文档内容
重难点 02 函数性质的灵活运用【八大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)....................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)(cid:28)....................................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)....................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:50)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:28)............................................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:53)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:27)(cid:28)....................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:53)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)............................................................................................................................8
1(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:53)(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:27)
(cid:30)(cid:13)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:53)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:13)(cid:11)(cid:31)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62).(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)(cid:54)(cid:78)(cid:77)(cid:61)(cid:62)(cid:72)
(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:31)(cid:79)(cid:25)(cid:61)(cid:62)(cid:72)(cid:59)(cid:77)(cid:3)(cid:4)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:80)(cid:36)(cid:81)(cid:75)(cid:82)(cid:72)(cid:47)(cid:30)
(cid:13)(cid:83)(cid:52)(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:84)(cid:77)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:80)(cid:36)(cid:90)(cid:91)(cid:25)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:21)(cid:94)(cid:60)(cid:95)(cid:96)(cid:57)(cid:27)(cid:97)(cid:16)(cid:98)(cid:99)(cid:85)(cid:13)(cid:100)(cid:80)(cid:36)(cid:98)(cid:99)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:101)(cid:93)(cid:102)(cid:43)
(cid:103)(cid:20)(cid:104)(cid:21)(cid:85)(cid:105)(cid:106)(cid:21)(cid:107)(cid:96)(cid:72)(cid:59)(cid:77)(cid:25)(cid:92)(cid:108)(cid:73)(cid:109)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:72)(cid:110)(cid:60)(cid:25)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:58)(cid:10)(cid:114)(cid:115)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:45)
(cid:101)(cid:38)(cid:39)(cid:54)(cid:93)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:54)(cid:101)(cid:116)(cid:13)(cid:117)(cid:118)(cid:87)(cid:72)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:43)(cid:103)(cid:93)(cid:124)(cid:21)(cid:107)(cid:96)(cid:72)(cid:75)(cid:125)(cid:47)(cid:126)(cid:13)(cid:89)(cid:80)(cid:36)(cid:72)(cid:25)(cid:92)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:127)(cid:72)(cid:128)
(cid:129)(cid:94)(cid:60)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133).
(cid:22)(cid:134)(cid:135)(cid:77)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)(cid:31)(cid:93)(cid:21)(cid:136)(cid:137)(cid:28)
1.(cid:101)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:138)(cid:139)
(cid:101)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:138)(cid:139)(cid:72)(cid:37)(cid:140)(cid:101)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:72)(cid:81)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:61)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:138)(cid:139).
2.(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:114)(cid:115)
(1)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:114)(cid:115)(cid:112)(cid:144)(cid:10)(cid:145)(cid:141)(cid:142)(cid:144)(cid:123)(cid:146)(cid:83)(cid:52)(cid:144)(cid:123)(cid:147)(cid:148)(cid:27)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:150)(cid:126)(cid:13)(cid:144).
(2)(cid:30)(cid:13)y=f(g(x))(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:30)(cid:13)y=f(t)(cid:85)(cid:61)(cid:154)(cid:30)(cid:13)t=g(x)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:114)(cid:115)(cid:72)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)”(cid:31)
(cid:163)(cid:164).
(3)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:66)(cid:165)(cid:166)(cid:27)(cid:80)(cid:167)(cid:10)
(cid:145)(cid:168) f(x)(cid:58)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)-f(x)(cid:169)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:123)(cid:168) f(x)(cid:58)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)-f(x)(cid:169)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:123)
(cid:146)(cid:168) f(x)(cid:85)g(x)(cid:170)(cid:169)(cid:159)(cid:171)(cid:172)(cid:161)(cid:173)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)(cid:81) f(x)(cid:85)g(x)(cid:31)(cid:7)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:175) f(x)+g(x)(cid:169)(cid:159)(cid:171)(cid:172)(cid:161)(cid:173)(cid:30)
(cid:13)(cid:123)
1
(cid:147)(cid:168) f(x)>0(cid:176) f(x)(cid:169)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)(cid:30)(cid:13) f(x) (cid:169)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:72) (cid:169)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:123)
f(x)1
(cid:150)(cid:168) f(x)>0(cid:176) f(x)(cid:169)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)(cid:30)(cid:13) f(x) (cid:169)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:72) (cid:169)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:102)
f(x)
3.(cid:101)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:39)(cid:31)(cid:177)(cid:178)(cid:108)(cid:73)(cid:112)(cid:144)(cid:10)
(1)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:10)(cid:140)(cid:179)(cid:141)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:180)(cid:181)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:101)(cid:38)(cid:39).
(2)(cid:83)(cid:52)(cid:144)(cid:10)(cid:140)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:72)(cid:180)(cid:184)(cid:111)(cid:46)(cid:38)(cid:24)(cid:77)(cid:54)(cid:38)(cid:185)(cid:77)(cid:72)(cid:101)(cid:183)(cid:38)(cid:39).
(3)(cid:108)(cid:73)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:144)(cid:10)(cid:140)(cid:43)(cid:93)(cid:186)(cid:88)(cid:187)(cid:100)(cid:72)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)“(cid:75)(cid:192)(cid:193)(cid:141)(cid:177)(cid:89)(cid:87)”(cid:31)(cid:165)(cid:194)(cid:195)(cid:27)(cid:108)(cid:73)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:101)(cid:183)(cid:38)(cid:39).
4.(cid:128)(cid:196)(cid:30)(cid:13)(cid:101)(cid:38)(cid:39)(cid:10)
(cid:43)(cid:103)(cid:121)(cid:128)(cid:196)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:197)(cid:57)(cid:27)(cid:126)(cid:13)(cid:72)(cid:101)(cid:183)(cid:81)(cid:198)(cid:141)(cid:138)(cid:139)(cid:175)(cid:31)(cid:199)(cid:39)(cid:72)(cid:38)(cid:195)(cid:80)(cid:36)(cid:200)(cid:77)(cid:39)(cid:72)(cid:101)(cid:183)(cid:38)(cid:39).
(cid:22)(cid:134)(cid:135)(cid:77)2 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
1.(cid:30)(cid:13)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:31)(cid:114)(cid:115)
(cid:114)(cid:115)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:72)(cid:46)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:76)(cid:79)(cid:191)(cid:165)(cid:194)(cid:10)
(1)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:3)(cid:103)(cid:163)(cid:77)(cid:43)(cid:44)(cid:72)(cid:205)(cid:58)(cid:30)(cid:13)(cid:190)(cid:206)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:31)(cid:79)(cid:60)(cid:86)(cid:95)(cid:96)(cid:165)(cid:194)(cid:72)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:140)(cid:25)(cid:210)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:123)
(2)(cid:114)(cid:115)f(x)(cid:47)f(-x)(cid:58)(cid:211)(cid:190)(cid:206)(cid:87)(cid:212)(cid:3)(cid:213)(cid:72)(cid:81)(cid:114)(cid:115)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:31)(cid:57)(cid:214)(cid:201)(cid:72)(cid:197)(cid:208)(cid:97)(cid:16)(cid:169)(cid:114)(cid:115)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:31)(cid:87)(cid:215)(cid:87)(cid:212)(cid:3)(cid:213)
(cid:88)(f(x)+f(-x)=0((cid:41)(cid:30)(cid:13))(cid:172)f(x)-f(-x)=0((cid:42)(cid:30)(cid:13)))(cid:58)(cid:211)(cid:216)(cid:217).
