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专题 09 坐标系中与点有关的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、坐标系中的面积问题
类型二、坐标系中的角度问题
类型三、坐标系中的线段问题
类型四、坐标系中的规律性探究问题
类型五、坐标系中的新定义问题
压轴专练
类型一、坐标系中的面积问题
例1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ．
(1)在平面直角坐标系中画出 ．
(2)点 关于 轴的对称点 的坐标为__________，点 关于 轴的对称点 的坐标为__________；
(3)在 轴上找一点 ，使 最大；(4)在 轴上找一点 ，使 的周长最小，并求出周长；
(5)已知 为 轴上一点，若 的面积为4，求点 的坐标．
变式1-1．在平面直角坐标系中 、 ，a、b满足 ．
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E， 的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段 沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为
D、C，在坐标平面内是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且 与
的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1-2．如图，在长方形 中， 为平面直角坐标系的原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，且 、 满足 ．点 在第一象限内，点 从原点 出发，以每秒2个单位长度的速
度沿着 的路线运动，回到 点，停止移动．设点 运动的时间为 ；
(1)点 的坐标为______；当点 运动5秒时，点 的坐标为______；(2)在点 运动过程中，当三角形 的面积为一个定值时，则 的取值范围是______；
(3)在运动过程中，当点 到 轴的距离为4个单位长度时，求点 运动的时间；
(4)在 路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形 的面积是10？若存在，求出点 运
动的时间；若不存在，请说明理由．
变式1-3．如图 ，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，将线段 平移
得线段 ，点 对应点 ，点 对应点 ，点 的对应点 在 轴上，点 的对应点 在 轴上．
(1)直接写出 、 、 三点的坐标；
(2)如图 ，点 是 轴上的一个动点，当三角形 面积是三角形 的面积的一半时，求点 的坐标；
(3)如图 ，若动点 从点 出发向左运动，同时动点 从点 出发向上运动，两个点的运动速度之比是 ：
，运动过程中直线 和 交于点 ，若三角形 的面积等于 ，求出点 的坐标．
变式1-4．在平面直角坐标系中， ， ， ，且 ．
(1)填空： ______， ______；
(2)如图（1），平移线段 至 的位置，使A点的对应点是点C，B点的对应点是点D，连接 ， ，直线 交x轴于点P，求点D与点P的坐标；
(3)如图（2），连接 ，点T是x轴正半轴上一点，当 把四边形 的面积分为 的两部分时，求
的长．
类型二、坐标系中的角度问题
例2．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，且满足 ，点 、
点 同时出发， 点从 点出发沿 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动， 点从 点出发沿
轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1) 和 位置关系是_______；
(2)如图（1）当 、 分别在线段 ， 上时，连接 ， ，设此时点 、点 的运动时间为 ．
①请分别用含t的式子表示 和 的面积；
②若 ，求出点P的坐标；
(3)在 、 的运动过程中，当 时，请直接写出 和 的数量关系．
变式2-1．如图，在平面直角坐标系中，点 ，且 与 是一个正实数的两个不同平方根，
轴，且 ，点C在x轴的正半轴， 的平分线 交 于点D，过点A作 ，
交 于点E，点F是线段 上一点，且 ．(1)求点B的坐标．
(2)若 ，求 的度数．
(3)点P在线段 上， ，直线 交 于点Q，求 的值．
变式2-2．如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上， ，
， ，且 ．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)若点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的 ，求点P的坐标；
(3)过点B作 轴，已知 平分 ，点E是y轴上的一个动点（不与点A，C重合）， 平分
交直线 于点F，过点F作 交直线 于点G．
①如图2，点E在点A的上方， ，求 的值；
②请直接写出 和 之间的数量关系．
变式2-3．在平面直角坐标系中， ， ，且a，c满足 ．(1)直接写出a，c的值．
(2)如图1，点 ，在第二象限内有一点 ，若 ，求m的取值范围．
(3)如图2，若 ，点G是第二象限内一点，并且y轴平分 ．点E是线段 上一动点，
连接 交 于点H，当点E在 上运动时， 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；
若不变，请求出其值．
类型三、坐标系中的线段问题
例3．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ， ， 其中， 点A在
