𝐷F(cid:135)𝐵H𝐷G(cid:48),𝐹𝑁(cid:196)(cid:205)𝐵(cid:46)𝐷(cid:169)(cid:398)(cid:205)𝐺(cid:73)𝐻 𝐹𝑁
(cid:220) ∠ (cid:399) 𝐸 (cid:285) 𝐹𝑁 (cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:232)(cid:53)(cid:156) (cid:73)(cid:159) = = 2 (cid:73)
2
𝑎
𝑎 𝐸𝑁 𝑎,𝐹𝑁
(cid:39)(cid:98) (cid:265)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) ,
𝐸𝑁⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐹𝑁⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸𝑁⊥𝐹𝑁
(cid:244)tan = = 2,
𝐸𝑁
∠𝐸𝐹𝑁 𝐹𝑁(cid:62)(cid:32)EF(cid:135)HG(cid:48)(cid:196)(cid:205)(cid:36)(cid:250)(cid:394)(cid:318)(cid:156) 2(cid:73)D(cid:250)(cid:368).
(cid:244)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:123)(cid:59)(cid:287)(cid:20)(cid:21)
9(cid:136)(cid:87)2024(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:171)(cid:133)a(cid:73)b(cid:93)(cid:220)(cid:193)(cid:36)(cid:62)(cid:32)(cid:73) (cid:93)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:246)(cid:382)(cid:113)(cid:21)(cid:386)(cid:387)(cid:36)(cid:93)(cid:87) (cid:88)
A(cid:136) // (cid:73) // B(cid:136) // (cid:73) 𝛼 //
C(cid:136)𝑎//𝑏(cid:73)𝑏/⊂/𝛼⇒𝑎//𝛼 D(cid:136)𝑎 𝛼(cid:73)𝑏/⊂/ 𝛼(cid:73)⇒𝑎 𝑏 //
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)𝑎 (cid:237)𝛼(cid:28)(cid:25)𝑎(cid:112)𝑏(cid:47)⇒(cid:32)𝑏(cid:35)𝛼(cid:50)(cid:51)(cid:3)(cid:56)(cid:73)(cid:238)(cid:167)(cid:47)(cid:32)(cid:35)(cid:50)𝑎(cid:51)⊄𝛼(cid:3)(cid:56)𝑎(cid:400)𝑏(cid:29)(cid:135)𝑏(cid:401)⊂(cid:400)𝛼⇒(cid:76)𝑎(cid:300)(cid:32)𝛼(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:111)(cid:34)(cid:402)(cid:180)(cid:68)(cid:69)
(cid:201)(cid:154).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:195)(cid:98)A(cid:73)(cid:242)(cid:156) (cid:73) (cid:95)(cid:181)(cid:403)(cid:13)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72) (cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:244) // (cid:254)(cid:154)(cid:379)(cid:93) (cid:73)(cid:244)A(cid:386)(cid:387)(cid:122)
(cid:195)(cid:98)B(cid:73) // (cid:73)(cid:48)(cid:76)a(cid:72) (cid:202)𝑏(cid:181)⊂(cid:7)𝛼 (cid:203)𝛼(cid:47)(cid:73)(cid:243) (cid:73)(cid:48)(cid:76)𝑏(cid:72) (cid:202)(cid:181)(cid:7)𝑎(cid:203)𝑏(cid:47)(cid:73) 𝑎⊂𝛼
(cid:48)(cid:76)a(cid:72)𝑎b(cid:36)𝛼(cid:50)(cid:51)(cid:154)(cid:33)(cid:34)(cid:154)𝛼 (cid:235)(cid:35)(cid:73)(cid:244)B(cid:386)(cid:387)𝑏(cid:122)⊂𝛼 𝑎 𝑏
(cid:195)(cid:98)C(cid:73)(cid:242)(cid:156) // , // (cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:46)b(cid:49) (cid:95)(cid:73)(cid:244)C(cid:386)(cid:387)(cid:122)
(cid:195)(cid:98)D(cid:73)(cid:39)(cid:32)𝑎(cid:35)(cid:33)𝛼(cid:34)𝑎(cid:36)𝑏(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)𝑏(cid:133)𝛼D(cid:250)(cid:368)(cid:136)𝛼
(cid:244)(cid:20)(cid:10)ABC(cid:136)
10(cid:136)(cid:87)2023·(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:194)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:159)(cid:87) (cid:88)
1 1 1 1 1
A(cid:136) //(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐵𝐶−B𝐴(cid:136)𝐵 𝐶//(cid:33)(cid:35)𝐷,𝐸 𝐴𝐵,𝐴 𝐶
1 1 1 1
C(cid:136)𝐵𝐶 //(cid:33)(cid:35)𝐴 𝐷𝐶 D(cid:136)𝐷𝐸 //(cid:33)(cid:35)𝐵𝐶𝐶 𝐵
1 1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)𝐴(cid:237)𝐷(cid:28)(cid:195)(cid:98)𝐵A(cid:20)𝐸𝐶(cid:384)(cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:164) (cid:98)(cid:47)𝐵(cid:73)𝐶 (cid:267)(cid:268) 𝐶(cid:73)𝐷(cid:139)𝐸 (cid:230)(cid:311)(cid:162)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:30)(cid:31) // (cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:238)(cid:167)(cid:37)
1 1 1
(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:122) 𝐴𝐶 𝐴 𝐶 𝐹 𝐷𝐹 𝐷𝐹 𝐵𝐶
(cid:195)(cid:98)B(cid:20)(cid:384)(cid:73)(cid:295) (cid:36)(cid:71)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:139)(cid:230)(cid:311)(cid:162)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:199)(cid:159)(cid:30)(cid:31) // (cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:238)(cid:167)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:30)
1 1
(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:122) 𝐵𝐶 𝐺 𝐷𝐺,𝐶 𝐺 𝐷𝐸 𝐶 𝐺
(cid:195)(cid:98)C(cid:20)(cid:384)(cid:73)(cid:295) (cid:36)(cid:71)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:139)(cid:230)(cid:311)(cid:162)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:199)(cid:159)(cid:30)(cid:31) // (cid:73)
1
(cid:311)(cid:162) (cid:72)(cid:33)(cid:35) 𝐵𝐶(cid:163)(cid:164)(cid:201)𝑃(cid:154)(cid:37)(cid:42)(cid:20)𝐷(cid:384)𝑃,𝐸(cid:250)𝑃(cid:387)(cid:122) 𝐴 𝐷 𝐸𝑃
1
(cid:195)(cid:98)𝐸D𝑃(cid:20)(cid:384)(cid:73)(cid:267)𝐵 (cid:268)𝐸𝐶 (cid:73)(cid:164) (cid:98)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:133) // (cid:73)
1 1
(cid:238)(cid:167) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝐴𝐶(cid:179)(cid:42)(cid:47)𝐸𝐶(cid:93) 𝑄(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝐷(cid:111)𝑄(cid:172)(cid:404)(cid:262)(cid:395)(cid:396)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:37)(cid:42)(cid:20)(cid:384)(cid:250)(cid:387)𝐷.𝑄 𝐵𝐶
1
(cid:22)(cid:70)𝐷(cid:125)(cid:162)𝐴(cid:241)𝐵(cid:28)(cid:20)(cid:384)A(cid:10)(cid:142)(cid:151)𝑄1(cid:73)𝐴(cid:267)𝐶(cid:268) (cid:73)(cid:164) (cid:98)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
1 1
(cid:159)(cid:47) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:243) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)𝐴(cid:73)𝐶 (cid:159) 𝐴//𝐶 (cid:73)𝐹 𝐷𝐹
1 1
𝐹(cid:33)(cid:35)𝐴𝐶 , (cid:33)𝐷(cid:35) 𝐴𝐵 𝐷𝐹 𝐵𝐶
1 1 1
𝐷(cid:48)𝐹(cid:76)⊂ //𝐴(cid:33)𝐷(cid:35)𝐶𝐵𝐶 ⊄(cid:73)(cid:48)(cid:76)𝐴A𝐷(cid:250)𝐶 (cid:368).