(3)(cid:57)(cid:214)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:218)(cid:219)(cid:10)(cid:57)(cid:214)(cid:30)(cid:13)(cid:58)(cid:220)(cid:204)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:221)(cid:76)(cid:173)(cid:30)(cid:13)(cid:88)(cid:222)(cid:223)(cid:130)(cid:54)(cid:161)(cid:54)(cid:224)(cid:54)(cid:225)(cid:226)(cid:164)(cid:57)(cid:214)(cid:207)(cid:227)(cid:31)
(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:228) f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)´g(x), f(x)¸g(x)(cid:102)
(cid:43)(cid:103)(cid:57)(cid:214)(cid:30)(cid:13)(cid:206)(cid:228)(cid:229)(cid:80)(cid:167)(cid:10)(cid:41)± (cid:41)=(cid:41)(cid:123)(cid:42)± (cid:42)=(cid:42)(cid:123)(cid:41)± (cid:42)=(cid:230)(cid:41)(cid:230)(cid:42)(cid:123)(cid:41)´(¸)(cid:41)=(cid:42)(cid:123)(cid:41)´(¸)(cid:42)=(cid:41)(cid:123)
(cid:42)´(¸)(cid:42)=(cid:42)(cid:102)
(4)(cid:128)(cid:36)(cid:30)(cid:13)y= f[g(x)](cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:61)(cid:42)(cid:164)(cid:42)(cid:72)(cid:204)(cid:41)(cid:169)(cid:41)(cid:102)
(5)(cid:166)(cid:231)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:232)(cid:29)
ax +1 ax -1
(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:10)(cid:145)(cid:30)(cid:13) f(x)=m( )(x¹0)(cid:172)(cid:30)(cid:13) f(x)=m( )(cid:102)
ax -1 ax +1
(cid:146)(cid:30)(cid:13) f(x)=±(ax -a-x)(cid:102)
x+m 2m x-m 2m
(cid:147)(cid:30)(cid:13) f(x)=log =log (1+ )(cid:172)(cid:30)(cid:13) f(x)=log =log (1- )
a x-m a x-m a x+m a x+m
(cid:150)(cid:30)(cid:13) f(x)=log ( x2+1+x)(cid:172)(cid:30)(cid:13) f(x)=log ( x2+1-x)(cid:102)
a a
2.(cid:30)(cid:13)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:31)(cid:37)(cid:27)
(1)(cid:148)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:197)(cid:101)(cid:30)(cid:13)(cid:39)(cid:172)(cid:101)(cid:116)(cid:13)(cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:72)(cid:101)(cid:93)(cid:31)(cid:3)(cid:234)(cid:81)(cid:103)(cid:235)(cid:236)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:97)(cid:16)(cid:169)(cid:101)(cid:149)(cid:134)(cid:138)(cid:139)(cid:175)(cid:31)
(cid:30)(cid:13)(cid:172)(cid:227)(cid:237)(cid:116)(cid:13)(cid:31)(cid:238)(cid:87)(cid:88)(cid:72)(cid:148)(cid:27)(cid:112)(cid:239)(cid:98)(cid:99)(cid:101)(cid:116)(cid:13)(cid:31)(cid:39).
(2)(cid:240)(cid:30)(cid:13)(cid:83)(cid:52)(cid:10)(cid:148)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:197)(cid:240)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:81)(cid:46)(cid:43)(cid:44)(cid:138)(cid:139)(cid:175)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:72)(cid:80)(cid:36)(cid:66)(cid:241)(cid:242)(cid:184)(cid:101)(cid:93)(cid:89)(cid:3)(cid:40)(cid:21).
(cid:22)(cid:134)(cid:135)(cid:77)3 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:47)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:31)(cid:166)(cid:27)(cid:80)(cid:167)(cid:28)
1(cid:102)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:166)(cid:27)(cid:80)(cid:167)(a(cid:58)(cid:86)(cid:169)0(cid:31)(cid:166)(cid:13))
(1)(cid:168)f(x+a)=f(x)(cid:72)(cid:164)T=a(cid:123)
(2)(cid:168)f(x+a)=f(x-a)(cid:72)(cid:164)T=2a(cid:123)
(3)(cid:168)f(x+a)=-f(x)(cid:72)(cid:164)T=2a(cid:123)(4)(cid:168)f(x+a)= (cid:72)(cid:164)T=2a(cid:123)
(5)(cid:168)f(x+a)= (cid:72)(cid:164)T=2a(cid:123)
(6)(cid:168)f(x+a)=f(x+b)(cid:72)(cid:164)T=|a-b|(a≠b);
2(cid:102)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:31)(cid:177)(cid:76)(cid:166)(cid:27)(cid:80)(cid:167)
(1)(cid:168)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:243)(cid:244)f(a+x)=f(b-x)(cid:72)(cid:164)y=f(x)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(cid:242)(cid:245) (cid:43)(cid:44).
(2)(cid:168)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:243)(cid:244)f(a+x)=-f(b-x)(cid:72)(cid:164)y=f(x)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(cid:77) (cid:43)(cid:44).
(3)(cid:168)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:243)(cid:244)f(a+x)+f(b-x)=c(cid:72)(cid:164)y=f(x)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(cid:77) (cid:43)(cid:44).
3(cid:102)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:31)(cid:3)(cid:213)
(1)(cid:168)(cid:30)(cid:13)y= f(x)(cid:206)(cid:204)(cid:165)(cid:43)(cid:44)(cid:246)x=a(cid:72)x=b(a > 𝑎 𝑓 𝑏 𝑓 𝑐 B(cid:102) 𝑓 > >
C(cid:102)𝑎> 𝑏> 𝑐 D(cid:102)𝑎>𝑐 >𝑏
(cid:22)(cid:187)(cid:88)1𝑐-1(cid:28)𝑎(cid:171)2𝑏024·(cid:281)(cid:282)(cid:282)(cid:283)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13)𝑏 (𝑎)(cid:31)𝑐(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:169)R(cid:72)(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:13)x(cid:72)y(cid:287)(cid:206)
+ = + (cid:72)(cid:279) >0(cid:94)(cid:72) >1(cid:72)(cid:176)𝑓 𝑥 =5(cid:72)(cid:164)(cid:3)(cid:103)x(cid:31)(cid:86)(cid:87)(cid:88) + <6(cid:31)(cid:93)
𝑓(cid:263)(𝑥(cid:169)(cid:171)𝑦 ) (cid:173)𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)−1 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(2) 𝑓(𝑥) 𝑓(4−3𝑥)A(cid:102)(1,+ ) B(cid:102)(2,+ ) C(cid:102) ，1 D(cid:102) ，2
(cid:22)(cid:187)(cid:88)1-2(cid:28)(cid:171)∞ 2024·(cid:288)(cid:289)·(cid:193)(cid:232)(cid:173)∞(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )=2−2∞ +1(cid:81)(cid:138)(cid:139)[ + −∞)(cid:175)(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:159)(cid:72)(cid:164) (1)(cid:31)(cid:233)(cid:39)
(cid:117)(cid:118)(cid:58)(cid:171) (cid:173) 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 −1, ∞ 𝑓
A(cid:102)[7,+ ) B(cid:102)(7,+ )
C(cid:102)( ,7∞] D(cid:102)( ,7∞)
(cid:22)(cid:187)(cid:88)1-−3(cid:28)∞(cid:171)2024·(cid:291)(cid:292)(cid:292)(cid:275)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:141)(cid:142)−(cid:81)∞(cid:138)(cid:139) >0)(cid:175)(cid:72)(cid:39)(cid:143)(cid:169)R(cid:31)(cid:30)(cid:13) (cid:243)(cid:244)(cid:10)
(−𝑚,𝑚)(𝑚 𝑓(𝑥) ①
(cid:279)0< < (cid:94)(cid:72) >0(cid:123) (cid:43)(cid:103)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:61)(cid:284)(cid:285)(cid:31)(cid:286)(cid:13)a(cid:54)b(cid:170)(cid:243)(cid:244)(cid:10) + = (cid:102)(cid:164)(cid:171) (cid:173)
𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)
A(cid:102) 𝑥 𝑚 =1 𝑓(𝑥) ② 𝑓(𝑎 𝑏) 1−𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)
B(cid:102)𝑓(0), < < < ( )> ( )