第一象限， 且满足 ， ．
(1)请在图1的平面直角坐标系中标出点B 和点C的大致位置，并写出点A，B， C的坐标分别为
A ， B ， C ．
(2)动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线 的方向运动，连接 ，设点P的运动时间为
t秒，三角形 的面积为 ，请用含t的式子表示S (写出相应的t的取值范围)；
(3)在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q 从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线
的方向运动．分别过点O，Q作直线 的垂线，垂足分别为点 G，H．当 时，求t的值．变式3-1．在平面直角坐标系中，点 ，点 ，且 、 满足 ．
(1)直接写出 ________， ________，三角形 的面积是________；
(2)线段 上有一点 ，连接 ，若 平分三角形 的面积，求点 的坐标；
(3)现将线段 平移至 ，使点 、 均落在坐标轴上，且点 、 与点 、 依次对应，线段 与直
线 相交于点 ，直接写出 的值．
变式3-2．如图，在平面直角坐标系中， 轴负半轴上有点 ，点 为 中点．
(1)如图1，点 与点 关于 轴对称，且 ，则点 的坐标为________；求证： 为等边三角
形；
(2)在（1）的条件下，若点 为 轴上 点右侧的一个动点，则 ______ ，并求出 的最小
值（用含 的式子表示）；
(3)如图2， 分别为 轴正半轴与 轴正半轴上的动点，若 ，点 为 的角平分线
交点，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由．类型四、坐标系中的规律性探究问题
例4．如图，在平面直角坐标系中，动点 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点 运动到点
，第2次运动到点 ，第3次运动到点 ，…，按这样的运动规律，动点 第2025次运动到点
（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．
将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以4所得的余数（当余数为0时，向右
平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移），每次平移1个单
位长度．“和点” 按上述规则连续平移3次后，到达点 ，其平移过程如下：
．若“和点” 按上述规则连续平移10次后，到达点
，则点 的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．变式4-2．如图，将点 向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点 ；将点 向上平移2个单
位，再向右平移4个单位，得到点 ；将点 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点 …按这
个规律平移得到点 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式4-3．如图，点A在x轴正半轴及y轴正半轴上运动，点A从原点出发，依次跳动至点 、 、
、 、 、 、 、 ，……按此规律，则点 的坐标是( )
A． B． C． D．
类型五、坐标系中的新定义问题
例5．在平面直角坐标系 中，给定 （n为正整数）个不同的点给出如下定义：记 点 称为这 个点的n阶中点．
例如，当 时，点 为 的1阶中点， 已知点 ， ， ，
．
(1)点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是 ；
(2)点A，B，C，D中任意两点的1阶中点坐标共有 种可能的情况；
(3)在四边形 的四条边上分别取点E， ， ， ， 点Q为E，F，G，H的2阶
中点， 点R为A，B，C，D，E，F，G，H的3阶中点，
① 若点Q与点 R重合时，则点E的坐标为 ；b，d满足的关系式为 ；
② 若点E，F，H分别在线段 ， ， 上运动，请直接写出所有点 R组成的图形面积．变式5-1．对于平面直角坐标系 中的图形 和点 ，给出如下定义：将图形 绕点 顺时针旋转 得
到图形 ，图形 称为图形 关于点 的“垂直图形”，例如，图1中线段 为线段 关于点 的
“垂直图形”．
(1)线段 关于点 的“垂直图形”为线段 ．
①若点 的坐标为 ，则点 的坐标为____．
②若点 的坐标为 ，则点 的坐标为_____．
(2) ， ， ，线段 关于点 的“垂直图形”记为 ，点 的对应点为 ，点F
的对应点为 ．
①求点 的坐标（用含 的式子表示）；
②若 的半径为2， 上任意一点都在 内部或圆上，直接写出满足条件的 的取值范围．变式5-2．在平面直角坐标系 中，对于任意两点 与 的“条件距离”，给出如下定义：
若 ，则点 与点 的“条件距离”为 ；若 ，则点 与点 的“条
件距离”为 ．
例如：点 ，点 ，因为 ，所以点 与点 的“条件距离”为 ，也就是如
图1中线段 与线段 长度的较大值（点 为垂直于 轴的直线 与垂直于 轴的直线 的交点）．
(1)已知点 ， 为 轴上的一个动点，
①若点 与点 的“条件距离”为2，写出满足条件的点 的坐标；
②直接写出点 与点 的“条件距离”的最小值；
(2)已知点 、 、 、 ，在 的边上存在点 ，使得点 、 的
“条件距离”为2，用 、 表示符合条件的点 的位置．1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“ ”方向排列，如
……根据这个规律，第 个点的横坐标为 ，第 个点的坐标
为 ．
