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专题 7.3 空间直线、平面的平行
目录
题型一： 直线与平面平行的判定..................................................................................................3
题型二： 直线与平面平行的性质................................................................................................13
题型三： 平面与平面平行的判定................................................................................................16
题型四： 平面与平面平行的性质................................................................................................20
题型五： 平行关系的综合应用....................................................................................................25
知识点总结
知识点一、直线与直线平行
(1)基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言 ⇒a∥c
作用 基本事实4表明了平行线的传递性. 可用来证明两直线平行
(2)等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或
文字语言
互补
图形语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝
符号语言
180°
知识点二、直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条
直线与此平面内
判定定理 的 一 条 直 线 平 ⇒a∥α
行，那么该直线
与此平面平行
一条直线与一个
平面平行，如果
过该直线的平面
性质定理 ⇒a∥b
与此平面相交，
那么该直线与交
线平行
知识点三、平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的
两条相交直线与另
判定定理
一个平面平行，那
么这两个平面平行 ⇒β∥α
两个平面平行，如
果另一个平面与这
性质定理
两个平面相交，那
么两条交线平行 ⇒a∥b
例题精讲
题型一：直线与平面平行的判定
【要点讲解】直线与平面平行的判定问题的解题策略：(1)主旨思想：“线线平行”→“线
面平行”；(2)借助顶点、等分点等作出辅助线，在平面内解决线线平行问题；(3)再交代清
楚哪条直线在平面外，哪条直线在平面内，严格依据判定定理进行即可．
【例1】下列各图中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、 分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号是
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【解答】解：对①， 、 、 分别为其所在棱的中点，可证 、 与平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，故①正确；
对②，如图： 与平面 不可能平行，设 平面 ，若 平面 ，
则 ，则 为底面对角线的中点，显然错误，故②不正确；
对③，如图，可证平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，故③正
确；
对④，若 平面 ，则可证平面 平面 ，由图知平面 与平面 不
可能平行，故④不正确；
故选： ．
【变式训练1】如图，点 ， ， ， ， 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各
图中，不满足直线 平面 的是
A． B．C． D．
【解答】解：对于 ，作出完整的截面 ，由正方体的性质可得 ，可
得直线 平面 ，能满足；
对于 ，作出完整的截面 ，由正方体的性质可得 ，可得直线 平
面 ，能满足；
对于 ，作出完整的截面 ，由正方体的性质可得 ，可得直线 平面
，能满足；
对于 ，作出完整的截面，如图 ，可得 在平面 内，不能得出平行，不
能满足．
故选： ．【变式训练2】如图，直三棱柱 中，底面三角形 是正三角形， 是
中点，则下列叙述正确的是
A． 与 是异面直线
B．
C． ， 为异面直线，且
D． 平面
【解答】解：对于 项， 与 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以 错误；
对于 项，由题意知 与 为异面直线，所以 错误；
对于 项，因为 ， 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面 是正三角形， 是 中点，根据等腰三角形三线合一可知 ，
结合棱柱性质可知 ，则 ，所以 正确；
对于 项，因为 所在的平面与平面 相交，
且 与 所在的平面和平面 的交线有公共点，
故 平面 不正确，所以 错误．
故选： ．
【变式训练3】在长方体 中，底面 为正方形， 平面 ，
为 的中点，则下列结论错误的是
A． B．
C． 平面 D．平面 平面
【解答】解： 平面 ， 平面 ，可得 ，故 正确；
连接 ，由 平面 ，可得 ，
由 平面 ，可得 ，
而 ，可得 平面 ， ．
在矩形 中，设 ， ，由 ， ，而 ，
所以 ，
又 ，所以四边形 为正方形，即有 ，故 正确；
设 与 交于 ，连接 ，可得 ，而 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，故 正确；
平面 即为平面 ，而 平面 ，可得平面 平面 ，
若平面 平面 ，又平面 平面 ，可得 平面 ，
显然不成立，故 错误．
故选： ．
【例2】在正方体中 ，已知 为 中点，如图所示．
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 夹角大小．【解答】解：（1）证明：在正方体中 ， 为 中点，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标
系，
设 ，则 ， ，1， ， ，1， ， ，1， ，
， ，1， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，
， 平面 ，
平面 ；
（2） ，0， ， ，
，
设异面直线 与 夹角为 ，
则 ， ，异面直线 与 夹角大小为 ．