1 2 1 2 1 2
C(cid:102)∀(cid:30)𝑥(cid:13)𝑥 ,−𝑚(cid:81)(cid:138)𝑥(cid:139) 𝑥 (cid:175)𝑚(cid:32),𝑓(cid:33)𝑥(cid:290)(cid:161) 𝑓 𝑥
D(cid:102)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(0,𝑚) (cid:175)(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:159)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)𝑓(cid:13)(𝑥(cid:31)) (cid:38)(cid:39)(cid:40)((cid:21)−𝑚(cid:28),𝑚)
(cid:22)(cid:271)2(cid:28)(cid:171)2024·(cid:283)(cid:293)(cid:294)(cid:273)·(cid:193)(cid:232)(cid:173)(cid:279)(cid:286)(cid:13) (cid:187)(cid:16)(cid:94)(cid:72)(cid:30)(cid:13) ( )=| 2+ | [ ](cid:38)(cid:127)(cid:39)(cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:39)(cid:169)(cid:171) (cid:173)
A(cid:102)2 B(cid:102)4 𝑡 C(cid:102)6 𝑓 𝑥 𝑥 𝑡D,𝑥(cid:102)∈8 −4,4
2 2
(cid:22)(cid:187)(cid:88)2-1(cid:28)(cid:171)2024·(cid:258)(cid:295)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134) >0(cid:72) >0(cid:176) + =1(cid:72)(cid:164) + (cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:39)(cid:169)(cid:171) (cid:173)
1 2 1 2
𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 +𝑥 +𝑦
1 2 3 4
A(cid:102) B(cid:102) C(cid:102) D(cid:102)
5 5 5 5
(cid:22)(cid:187)(cid:88)2-2(cid:28)(cid:171)2024·(cid:291)(cid:282)(cid:296)(cid:297)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:168) ( )=| +2|+| |(cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:39)(cid:58)4(cid:72)(cid:164)(cid:286)(cid:13) (cid:31)(cid:39)(cid:169)(cid:171) (cid:173)
A(cid:102)6(cid:172) 𝑓 𝑥 B(cid:102)𝑥 (cid:172)183𝑥−𝑎 𝑎
C(cid:102)6(cid:172)−1818 D(cid:102)−6(cid:172)
(cid:22)(cid:187)(cid:88)2-3(cid:28)(cid:171)2024·(cid:258)(cid:295)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )= −6 (−+183) 3(cid:81)[ ](cid:175)(cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:39)(cid:169) (cid:72)(cid:164)(cid:286)(cid:13) (cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)
(cid:118)(cid:58)(cid:171) (cid:173) 𝑓 𝑥 𝑏𝑥− 𝑏 𝑥 −1,1 −3 𝑏
A(cid:102)( ] B(cid:102)[9,+ ) C(cid:102)[ ] D(cid:102) 9 ,9
2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 − ∞(cid:30),−(cid:13)4(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:37)∞(cid:27)(cid:28) −4,9 −
(cid:22)(cid:271)3(cid:28)(cid:171)2024·(cid:283)(cid:293)(cid:298)(cid:275)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:81)R(cid:175)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:81)R(cid:175)(cid:31)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72)
(cid:176) ( )(cid:72) ( )(cid:81)[0,+ )(cid:175)(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:161)(cid:72)(cid:164)(cid:171) 𝑓(cid:173)𝑥 𝑔 𝑥
𝑓A𝑥(cid:102) 𝑔( 𝑥(2))> (∞(3)) B(cid:102) ( (2))< ( (3))
C(cid:102)𝑓(𝑓(2))>𝑓(𝑓(3)) D(cid:102)𝑓(𝑔(2))<𝑓(𝑔(3))
𝑔 𝑔 𝑔 𝑔 𝑔 𝑓 𝑔 𝑓(cid:22)(cid:187)(cid:88)3-1(cid:28)(cid:171)2024·(cid:299)(cid:291)(cid:300)(cid:301)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:243)(cid:244)(cid:10)(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:13) (cid:72) (cid:72)(cid:287)(cid:206) ( ( + ))= ( )+ ( )
(cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:176) (0)=1(cid:72)(cid:164)(cid:171) (cid:173) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑓 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦
A(cid:102) 𝑓( +1)(cid:169)(cid:41)(cid:30)(cid:13) B(cid:102) ( )+1(cid:169)(cid:41)(cid:30)(cid:13)
C(cid:102)|𝑓(𝑥 +1)|(cid:169)(cid:42)(cid:30)(cid:13) D(cid:102)𝑓| 𝑥 |(cid:169)(cid:42)(cid:30)(cid:13)
(cid:22)(cid:187)(cid:88)3-𝑓2(cid:28)𝑥(cid:171)2024·(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134) ( )(cid:58)(cid:141)(cid:142)𝑓(𝑥(cid:81))−(cid:175)1 (cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:176) ( )(cid:169)(cid:42)(cid:30)(cid:13)(cid:72) ( )(cid:58)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72)
(cid:279) [0,1](cid:94)(cid:72) ( )=2 (cid:72)(cid:164) (7)(cid:87)(cid:103)𝑓(cid:171)𝑥 (cid:173) 𝑅 𝑓 2𝑥−1 𝑓 𝑥−2
𝑥
𝑥∈ 𝑓 𝑥 −1 1 𝑓 1
A(cid:102) B(cid:102) C(cid:102) D(cid:102)1
2 2
−1 −
(cid:22)(cid:187)(cid:88)3-3(cid:28)(cid:171)2024·(cid:258)(cid:295)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) (cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:81) (cid:175)(cid:31)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:176)(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:31) < <0(cid:72)(cid:287)(cid:206)
𝑓(𝑥) 𝑅 𝑚 𝑛
<0(cid:72)(cid:176) =0(cid:72)(cid:164)(cid:86)(cid:87)(cid:88) 0(cid:31)(cid:93)(cid:263)(cid:169)(cid:171) (cid:173)
𝑓(𝑥+1)−𝑓(−𝑥−1)
(𝑚− A 𝑛 (cid:102) )(𝑓(𝑚)−𝑓(𝑛) [ ) 0,1] 𝑓(−2) B(cid:102) 𝑥 ≥
C(cid:102)[−3,−1]∪ (2,+ ) D(cid:102)[−2,2] (0,1]
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4( − ∞(cid:30),−(cid:13)3(cid:31))∪(cid:43)((cid:44)−2(cid:34),0(cid:45))∪(cid:46)(cid:37)(cid:27)(cid:28)∞ [−3,−1]∪
(cid:22)(cid:271)4(cid:28)(cid:171)2024·(cid:226)(cid:306)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:141)(cid:142)(cid:81)R(cid:175)(cid:31)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:47) = ( )(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(cid:242)(cid:245) =1(cid:43)(cid:44)(cid:72)(cid:176)(cid:30)(cid:13)
= ( )+1(cid:169)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:83)(cid:52)𝑦(cid:31)(cid:43)𝑓(cid:44)𝑥(cid:201)(cid:247)𝑦(cid:58)(cid:171)𝑔 𝑥 (cid:173) 𝑥
𝑦 𝑔A(cid:102)2𝑥(−1 ) B(cid:102)( ) 𝑦 𝑓 𝑥 C(cid:102)(3,1) D(cid:102)( )
−1,−1 −1,1 2 3,−1
(cid:22)(cid:187)(cid:88)4-1(cid:28)(cid:171)2024·(cid:303)(cid:307)(cid:308)(cid:306)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:72)(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:310)(cid:144)(cid:86)(cid:192)(cid:179)(cid:31)(cid:58)(cid:171) (cid:173)
2 𝑥 1
𝑥−1
A(cid:102)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:159) B 𝑓 (cid:102)𝑥(cid:30)(cid:13) ( + )(cid:39)(cid:143)(cid:169)(0,2)
C(cid:102)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(0,1)(cid:43)(cid:44) D(cid:102)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(1,1)(cid:43)(cid:44)
(cid:22)(cid:187)(cid:88)4-2(cid:28)𝑓(cid:171)𝑥2024·(cid:226)(cid:306)(cid:311)(cid:95)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )、 𝑓( 𝑥)(cid:31)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:170)(cid:169)R(cid:72)(cid:30)(cid:13) +1(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(cid:163)