1 1
𝐵𝐶 𝐴 𝐷𝐶(cid:20)(cid:384)B(cid:10)(cid:142)(cid:151)2(cid:73)(cid:295) (cid:36)(cid:71)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:242)(cid:156) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1
𝐵𝐶1 𝐺 1𝐷𝐺,𝐶 𝐺 1 𝐷 𝐴𝐵
(cid:48)(cid:76) // (cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:243) = = // (cid:73)
2 1 2 1 1 2 1
𝐷𝐺 𝐴𝐶 𝐷𝐺 𝐴𝐶 𝐸𝐶 𝐴 𝐶 𝐴𝐶,𝐸𝐶 𝐴𝐶
(cid:48)(cid:76) // = (cid:73)(cid:48)(cid:76)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
1 1 1 1
𝐷(cid:33)𝐺(cid:35)𝐸𝐶 ,𝐷𝐺(cid:73)𝐸𝐶 (cid:33)(cid:35) 𝐷(cid:73)𝐺𝐶(cid:48)(cid:76)𝐸 //(cid:33)(cid:35) (cid:73)𝐷(cid:244)𝐸B(cid:250)𝐶(cid:368)𝐺.
1 1 1 1 1 1 1
(cid:20)𝐷𝐸(cid:384)⊄C(cid:10)(cid:142)𝐵𝐶(cid:151)𝐶3𝐵(cid:73)(cid:295)𝐶 𝐺(cid:36)⊂(cid:71)(cid:47) 𝐵(cid:73)𝐶(cid:267)𝐶 (cid:268)𝐵 (cid:73)𝐷(cid:242)𝐸 (cid:156) (cid:93)𝐵𝐶𝐶(cid:36)(cid:71)𝐵 (cid:47)(cid:73)
𝐵𝐶1 𝑃 𝐷1𝑃,𝐸𝑃 1 𝐷 𝐴𝐵
(cid:48)(cid:76) // (cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:243) = = // (cid:73)
2 1 2 1 1 2 1
𝐷𝑃 𝐴𝐶 𝐷𝑃 𝐴𝐶 𝐴 𝐸 𝐴 𝐶 𝐴𝐶,𝐴 𝐸 𝐴𝐶
(cid:48)(cid:76) // = (cid:73)(cid:48)(cid:76)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)
1 1 1
(cid:48)(cid:76)𝐷𝑃 //𝐴 𝐸(cid:73),𝐷𝑃(cid:363)(cid:139)𝐴 𝐸(cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:163)𝐷(cid:164)𝑃(cid:73)𝐸𝐴(cid:244)C(cid:386)(cid:387).
1 1
𝐴 𝐷 𝐸𝑃 𝐸𝑃 𝐵 𝐸𝐶
(cid:20)(cid:384)D(cid:10)(cid:142)(cid:151)4(cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:164) (cid:98)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) (cid:73)
1
(cid:159)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) 𝐴𝐶= (cid:73)𝐸(cid:158)𝐶 /𝑄/(cid:33)(cid:35) 𝐷𝑄(cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159) // (cid:73)
1 1 1 1 1
(cid:39)(cid:98) (cid:93)𝐴𝐵𝐶(cid:36)∩(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝐶(cid:48)𝐷𝐸(cid:76)(cid:47)𝐷𝑄(cid:93) 𝐵(cid:36)𝐶(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝐶𝐷𝐸 𝐵𝐶 ⊂ 𝐴𝐵𝐶 𝐷𝑄 𝐵𝐶
1
(cid:172)(cid:363)𝐷(cid:139)(cid:47)𝐴𝐵(cid:220)(cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝑄(cid:395)(cid:396)𝐴𝐶(cid:73)(cid:244)D(cid:386)(cid:387).