【变式训练1】如图，在正方体 中， 为 的中点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
由于 为 的中点， 为 的中点，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）以 为原点， ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ，0， ， ，0， ， ，0，
，
所以 ， ， ， ，0， ，
设 与 所成角为 ，
则 ， ，
所以 与 所成角的余弦值为 ．
【变式训练2】如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， 已 知 ， ，
， 为 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的大小（用反三角函数表示）；
（2）求证： 平面 ．【解答】（1）解：如图，取 的中点 ，连结 ， ， ，
由 是平行四边形知 ，
则 （或其补角）就是异面直线 与 所成的角．
在△ 中， ，
， ，
则 ．
所以异面直线 与 所成角的大小为 ．
（2）证明：如图，连结 ，交 于点 ，连结 ．因为四边形 为矩形，所以 为 中点，
又因为 为 的中点，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 ．
【变式训练3】如图所示，在几何体 中，四边形 为直角梯形， ，
， 底面 ， ， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与直线 所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，以 为原点， 方向为 轴正半轴， 方向为 轴正
半轴， 方向为 轴正半轴建立空间直角坐标系，
则 ，3， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ， ，3， ， ，0，
，
，
，
又 平面 ，
平面 ；
（2）解：由（1）知 ，则 ， ， ，
则 ，
直线 与直线 所成角的余弦值为 ．
题型二：直线与平面平行的性质
【要点讲解】直线与平面平行的性质定理问题的解题策略：(1)主旨思想“线面平行”
→“线线平行”；(2)借助顶点、等分点等作出辅助线进而得到过原直线的一个“新平面”；
(3)确定“新平面”与“原平面”的交线，则交线与原直线平行．
【例3】如图，在四面体 中， 是 中点， 是 中点．在线段 上存在一
点 ，使得 平面 ，则 的值为
A．1 B．2 C．3 D．
【解答】解：如图所示，取 中点 ，且 是 中点，且 ，
取 的四等分点 ，使 ，
在平面 内作 交 于点 ，连接 ，
显然 ，
故 ，且 ，
则四边形 是平行四边形，
则 ，满足 平面 ，
此时 是 的四等分点，故 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，已知圆锥的顶点为 ， 为底面圆的直径，点 ， 为底面圆周
上的点，并将弧 三等分，过 作平面 ，使 ，设 与 交于点 ，则
的值为A． B． C． D．
【解答】解：连接 交 于点 ，连接 ， ， ，则平面 即为平面 ，
因为 ，平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 为底面圆的直径，点 ， 将弧 三等分，
所以 ， ，
所以 且 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，在多面体 中，平面 平面 ， ，且
， ，则A． 平面 B． 平面
C． D．平面 平面
【解答】解：取 的中点为 ，连结 ，如图所示，
因为 ，且 ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，且 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．故选项 正确，
而根据已知条件只能推出上面的关系，无法判断 与平面 是否平行，故选项 错
误；
没有任何关系可以推导 ，故选项 错误；
没有条件可以判断平面 与平面 是否平行，故选项 错误．
故选： ．题型三：平面与平面平行的判定
【要点讲解】证明面面平行的常用方法
(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平
面平行．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(4)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，
β∥γ⇒α∥γ)．
【例4】如图，在正方体 中， 是 的中点， ， ， 分别是 ，
， 的中点，求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
【解答】证明：（1）连接 ，如图所示：
， 分别是 ， 的中点，
，又 平面 ， 平面 ，
直线 平面 ；
（2）连接 ，如图所示：
， 分别是 ， 的中点，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
由（1）得 平面 ，且 平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ．
【变式训练1】正方体 中， 、 分别为 、 的中点， 、 分
别是 、 的中点．
（1）求证： 、 、 、 共面；
（2）求证：平面 平面 ．
【解答】证明：（1）连接 ，由题意可得： ， 分别为 ， 的中点，
则 ，
， ，则 为平行四边形，
，
则 ，
故 、 、 、 共面．
（2）由题意可得： ， 分别为 ， 的中点，
则 ，
，则 ，且 平面 ， 平面 ，
平面 ，
连接 ，由题意可得： ， 分别为 ， 的中点，
则 ， ，
， ，
则 ， ，即 为平行四边形，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， ， 平面 ，
故平面 平面 ．
【变式训练2】如图，在正方体 中， 与 交于点 ，求证：
（1）直线 平面 ；（2）平面 平面 ．
【解答】证明：（1）因为正方体 中， ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为正方体 中， ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
由（1）知 平面 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
题型四：平面与平面平行的性质
【要点讲解】平面与平面平行的性质应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．【例5】下列说法正确的是
