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专题09 基本平面图形 重难点题型13个
题型1 直线、射线、线段、 角、多边形与圆的基本概念
解题技巧：熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。
1．（2022·辽宁大连·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
①射线AB与射线BA是同一条射线；②若线段 ，则B是线段AC的中点；③线段AB的长度就是
点A与点B之间的距离．
A．①②③ B．①③ C．②③ D．③
【答案】D
【分析】根据射线的性质，中点的定义，两点之间距离的定义即可判断各个说法的正确性．
【详解】①射线AB与射线BA是同一条射线；错误，射线是有方向的，故射线AB和射线BA不是同一条
射线；②若线段 ，则B是线段AC的中点；错误，当A、B、C三点在同一条直线上且点A和点C
不重合时，B是线段AC的中点；
③线段AB的长度就是点A与点B之间的距离；正确；正确的只有③，故选：D.
【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，熟练地掌握各个命题的正确内容是解题的关键．
2．（2022·山东省泰安南关中学期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A．点O在射线AB上 B．点A在线段OB上
C．点B是直线AB的一个端点 D．射线OB和射线AB是同一条射线
【答案】B
【分析】根据射线、直线以及线段的定义即可作出判断．
【详解】解：A、点O不在射线AB上，点O在射线BA上，故此选项错误，不符合题意；
B、点A在线段OB上，故此选项正确，符合题意；
C、点B是线段AB的一个端点，故此选项错误，不符合题意；
D、射线OB和射线AB不是同一条射线，故此选项错误，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了线段、射线以及直线的定义，理解三线的延伸性是理解三个概念的关键．
3．（2022·山东烟台·期中）下列语句中：（1）角平分线是一条直线；（2）若 ，
则 是 的平分线；（3）两条射线组成的图形叫角；（4）A、B两点之间的距离，就是点A与点B
之间线段的长度．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B
【分析】根据相关的知识具体判断即可．
【详解】（1）角平分线是一条射线，本语句错误；
（2）若 ，但这两个角不一定相等，则 不一定是 的平分线，
本语句错误；（3）有公共顶点的两条射线组成的图形叫角，本语句错误；
（4）A、B两点之间的距离，就是点A与点B之间线段的长度，
本语句正确，共有1个语句正确，故选B．
【点睛】本题考查了角的平分线的属性，角即有公共顶点的两条射线围成的图形，两点间的距离即两点之
间线段的长度，熟练掌握各自的定义或性质是解题的关键．
4．（2022·山西太原·七年级期末）根据下列语句画相应的几何图形，正确的是（ ）
A． 点O在直线AB上
B． 直线AB与CD都经过点O
C． 在∠ABC内部画射线BP
D． 延长BA到点C，使BC＝2AB
【答案】B
【分析】根据对几何语言的理解和图形的分析可得答案．
【详解】解：A．点O在直线AB外，故错误，不符合题意；
B．直线AB与CD交于点O，故正确，符合题意；
C．射线BP在∠ABC的外部，故错误，不符合题意；
D．图形是延长AB到C，故错误，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查图形的初步认识，掌握直线、射线的性质是解题关键．
5．（2022·江苏盐城·七年级期末）下列说法：①角的边越长，角越大；②射线有一个端点，它能够度量长度；③两点之间，线段最短；④相等的角是对顶角；⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线
段最短；⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．正确的有_______．（填序号）
【答案】③⑤⑥
【分析】根据相关概念的定义逐一判断即可．
【详解】①角的大小跟边长无关，错误；
②射线有一个端点，但它不能够度量长度，错误；
③两点之间，线段最短，正确；④相等的角不一定是对顶角，错误；
⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；
⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．故答案是：③⑤⑥．
【点睛】本题考查了平面几何中的相关概念的判断，掌握这些概念是关键．
6．（2022·重庆渝中·初二期末）关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
【答案】D
【分析】根据正多边形的定义判定即可．
【解析】解：A．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
B．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
C．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的定义、熟记各边相等、各角也相等的多边形是正多边形是解决问题的关键．
7．（2022·河南平顶山·七年级期末）下列说法正确的是（ ）．
A．圆的一部分是扇形
B．一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫做扇形
C．三角形是最简单的多边形
D．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形
【答案】C
【分析】根据扇形、多边形的概念逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A.扇形可以看成圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形，比如随便一刀下去，所造成的两
部分很难会是扇形，此选项错误；
B. 一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形叫做扇形，此选项错误；
C.组成多边形的线段至少有3条三角形是最简单的多边形，此选项正确；D. 由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，此选项错误；故选C．
【点睛】本题考查了认识平面图形的知识，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）现有几种形状的正多边形地砖，分别是：①正三角形：②正方形；③正
五边形：④正六边形，每一种正多边形地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种正多
边形地砖镶嵌，那么不能够镶嵌成一个平面图案的正多边形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据一种或几种图形是否能够镶嵌的特点解答即可.