(cid:77)(cid:43)(cid:44)(cid:72)(cid:30)(cid:13) +1)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)y(cid:246)(cid:43)(cid:44)(cid:72) 𝑓 𝑥+2)𝑔+𝑥 +1)= =0𝑓(cid:72)(2(cid:164)𝑥−1) =
(cid:171) (cid:173) 𝑔(𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 −1,𝑓(−4) 𝑓(2030)−𝑔(2017)
A(cid:102) B(cid:102) C(cid:102)3 D(cid:102)4
(cid:22)(cid:187)(cid:88)4−-34(cid:28)(cid:171)2024·(cid:59)(cid:312)·(cid:232)−(cid:276)3 (cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) = (cid:31)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:58)( ,0) (0,+ )(cid:72)(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:31) (cid:72)
1 2
(0,+ )(cid:72) (cid:72)(cid:287)(cid:206) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) >0(cid:72)(cid:168)(cid:30) 𝑦 (cid:13) 𝑓( = 𝑥) ( +1)(cid:31)(cid:83) − (cid:52) ∞ (cid:3)(cid:103) ∪ (cid:77)( ∞ )(cid:216)(cid:201)(cid:247)(cid:43)(cid:44)(cid:72) 𝑥 (cid:176) 𝑥 (1) ∈
1 2
𝑥 𝑓 𝑥 2−𝑥1𝑓 𝑥
∞ 𝑥 ≠𝑥 𝑥 −𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 −1,0 𝑓
4
=4(cid:72)(cid:164)(cid:86)(cid:87)(cid:88) ( )> (cid:31)(cid:93)(cid:263)(cid:169)(cid:171) (cid:173)
A(cid:102)( ) 𝑓 ( 𝑥 0,1) 𝑥 B(cid:102)( ) (1,+ )
C(cid:102)(−1,0 ∪) (0,1) D(cid:102)(−1,0 ∪) (1,∞+ )
−∞,−1 ∪ −∞,−1 ∪ ∞(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:271)5(cid:28)(cid:171)2024·(cid:258)(cid:295)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:168)(cid:141)(cid:142)(cid:81) (cid:175)(cid:31)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:243)(cid:244) (| |)= ( )(cid:72)(cid:176) (2+ )+ ( )= (3)
=6(cid:72)(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:80)(cid:167)(cid:313)(cid:314)(cid:31)(cid:58)(cid:171) (cid:173) 𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 2−𝑥 6,𝑓
A(cid:102) (8+ )= ( ) B(cid:102) ( )(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(cid:242)(cid:245) =4(cid:43)(cid:44)
C(cid:102)𝑓(201)𝑥=3𝑓 𝑥 D(cid:102)𝑓=𝑥 ( +2) (cid:58)(cid:41)(cid:30)𝑥 (cid:13)
(cid:22)(cid:187)(cid:88)5𝑓-1(cid:28)(cid:171)2024·(cid:226)(cid:306)(cid:315)(cid:305)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:141)(cid:142)(cid:81)𝑦(cid:175)(cid:31)𝑓(cid:30)𝑥(cid:13) (−)3(cid:243)(cid:244) (2 )= ( )(cid:72) (1)=2(cid:72) ( +2)(cid:169)
(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:206)(cid:229)(cid:309)(cid:80)(cid:167)(cid:10) 𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑓 3𝑥
(cid:242)(cid:245) =1(cid:169)(cid:316)(cid:245) = ( )(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:246)(cid:123) (cid:77) 2 ,0 (cid:169)(cid:316)(cid:245) = ( )(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:201)(cid:247)(cid:123) (cid:30)(cid:13) ( )(cid:58)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:123)
3
① 20𝑥04 𝑦 𝑓 𝑥 ② 𝑦 𝑓 𝑥 ③ 𝑓 𝑥
( )=0(cid:123) (cid:30)(cid:13) ( )(cid:58)(cid:42)(cid:30)(cid:13).
=1
(cid:46) ④ (cid:201)(cid:72)𝑖(cid:192)(cid:179) 𝑓 (cid:80)𝑖 (cid:167)(cid:31)(cid:76) ⑤ (cid:13)(cid:58)(cid:171) 𝑓 𝑥 (cid:173)
A(cid:102)1 B(cid:102)2 C(cid:102)3 D(cid:102)4
(cid:22)(cid:187)(cid:88)5-2(cid:28)(cid:171)2024·(cid:317)(cid:311)(cid:318)(cid:305)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:45)(cid:46)(cid:126)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:170)(cid:169) (cid:72)(cid:319) ( )= ( )(cid:72)(cid:30)(cid:13)
′ ′
( +3)(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(cid:77)( )(cid:43)(cid:44)(cid:102)(cid:168)(cid:43)(cid:284)(cid:285)𝑓 𝑥 (cid:72)(cid:206) ( +3𝑓)=𝑥 + ( )(cid:72)(cid:164)𝑅(cid:229)(cid:309)𝑔(cid:310)𝑥(cid:144)(cid:192)(cid:179)𝑓 (cid:31)𝑥(cid:58)(cid:171) (cid:173)
𝑓 2𝑥A(cid:102) ( )(cid:86)(cid:169)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:13)−1,1 B𝑥(cid:102)∈𝑅( )(cid:31)𝑓(cid:83)𝑥(cid:52)(cid:86)(cid:3)(cid:103)𝑥(cid:77)(1𝑓,13)−(cid:43)𝑥(cid:44)
𝑔 𝑥 1 𝑓 𝑥
C(cid:102) (211)= D(cid:102) (985)=1
2
𝑔 𝑓
(cid:22)(cid:187)(cid:88)5-3(cid:28)(cid:171)2024·(cid:281)(cid:282)(cid:320)(cid:321)·(cid:75)(cid:232)(cid:173)(cid:141)(cid:142)(cid:81)R(cid:175)(cid:31)(cid:30)(cid:13) (cid:72) (cid:243)(cid:244) <0(cid:72) = + (cid:72)
1 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(0) 𝑓(3−𝑥) 𝑓(1 𝑥)
+ =2(cid:72) + )= +1(cid:72)(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:310)(cid:144)(cid:201)(cid:313)(cid:314)(cid:31)(cid:58)(cid:171) (cid:173)
2
𝑔(2−𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥 𝑓(2𝑥)
A(cid:102) =6(cid:58)(cid:30)(cid:13) (cid:83)(cid:52)(cid:31)(cid:75)(cid:165)(cid:43)(cid:44)(cid:246)
B(cid:102)2𝑥(cid:58) (cid:31)(cid:75)𝑓(cid:76)(𝑥(cid:48)) (cid:49)
C(cid:102)(cid:30)(cid:13)𝑔(𝑥)(cid:83)(cid:52)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:43)(cid:44)(cid:201)(cid:247)(cid:169)(3,0)
D(cid:102)(cid:168) 𝑓(N𝑥) (cid:176) <2023(cid:72) + +1)+ + =0(cid:72)(cid:164)n(cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:39)(cid:169)2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 𝑛(cid:50)∈(cid:48)(cid:49)∗(cid:30)𝑛(cid:13)(cid:28) 𝑓(𝑛) 𝑓(𝑛 ⋯ 𝑓(2023)
(cid:22)(cid:271)6(cid:28)(cid:171)2024·(cid:288)(cid:289)(cid:322)(cid:323)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:169)R(cid:72)(cid:243)(cid:244) ( )= ( )(cid:72)(cid:176)(cid:279) (0,1](cid:94)(cid:72) ( )=
1𝑓6 𝑥 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥−1 𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑥
( ).(cid:168)(cid:43)(cid:284)(cid:285) ( ](cid:72)(cid:287)(cid:206) ( ) (cid:72)(cid:164) (cid:31)(cid:38)(cid:127)(cid:39)(cid:58)(cid:171) (cid:173)
25
1−𝑥 𝑥∈ −∞,𝑚 𝑓 𝑥 ≤ 𝑚
11 14 32 41
A(cid:102) B(cid:102) C(cid:102) D(cid:102)
5 5 15 15
(cid:22)(cid:187)(cid:88)6-1(cid:28)(cid:171)2024·(cid:324)(cid:311)(cid:325)(cid:326)·(cid:193)(cid:232)(cid:173)(cid:141)(cid:142)“(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:58) (cid:175)(cid:31) (cid:327)(cid:50)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:13)” (cid:228)(cid:229): (cid:30)(cid:13) = ( )
D(cid:72)(cid:43)(cid:103)(cid:198)(cid:141)(cid:31)(cid:230)(cid:84)(cid:166)(cid:13) (cid:72)(cid:328)(cid:329)(cid:81)(cid:230)(cid:84)(cid:166)(cid:13) (cid:72)𝑦(cid:188)(cid:227)𝑓 (cid:141)𝑥 (cid:142)(cid:143)𝐷 (cid:61)(cid:31)𝑎 (cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:13) (cid:287)(cid:206) ( )= (𝑦+ 𝑓)(cid:238)𝑥 (cid:216),𝑥(cid:217)∈ (cid:72)