A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行
【解答】解：对于 ：如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，
则这两个平面平行或这两个平面相交，故 错误；
对于 ：如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，
则这两个平面平行或这两个平面相交，故 错误；
对于 ：如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，故 正确；
对于 ：如果两个平面平行于同一条直线，
则这两个平面平行或这两个平面重合或这两个平面相交，故 错误．
故选： ．
【变式训练1】如图，在长方体 中，若 ， ， ， 分别是棱 ，
， ， 上的动点．且 ，则必有
A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
【解答】解：当 与 重合， 与 重合时， 与 的夹角便是 与 的夹角，
显然 与 的夹角不是 ， 错误， 错误；
当 不与 重合， ， 平面 ， ；当 与重合时，显然 ， 正确；
当平面 与平面 重合时，平面 与平面 不垂直， 错误；
当 与 重合时，平面 与平面 相交， 错误．
故选： ．
【变式训练2】如图，平面 平面 ，平面 ，平面 ，
， ， ， ， ，则 ．
【解答】解：因为平面 平面 ，平面 ，平面 ，
所以 ，因 ，则 ，
则 ．
故答案为： ．
【例6】由四棱柱 截去三棱锥 后得到的几何体如图所示，四边
形 为平行四边形， 为 与 的交点．
（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 ；
（3）设平面 与底面 的交线为 ，求证： ．
【解答】证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ，
是四棱柱， 平行且等于 ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） 平行且等于 ， 平行且等于 ，
平行且等于 ，
四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
由（1）得 平面 且 ， 、 平面 ，
平面 平面 ．
（3）由（2）得 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
．
【变式训练1】如图，四棱锥 的底面为平行四边形．设平面 与平面 的
交线为 ， 、 、 分别为 、 、 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： ．
【解答】证明：（1）因为 、 、 分别为 、 、 的中点，
底面 为平行四边形，
所以 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
同理可得 平面 ，
所以平面 平面 ；（2） ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
【变式训练2】如图，四棱柱 的底面 是正方形．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 直线 ，证明 ．
【解答】（1）证明：四棱柱 中， ， ，所以
，
且 ， ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理， 平面 ，
又因为 ，
且 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）证明：四棱柱 中，平面 ，
且平面 平面 直线 ，平面 平面 ，
所以 ．
题型五：平行关系的综合应用
【要点讲解】证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问
题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【例7】已知 ， ， 是三个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列结论正确的
是
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D． ， ， ，则
【解答】解：如图所示正方体 中，若直线 、 分别对应 、 ，底面 对应 ，显然有 ， ，
但 ，即 错误；
若底面 对应 ，侧面 、 分别对应 、 ，显然有 ， ，
但 ，即 错误；
同上假设底面 对应 ，侧面 、 分别对应 、 ，
则直线 、 、 分别对应 、 、 ，显然三条直线两两垂直，即 错误；
由面面平行的性质可知 项正确．
故选： ．
【变式训练1】已知平面 ， ， ，直线 ， ， ，下列说法正确的是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【解答】解：平面 ， ， ，直线 ， ， ，
对于 ，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故 错误；
对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误；
对于 ，若 ， ， ，则 ， ，故 正确；
对于 ，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故 错误．故选： ．
【变式训练2】设 ， 是空间中的两条直线， ， 是空间中的两个平面，下列说法正确
的是
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则 与 相交
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则 与 没有公共点
【解答】解： 选项，若 ， ，则 ，或 与 异面，
如图1，满足 ， ，但 与 不平行， 错误；
选项，若 ， ，则 与 平行或相交，
如图2，满足 ， ，但 与 平行， 错误；
选项，若 ， ， ，则 ，或 与 异面，
如图3，满足 ， ， ，但不满足 ， 错误；选项，结合 选项的分析可知：若 ， ， ，则 ，或 与 异面，
即 与 没有公共点，
假设 与 有公共点，设公共点为 ，则 ， ，则 ，但 ，
故矛盾，假设不成立，即 与 没有公共点， 正确．
故选： ．
【变式训练3】若 ， 为空间中两条不同的直线， ， ， 为空间三个不同的平面，
则下列结论正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
【解答】解：对于 、若 ， ，则 或 与 相交，故 错误；
对于 、若 ， ， ，则 ， 的位置关系有平行、相交或异面，故 错
误；
对于 、若 ， ， ，则 ， 的位置关系有：平行、相交或直线在平
面内，故 错误；
对于 、若 ， ，则存在 ，使得 ，则 ，故 ，故 正确．