1
(cid:244)(cid:20)(cid:10)AB𝑄. 𝐴𝐶
11(cid:136)(cid:87)2024·(cid:405)(cid:323)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:93)(cid:208) (cid:234)(cid:87)(cid:406)(cid:298)(cid:47)(cid:88)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:159)
1 1 1 1 1 1
(cid:87) (cid:88) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸,𝐹 𝐵𝐷,𝐶 𝐷
A(cid:136)(cid:168) // (cid:129)(cid:73)(cid:62)(cid:32) (cid:163)(cid:195)(cid:98)(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:407)(cid:101)(cid:368)(cid:38)
1
𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐸𝐹B(cid:136)(cid:168) // (cid:129)(cid:73)(cid:62)(cid:32) (cid:163)(cid:195)(cid:98)(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:407)(cid:101)(cid:368)(cid:38)
1
C(cid:136)(cid:168)𝐴 𝐹//(cid:33)𝐶𝐸(cid:35) (cid:129)(cid:73)𝐸𝐹(cid:62)(cid:32) (cid:163)(cid:195)(cid:98)(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:407)(cid:101)(cid:368)(cid:38)
1
D(cid:136)(cid:168)𝐶(cid:33)𝐸(cid:35) /𝐴/𝐷(cid:33)𝐹(cid:35) (cid:129)𝐸(cid:73)𝐹(cid:62)(cid:32) (cid:163)(cid:195)(cid:98)(cid:250)(cid:110)(cid:248)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:407)(cid:101)(cid:368)(cid:38)
1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:20)𝐴(cid:384)𝐸𝐷A(cid:73)(cid:204)(cid:27)𝐴(cid:250)(cid:110)𝐶𝐹(cid:248)(cid:71)(cid:36)(cid:47)(cid:32)𝐸𝐹(cid:3)(cid:56)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70)(cid:122)(cid:20)(cid:384)B(cid:73)(cid:49)(cid:33)(cid:35) (cid:234)(cid:165) (cid:36)(cid:358)(cid:359)(cid:156) (cid:73)
1 1
(cid:204)(cid:27)(cid:184)(cid:397)(cid:356)(cid:357) = (cid:190) (cid:220)(cid:299)(cid:58)(cid:129)(cid:73)(cid:286)(cid:181) // // (cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70)(cid:122)(cid:20)(cid:384)C𝐴𝐵(cid:73)𝐶(cid:285)𝐷 (cid:49)(cid:62)𝐴(cid:32)𝐹 (cid:234)(cid:36)(cid:358)𝐴(cid:359)𝐹(cid:156)
1 1
(cid:73)(cid:204)(cid:27)(cid:184)(cid:397)𝑂(cid:356)𝐸(cid:357) 𝑂𝐺=𝐸,𝐺 (cid:36)(cid:67)(cid:105)(cid:73)(cid:181) 𝐸//𝐶 𝐴/𝐹/ 𝐴(cid:73)𝐹(cid:288)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)𝐸(cid:15)(cid:73)(cid:201)(cid:154)𝐴(cid:173)𝐷(cid:174) //(cid:33)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:35)𝐸 (cid:73)(cid:102)(cid:172)(cid:52)(cid:70)(cid:122)𝐸𝐸(cid:20)(cid:384)𝐶D(cid:73)𝐹 (cid:294)(cid:368)(cid:38)(cid:47) (cid:300)𝐸𝐸 (cid:36)(cid:50)𝐴𝐵(cid:51)(cid:73)𝐶(cid:204)𝐷(cid:27)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:30)(cid:31)(cid:47) (cid:300) (cid:153)(cid:58)(cid:21)𝐶(cid:185)𝐸(cid:73)(cid:74)
(cid:335)𝐴(cid:31)𝐷(cid:407)𝐹(cid:101)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:52)(cid:70). 𝐹 𝐸 𝐹 𝐸
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:195)(cid:98)A(cid:20)(cid:384)(cid:73)(cid:168)(cid:190)(cid:328)(cid:168)(cid:47) (cid:72)(cid:47) (cid:299)(cid:58)(cid:73)(cid:190)(cid:47) (cid:72)(cid:47) (cid:299)(cid:58)(cid:129)(cid:145)(cid:327)(cid:196)(cid:324)(cid:73)(cid:244)A(cid:20)(cid:384)(cid:250)(cid:368)(cid:122)
1
(cid:195)(cid:98)B(cid:20)(cid:384)(cid:73)(cid:142)(cid:151)1(cid:73)(cid:285) (cid:49)(cid:33)(cid:35) 𝐸 (cid:234)(cid:36)𝐵(cid:358)(cid:359)(cid:156) (cid:73)𝐹 𝐶 = (cid:73)(cid:155) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:156) (cid:73)
1 1 1
(cid:159)(cid:195)(cid:98)(cid:184)(cid:397)(cid:356)(cid:357) = (cid:190)𝐴 𝐹 (cid:220)(cid:299)(cid:58)𝐴𝐵(cid:129)𝐶(cid:73)𝐷 (cid:156)(cid:33)𝐴(cid:34)𝐹(cid:207)(cid:208)𝐴(cid:117)𝐹(cid:73)∩(cid:201)𝐵(cid:181)𝐷 𝐺// 𝐵/𝐷/ (cid:73)(cid:244)B𝑂(cid:20)(cid:384)(cid:386)(cid:387)(cid:122)
1 1 1
(cid:195)(cid:98)C(cid:20)(cid:384)(cid:73)(cid:142)𝑂(cid:151)𝐸1(cid:73)𝑂(cid:285)𝐺 (cid:49)𝐸,(cid:62)𝐺 (cid:32) (cid:234)(cid:36)(cid:358)𝐴(cid:359)𝐻𝐶(cid:156)𝐹 (cid:73)(cid:195)(cid:98)(cid:184)(cid:397)(cid:356)(cid:357) 𝐸=𝐶 𝐴𝐹(cid:36)(cid:67)𝐴(cid:105)𝐹(cid:73)(cid:181) // // (cid:73)
1 1 1 1 1 1
(cid:48)(cid:76) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)𝐸(cid:73)(cid:48)(cid:76)𝐴𝐷// (cid:73) 𝐸 𝐸𝐸 𝐶 𝐹 𝐸𝐸 𝐴𝐵 𝐶 𝐷
1 1 1 1
(cid:243)(cid:242)𝐸(cid:156)𝐸 𝐹𝐶 (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35)𝐶 𝐸 𝐹(cid:73)𝐸(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1
(cid:244)(cid:62)(cid:32)𝐹𝐸(cid:36)⊂(cid:50)(cid:51)(cid:403)𝐴(cid:199)𝐷𝐹(cid:407)(cid:101)𝐶(cid:368)𝐸(cid:38)⊄(cid:73)(cid:244)𝐴C𝐷(cid:20)𝐹(cid:384)(cid:386)(cid:387)𝐶(cid:122)𝐸 𝐴𝐷𝐹
𝐸𝐹
(cid:195)(cid:98)D(cid:20)(cid:384)(cid:73)(cid:142)(cid:151)2(cid:73)(cid:168)(cid:190)(cid:328)(cid:168) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:295) (cid:71)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:268) = (cid:73)
1 1
1 𝐹 𝐶 𝐷 𝐶𝐷 𝐻 𝐴𝐻∩𝐵𝐷 𝐸
(cid:242)(cid:156) = = (cid:73)(cid:201)(cid:47) (cid:156)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:317)(cid:103)(cid:47) (cid:36)(cid:194)(cid:128)(cid:68)(cid:47)(cid:73)
2
𝐷𝐻 𝐷𝐸
(cid:242)(cid:156)𝐴𝐵 // 𝐸𝐵 (cid:73) 𝐸 (cid:35) (cid:73) 𝐵𝐷 (cid:35) 𝐷 (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1
(cid:267)(cid:268)𝐴𝐻 (cid:73)𝐴 𝐹 𝐴 𝐹⊂= (cid:73)𝐴(cid:267)𝐶𝐹(cid:268) 𝐴𝐻(cid:73)⊄ 𝐴 𝐶𝐹 𝐴𝐻 𝐴 𝐶𝐹
1 1
(cid:121)(cid:133)𝐴 𝐷// 𝐴 𝐷(cid:73)∩𝐴𝐷 (cid:35)𝐹 (cid:73)𝐹𝐻 (cid:35) (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1
(cid:243) 𝐹𝐻 𝐴=𝐶 (cid:73)𝐴 𝐶⊂ 𝐴 (cid:35)𝐶𝐹 𝐹𝐻(cid:73)⊄(cid:48)𝐴(cid:76)(cid:33)𝐶𝐹(cid:35) 𝐹//𝐻(cid:33)(cid:35)𝐴 𝐶𝐹(cid:73)(cid:244)D(cid:20)(cid:384)(cid:250)(cid:368).