𝑎 𝑇 𝐷 𝑥 𝑎𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑇(cid:330)(cid:94) (cid:169) ( )(cid:31)(cid:48)(cid:49). (cid:168) = ( )(cid:58)[1,+ )(cid:175)(cid:31) (cid:327)(cid:50)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:176) =1(cid:72)(cid:279) [1,2)(cid:94)(cid:72) ( )= +1,(cid:176)
= 𝑇( )𝑓(cid:58)𝑥[1,+ )(cid:175)(cid:31)(cid:32)𝑦 (cid:33)𝑓(cid:290)𝑥(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:72)∞(cid:164)(cid:286)(cid:13)𝑎(cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)(cid:118)(cid:169)(cid:171) (cid:173)𝑇 𝑥∈ 𝑓 𝑥 2𝑥
𝑦 𝑓 A(cid:102) 𝑥 5 ,+ ∞ B(cid:102)[2,+ ) C 𝑎 (cid:102) 5 ,+ D(cid:102)[10,+ )
6 3
(cid:22)(cid:187)(cid:88)6-2(cid:28)(cid:171)∞ 2024·(cid:272)(cid:311)(cid:23)(cid:331)·(cid:177)∞(cid:232)(cid:173)(cid:280)(cid:30)(cid:13) (cid:31)(cid:141)(cid:142)∞(cid:143)(cid:169) (cid:72)(cid:243)(cid:244) = ∞ (cid:72)(cid:176)(cid:279) (0,2](cid:94)(cid:72)
𝑓(𝑥) 3 𝑅 𝑓(𝑥−2) 2𝑓(𝑥) 𝑥∈
= .(cid:168)(cid:43)(cid:284)(cid:285) + )(cid:72)(cid:287)(cid:206) (cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:164) (cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)(cid:118)(cid:58)(cid:171) (cid:173)
8
𝑓(𝑥) 𝑥(2−𝑥) 𝑥∈[𝑎, ∞ 𝑓(𝑥)≤ 𝑎
A(cid:102) 7 ,+ B(cid:102) 5 ,+
2 2
∞ ∞
C(cid:102) 3 D(cid:102) 5
2 2
−∞,− −∞,−
1
(cid:22)(cid:187)(cid:88)6-3(cid:28)(cid:171)2024·(cid:283)(cid:293)(cid:36)(cid:332)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:141)(cid:142)(cid:81) (cid:175)(cid:31)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:243)(cid:244) ( +1)= ( )(cid:72)(cid:176)(cid:279) [0,1)(cid:94)(cid:72) ( )
2
𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥∈ 𝑓 𝑥
3
= | |.(cid:279) [ + )(cid:94)(cid:72) ( ) (cid:72)(cid:164) (cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:39)(cid:169)(cid:171) (cid:173)
32
1− 2𝑥−1 𝑥∈ 𝑚, ∞ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑚
27 29 13 15
A(cid:102) B(cid:102) C(cid:102) D(cid:102)
8 8 4 4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:53)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
2 3
(cid:22)(cid:271)7(cid:28)(cid:171)2024·(cid:288)(cid:282)(cid:333)(cid:334)·(cid:75)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:243)(cid:244) ( + )+ ( )= ( ) ( )， (1)= (cid:72)(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:80)(cid:167)
3 2
(cid:86)(cid:192)(cid:179)(cid:31)(cid:58)(cid:171) (cid:173) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥−𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓
1
A(cid:102) (0)=3 B(cid:102)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:3)(cid:103)(cid:242)(cid:245) = (cid:43)(cid:44)
2
C(cid:102) 𝑓 ( )+ (0) 0 D(cid:102) ( )(cid:31) 𝑓 2(cid:48)𝑥(cid:49)−1(cid:169)3 𝑥
(cid:22)(cid:187)(cid:88)7𝑓-1𝑥(cid:28)(cid:171)𝑓2024≥·(cid:291)(cid:282)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:169)𝑓 R𝑥 (cid:31)(cid:30)(cid:13) ( ) ( )(cid:243)(cid:244)(cid:10) (0) 0(cid:72) ( ) ( ) ( ) ( )
= ( )(cid:72)(cid:176) ( ) ( ) ( ) ( )= ( )(cid:72)(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:310)(cid:144)(cid:86)𝑓(cid:192)𝑥(cid:179),(cid:31)𝑔(cid:58)𝑥 (cid:171) (cid:173)𝑔 ≠ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 −𝑓 𝑦 𝑔 𝑥
𝑓A𝑥(cid:102)−𝑦(0)=𝑔1𝑥 𝑔 𝑦 −𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑔 𝑥−𝑦 B(cid:102) ( )(cid:58)(cid:41)(cid:30)(cid:13)
C(cid:102)(cid:168)𝑔 (1)+ (1)=1(cid:72)(cid:164) (2024) (2024)=𝑓 𝑥 D(cid:102) ( )(cid:58)(cid:41)(cid:30)(cid:13)
(cid:22)(cid:187)(cid:88)7-2𝑓(cid:28)(cid:171)20𝑔24·(cid:258)(cid:295)·(cid:232)(cid:276)𝑓(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:280)−(cid:30)𝑔(cid:13) ( )(cid:31)(cid:141)−1(cid:142)(cid:143)(cid:58)𝑔(0𝑥,+ )(cid:72)(cid:176)(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:192)(cid:286)(cid:13)x(cid:72)y(cid:287)(cid:206) ( )= ( )
+ ( )(cid:238)(cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:149)(cid:134) (2)=1(cid:72)(cid:176)(cid:279) >1(cid:94)(cid:72)𝑓 𝑥( )>0. ∞ 𝑓 𝑥𝑦 𝑓 𝑥
(1) 𝑓 (cid:101) 𝑦 1 (cid:31)(cid:39)(cid:123) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
2
𝑓
(2)(cid:114)(cid:115) = ( )(cid:81)(cid:138)(cid:139)(0,+ )(cid:61)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:335)(cid:198)(cid:183)(cid:336)(cid:326)(cid:123)
(3)(cid:93)(cid:86)(cid:87)𝑦 (cid:88)𝑓(𝑥 )> ( )∞ .
𝑓 2𝑥 𝑓 8𝑥−6 −1(cid:22)(cid:187)(cid:88)7-3(cid:28)(cid:171)2024·(cid:291)(cid:282)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) (cid:72) (cid:31)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:170)(cid:169) (cid:72)(cid:176)(cid:243)(cid:244)(cid:10) >0(cid:72) >0(cid:123)
(cid:169)(cid:42)(cid:30)(cid:13)(cid:72) =1(cid:123) (cid:72) 𝑝(𝑥(cid:72)) 𝑞(𝑥+) = 𝑅+ .①∀𝑥 𝑝(𝑥)
(②1)(cid:101)𝑞(𝑥) (cid:31)(cid:39)(cid:72)(cid:335)𝑞(cid:336)(𝑥(cid:326))(cid:10)≥𝑞(0)(cid:169)(cid:41)(cid:30)③(cid:13)(cid:123)∀𝑥 𝑦∈𝑅 𝑝(𝑥 𝑦) 𝑝(𝑥)𝑞(𝑦) 𝑞(𝑥)𝑝(𝑦)
(2) 𝑝(,0) (cid:72)(cid:176) < (cid:72)𝑝((cid:336)𝑥)(cid:326)(cid:10)
1 2 1 2
∀𝑥 𝑥 ∈𝑅 𝑥 𝑥
)= 1 2 1 2 + 1 2 1 2 (cid:123)
1
2 2 2 2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
①𝑝(𝑥 𝑝 𝑞 𝑞 𝑝
(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:159).
②𝑝(𝑥)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:53)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
2
(cid:22)(cid:271)8(cid:28)(cid:171)2024·(cid:337)(cid:338)(cid:291)(cid:339)(cid:340)(cid:341)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134) ( )= (cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:81)[(cid:342)2(cid:72)2](cid:175)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:168)(cid:243)(cid:244) ( )+ ( )
4 2
𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐
𝑓 𝑥 +𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥
1
=0(cid:176) = (cid:102)
5
𝑓(1)
(1)(cid:101) ( )(cid:31)(cid:93)(cid:186)(cid:88)(cid:123)
(2)(cid:280)𝑓(cid:30)𝑥(cid:13) ( )= 2 +4( R)(cid:72)(cid:168)(cid:43)(cid:284)(cid:285) , [1,2](cid:72)(cid:287)(cid:206) ( )< ( )(cid:238)(cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:101)m(cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)(cid:118)(cid:102)
1 2 2 1
𝑔 𝑥 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚∈ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:187)(cid:88)8-1(cid:28)(cid:171)2024·(cid:175)(cid:343)(cid:344)(cid:288)·(cid:75)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )= 2 (cid:72) R.