故选： ．【变式训练4】设 ， ， 是互不重合的平面， ， 是互不重合的直线，给出四个命
题：
①若 ， ，则
②若 ， ，则
③若 ， ，则
④若 ， ，则
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，由 ， ，可得 ，故①正确；
对于②，若 ， ，则 或 ，故②错误；
对于③， ， ，则 和 可能平行、异面或相交，故③错误；
对于④，根据线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行，故④正确．
正确命题的个数是2．
故选： ．
【变式训练5】已知两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 ， ， ，则下列命题：
（1）若 ， ，则 且 ；
（2）若平面 内有不在同一直线的三点 、 、 到平面 的距离都相等，则 ；
（3）若 ， 分别经过两异面直线 ， ，且 ，则 必与 或 相交；
（4）若 ， ， 是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与 ， ， 都相交．
其中正确的命题是
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【解答】解：两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 ， ， ，
对于（1），若 ， ，则 有可能在 内或在 内，故（1）错误；
对于（2），若平面 内有不在同一直线的三点 、 、 到平面 的距离都相等，则与 相交或平行，故（2）错误；
对于（3），假设 既不与 相交，也不与 相交，
， 都在 内，则 ， 平行，同理 ， 平行，
根据平行公理得 ， 平行，
这与 ， 为异面直线矛盾，故假设不成立，
必与 或 相交，故（3）正确；
对于（4），如图， ， ， 是异面直线，
上下两个平面 ， 是分别经过 ， 中的一条而与另一条平行的平面，
直线 与这两个平面都相交，交点 ， 都不在直线 ， 上，
在直线 上任取一点不同于 ， 的点 ，
， 异面， ，
则直线 与点 确定一个平面，
可知这平面与直线 相交，设交点为 ，连接 的直线 必然相交，
否则这条直线必在平面 内，
由于 点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与 ， ， 都相交，故（4）正确．
故选： ．
【变式训练6】在正方体 中，点 在正方形 内，且不在棱上，则A．在正方形 内一定存在一点 ，使得
B．在正方形 内一定存在一点 ，使得
C．在正方形 内一定存在一点 ，使得平面 平面
D．在正方形 内一定存在一点 ，使得 平面
【解答】解：对于 ，假设在正方形 内存在一点 ，使得 ，
作 ， ，垂足分别为 ， ，连接 ，
则 为矩形，且 与 相交，
， ， ，
这与 ， 相交矛盾，故 错误；
对于 ，假设 为正方形 的中心， 为正方形 的中心，
作 ， ，垂足分别为 ， ，连接 ， ，
则 为矩形，
则 ，且 ， 为 ， 的中点，连接 ， ，
则 ，， ，即 ，故 正确；
对于 ，在正方形 内一定存在一点 ，使得平面 平面 ，
由于平面 平面 ，平面 平面 ，
，而 ，
则 在 上，这与题意矛盾，故 错误；
对于 ，假设在正方形 内一定存在一点 ，使得 平面 ，
平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ，故 ，
而 平面 ， 平面 ，故 ，
而 ， ， 平面 ，
故 平面 ，
平面 ，故 ， 重合，与题意不符，故 错误．
故选： ．【变式训练7】如图，正方体 的棱长为1，动点 在直线 上， ，
分别是 ， 的中点，则下列结论中错误的是
A．
B． 平面
C．
D．存在点 ，使得平面 平面
【解答】解：对 ，连接 ， ， 分别是 ， 的中点，则 ，又 ， ，则 为平行四边形，即 ，
， 正确；
对 ，连接 ， ， ，即 ，
，即 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ， 平面 ，
平面 ， 正确；
对 ，分别连接 ， ， ，平面 ， 平面 ，
， ， ，且 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， ，
， ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，故 正确；
对 ， 是 的中点，则 ， ，则 为梯形，
与 相交，则平面 与平面 相交，故 不正确．
故选： ．
【例8】如图，在长方体 中， ， ， 分别为所在棱的中点， ，
分别为 ， 的中点，连接 ， ， ， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 点的位置；若不存在，请说出理由．
【解答】解：（1）证明：连接 ， ， ， ， 分别为所在棱的中点，
， ， ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可证 平面 ，又 ， 平面 平面 ；
（2）线段 上存在点 ，当 时，满足 平面 ，
证明如下；如右图，取 上靠近 点的三等分点为 ，连接 ，连接 并延长交
于点 ，
连接 ，则平面 与平面 为同一平面，
取线段 的中点为 ，连接 ， ，
由平行关系及 为 的中点，得 ，则 ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，且 ，
又 且 ，即 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ．
【变式训练1】如图，在三棱柱 中，若 ， 分别是线段 ， 的中点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，若存在，指出 的具体
位置并证明；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：连接 ，则 为 的中点，且 为 的中点，
为 的中位线，
；
（2）在 上存在点 使得平面 平面 ， 为 的中点，证明如下：
取 的中点 ，连接 ， ，且 为 的中点，
，且 平面 ， 平面 ，
平面 ，同理， 平面 ，且 ， 平面 ，
平面 ，平面 平面 ．
【变式训练2】如图，在三棱柱 中，点 ， 分别在线段 ， 上，且满
足 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ．若存在，求出 ；若
不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：由题意可知 ，
根据相似三角形原理有 ，
又 平面 ，且 不在平面 上，
所以 平面 ；
（2）存在．
由于 ，只需 ，即有平面 平面 ，
当 ，
因为 ， ，
所以平面 平面 ，根据相似三角形原理可知 ．