【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故①不符合题意；
②正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故②不符合题意；
③正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故③符合题意；
④正六边形的每个内角是120°，120°×3=360°，能镶嵌，故④不符合题意.故选：C.
【点睛】本题考查了平面镶嵌的特点，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点
处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键.
题型2 角的表示、换算及比较大小
1．（2022·山东·昌乐北大公学学校七年级阶段练习）如图，下列说法错误的是（ ）
A． 也可用 来表示 B． 与 是同一个角
C．图中共有三个角： ， ， D． 与 是同一个角
【答案】A
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要
写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母
究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，
∠2…）表示进行分析即可．
【详解】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；故选：A．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
2．（2022·江西吉安·七年级期末）如下图，下列说法正确的是（ ）
A． 与 表示同一个角 B．
C．图中共有两个角： ， D． 表示
【答案】A
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项符合题意；
B． 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．图中共有三个角： ， ，∠AOC，故选项错误，不符合题意；
D． 表示 ，故选项错误，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，正确表示角是解题的关键．
3．（2022·河南·鹤壁市淇滨中学七年级阶段练习）下列角度换算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据度、分、秒是60进制的数，逐项判断即可．
【详解】根据 ， ，有 ，
A项， ，故A项不符合题意；
B项， ，故B项符合题意；
C项， ，故C项不符合题意；
D项， ， ，即 ，故D项不符合题意；选：B．【点睛】本题考查了角度的换算．掌握度、分、秒是60进制的数是解答本题的关键．
4．（2022·山东烟台·期中）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数
进行大小比较，即可得到结论．
【详解】∵ ， ， =25° ，∴ ．故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关
键．
5．（2022·湖南永州·七年级期末）若 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将三个角的度数都转化成度分秒的形式后，即可得到三个角的大小关系．
【详解】解：∵1°=60′；∴0.25°=60′×0.25=15′；∴∠C=32°15′；
∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．
【点睛】本题主要考查角的大小比较，需要熟练掌握度数与度分秒形式之间的转化．
6．（2022·山东·万杰朝阳学校期中） =____度____分____秒； =______度．
【答案】 55 39 36 43.54
【分析】根据“60进制”的特点进行转换，整数部分即是度的数值，小数部分乘以60得到的数的整数部
分即是分的数值，再将此时的小数部分乘以60即是秒的数值；将秒的值除以3600加上分的数值除以60，
再加上度的数值即可．
【详解】解： ，则度的数值为55，
，则分的数值为39，
，即秒的数值为36；
根据1°= ， 得，
， ，
所以 ，
故答案为：55，39，36，43.54．
【点睛】本题主要考查了度、分、秒之间的转化，掌握“60”进制是解答本题的关键．题型3 直线、射线、线段的实际生活中的应用
解题技巧：主要考查“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可
1．（2022·天津益中学校七年级期末）下列生产. 生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是
（ ）
A．如图1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．如图2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上
C．如图3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线
D．如图4，将甲. 乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的
【答案】A
【分析】利用两点确定一条直线以及两点之间线段最短的性质得出即可．
【详解】解A. 把弯曲的河道改直，可以缩短航程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项符合
题意；
B. 用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意；
C. 植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”，故本选项不
符合题意；
D. 将甲. 乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的，可用“两点确
定一条直线”，故本选项不符合题意；故选：A
【点睛】此题主要考查了线段的性质，正确把握两点之间线段最短的性质是解题关键．
2．（2022·河北·石家庄市长安区阳光未来实验学校七年级期中）我们在用枪瞄准时，总是用一只眼对准准
星和目标，用数学知识解释为（ ）
A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据两点确定一条直线进而得出答案．
【详解】解：在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和目标的直线上，才能射中目标，
这说明了两点确定一条直线的道理．故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线的性质，利用实际问题与数学知识联系得出是解题关键．3．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）下列现象能用“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】A
【分析】直接利用直线的性质以及两点之间线段最短分析得出答案．
【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
②从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，根据是两点之间线段最短；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段以及直线的性质，解题的关键是正确把握相关性质．