(1)(cid:114)(cid:115)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:123) 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑎𝑥−𝑎 𝑎∈
(2)(cid:168)(cid:30)(cid:13) (𝑓)𝑥= ( )(cid:81) =1(cid:345)(cid:206)(cid:199)(cid:39)(cid:72)(cid:176)(cid:3)(cid:103)x(cid:31)(cid:112)(cid:239) ( )= (cid:206)3(cid:76)(cid:86)(cid:158)(cid:31)(cid:286)(cid:151)(cid:72)(cid:101)(cid:286)(cid:13)m(cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)
(cid:118)(cid:123) 𝐹 𝑥 𝑥⋅𝑓 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥 𝑚
(3)(cid:319) ( )= e (cid:171)e(cid:58)(cid:346)(cid:347)(cid:43)(cid:13)(cid:31)(cid:348)(cid:13)(cid:173).(cid:168)(cid:43)(cid:284)(cid:285) (cid:54) [0,e](cid:176) > (cid:94)(cid:72)(cid:170)(cid:206)| ( ) ( )|<
1 2 1 2 1 2
𝑥
| ( 𝑔) 𝑥 ( −)|(cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:101)(cid:286)(cid:13)a(cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)(cid:118). 𝑥 𝑥 ∈ 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
1 2
𝑔 𝑥 −𝑔 𝑥(cid:22)(cid:187)(cid:88)8-2(cid:28)(cid:171)23-24(cid:24)(cid:75)(cid:175)·(cid:349)(cid:289)(cid:349)(cid:275)·(cid:49)(cid:350)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) (cid:31)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:169) (cid:72) (cid:72) ( + )+ ( )=
1 𝑓(𝑥) 𝑅 ∀𝑎,𝑏∈𝑅 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓 𝑎−𝑏 3𝑓
( ) ( )(cid:72)(cid:176) = (cid:81)(cid:138)(cid:139)[0,3](cid:175)(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:161)(cid:102)
3
(1 𝑎 )(cid:101) 𝑓 (cid:336)𝑏(cid:10) 𝑓(1 + ) ,𝑓(𝑥 0 ) (cid:123)
(2)(cid:101) 𝑓+(𝑥) 𝑓+(0)≥+ (cid:31)(cid:39)(cid:123)
(3)(cid:279)𝑓(1) (cid:94)𝑓(cid:72)(2(cid:101))(cid:86)(cid:87)⋯(cid:88)𝑓(2023)+4 (cid:31)(cid:93)(cid:263)(cid:102)
𝑥∈𝑅 3𝑓(2𝑥) ≤9𝑓(𝑥)
( ) ( )
(cid:22)(cid:187)(cid:88)8-3(cid:28)(cid:171)2023·(cid:175)(cid:343)(cid:351)(cid:289)(cid:23)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:169) (cid:31)(cid:30)(cid:13) = ( ).(cid:279) (cid:94)(cid:72)(cid:168) ( )=
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎
(cid:171) (cid:72) (cid:173)(cid:58)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)(cid:44) ( )(cid:58)(cid:75)(cid:76)“ ( )(cid:30)(cid:13)”. 𝐷 𝑦 𝑓 𝑥 𝑎∈𝐷 𝑔 𝑥 𝑥−𝑎
(1)𝑥(cid:114)∈(cid:115)𝐷(cid:30)(cid:13)𝑥≠=𝑎 2 2+ +2(cid:171) 𝑓(cid:173)𝑥(cid:58)(cid:211)(cid:169) (𝑇1)(cid:30)𝑎 (cid:13)(cid:72)(cid:335)(cid:310)(cid:326)(cid:15)(cid:181)(cid:123)
(2)(cid:168)(cid:141)(cid:142)(cid:143)𝑦(cid:169)[0,𝑥+ 𝑥)(cid:31) (0)𝑥(cid:30)∈(cid:13)𝑅 = ( )(cid:243)𝑇(cid:244) (0)=0(cid:72)(cid:93)(cid:3)(cid:103) (cid:31)(cid:86)(cid:87)(cid:88) ( )< (2)(cid:123)
(3)(cid:280) (cid:58)(cid:243)(cid:244)(cid:229)(cid:309) (cid:165)(cid:194)∞(cid:31)(cid:141)𝑇(cid:142)(cid:143)(cid:169)𝑦(cid:31)(cid:30)𝑠(cid:13)𝑥 = 𝑠( )(cid:352)(cid:216)(cid:31)(cid:263)(cid:36)(cid:10)𝜆 (cid:43)(cid:284)(cid:285)𝑠 2𝜆 (cid:72) 𝜆𝑠( )(cid:287)(cid:58) ( )(cid:30)(cid:13)(cid:123)
(𝑃0)= (2)=2(cid:72) ( )= 𝑅(3)=3. 𝑦(cid:168)𝑊(𝑥) (cid:43)(cid:75)(cid:353) (①) (cid:85)(cid:207)𝑢(cid:206)∈𝑅 𝑊(cid:216)𝑥(cid:217)(cid:72)(cid:101)𝑇(cid:286)𝑢(cid:13) (cid:31)(cid:38)(cid:127)
(cid:39)②.𝑊 𝑊 𝑊 −1 𝑊 𝑊 𝑥 ≥𝑚 𝑊 𝑥 ∈𝑃 𝑥∈𝑅 𝑚
(cid:75)(cid:54)(cid:32)(cid:20)(cid:21)
1(cid:102)(cid:171)2024·(cid:317)(cid:273)(cid:354)(cid:355)·(cid:193)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )= | |(cid:72)(cid:164)(cid:3)(cid:103) (cid:31)(cid:86)(cid:87)(cid:88) ( )> ( )(cid:31)(cid:93)(cid:263)(cid:169)(cid:171) (cid:173)
A(cid:102) 1 ,+ B(cid:102) , 1 𝑓 𝑥 𝑥 C 𝑥 (cid:102) 1 ,1 𝑥 𝑓 D(cid:102) 2𝑥 𝑓11−𝑥
3 3 3 3
∞ −∞ −1,2 1
2(cid:102)(cid:171)2024·(cid:281)(cid:282)(cid:356)(cid:311)·(cid:193)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) = (cid:58) (cid:175)(cid:31)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)(cid:286)(cid:13)a(cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)(cid:118)(cid:58)(cid:171) (cid:173)
<1
2
𝑥𝑎−2𝑎𝑥,𝑥≥
𝑓(𝑥) 𝑅
4 4 𝑥−1,𝑥
A(cid:102)(0, ) B(cid:102)(0, ] C(cid:102)(0,1) D(cid:102)(0,1]
5 5
2+ + 0
3(cid:102)(cid:171)2024·(cid:175)(cid:343)(cid:357)(cid:351)·(cid:193)(cid:232)(cid:173)(cid:280)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:72)(cid:168) >0(cid:238)(cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:164)(cid:286)(cid:13)a(cid:31)(cid:233)(cid:39)
2 +3,0< 4
−𝑥 𝑎𝑥 20,−4≤𝑥≤
(cid:117)(cid:118)(cid:58)(cid:171) (cid:173) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 −2𝑥 𝑥≤ 𝑓(𝑥)
A(cid:102)(1,+ ) B(cid:102) 0, 1
3
∞
C(cid:102) 5 ,1 D(cid:102) 1 ,1
16 3
4(cid:102)(cid:171)2024·(cid:282)(cid:358)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:168)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:72)(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:30)(cid:13)(cid:201)(cid:169)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:58)(cid:171) (cid:173)
1
𝑥
A(cid:102) ( +1) B(cid:102) ( ) 𝑓 𝑥 𝑥−𝑥 C + (cid:102) ( )+2 D(cid:102) ( +1)+2
5(cid:102)(cid:171)20𝑓24𝑥·(cid:349)(cid:289)−(cid:359)2(cid:360)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)𝑓(cid:278)𝑥−(cid:173)1(cid:149)−(cid:134)2(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:141)𝑓(cid:142)𝑥−(cid:143)1(cid:169)R(cid:72)(cid:168)(cid:43) R𝑓(cid:287)𝑥(cid:206) (3+ )= ( )(cid:72)(cid:176) ( )(cid:81)
𝑓 𝑥 ∀𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 𝑓 𝑥
2，+ (cid:175)(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:161)(cid:72)(cid:164) (1)， (2)(cid:47) (4)(cid:31)(cid:127)(cid:122)(cid:3)(cid:213)(cid:58)(cid:171) (cid:173)
A(cid:102)∞ (4)< (1)< (2) 𝑓 𝑓 𝑓 B(cid:102) (2)< (1)< (4)
C(cid:102)𝑓(1)<𝑓(2)<𝑓(4) D(cid:102)𝑓(4)<𝑓(2)<𝑓(1)
6(cid:102)(cid:171)20𝑓24·(cid:302)(cid:303)𝑓(cid:361)(cid:362)·(cid:75)𝑓(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:169){ | 0𝑓 }(cid:31)(cid:30)(cid:13)𝑓 ( )(cid:243)𝑓(cid:244) ( + )[ ( )+ ( )]= ( ) ( )(cid:72) (1)
=2(cid:72)(cid:176)(cid:279) (0,+ )(cid:94)(cid:72) ( )>0(cid:238)(cid:216)(cid:217)𝑥(cid:72)𝑥(cid:164)≠(cid:229)(cid:309)(cid:80)(cid:167)(cid:192)𝑓(cid:179)𝑥(cid:31)(cid:58)(cid:171)𝑓 𝑥 (cid:173)𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓
A(cid:102)
2𝑥
=
∈
6
∞ 𝑓 𝑥
B(cid:102) ( )= ( )
3