1 1 1
𝐹𝐻∩𝐴𝐻 𝐻 𝐹𝐻,𝐴𝐻⊂ 𝐴𝐸𝐷 𝐴𝐸𝐷 𝐴 𝐶𝐹(cid:244)(cid:20)(cid:10)AD.
(cid:194)(cid:59)(cid:116)(cid:60)(cid:21)
12(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:158)(cid:62)(cid:32) (cid:73)c(cid:73)d(cid:156)(cid:220)(cid:299)(cid:58)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:190) (cid:73) (cid:73)(cid:159)c(cid:72)d(cid:36)(cid:50)
(cid:51)(cid:3)(cid:56)(cid:93) (cid:136) 𝑎∥𝑏 𝑎∥𝑐 𝑏∥𝑑
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝑐∥(cid:238)𝑑(cid:167)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:36)(cid:239)(cid:240)(cid:40)(cid:73)(cid:408)(cid:409)(cid:299)(cid:58)(cid:67)(cid:105)(cid:201)(cid:154)(cid:173)(cid:70).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:242)(cid:156) (cid:190)
(cid:238)(cid:167)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:36)(cid:239)(cid:240)𝑎(cid:40)∥(cid:133)𝑏 𝑎(cid:33)∥(cid:34)𝑐(cid:46)(cid:299)(cid:58)(cid:73)
(cid:243)(cid:242)(cid:156) (cid:73) 𝑏,𝑐
(cid:288)(cid:410)(cid:204)(cid:27)𝑏∥(cid:33)𝑑(cid:34)(cid:32)(cid:36)(cid:239)(cid:240)(cid:40)(cid:133) (cid:33)(cid:34)(cid:46)(cid:299)(cid:58)(cid:73)
(cid:242)(cid:156)c(cid:73)d(cid:156)(cid:220)(cid:299)(cid:58)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:62)𝑐(cid:32),𝑑
(cid:48)(cid:76) .
(cid:244)(cid:125)𝑐(cid:266)∥(cid:156)𝑑(cid:10) .
13(cid:136)(cid:87)2024𝑐·(cid:269)∥(cid:270)𝑑 (cid:352)(cid:353)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:35)(cid:144)(cid:101)(cid:47)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73)
(cid:190) =2:5(cid:73)(cid:168) (cid:33)(cid:35) (cid:129)(cid:73)
𝑃
=
2
.
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸,𝐹 𝐴𝐷,𝑃𝐶
5
𝑃𝐹
𝐴𝐸:𝐴𝐷 𝑃𝐴 ∥ 𝐸𝐵𝐹 𝐹𝐶
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:219)(cid:58)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:111)(cid:34)(cid:52)(cid:70)(cid:201)(cid:154).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:267)(cid:219) (cid:164) (cid:98)(cid:47) (cid:73)(cid:267)(cid:219) .
𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝑂 𝑂𝐹2
(cid:242)(cid:156) =2:5(cid:73)(cid:48)(cid:76) = = (cid:73)
5
𝐴𝑂 𝐴𝐸
(cid:242)(cid:156) 𝐴𝐷 ∥ (cid:33) 𝐵 (cid:35) 𝐶,𝐴𝐸:𝐴 (cid:73) 𝐷 (cid:33)(cid:35) (cid:33)𝑂(cid:35)𝐶 𝐵𝐶 = (cid:33)(cid:35) (cid:73)
𝑃𝐴 ∥ 𝐸𝐵𝐹 𝐸𝐵𝐹∩2 𝑃𝐴𝐶 𝑂𝐹,𝑃𝐴⊂ 𝑃𝐴𝐶
(cid:48)(cid:76) (cid:73)(cid:48)(cid:76) = = .
5
𝑃𝐹 𝐴𝑂
𝑃𝐴 ∥ 𝑂𝐹 𝐹𝐶 𝑂𝐶
(cid:244)(cid:125)(cid:266)(cid:156)(cid:10)
2.