4．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心七年级期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠
用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过
刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知
识是（ ）
A．垂线段最短 B．线段有两个端点 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线；故选D．
【点睛】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握这一知识点是解题的关键．
5．（2022·河南漯河·七年级期末）下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
（3）植树时，只要确定两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）【答案】D
【分析】利用直线和线段的性质对选项逐一进行判断得出结论．
【详解】（1）利用两点确定一条直线解释，故不符合题意；
（2）可用“两点之间，线段最短”解释，故符合题意；
（3）利用两点确定一条直线解释，故不符合题意；
（4）可用“两点之间，线段最短”解释，故符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查直线和线段的性质，解决本题的关键是对直线和线段的性质熟练应用并熟悉两者的区别．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车，他选择
第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
【答案】C
【分析】依据线段的性质进行判断即可．两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，
这些所有的线中，线段最短．
【详解】解：他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是：两点之间，线段最短．故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，简单说成：两点之间，线段最短．
题型4 线段、角度、多边形中的计数问题
1．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）石衡沧港城际铁路是京津冀城际铁路网“四纵四横一
环”的重要组成部分，在沧州境内途径泊头、沧县、黄骅、渤海新区四个县（市），要保证每两个县
（市）之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．20种 B．15种 C．12种 D．6种
【答案】C
【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数．
【详解】解：需要印制不同的火车票的种数为 （种）故选：C
【点睛】本题考查了线段的运用，注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况．2．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）下面图形中共有线段 ( )条．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】分别以 为线段的一个端点找出线段即可求解．
【详解】解：图中线段有： 共10条，故选D．
【点睛】本题考查了数线段条数，掌握线段的定义是解题的关键．
3．（2022·福建龙岩·七年级期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同
的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，
可以画出锐角的个数为（ ）
A．165 B．186 C．199 D．210
【答案】D
【分析】根据已知条件得出规律为从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ，
代入即可得到答案．
【详解】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；
画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角；……
从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为 故选：D．
【点睛】本题考查了角的概念，解题的关键是找到规律．
4．（2022·河南周口·七年级期末）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线
相交最多有多少个交点？（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4条直线相交时最多有
1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线
相交时交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，交点最多有 ．
【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2=3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；
…
∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点；
6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；
7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；
n条直线相交，交点最多有 ．故选A．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有
1+2+3+…+n-1个是解题的关键．
5．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，在 的内部从 引出3条射线，那么图中共有__________个
角；如果引出5条射线，有__________个角；如果引出 条射线，有____ 个角．
【答案】 10 21
【分析】先找以 为始边的角，然后再找依次以射线为始边的角，依次找出相加即可．
【详解】在 的内部从 引出3条射线，则图中共有角的个数： ；
如果引出5条射线，则图中共有角的个数： ；
如果引出 条射线，则图中共有角的个数： ．故答案为：10；21； ．
【点睛】考查了角的概念，本题解决的关键是在数角的个数时，能按一定的顺序计算，理清顺序是解题的
关键．
6．（2022·山东淄博·期中）探究归纳题：
(1)试验分析：如图1，经过A点可以做______条对角线；同样，经过B点可以做______条对角线；经过C
点可以做_____条对角线；经过D点可以做______条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有_______条对角线．
(2)拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_______条对角线；图3共有______条对角线；
(3)探索归纳：对于n边形（ ），共有_________条对角线．（用含n的式子表示）
(4)运用结论：九边形共有________条对角线．
【答案】(1)1，1，1，1，2(2)5，9(3) (4)27