C(cid:102) 𝑓 ( )(cid:169)(cid:41)(cid:30)(cid:13) D(cid:102) 𝑓 ( 2𝑥 )(cid:81)(cid:138) 2 (cid:139) 𝑓 ( 𝑥 0,+ )(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:159)(cid:30)(cid:13)
7(cid:102)(cid:171)20𝑓24𝑥·(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:363)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:141)𝑓(cid:142)𝑥(cid:143)(cid:169) (cid:72)(cid:30)(cid:13)∞( )= (1+ ) (1+ )(cid:169)(cid:42)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:30)(cid:13)
( )= (2+ ) (cid:169)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:310)(cid:144)𝑓(cid:313)𝑥(cid:314)(cid:31)(cid:58)(cid:171) (cid:173)𝑅 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑥
𝐺 𝑥A(cid:102)(cid:30)𝑓 (cid:13) (3𝑥)(cid:31)−(cid:75)1 (cid:76)(cid:43)(cid:44)(cid:201)(cid:247)(cid:169)(2,1) B(cid:102) (0)=
C(cid:102)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:169)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:176)(cid:75)(cid:76)(cid:48)(cid:49)(cid:169)4D(cid:102)𝑓(1)+−(12)+ (3)+ (4)=6
8(cid:102)(cid:171)2024·(cid:281)𝑓(cid:282)𝑥(cid:283)(cid:363)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) = ( )𝑓(cid:58)(cid:141)(cid:142)𝑓(cid:81)R(cid:175)𝑓(cid:31)(cid:30)(cid:13)𝑓(cid:72) (1+ )= ( )(cid:72)(cid:30)(cid:13) ( +1)
(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:3)(cid:103)(cid:77)( )(cid:43)(cid:44)(cid:72)(cid:176)(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:31) ,𝑦 𝑓[0𝑥,1], (cid:72)(cid:170)(cid:206) 3 ( )𝑓+ 3𝑥( )𝑓>1−3𝑥( )+ 𝑓3 𝑥( )(cid:72)
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:3)(cid:103)(cid:30)(cid:13)−1,=0 ( )(cid:31)(cid:310)(cid:144)(cid:201)(cid:72)(cid:192)(cid:179)𝑥(cid:31)𝑥(cid:76)∈(cid:13)(cid:58)(cid:171)𝑥 ≠(cid:173)𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
( +2)= (𝑦 𝑓)(cid:123)𝑥
①𝑓 𝑥 13 < 𝑓2𝑥6− (cid:123) 2
2 3
②𝑓 (cid:30)(cid:13)− = ( 𝑓 )(cid:81)[2,4](cid:175)(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:159)(cid:123)
③ 𝑦 𝑓 𝑥(cid:86)(cid:87)(cid:88) ( ) 0(cid:31)(cid:93)(cid:263)(cid:169)[ +2]( ).
④A(cid:102)1 𝑓 𝑥 ≥ B(cid:102)24𝑘,4𝑘 𝑘∈𝑍 C(cid:102)3 D(cid:102)4
(cid:193)(cid:54)(cid:221)(cid:20)(cid:21)
9(cid:102)(cid:171)2024·(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:275)·(cid:193)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134) ( )(cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:81)[0,+ )(cid:175)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:290)(cid:159)(cid:176)(cid:83)(cid:52)(cid:364)(cid:365)(cid:86)(cid:115)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:168)
( ) (𝑓)𝑥 ∞ ∀𝑥,𝑦∈
[0,+ )(cid:72)(cid:238)(cid:206) ( + )= (cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:280) > >1(cid:72)(cid:164)(cid:171) (cid:173)
1 ( ) ( ) 1 2
𝑓 𝑥 +𝑓 𝑦
A(cid:102)∞ (0)=0 𝑓 𝑥 𝑦 +𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑥 𝑥
B(cid:102)𝑓 [0,+ ) ( )=1
0 0
C(cid:102) ∃(𝑥 1 )∈ ( 2 ) > ∞ ,𝑓 1 𝑥 2
2 2
𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 𝑥 +𝑥
𝑓
( ) ( )
D(cid:102) 1 2 < 1 2
2 2
𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 𝑥 +𝑥
𝑓
10(cid:102)(cid:171)2024·(cid:23)(cid:366)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134) ( )(cid:72) ( )(cid:287)(cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:81) (cid:175)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:13)x(cid:72)y(cid:243)(cid:244) ( + ) ( )=
( ) ( )(cid:72) (2)+ (1)=0(cid:176) (𝑓2)𝑥 (𝑔1)𝑥 0(cid:72)(cid:164)(cid:229)(cid:309)(cid:80)𝑅(cid:167)(cid:192)(cid:179)(cid:31)(cid:58) 𝑓 𝑥 𝑦 −𝑓 𝑥−𝑦 2𝑔
𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑓 𝑓 ⋅𝑓 ≠ 1
A(cid:102) (0)=0 B(cid:102) (1)=
2
𝑓 𝑔 2024−
C(cid:102) ( )(cid:169)(cid:41)(cid:30)(cid:13) D(cid:102) ( )=2024
=1
𝑓 𝑥 𝑓 𝑛
11(cid:102)(cid:171)2024·(cid:291)(cid:282)(cid:175)(cid:367)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:141)(cid:142) 𝑛 (cid:143)(cid:169)R R ( + ) ( )= 1 ( )(cid:72)
2
𝑓 𝑥 ,∀𝑥,𝑦∈ ,𝑓 𝑥 𝑦 −𝑓 𝑥−𝑦 2𝑓 −𝑥 𝑓 𝑦
(cid:176) 1 =1(cid:72)(cid:164)(cid:171) (cid:173)
2
𝑓
A(cid:102) ( )(cid:169)(cid:42)(cid:30)(cid:13) B(cid:102) ( )=
2 2
𝑥 1−𝑥
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑓 2
C(cid:102) ( )(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:169)2 D(cid:102) ( )]2+ 1 =1
2
(cid:177)(cid:54)(cid:105)(cid:106)𝑓(cid:21)𝑥 [𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥
12(cid:102)(cid:171)2024·(cid:322)(cid:343)(cid:343)(cid:282)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134) ( )(cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:81) (cid:175)(cid:31)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:176)(cid:243)(cid:244) ( +2)= ( )(cid:72)(cid:164) (1000)=
(cid:102) 𝑓 𝑥 𝑅 𝑓 𝑥 −𝑓 −𝑥 𝑓
13(cid:102)(cid:171)2024·(cid:368)(cid:369)·(cid:75)(cid:232)(cid:173)(cid:319)(cid:86)(cid:370)(cid:223) (cid:31)(cid:38)(cid:127)(cid:371)(cid:13)(cid:169) (cid:102)(cid:168)(cid:30)(cid:13) = + (cid:372)(cid:206)(cid:38)(cid:127)(cid:39)(cid:373)(cid:206)(cid:38)(cid:122)(cid:39)(cid:72)
(cid:164)(cid:286)(cid:13) (cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)(cid:118)(cid:58) (cid:102) 𝑥 [𝑥] 𝑓(𝑥) |2𝑥−[2𝑥 𝑡]|
14(cid:102)(cid:171)𝑡2024·(cid:317)(cid:311)(cid:374)(cid:305)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134) ( ) ( )(cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:169) (cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:176) ( )(cid:58)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72) ( )(cid:58)(cid:42)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:243)
(cid:244) ( )+ ( )= 2+ +2(cid:72)(cid:168)(cid:43)(cid:284)(cid:285) 𝑓 (cid:31) 𝑥 1 , < 𝑔 𝑥 < <2(cid:72)(cid:287) 𝑅 (cid:206) ( 1 ) ( 2 )𝑓 > 𝑥 (cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:164)(cid:286) 𝑔 (cid:13) 𝑥 (cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)(cid:118)
1 2
𝑔 𝑥 1−𝑔2𝑥
(cid:58) 𝑓 𝑥 𝑔 . 𝑥 𝑎𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 −3 𝑎
(cid:226)(cid:54)(cid:93)(cid:124)(cid:21)1
15(cid:102)(cid:171)2024·(cid:175)(cid:343)·(cid:177)(cid:232)(cid:173)(cid:149)(cid:134) ( )= (cid:72)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:81)( )(cid:175)(cid:31)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:72)(cid:176) (1)= .