5
14(cid:136)(cid:87)2023·(cid:207)(cid:308)(cid:411)(cid:315)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73) // (cid:73)
1 1 1 1 1
=90°(cid:73) = = = (cid:73) (cid:156)(cid:232)𝐴𝐵𝐶(cid:234)𝐷−(cid:101)𝐴(cid:348)𝐵(cid:47)𝐶(cid:73)𝐷(cid:162)(cid:62)(cid:32)𝐴𝐴(cid:36)⊥(cid:33)(cid:35)(cid:68)𝐴(cid:182)𝐵𝐶(cid:72)𝐷(cid:232)𝐴𝐵 (cid:73)𝐶𝐷 (cid:164)(cid:98)(cid:47) (cid:73)
1 1 1 1
∠(cid:73)𝐷𝐶(cid:159)𝐵(cid:246)(cid:382)(cid:219)(cid:180)𝐴(cid:250)𝐵(cid:368)(cid:36)𝐴𝐷(cid:93) 𝐴(cid:137)𝐴(cid:150)(cid:192)2 𝐷 𝐶(cid:136) 𝑄 𝐶𝐶 𝐴𝑄 𝐵𝐵 𝐷𝐷 𝑃
𝑅
(cid:137)(cid:195)(cid:98)(cid:184)(cid:185)(cid:36)(cid:47) (cid:73)(cid:186)(cid:181) //
(cid:150)(cid:195)(cid:98)(cid:184)(cid:185)(cid:36)(cid:47)𝑄(cid:73)(cid:207)(cid:208)𝐴𝑃 𝑄(cid:220)𝑅(cid:154)(cid:379)(cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)
(cid:152)(cid:168) = (cid:129)(cid:73)𝑄(cid:337)(cid:49)(cid:47)𝐴𝑃(cid:73)𝑄(cid:214)𝑅(cid:173) (cid:156)(cid:128)(cid:303)(cid:62)(cid:205)(cid:194)(cid:205)(cid:117)
(cid:192)(cid:337)𝐷(cid:49)𝐵(cid:47) 𝑃(cid:73)𝑅(cid:214)(cid:173)(cid:62)(cid:32) 𝑄//(cid:33)(cid:35) △𝐴𝑅𝑃
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)𝑄(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:167)(cid:35)(cid:35)𝐵(cid:33)𝐶(cid:34)(cid:36)(cid:40)𝐴(cid:41)𝑃(cid:37)𝑄𝑅(cid:42) (cid:73)(cid:214)(cid:27)(cid:114)(cid:285)(cid:199)(cid:37)(cid:42) (cid:136)
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:195)(cid:98)(cid:137)(cid:73) // (cid:73) ①(cid:33)②(cid:35) (cid:73) (cid:33)③(cid:35)④ (cid:73) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1 1
(cid:193)(cid:15) // (cid:73)(cid:181) ∵//𝐴(cid:33)𝐵(cid:35)𝐶𝐷 𝐶𝐷(cid:73)⊂ 𝐶𝐷𝐷 𝐶 𝐴𝐵⊄ 𝐶𝐷𝐷 𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷𝐷 𝐶
1 1 1 1 1
𝐴𝐴 (cid:33)𝐷𝐷(cid:35) 𝐴𝐴(cid:73) 𝐶𝐷𝐷=𝐶 (cid:73) (cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵(cid:33),𝐴(cid:35)𝐴 ⊂ 𝐴(cid:33)𝐵𝐵(cid:35)𝐴 𝐴𝐵∩=𝐴𝐴(cid:73)(cid:33)𝐴(cid:35) ∴ 𝐴(cid:33)𝐵𝐵(cid:35)𝐴 =𝐶𝐷𝐷(cid:73)𝐶
1 1 1 1
∵ //𝐴𝑃𝑄(cid:73)𝑅(cid:244)∩(cid:137)(cid:250)(cid:368)𝐴𝐵(cid:136)𝐵 𝐴 𝐴𝑃 𝐴𝑃𝑄𝑅∩ 𝐶𝐷𝐷 𝐶 𝑅𝑄
(cid:195)∴(cid:98)𝐴𝑃(cid:150)(cid:73)𝑄𝑅 (cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:62)(cid:205)(cid:206)(cid:117)(cid:73) // (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:220)(cid:33)(cid:34)(cid:73)
1 1 1 1
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∴ 𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐴𝐷𝐷 𝐴(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = (cid:73)
1 1 1 1
∵ (cid:72)𝐴𝑃𝑄(cid:220)𝑅(cid:33)∩(cid:34)(cid:73)(cid:244)𝐵𝐶(cid:207)𝐶(cid:208)𝐵(cid:117) 𝑃𝑄 (cid:220)(cid:154)(cid:379)𝐴(cid:156)𝑃𝑄(cid:33)𝑅(cid:34)∩(cid:207)(cid:208)(cid:117)𝐴𝐷(cid:73)𝐷(cid:244)𝐴(cid:150)(cid:250)𝐴(cid:368)𝑅(cid:136)
(cid:195)∴(cid:98)𝑃𝑄(cid:152)(cid:73)𝐴𝑅 = (cid:73) =𝐴𝑃𝑄𝑅(cid:73) = (cid:73)(cid:63)(cid:214) (cid:156)(cid:128)(cid:303)(cid:62)(cid:205)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:73)(cid:159) 90°(cid:73)(cid:412)(cid:238)(cid:167)(cid:21)
(cid:185) <∵9𝐷0𝐵°(cid:73)(cid:244)𝑃𝑅(cid:152)(cid:220)∴(cid:250)𝐷(cid:368)𝑅(cid:136)𝐵𝑃 ∴𝐴𝑅 𝐴𝑃 △𝐴𝑅𝑃 ∠𝐷𝐴𝐵≥
(cid:195)(cid:98)∠𝐷(cid:192)𝐴𝐵(cid:73)(cid:362)(cid:53) (cid:413) (cid:73)(cid:214)(cid:173) = (cid:73)
𝐶𝐷 𝑀 𝐷𝑀 𝐶𝑀
(cid:159)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:272)(cid:117)(cid:73) // (cid:136)
(cid:168) (cid:73) (cid:73)𝐴𝐵(cid:194)𝐶𝑀(cid:47)(cid:203)(cid:32)(cid:129)(cid:73)∴𝐵𝐶 (cid:33)𝐴𝑀(cid:35) (cid:73) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:244)(cid:192)(cid:250)(cid:368)(cid:136)
(cid:244)𝑅(cid:125)(cid:266)𝑄(cid:156)(cid:10)𝑀(cid:137)(cid:150)(cid:192)(cid:136) 𝐴𝑀⊂ 𝐴𝑃𝑄𝑅 ∴𝐵𝐶 𝐴𝑃𝑄𝑅
(cid:207)(cid:59)(cid:70)(cid:125)(cid:21)
15(cid:136)(cid:87)2024(cid:24)(cid:194)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:291)(cid:292)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:109)(cid:161)(cid:250)(cid:194)(cid:205)(cid:117) (cid:73) (cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:35)(cid:198)(cid:163)(cid:221)(cid:62)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:36)(cid:71)
(cid:47)(cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:73) = (cid:73)(cid:62)(cid:32) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:163)(cid:164)𝐴(cid:98)𝐵𝐶(cid:47) 𝐵.𝐶(cid:30)𝐷(cid:31)(cid:10) // (cid:122) 𝐸,𝐹 𝐵𝐶,𝐶𝐷
𝐺 𝐴𝐷 𝐴𝐺 2𝐺𝐷 𝐴𝐵 𝐸𝐹𝐺 𝐻 𝐵𝐷 𝐺𝐻
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:293)(cid:294)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:30)(cid:31) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:288)(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:31) // (cid:201)(cid:154).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:242)(cid:156) (cid:59) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:59) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝐵𝐷(cid:48)(cid:76) /𝐸/𝐹𝐺(cid:73) 𝐵𝐷 𝐺𝐻
(cid:243) (cid:33)(cid:35) (cid:73)𝐸 𝐹(cid:33)(cid:35) 𝐵𝐶(cid:73)(cid:159)𝐶𝐷 //(cid:33)(cid:35) (cid:73)𝐸𝐹 𝐵𝐷
(cid:39)(cid:62)𝐵𝐷(cid:32)⊄ (cid:72)𝐸(cid:33)𝐹(cid:35)𝐺 𝐸𝐹(cid:163)⊂(cid:164)(cid:98)(cid:47)𝐸𝐹𝐺(cid:73) 𝐵𝐷 𝐸𝐹𝐺
(cid:159) (cid:33)𝐴𝐵(cid:35) (cid:73)𝐸(cid:190)𝐹𝐺 (cid:33)(cid:35) 𝐻 (cid:73)
(cid:243)𝐻(cid:47)∈(cid:49)(cid:232)𝐸𝐹(cid:234)𝐺 (cid:73)(cid:159)𝐻∈ (cid:33)(cid:35)𝐴𝐵𝐷(cid:73)(cid:243) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
(cid:48)(cid:76)𝐺(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐷 (cid:33)(cid:35)𝐺∈ = 𝐴𝐵(cid:73)𝐷(cid:243) 𝐺∈(cid:33)(cid:35)𝐸𝐹𝐺(cid:73)
𝐴𝐵𝐷∩ 𝐸𝐹𝐺 𝐺𝐻 𝐵𝐷⊂ 𝐴𝐵𝐷(cid:48)(cid:76) // .