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）根据对角线的定义，可得答案；（3）根据探索，可
发现规律；（4）根据对角线的公式，可得答案．
(1)解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以
做 1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．故答案为∶1，1，1，1，2；
(2)解∶ 运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线；故答案：5，9；
(3)解∶由（1），（2）可知，对于n边形（n＞3），共有 条对角线；故答案为： ；
(4)解：当n=9时， ，∴十边形有27对角线．故答案为：27．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式 是解题关键．
7．（2022·吉林·长春南湖实验中学七年级阶段练习）【教材重现】如图是数学教材第135页的部分截图．
在多边形中，三角形是最基本的图形．如图4.4.5所示，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？
在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线．
【问题思考】结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并填写表：
多边形边
四 五 六 …… 十二 …… n
数
从一个顶
点出发，
1条 …… ……
得到对角
线的数量
【问题探究】n边形有n个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次，由此可推导
出，n边形共有 对角线（用含有n的代数式表示）．
【问题拓展】（1）已知平面上4个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 条线段．
（2）已知平面上共有15个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 条线段．
（3）已知平面上共有x个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 条线段（用含有x的代数
式表示，不必化简）．
【答案】规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数； 2条，3条，9条， 条；
条；（1）6；（2）105；（3）
【分析】通过观察多边形边数与其分割的三角形个数，即可发现规律
利用规律，多边形的边数 一个顶点出发的对角线数，直接填写表格即可
先求出所有顶点得到的对角线之和，最后除以2即可得到 边形的对角线条数
（1）根据题意，四边形一个顶点可以得到一条，四个点共4条，再去除一半，加上四个点单独连接的4条
线段，即可得到答案．
（2）根据规律可以发现：十五边形的每个点可以得到12条，15点有180条，去掉一半，加上15个点组成
的十五边形的的15条边，即可得到答案．
（3）通过上述两小题，即可以找到对应的规律，利用规律进行求解即可．
【详解】由图可以直接发现：多边形的边数与其分割的三角形个数相差2，故规律为：多边形的边数减去
2，就是多边形中的三角形的个数．利用上图规律，便可以知道从五边形的一个顶点出发，得到2条对角线；六边形的一个顶点出发，得到3
条对角线；十二边形的一个顶点出发，得到9条对角线； 边形的一个顶点出发，得到 条对角线．
边形的一个顶点可以得到 条对角线，故 个顶点共有 ，由于每条对角线重复连接了一次，故
n边形共有 条对角线
（1）解：有四个点可以组成四边形，每个点可以得到1条对角线，四个点共4条，
每条对角线重复连接了一次， 对角线条数为2，
四边形的边数为4， 一共可以连接2+4=6条线段．
（2）解：有15个点可以组成十五边形，每个点可以得到12条对角线，四个点共180条，
每条对角线重复连接了一次， 对角线条数为90，
四边形的边数为15， 一共可以连接90+15=105条线段．
（3）解：由前面题的规律可知：有 个点可以组成 边形，每个点可以得到 条对角线，四个点共
条， 每条对角线重复连接了一次， 对角线条数为 ，
四边形的边数为 ， 一共可以连接 条线段．
【点睛】本题主要是考察了图形类的规律问题以及列代数式，根据题意，找到对角线与多边形的边数关系
是解决本题的关键，另外，注意本题是问的点与点之间可连接的线段数，不要只算对角线的条数．
题型5作图问题
解题技巧：（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作
图。
1．（2022·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段 ，使 ．
要求：不写作法，但要保留作图痕迹，标注大写字母．
【答案】作图见解析
【分析】根据线段的和差的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图所示，线段AB即为所求；
先作射线AP，再以A为圆心，以线段a的长为半径画弧与射线AP交于点C，再以点C为圆心，以线段c
的长为半径画弧交射线AP于D，再以D为圆心，以线段b的长为半径画弧交射线AP于E，最后以E为圆
心，以线段b的长为半径画弧交射线AP于B，线段AB即为所求；
【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段的和差，熟知相关作图方法是解题的关键．
2．（2022·河南郑州·七年级期末）尺规作图：如图，已知线段a．
(1)作线段 ；
(2)在第一步的作图痕迹中找出线段AB的中点，标记为点O，然后作线段 （线段OC不在AB所在的
直线上）；
(3)连接AC，BC，并用量角器测量 约为_____________ （精确到度）．
注意：以上作图不写作法，必须保留作图痕迹，
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)90（允许有误差）
【分析】（1）根据尺规作图即可；
（2）根据尺规作图即可；
（3）直接量角器测量即可．
（1）
线段 即为所求．
（2）
线段 即为所求．
（3）
90（允许有误差）【点睛】本题考查了基本的线段作图，解决本题的关键是利用好尺规进行作图．
3．（2022·河北保定·七年级期末）已知平面上有四个村庄，用四个点A、B、C、D表示．
(1)连接AB；(2)作射线AD；(3)作直线BC与射线AD交于点E；(4)若要建一供电所M，向四个村庄供电，
要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)M应建在AC与BD的交点处，理由见解析
【分析】（1）根据线段的定义连接即可；
（2）根据射线的定义作出即可；
（3）根据直线、射线的定义进而得出E点位置；
（4）根据线段的性质，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
（1）如图所示，连接AB即为所求；
（2）如图所示，作射线AD即为所求；
（3）如图所示，点E即为所求；
（4）如图，点M即为所求，供电所M应建在AC与BD的交点处；
理由：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段最短，熟知线段的性质是
解题的关键．4．（2022·山东威海·期中）如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的工具按要求画图．
(1)反向延长射线OB，得到射线OD；
(2)在射线OD上取一点F，使得OF＝OC；
(3)在∠AOD内部画射线OE；
(4)在射线OE上取一点P，使得CP＋FP最小；