2 3
𝑎𝑥−𝑏
(1)(cid:101) ( )(cid:31)(cid:93)(cid:186)(cid:88)(cid:123) 𝑓 𝑥 4−𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 −2,2 𝑓
(2)(cid:114)𝑓(cid:115)𝑥= ( )(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:335)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:141)(cid:142)(cid:130)(cid:208)(cid:336)(cid:326).
𝑦 𝑓 𝑥
16(cid:102)(cid:171)2024·(cid:375)(cid:321)(cid:376)(cid:377)·(cid:75)(cid:232)(cid:173)(cid:30)(cid:13) (cid:31)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:169)(0,+ )(cid:72)(cid:43)(cid:103) (cid:72) (0,+ )(cid:72) = + (cid:72)
(cid:176)(cid:279) >1(cid:94)(cid:72) <0(cid:102) 𝑓(𝑥) ∞ ∀𝑥 𝑦∈ ∞ 𝑓(𝑥𝑦) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)
(1)(cid:336)𝑥(cid:326)(cid:10) (cid:169)𝑓((cid:161)𝑥)(cid:30)(cid:13)(cid:123)
(2)(cid:168) 1 𝑓 = (𝑥 2 ) (cid:72)(cid:101)(cid:86)(cid:87)(cid:88) + +2>0(cid:31)(cid:93)(cid:263)(cid:102)
2
𝑓 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥−1)
17(cid:102)(cid:171)2024·(cid:272)(cid:311)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:13) (cid:238)(cid:206) + + = (cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:176)(cid:279) <0(cid:94)(cid:72)
>0. 𝑓 𝑥 𝑥,𝑦 𝑓(𝑥−𝑦) 𝑓(𝑥 𝑦) 𝑓(2𝑥) 𝑥
𝑓(1()𝑥(cid:101)) (cid:31)(cid:39);
(2)(cid:114)𝑓(cid:115)(0)( )(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:335)(cid:336)(cid:326);
(3)(cid:93)(cid:3)𝑓(cid:103)𝑥(cid:31)(cid:86)(cid:87)(cid:88): 2 + + + + >0.
𝑥 𝑓 𝑥 −(𝑎 2)𝑥 𝑓(𝑎 𝑦) 𝑓(𝑎−𝑦)
18(cid:102)(cid:171)23-24(cid:24)(cid:193)(cid:229)·(cid:291)(cid:282)(cid:311)(cid:378)·(cid:49)(cid:350)(cid:173)(cid:141)(cid:142)(cid:81)[ ](cid:175)(cid:31)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:243)(cid:244)(cid:10)(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:31) [ ](cid:72)(cid:287)(cid:206)
( + )= ( )+ ( )(cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:176)(cid:279) >0(cid:94)(cid:72) (−2),2>0(cid:102) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑚,𝑛∈ −2,2 𝑓
(1𝑚)(cid:101)(cid:336)𝑛(cid:10) 𝑓( 𝑚)(cid:81)[ 𝑓 𝑛](cid:175)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:290)𝑥(cid:159)(cid:30)(cid:13); 𝑓 𝑥
(2)(cid:93)(cid:3)(cid:103)𝑓(cid:31)𝑥(cid:86)(cid:87)−(cid:88)2(cid:10),2 ( )< ( +1);
𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 2𝑥(3)(cid:149)(cid:134) (1)= 1 (cid:72)(cid:168) ( ) 2 (cid:43)(cid:207)(cid:206)(cid:31) [ ](cid:45) [ ](cid:238)(cid:216)(cid:217)(cid:72)(cid:101)(cid:286)(cid:13) (cid:31)(cid:233)(cid:39)(cid:117)(cid:118)(cid:102)
2
𝑓 𝑓 𝑥 ≤𝑡 −2𝑎𝑡−2 𝑥∈ −2,2 𝑎∈ −2,2 𝑡
19(cid:102)(cid:171)2024·(cid:368)(cid:369)(cid:272)(cid:273)·(cid:232)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:173)(cid:149)(cid:134) >0(cid:72)(cid:30)(cid:13) ( )= 2+ + ( R)(cid:102)
(1)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:83)(cid:52)(cid:379)(cid:223)(cid:77)( )(cid:72)(cid:176)(cid:3)𝑎(cid:103) (cid:31)(cid:86)(cid:87)(cid:88)𝑓 𝑥( ) 𝑎0𝑥(cid:31)(cid:93)𝑏𝑥(cid:263)(cid:169)𝑐[𝑎,𝑏,𝑐]∈(cid:72)(cid:101) ( )(cid:31)(cid:93)(cid:186)(cid:88)(cid:123)
(2)(cid:168) (
𝑓
)(cid:206)
𝑥
(cid:204)(cid:76)(cid:84)(cid:77) (cid:72) (
0,−
<
2
)(cid:72)(cid:176) (
𝑥
)(cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:39)(cid:169)
𝑓 𝑥 ≤
(cid:72)(cid:279)0<
−1
(cid:94)
1,2
(cid:72)(cid:114)(cid:115)
𝑓
(cid:30)
𝑥
(cid:13) ( )= 2+( ) +
2
(cid:81)( 𝑓 ) 𝑥(cid:175)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:72) 𝛼 (cid:335)(cid:310) 𝛽 (cid:326)𝛼(cid:15)(cid:181)𝛽(cid:123) 𝑓 𝑥 −4𝑎 𝑎≤ 𝑔 𝑥 𝑎𝑥 𝑏−2 𝑥 𝑐
(3)(cid:280)𝛼,𝛽= (cid:72)(cid:319) ( )(cid:169)(cid:263)(cid:36){ ( )| +1 }( )(cid:201)(cid:380)(cid:381)(cid:31)(cid:38)(cid:127)(cid:382)(cid:47)(cid:38)(cid:122)(cid:382)(cid:189)(cid:383)(cid:72)(cid:168)(cid:43)
( 𝑏 ](cid:72)2𝑎 ( )>ℎ 𝑡2 (cid:238)(cid:216)(cid:217)𝑓 𝑥(cid:72)(cid:101)𝑡−(cid:286)1(cid:13)≤𝑥(cid:31)≤(cid:233)𝑡 (cid:39)(cid:117)(cid:118)𝑡(cid:102)∈𝑅 ∀𝑡∈
−∞,−1 ℎ 𝑡 𝑎 −𝑎 𝑎