16(cid:136)𝐵(cid:87)𝐷202𝐺4𝐻·(cid:234)(cid:301)(cid:414)(cid:38)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:49)(cid:53)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73) = =1(cid:73) = 3(cid:73)E(cid:59)F(cid:59)G(cid:68)(cid:182)(cid:156)
1 1 1 1 1
AB(cid:59)BC(cid:59) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐷 𝐴𝐵
1 1
𝐶 𝐷
(1)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:122)
(2)(cid:47)P(cid:49)(cid:272)𝐴(cid:117)−𝐺𝐸𝐹 (cid:95)(cid:73)(cid:158)(cid:62)(cid:32) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:52)(cid:32)(cid:43) (cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:322)(cid:126)(cid:318).
1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)(cid:28)(cid:87)𝐴𝐵1(cid:88)𝐶𝐷(cid:128)(cid:248)(cid:261)(cid:39) 𝐷 𝑃= 𝐸𝐹𝐺(cid:154)(cid:173). 𝐷 𝑃
(cid:87)2(cid:88)(cid:294)(cid:30)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) 𝑉𝐴−(cid:73)𝐺𝐸(cid:159)𝐹(cid:39)(cid:62)𝑉𝐺(cid:32)−𝐴𝐸𝐹 //(cid:33)(cid:35) (cid:154)(cid:173)(cid:47)P(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:234)(cid:73)(cid:111)(cid:172)(cid:154)(cid:173)(cid:32)(cid:43) (cid:53)(cid:54)(cid:36)
1 1 1
(cid:322)(cid:126)(cid:318) 𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐶𝐷 𝐷 𝑃 𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐶 𝐷 𝑃
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:166)(cid:21)(cid:185)(cid:181) = 1 = 1 3 1 = 3(cid:73)
2 2 2 2 8
𝑆△𝐴𝐸𝐹 ⋅𝐴𝐸⋅𝐵𝐹 ⋅ ⋅
(cid:48)(cid:76)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261) = = 1 = 1 3 1= 3(cid:122)
3 1 3 8 24
𝐴−𝐺𝐸𝐹 𝑉𝐴−𝐺𝐸𝐹 𝑉𝐺−𝐴𝐸𝐹 ⋅𝑆△𝐴𝐸𝐹⋅𝐷𝐷 ⋅ ⋅
(cid:87)2(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)
(cid:267)(cid:219) (cid:73)
1 1
𝐷(cid:68)𝐴,(cid:182)𝐴𝐶(cid:156),𝐷 𝐶 (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1 1
∵𝐸,𝐹/,𝐺/ 𝐴(cid:33)𝐵,(cid:35)𝐵𝐶,𝐶 𝐷(cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1
∴𝐴𝐶//𝐸(cid:33)𝐹(cid:35),𝐸𝐹⊄ , 𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐶⊂ 𝐴𝐶𝐷
1
∴𝐸𝐹// 𝐴𝐶𝐷(cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1 1 1 1
∵𝐸𝐺//𝐴(cid:33)𝐷(cid:35),𝐸𝐺⊄ (cid:73) 𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐷 ⊂ 𝐴𝐶𝐷
1
∴𝐸𝐺 =𝐴𝐶(cid:73)𝐷 (cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1
∵𝐸𝐹∩//𝐸(cid:33)𝐺(cid:35)𝐸 ∴(cid:73) 𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐶𝐷
1
∵𝐷 𝑃 𝐸𝐹𝐺(cid:47) (cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:234)(cid:73)(cid:49) (cid:71)(cid:73) = 2 = =2(cid:73)
1 1 1
∴ 𝑃 = 1 × 𝐴𝐶 2× 22 △ ( 𝐴𝐶 2 𝐷 ) 2 = 7𝐴 (cid:73) 𝐷 ,𝐴𝐶 2,𝐶𝐷
1 2 2 2
𝑆△𝐴𝐷 𝐶
− 7
(cid:168) 1 (cid:129)(cid:73)(cid:32)(cid:43) 1 (cid:36)(cid:53)(cid:54)(cid:322)(cid:126)(cid:73)(cid:322)(cid:126)(cid:318)(cid:156) 𝑆 1 2△×𝐴𝐷 1 𝐶 = 1 2 × 2 2 (cid:343) 2 7.
∴ 𝐷 𝑃⊥𝐴𝐶 𝐷 𝑃 𝐴𝐶
17(cid:136)(cid:87)2023·(cid:332)(cid:256)·(cid:123)(cid:225)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:73)(cid:250)(cid:360)(cid:232)(cid:233) (cid:36)(cid:265)(cid:35)(cid:208)(cid:53)(cid:156)1(cid:73)(cid:24)(cid:156) 3.
1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:122)
1 1
(2)(cid:52)(cid:33)(cid:35) 𝐴(cid:72)𝐷𝐹(cid:33)(cid:35) (cid:61)𝐴(cid:36)𝐵𝐶(cid:273)(cid:274).