(5)对于（4）中的结论，依据是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)两点之间，线段最短
【分析】（1）根据射线的概念即可作出；
（2）根据线段的概念作出OF=OC即可；
（3）根据射线的概念画出即可；
（4）根据两点间直线距离最短连接C、F与OE的交点即为点P．
（5）根据两点间直线距离最短即可作答．
（1）
正确画出OD，如下图．
（2）
正确画出OF，如下图．
（3）
正确画出OE，如下图．
（4）
正确画出点P，如下图．（5）
两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查射线、线段的概念与两点间直线距离最短，属于基础题．
5．（2022·江西上饶·七年级期末）下面方格图形中的小方格都是小正方形，用无刻度直尺按要求作图：
(1)延长线段AB至C，使AC＝3AB；
(2)作∠PAC＝45°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用网格特征解决问题即可，注意有两种情形．
（1）
如图，线段AC即为所作；
（2）
如图，∠PAC或 即为所作．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心七年级阶段练习）画一画．
（1）如图，O是直线上的一点，请过点O画出已知直线的垂线．
（2）以点O为圆心画一个直径为4厘米的圆．
（3）在圆上挖取一个最大的正方形．（剩下的用阴影表示）
（4）计算这个阴影部分的面积．（圆周率取3.14）
【答案】（1）（2）（3）见详解；（4）4.56平方厘米
【分析】（1）用直角三角板的一条直角边与直线重合，直角的顶点与直线上的已知点重合，再过这个点
沿另一直角边作垂线即可．
（2）以点O为圆心，在互相垂直的两条直线上，分别截取2厘米为半径作圆，
（3）要画一个最大的正方形，由正方形特点可知圆的两条互相垂直的直径一定是此正方形的两条对角线．
所以要把两条互相垂直的直线与圆相较的四个点，顺次连起来即可．
（4）先利用圆的面积公式s＝ r2求出面积，由图可知正方形的面积是由一条直径分成的两个直角三角形
的面积，求出正方形的面积，再π 相减即可．
【详解】解：（1）（2）（3）如图所示：
（4）3.14×22−4×2÷2×2＝12.56−8＝4.56（平方厘米）；
答：这个阴影部分的面积是4.56平方厘米．
【点睛】此题关键是只要作出过点O画出已知直线的垂线，其它问题就解决了，圆的直径在这两条垂线上，
正方形的对角线在这两条垂线上，再根据题里数据完成即可．题型6 与线段有关的计算
1．（2022·江苏七年级课时练习）如图所示，点B在线段AC上，且 ，点D，E分别是AB，BC
的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C．B是AE的中点 D．
【答案】D
【分析】根据线段中点的性质判断即可；
【详解】A．由 ， ，得： ，即 ，故正确；
B．由D，E分别是AB，BC的中点，得： ，故正确；
C．由E是BC的中点， ，得 ，所以B是AE的中点，故正确；
D．由上述结论，得： ，故错误．故选D．
【点睛】本题主要考查了线段中点的有关判断，准确分析判断是解题的关键．
2．（2022·湖南新邵县·七年级期末）如图，线段AB＝22cm，C是AB上一点，且AC＝14cm，O是AB的
中点，线段OC的长度是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【分析】根据O是AB的中点，求得 的长，即可求解．
【详解】解：∵O是AB的中点，AB＝22cm，∴OA＝OB＝ AB＝ ×22＝11（cm），
∴OC＝AC﹣AO＝14﹣11＝3（cm）．故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键．
3．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上， 时，我们称 为点C在线段AB上的点值，记作
．
甲同学猜想：点C在线段AB上，若 ，则 ．乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则
关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题根据题目所给 的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意
进行分类讨论．
【详解】解：甲同学： 点C在线段AB上，且 ，
， ， 甲同学正确．
乙同学： 点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点， 有两种情况，
①当 时， ，②当 时， ， 乙同学错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可．
4．（2022·内蒙古土默特左旗·七年级期末）已知线段AB=2cm，延长AB到C，使BC= AB，D是线段AB
的中点，（1）求线段CD的长?（2）线段AC是线段DB的几倍？（3）线段AD是线段BC的几分之几？
【答案】（1）4；（2）5倍；（3）
【分析】（1）求得线段 的长度，再求得 的长度，即可求解；
（2）求得线段 和 的长度，即可求解；（3）求得线段 和 的长度，即可求解．
【详解】解：（1）由题意得，如下图：
AB=2cm，BC= AB，所以
D是线段AB的中点，所以
线段
（2）线段 ， 所以，线段AC是线段DB的5倍
（3） ， 所以，线段AD是线段BC的【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，根据题意画出示意图求得每段线段的长度是解题的关键．
5．（2022·山东东昌府区·七年级期末）如图，点C为线段AB上一点，AC=16cm，CB=10cm，点M、N分
别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若AC+BC=bcm，其他条件不变，求出线段MN的长并
说明理由．
【答案】（1）13cm；（2） bcm，理由见解析
【分析】（1）根据线段中点求出CM、CN长，相加即可求出答案；
（2）根据线段中点得出CM= AC，CN= BC，求出MN= （AC+BC），代入即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC=16cm，CB=12cm，
∴CM= AC=16cm，CN= BC=10cm，∴MN=CM+CN=16cm+10cm=13cm，即线段MN的长是13cm；
（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB=bcm，∴CM= AC，CN= BC，
∴MN=CM+CN= AC+ BC= （AC+BC）= bcm，即线段MN的长是 bcm．
【点睛】本题考查了线段中点定义和两点间的距离的应用，主要考查学生的计算能力，本题比较典型，是
一道比较好且比较容易出错的题目．
6．（2022·浙江浙江省·七年级期末）如图，线段 是线段 上一点，M是 的中点，N是
的中点．（1） ，求线段 的长；（2）若线段 ，线段 ，求 的长度（
用含 的代数式表示）．
【答案】（1）CM=1cm，NM=2.5cm；（2）
【分析】（1）求出AM长，代入CM=AM-AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN=AM-AN求出即
可；
（2）分别求出AM和AN，利用AM-AN可得MN．
【详解】解：（1） ， 是 的中点， ，
， ；
， ， 是 的中点， 是 的中点，， ， ；
（2） ， ， ，
是 的中点， 是 的中点， ， ，
．
【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM、AN的长．