2．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”，将某
“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数(当余数为0时，向右平移；
当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度．
例：“和点” 按上述规则连续平移3次后，到达点 ．其平移过程如下：点 横、纵坐标
之和除以3所得的余数为0，向右平移1个单位长度得到点 ，点 横、纵坐标之和除以3所得
的余数为1，向上平移1个单位长度得到点 ，点 横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，向
左平移1个单位长度得到点 ．若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后， 到达点
，则Q的坐标为 ．3．如图六边形 是正六边形，曲线 …叫做正六边形的渐开线，满足 ，
， ， …；点B、点A与点 共线，点C、点B与点 共线，点D、点C与点
共线…，当点A坐标为 ，点B坐标为 时，点 的坐标是 ．
4．综合与探究：如图，已知点 满足 ．将线段 先向上平移2个单位，
再向右平移1个单位后得到线段 ，并连接
(1)点 的坐标是 ，点 的坐标是 ；
(2)点 从 点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为 秒，问：是否存在这样的 ，
使得四边形 的面积等于9？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点 从 点出发的同时，点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，
设射线 交 轴于点 ．设运动时间为 秒，直接写出 的值．5．已知长方形 在平面直角坐标系中，连接线段 ， ，且 交 于点 ．
(1)如图1， 边与 轴平行， 是 轴的正半轴上一点， 是 轴的正半轴上一点， 的平分线和
的平分线交于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图2，若长方形的三个顶点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ．
①请直接写出点 的坐标；
②若长方形 以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为 秒．是否存在某一时刻 ，
使得三角形 的面积等于长方形 的面积的一半？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 ，且满足
，线段 交 轴于点 ，点 为 轴上一动点（点 不与点 重合）．
(1)求点 、 、 的坐标．
(2)如图2，当点 在 轴负半轴上运动时，过点 作 ，分别作 的平分线交于点 ，
试问在点 的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出 的
值．
(3)在 轴上是否存在这样的 点， ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，且满足 ，P点从点A出
发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速
运动．
(1)求点 的坐标和点 的坐标；
(2)在点P，Q运动的过程中，连接 ， ，使三角形 的面积是三角形 面积的4倍，求出点P的
坐标；
(3)在点P，Q运动的过程中，当 时，请探究 和 的数量关系，并说明理由．
8．如图1，点 ， ，且满足 ．
(1)直接写出 、 的坐标： （0，______）， （________，0）；
(2)点 以每秒2个单位长度从点 向 轴负半轴运动，同时，点 以每秒3个单位长度从 点向 轴正半
轴运动，直线 ， 交于点 ，设点 ， 运动的时间为 秒．
①当 时，求证： ；②如图2，当 时，在线段 上任取一点 ，连接 ．点 为 的角平分线
上一点，连接 ，且满足 ．请将图2补全，直接写出 、 、 之间的
数量关系．
9．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交
y轴正半轴于点M，且点M为线段 的中点．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)若点C是直线 上一点，且 ，求点C的坐标；
(3)点P为x轴上一点，当 时，请直接写出满足条件的点P的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，以 为一边在第四象限内画正方形 ， 为
轴上的一个动点 ，以 为一直角边在第四象限内画等腰直角 ，其中 ．(1)点 的坐标为____________
(2)试判断线段 、 的关系，并说明理由；
(3)设 的中点为 ，直线 交 轴于点 ．问：随着点 的运动，点 的位置是否会发生变化？若保
持不变，请求出点 的坐标；若发生变化，请说明理由．
11．在平面直角坐标系 中，对于点 和长度为 的线段 给出如下定义：若线段 平行于 轴
（或与 轴重合），则将线段 向下平移 个单位长度，得到线段 ；若线段 平行于 轴（或与
轴重合），则将线段 向右平移 个单位长度，得到线段 ．若点 在以 为顶点的
正方形的边上，则称点 是线段 的“方田点”．
已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)在 这四个点中，___________是线段 的“方田点”；
(2)点 ，若线段 上存在线段 的“方田点”，则 的取值范围是___________；
(3)点 ，点 是线段 的“方田点”，将点 向下平移 个单位长度，得到点 ．若线
段 的“方田点”都是线段 的“方田点”，直接写出 的取值范围．