1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)𝐴𝐷(cid:28)𝐹(cid:87)1(cid:88)(cid:204)(cid:27)𝐴 (cid:35)𝐵𝐶(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:30)(cid:31);
(cid:87)2(cid:88)(cid:289)(cid:35)(cid:35)(cid:273)(cid:415)(cid:16)(cid:156)(cid:47)(cid:35)(cid:273)(cid:73)(cid:288)(cid:39)(cid:128)(cid:248)(cid:261)(cid:199)(cid:52)(cid:262)(cid:273)(cid:274)(cid:201)(cid:154).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:49)(cid:250)(cid:360)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)
1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:156)(cid:265)(cid:35)(cid:156)(cid:250)(cid:360)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:48)(cid:76) /𝐴/𝐵𝐶𝐷(cid:73)𝐸𝐹−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
(cid:242)(cid:156) (cid:33)(cid:35) (cid:73) (cid:33)𝐴𝐷(cid:35) 𝐵𝐶 (cid:73)(cid:48)(cid:76) //(cid:33)(cid:35) .
1 1 1
(cid:242)(cid:156)𝐴𝐷/⊄/ 𝐴(cid:73)𝐵𝐶 =𝐵𝐶⊂ (cid:73)(cid:48)𝐴(cid:76)𝐵(cid:207)𝐶(cid:208)(cid:117) 𝐴𝐷 (cid:156)(cid:33)(cid:34)𝐴 (cid:207)𝐵𝐶(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:156)𝐶𝐷 𝐴(cid:33)𝐹(cid:35) 𝐶𝐷(cid:73)𝐴 𝐹 (cid:33)(cid:35) (cid:73)𝐶(cid:48)𝐷(cid:76)𝐹 𝐴 //(cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝐷𝐹 𝐴 𝐶
1 1 1 1 1 1
(cid:243) 𝐷𝐹 ⊄ = 𝐴(cid:73)𝐵(cid:48)𝐶(cid:76)𝐴(cid:33)𝐶(cid:35)⊂ /𝐴/(cid:33)𝐵𝐶(cid:35) .𝐷𝐹 𝐴 𝐵𝐶
1 1 1
(cid:87)𝐴2(cid:88)𝐷(cid:33)∩𝐷(cid:35)𝐹 𝐷(cid:72)(cid:33)(cid:35) 𝐴(cid:61)𝐷(cid:36)𝐹(cid:273)(cid:274)(cid:128)(cid:416)𝐴(cid:98)𝐵𝐶(cid:47) (cid:174)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:73)(cid:285)(cid:156) .
1 1 1
𝐴𝐷𝐹 𝐴 𝐵𝐶 1 𝐴 1 𝐴 𝐵𝐶 𝑑
(cid:267)(cid:268) (cid:73)(cid:159)(cid:207)(cid:35)(cid:248) (cid:36)(cid:248)(cid:261) = = .
1 3 1 3 1
𝐴𝐶 𝐴 𝐴𝐵𝐶 𝑉 𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝐴𝐴 𝑆△𝐴 𝐵𝐶𝑑
1 1 1 2 1
(cid:242)(cid:156) = = × ×1×1×sin × 3= (cid:73)
3 1 3 2 3 4
π
𝑉 𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝐴𝐴
= 2+ 2=2(cid:73) = 2+ 2= 6(cid:73)
1 1 1 1
𝐴
(cid:48)(cid:76)
𝐵
cos
𝐴𝐵 𝐴
=
𝐴
12 22 ( 6
𝐴
)
2𝐶
= 1 (cid:73)
𝐴𝐶
(cid:102)(cid:172)s
𝐴
in
𝐴
= 15(cid:73)
1 2×1×2 4 1 4
+ −
∠𝐴 𝐵𝐶 − ∠𝐴 𝐵𝐶
(cid:48)(cid:76) = 1 ×1×2× 15= 15(cid:73)
1 2 4 4
𝑆△𝐴 𝐵𝐶(cid:48)(cid:76) = = 15(cid:73)(cid:201)(cid:33)(cid:35) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:61)(cid:36)(cid:273)(cid:274)(cid:156) 15.
1 1
3𝑉1 5 5
𝑑
𝑆△𝐴 𝐵𝐶
𝐴𝐷𝐹 𝐴 𝐵𝐶
18(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:332)(cid:91)·(cid:258)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:247)(cid:10)(cid:49)(cid:53)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73) = =3(cid:73) =2(cid:73)E(cid:59)F
1 1 1 1 1
(cid:68)(cid:182)(cid:93)(cid:35) (cid:73) (cid:71)(cid:331)(cid:73)G(cid:73)H(cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:73) 𝐴𝐵(cid:36)𝐶𝐷(cid:71)−(cid:47)𝐴.𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴 𝐵𝐶
1 1 1 1
𝐴𝐷𝐷 𝐴 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐷 𝐶
(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:35) //(cid:35) (cid:122)
1 1
(2)(cid:30)(cid:31)(cid:10) 𝐴//𝐶(cid:35)𝐵 𝐴𝐸.𝐹
1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)(cid:236)(cid:237)𝐺𝐻(cid:28)(cid:87)1(cid:88)𝐴𝐴(cid:294)𝐶(cid:39)𝐶(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:288)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:122)
(cid:87)2(cid:88)(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:30)(cid:31).
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:267)(cid:268) (cid:73) (cid:73)(cid:159)F(cid:73)E(cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1 1
(cid:159) // (cid:73)(cid:243) (cid:35)𝐴𝐶 𝐴𝐷(cid:73) (cid:35) (cid:73)𝐴𝐶 𝐷 𝐴
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:48)𝐴(cid:76)𝐷 𝐵//𝐶(cid:35) 𝐴𝐷(cid:73)⊄ 𝐴 𝐵𝐶 𝐵𝐶 ⊂ 𝐴 𝐵𝐶
1 1 1
//𝐴𝐷 (cid:73)(cid:243)𝐴 𝐵𝐶(cid:35) (cid:73) (cid:35) (cid:73)
1 1 1 1 1 1 1 1
𝐴(cid:48)𝐶(cid:76)𝐴 /𝐶/(cid:35) 𝐴𝐶⊄(cid:73) 𝐴 𝐵𝐶 𝐴 𝐶 ⊂ 𝐴 𝐵𝐶
1 1
(cid:243) 𝐴𝐶 𝐴=𝐵(cid:73)𝐶 (cid:73) (cid:35) (cid:73)
1 1
(cid:48)𝐴(cid:76)𝐷(cid:35)∩𝐴𝐶 //𝐴(cid:35)𝐴𝐷 . 𝐴𝐶⊂ 𝐴𝐸𝐹
1 1
𝐴 𝐶 𝐵 𝐴𝐸𝐹.