7．（2022·河北石家庄市·七年级期中）如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的
中点．（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长 cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中
结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
【答案】（1）16；（2）MN＝6cm；（3）同意，理由见解析
【分析】（1）根据线段中点的定义可求解AP的长，进而可求解AB的长；（2）根据线段中点的定义可求
得AB=2MN，即可求解MN的值；（3）可分两种情况：当P点在线段AB延长线上时，当P点在线段BA
延长线上时，根据中点的定义求解M，N两点间的距离．
【详解】解：（1）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=4cm，∴AP=8cm，∵P为AB的中点，∴AB=2AP=16cm，故答案为：16；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm；
（3）同意．理由：当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，∴AP-BP=2MP-2PN=2MN，即AB=2MN，
∵AB=12cm，∴MN=6cm；
当P点在线段BA延长线上时，∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP-AP=2PN-2MP=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点，由线段中点的定义求解两点间的距离是解题的关键．
8．（2022·南靖县城关中学七年级月考）触类旁通：
（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段
MN的长度；（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请
直接写出线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：
点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．
【答案】（1）5cm；（2） ；（3）会变化， 或 或
【分析】（1）根据点M、N分别是AC、BC的中点，先求出CM、CN的长度，则MN=CM+CN；
（2）根据点M、N分别是AC、BC的中点，CM= AC，CN= BC，所以MN= （AC+BC）= ；
（3）长度会发生变化，分点C在线段AB上、点B在A、C之间和点A在B、C之间三种情况讨论．
【详解】解：（1）∵AC=6cm，点M是AC的中点∴CM= AC=3cm
∵BC=4cm，点N是BC的中点∴CN= BC=2cm
∴MN=CM+CN=5cm∴线段MN的长度为5cm．
（2）同（1）可知：MN＝ ；
（3）线段MN的长度会变化．
当点C在线段AB上时，由（2）知MN＝ ，
当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC=a＞BC=b∵AC=a点M是AC的中点∴CM= AC= a，
∵BC=b点N是BC的中点∴CN= BC= b，∴MN=CM-CN= ，
当点C在线段BA的延长线时，如图：则AC=a＜BC=b同理可求：CM= AC= a，
CN= BC= b，∴MN=CN-CM= ，
∴综上所述，线段MN的长度变化，MN＝ ， ， ．
【点睛】本题主要是线段中点的运用，分情况讨论是解题的难点，难度较大．
题型7 实际背景下的计算问题
1．（2022·北京海淀区·七年级期中）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区
和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，
B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停
靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
【答案】B
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【详解】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）
＝37a+5200（m），
因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝98a+7000
（m），
因为36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜98a+7000，
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：
B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左
向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（ ）
A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】C
【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中
点，根据线段中点定义解答即可．
【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段
的中点，
图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，
∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，故选：C．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关
3．（2022·河北泊头初一期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，
D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会
发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有____________个．
【答案】6
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而
图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次．
【解析】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA∴发出警报的点P最多有6个．故答案为：6．
【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解
决问题的关键，可以减少不必要的分类．
4．（2022·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应
该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、
D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
【答案】C C与D之间
【分析】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A与B之间，在B与C之间，在C
与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论．
