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A题型建模・专项突破
题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形....................................................................................................1
题型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形....................................................................................................6
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形......................................................................................13
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形............................................................................................................21
题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总
结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分别
相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
1．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，已知 平分 ， ，且 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)判断 与 的数量关系，并说明理由．
2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，过点 作
交 于点 ． 为 的中点，连接 ．(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的度数．
3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在 中， 是 边的中点，连接 平
分 交 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)过点 作 交 于点 ，求证： 是等腰三角形．
4．（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交于O点，过O点作 交 ，
于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作
交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
题型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形.
5．如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．(1)求证： 是等腰三角形．
(2)当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图， 为 的角平分线，E为 的中点， 交
的延长线于点F，交 于点G．
(1)求证： 为等腰三角形．
(2)求证： ．
(3)求 的值．
7．（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，动点E在边 上．若这两点分别从点B，A
同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接 交于点P，则在动点D，E
的运动过程中， 与 之间的数量关系是______________________．
（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线 上运动，
动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，交
于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数量关系？请写出简
要的证明过程．
8．（25-26八年级上·福建莆田·期中）数学课上，老师出示了如图中的题目．
如图，在等边 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且 ．试确定线段 与 的大
小关系，并说明理由．小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，归纳猜想】
（ ）如图 ，当 为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，并说明理由；
【特例启发，推理证明】
（ ）如图 ，当 不是 的中点时，小优和小秀认为（ ）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完
成证明过程；
【拓展延伸，问题解决】
（ ）当点 在 的延长线上时，点 在 边上，且 ，请自己画图，并探究（ ）中的结论是
否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
模型解析：如图， △ABC中,AD平分 ∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得 △ABD≅△ACD,从而得
AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
9．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图， 为主梁框架，
是桥墩支撑角度的2倍，即 ，工程师计划在 的角平分线处安装钢架 ，交底
梁 于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索 ，使得 ，分别交 ， 于点F，
E．
(1)求证：加固后的 是等腰三角形；
(2)经测量，主梁全长 为13米，关键节点间距 为5米，求原始支撑段 的长度．
10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图， 为 的角平分线， 交 的延长线于点 ，
．(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)求证： ．
11．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为
上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： ．
（2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点 作 ，垂足为 交 于点 ．若
，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】如图3， 中， ，点 在线段 上，且
于 交 于 ，试探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论．
12．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 ， 平分 ．点 为 上一点，过点
作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可证得 ，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图 ，在 中， 平分 ， 于点 ，若 ， ，通过上述
构造全等的办法，求 的度数；
【问题探究】
（2）如图 ，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系；
【问题解决】（3）如图 是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角
形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
作 的平分线 ；
再过点 作 交 于点
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的
延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形.
13．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在 中， ， 的平分线 交 于
点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)连接 ，若 ，求 的度数．
14．将 沿 折叠，使点 刚好落在 边上的点 处．
(1)在图1中，若 ， ， ，求 ；
(2)在图2中，若 ，
①求证： ．
②若 ，求 的度数．15．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践
【解决问题】
(1)如图①，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 求证： ．
(2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形 中，已知 ，
， ， 是 的高， ， 求 的长．
16．（24-25八年级上·吉林长春·月考）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，
等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，
其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全
等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法．
问题具化：如图1，在 中， ，求证： ；
问题解决：如图2，在 上找一点 ，使 ，过点 作 的平分线，交 于点 ，连接 ．
请你补全余下的证明过程；
问题拓展：
如图3，在 中， 是 的平分线， ，则
___________度．
一、解答题
1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切．(1)如图1，已知 平分 ， ．求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，已知在 中， ， 平分 的外角 ．求证： ．
2．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在等边三角形 中，点 在边 上，点 在 的延长线上，
且 ．
(1)【特例探究】如图1，若点 为 的中点，求证： ；
(2)【类比迁移】如图2，若点 在边 上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由．
3．（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1， 平分 ．点 为 上一点，
过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： ；
（2）【问题探究】如图2， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在
的延长线上，求证： ；
4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；
有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为 的平分线 上一
点，过点P作 交 于点D，易证 为等腰三角形．
(1)基本运用：如图（2），把长方形纸片 沿对角线 折叠，点B落在点 处，重合部分的
是等腰三角形吗？为什么？
(2)解决问题：如图（3），在四边形 中， ，E为 的中点，且 平分 ，连接 ．
求证： ．
5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）在边长为 的等边 中，点 从点 出发沿射线 移动，同时点 从点 出发沿线段 的延长线移动，点 、 移动的速度相同，连接 与 边所在的直线相交于
点 ．
(1)如图①，当点 为 的中点时， 的长为________
(2)如图②，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，当点 、 在移动过程中时，试确定 、 与边长
的数量关系，并说明理由．
6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如
图1， 平分 ，点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可得
，则有 ， （即点 为 的中点）．请你写出证明 的
过程．
（2）【类比解答】如图2，在 中， 平分 ， 于 ，若 ， ，
请通过上述构造全等的方法，求 的度数．
（3）【拓展延伸】如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在
的延长线上，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
7．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍
时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．
（1）如图①，若 ，可作 的平分线 交 于点D，则 是等腰三角形，请给
出证明；
（2）如图②，若 ，可延长 至点D，使 ，连接 ，则______是等腰三角形；
（3）如图③，若 ，以C为顶点， 为一边，在 外作 ______，交 的延长
线于点D，则 是等腰三角形；【解决问题】
（4）如图④，在 中， ， ，求证： ．
8．（2024·辽宁·一模）（1）在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题：
在几何题自中如果有 的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的
点拨，同学们会发现了这样几种方法：
①如图a，作 的角平分线，构造等腰三角形．②如图b，作 ，构造等腰三角形．
③如图c，作 ，构造等腰三角形．④如图d，作 ，构造等腰三角形．
参考以上方法同学们就会解决下面问题：
如图1，在 中， ， ，求证 ．
【类比分析】
（2）如图2，在 中，点D、E两点分别在线段AB、BC上， ， ，过点E作
．如图2，求证 ．
【学以致用】
（3）如图3， 为等边三角形， ，若 ， ，求 的长．