(cid:87)2(cid:88)(cid:267)(cid:268) (cid:73) (cid:73)G(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93)AD(cid:73)AC(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)
1
𝐺𝐹 𝐶1 𝐹 1
// (cid:73) = = (cid:73)
2 2 1 1
𝐺𝐹 𝐷𝐶 𝐺𝐹 𝐷𝐶 𝐷 𝐶
(cid:48)(cid:76) // (cid:73)(cid:190) = (cid:73)
1 1
(cid:48)(cid:76)𝐺(cid:207)𝐹(cid:208)(cid:117)𝐻𝐶 𝐺(cid:156)𝐹(cid:33)(cid:34)𝐻(cid:207)𝐶(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:159) // (cid:73)
1 1
(cid:243) (cid:35) 𝐺𝐹𝐶 𝐻(cid:73) (cid:35) (cid:73)𝐺𝐻 𝐹𝐶
1 1 1 1 1
(cid:48)𝐺(cid:76)𝐻⊄//𝐴(cid:35)𝐴 𝐶 𝐶 𝐹.𝐶 ⊂ 𝐴𝐴 𝐶 𝐶
1 1
𝐺𝐻 𝐴𝐴 𝐶 𝐶
.
19(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:246)·(cid:319)(cid:320)(cid:417)(cid:418)·(cid:258)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:10)(cid:49)(cid:250)(cid:110)(cid:248) (cid:71)(cid:73)(cid:208)(cid:53) =2(cid:73)M(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136)
1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐷
(1)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:122)
(2)(cid:52)(cid:30)(cid:10) 𝐷−//𝐴(cid:33)𝑀(cid:35)𝐶 (cid:122)
1
(3)(cid:158) (cid:156)(cid:32)𝐵(cid:43)𝐷 (cid:234)(cid:36)𝐴𝑀(cid:348)𝐶(cid:47)(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:93)(cid:354)(cid:337)(cid:49)(cid:47) (cid:73)(cid:214) //(cid:33)(cid:35) (cid:366)(cid:335)(cid:31)(cid:15)(cid:39)(cid:136)
1 1
(cid:22)(cid:70)(cid:21)𝐸(cid:236)(cid:237)(cid:28)𝐵(cid:87)𝐷1(cid:88)(cid:204)(cid:27)(cid:128)(cid:248)(cid:261)(cid:415)(cid:16)(cid:52)𝐶𝐶(cid:194)(cid:232)(cid:260)(cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:122)𝑁 𝐸𝑁 𝐴𝑀𝐶
(cid:87)2(cid:88)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:42)(cid:38)(cid:15)(cid:73)(cid:415)(cid:16)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:251)(cid:419)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:122)
(cid:87)3(cid:88)(cid:251)(cid:419)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:201)(cid:154)(cid:335)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34).
1 1 2
(cid:22)(cid:70)(cid:125)(cid:162)(cid:241)(cid:28)(cid:87)1(cid:88)(cid:242)(cid:156) = = × ×2×2×1=
3 2 3
𝑉𝐷−𝐴𝑀𝐶 𝑉𝑀−𝐴𝐷𝐶2
(cid:244)(cid:194)(cid:232)(cid:260) (cid:36)(cid:248)(cid:261)(cid:156) (cid:136)
3
𝐷−𝐴𝑀𝐶
(cid:87)2(cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:267)(cid:268) (cid:73) = (cid:73)(cid:267)(cid:219) (cid:73)
(cid:242)(cid:156) (cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:93)𝐷𝐵 (cid:135)𝐷𝐵∩(cid:36)𝐴(cid:71)𝐶(cid:47)(cid:73)𝑂 𝑀𝑂
1
(cid:48)(cid:76)𝑀 /𝑂/ (cid:73)𝐷𝐷 𝐷𝐵
1
𝐵𝐷(cid:33)(cid:35)𝑀𝑂 (cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73)
1
(cid:48)𝑀𝑂(cid:76)⊂ //𝐴(cid:33)𝑀(cid:35)𝐶 𝐵𝐷(cid:122)⊄ 𝐴𝑀𝐶
1
𝐵𝐷 𝐴𝑀𝐶
(cid:87)3(cid:88)(cid:337)(cid:49)(cid:47) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:129)(cid:73)(cid:214) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)
1
(cid:242)(cid:156) = 𝑁(cid:73)𝐶(cid:190)𝐶 // (cid:73) 𝐸𝑁 𝐴𝑀𝐶
1 1
(cid:48)(cid:76)𝐷(cid:207)(cid:208)𝑀(cid:117)𝑁𝐶 (cid:93)𝐷(cid:33)𝑀(cid:34)(cid:207)𝑁𝐶(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:48)(cid:76) // (cid:73)
1 1
(cid:33)(cid:35) 𝐶𝑁𝐷(cid:73)𝑀 (cid:33)(cid:35) (cid:73) 𝐷 𝑁 𝑀𝐶
1
(cid:48)𝑀𝐶(cid:76)⊂ //𝐴(cid:33)𝑀(cid:35)𝐶 𝑁𝐷(cid:73)⊄(cid:190) 𝐴/𝑀/(cid:33)𝐶 (cid:35) (cid:73)
1 1
(cid:190) 𝑁𝐷 =𝐴𝑀(cid:73)𝐶 𝐵𝐷 (cid:33)(cid:35)𝐴𝑀𝐶 (cid:73)
1 1 1 1 1 1
(cid:48)𝐵(cid:76)𝐷(cid:33)(cid:35)∩𝑁𝐷 /𝐷/(cid:33)(cid:35)𝐵𝐷 ,𝑁,𝐷 ⊂ 𝐵𝑁𝐷
1
(cid:158) 𝐵(cid:73)𝑁𝐷(cid:159) (cid:33)𝐴(cid:35)𝑀𝐶 (cid:73)
1 1
(cid:48)𝐸(cid:76)∈𝐵𝐷//(cid:33)(cid:35)𝐸𝑁⊂ 𝐵𝑁𝐷
𝐸𝑁 𝐴𝑀𝐶
(cid:48)(cid:76)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:337)(cid:49)(cid:71)(cid:47) (cid:73)(cid:214) //(cid:33)(cid:35) .
1
𝐶𝐶 𝑁 𝐸𝑁 𝐴𝑀𝐶