【详解】解：如图，
∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB；
若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB；
若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB，
∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短．
如果工作台由5个改为6个，如图，
位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE；
位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE；
位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD；
位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD；
位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE；
∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从 市到 市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇
（ ），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到 地），过了小镇，汽车赶了 千米，傍晚才停下
来休息（休息处 ），司机说：再走从 地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问： ， 两市相距
多少千米．
【答案】A，B两市相距600千米．
【分析】根据题意可知DE的距离且可以得到 ， ， ，
由 计算即可得出结果．
【详解】如图，由题意可知， 千米， ， ，∴ （千米）
∴ （千米）
答：A，B两市相距600千米．
【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键．
6．（2022·浙江浙江省·七年级期中）在数轴上有一线段 ，左侧端点 ，右侧端点 ．将线段 沿数
轴向右水平移动，则当它的左端点 移动到和右端点原位置重合时，右端点 在数轴上所对应的数为24，
若将线段 沿数轴向左水平移动，则右端点 移动到左端点原位置时，左端点 在轴上所对应的数为6
（单位： ）（1）线段 长为_________．（2）由题（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小
红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄．爷爷说：“我若是
你现在这么大，你还要等30年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了，哈哈！”则推
算爷爷现在的年龄是_________
【答案】 70岁
【分析】（1）根据题意，可知点 和点 之间的距离为18，且正好是线段AB长的3倍，则可求出AB
的长（2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，结合（1）即可求出爷
爷的年龄．
【详解】（1）如图所示， ， ， 所以 ．
（2）借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，类似爷爷和小红大时看做当B点移动到A点
时，此时点A'对应的数为-30，小红和爷爷一样大时看做当点A移动到B点时，此时点B'所对应的数为
120，根据（1）中提示，可知爷爷比小红大 （岁）
所以爷爷的年龄为 （岁）．故答案为：①6cm；②70岁．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和线段的应用，找出蕴含的数量关系，以及利用数轴直观解决问
题是解题关键．
题型8 钟面上的角度问题
1．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）每天中午12点30分是“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与
分针所夹的的角为( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： 6×30°- ×30°=180°-15°=165°，
∴时针与分针所夹的的角为165°， 故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
2．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图 是从图 的时钟抽象出来的图形，已知三角形 是等边三角形，
，当时针 正对点 时恰好是 ： ，若时针 与三角形 一边平行时，时针所指的时间
不可能是（ ）
A． ： B． ： C． ： D． ：
【答案】D
【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论．
【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：
当 时，如图2（1），此时对应的时间为 ： 或 ： ；
当 时，如图2（2），此时对应的时间为 ： 或 ： ；
当 时，如图2（3），此时对应的时间为 ： 或 ： ；故选：D．
【点睛】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键．
3．（2022·山东·曹县第二初级中学七年级阶段练习）上午6点20分，钟面上的时针与分针的夹角是__________．
【答案】70°##70度
【分析】利用钟表表盘的特征进行分析：钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，即一个
大格是30°，一个大格之间有5个小格，一个小格是6°，当时针走30°，分针360°，时针是分针的 ，解
答即可．
【详解】解：6点20分，分针走了30°×4=120°，时针走了120°÷12=10°，30°×2+10°=70°，
∴钟面上的时针与分针的夹角是70°，故答案为：70°．
【点睛】此题考查了钟面角的有关知识，解题的关键是掌握钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°，
以及时针与分针走的度数之间的关系．
4．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的
夹角是_________°．
【答案】50
【分析】根据时钟上时针一小时转动30°，时针一分钟转0.5°，分针一分钟转动6°，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ，故选：50．
【点睛】本题考查钟面角，熟练掌握时钟上时针一小时转动30°，分针一分钟转动6°，是解题的关键．
5．（2022·山东菏泽·七年级期中）北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．
在时刻为15：40时，时钟上的时针与分针夹角的度数为______．
【答案】130°##130度
【分析】根据时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
5×30°-40×0.5°=150°-20°=130°，
∴在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：130°，故答案为：130°．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°是解题的关键．
6．（2022·福建泉州·七年级期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．
以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于 ？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于 后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于 ？
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；
（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是 ，列方程解答即可；
（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于 时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与
之和是360°．
（1）
解：∵分针一小时转一圈即360°,
∴分针每分钟转过的角度是： ,
答：分针每分钟转了6度；
（2）
设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，
∵时针一小时转动角度为： ，
时分针每分钟转过的角度是： ；
∵分针与时针所成的钝角会第一次等于 ，
∴时针与分针转过的角度差是 ，
∴ ，
解得： ，
答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；
（3）
设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于 ，
则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于 ，
因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与 之和是360°，
故列得方程： ，
解得： ，
解得： ，
答：经过 分钟两针所成的钝角会第二次等于 ．
【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．
题型9 方位角问题
1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图， 是表示北偏东 的一条射线， 是表示北偏西 的
一条射线，若 ，则 表示的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
【答案】C
【分析】根据题意求得∠AOB的度数，根据角的和差以及 ，可得∠DOC的度数，即可得出
结论．
【详解】解：如图，
∵ 是表示北偏东 的一条射线， 是表示北偏西 的一条射线，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
， ．故选C．
【点睛】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校期末）芳芳家位于琪琪家东偏北35°方向，则琪琪家位于芳芳家（
）方向．
A．北偏东35° B．南偏西35° C．西偏南35° D．西偏南25°【答案】C
【分析】根据方向的相对性，东偏北对西偏南，度数不变，进行分析．
【详解】芳芳家位于琪琪家东偏北35°方向，则琪琪家位于芳芳家西偏南35°方向．故选C．
【点睛】本题解题的关键是理解方向的相对性，地图上一般按上北下南左西右东确定方向．
3．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）如图，点B在点A的（ ）方向．
A．北偏东35° B．北偏东55° C．北偏西35° D．北偏西55°
【答案】C
【分析】先求出55°的余角，再根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：由题意得：90°﹣55°＝35°，∴如上图，点B在点A的北偏西35°方向，故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
4．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，OB是北偏西50°方向的一条射线，若
∠AOB=90°，则射线OA的方向是（ ）
A．西偏北50° B．东偏北40° C．北偏东40° D．北偏西40°
【答案】C
【分析】利用∠AOB的度数减去50°进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：90°-50°=40°，∴射线OA的方向是：北偏东40°，故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
5．（2022·山西吕梁·七年级期中）如图，甲，乙两人同时从A地出发，沿图示方向分别步行前进到B，C
两地，现测得 为100°，B地位于A地的北偏东50°方向，则C地位于A地的（ ）A．北偏西50°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏东50°方向 D．南偏东30°方向
【答案】D
【分析】根据B地位于A地的北偏东50°方向可知，∠EAB=50°，再根据 为100°算出∠FAC即可得出
答案．
【详解】解：∵B地位于A地的北偏东50°方向，
∴∠EAB=50°，
∵ ，
∴ ，
即C地位于A地的南偏东30°方向，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了方位角的有关计算，熟练掌握方位角的定义，是解题的关键．
6．（2022·山东烟台·期中）如图，学校A在小蕾家B南偏西 的方向上，点C表示核酸检测点所在的位
置， ，则核酸检测点在小蕾家什么方向？【答案】核酸检测点在小蕾家北偏东71°方向
【分析】由题意易得∠ABC=136°，∠DBE=90°，∠ABD=27°，则有∠EBC=19°，然后问题可求解．
【详解】解：如图，
∵∠ABC=136°，∠DBE=90°，∠ABD=27°，
∴∠EBC=136°- 27°- 90°=19°，
∵∠EBF=90°，
∴∠CBF=71°，
∴核酸检测点在小蕾家北偏东71°方向．
题型10 一副直角三角形板中的角度问题
1．（2022·河北·石家庄七年级期中）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度数有： 、 、 、 ，根据度数组合，可以得到答案．
【详解】解：利用一副三角板可以画出 的角，是 和 角的组合故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
2．（2022·山东济南·七年级期末）如图，将一副三角尺的两个直角项点O按如图方式叠放在一起，若
∠AOC＝130°，则∠BOD＝（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，推算出 的度数，即可得出 的度数．
【详解】解：由题可知， ，
∵∠AOC＝130°，∴
∴ 故选B．
【点睛】本题考查了角度的和差计算，推理出角度之间的关系是本题的关键．
3．（2022·山东·莘县樱桃园镇中心初级中学七年级阶段练习）如图是一副三角板摆成的图形，如果∠AOC
＝155°，则∠BOD等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】根据题意得：∠AOB=∠COD=90°，由∠AOC＝155°，可得∠AOD=65°，再由∠BOD=∠AOB-
∠AOD，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠AOB=∠COD=90°，
∵∠AOC＝155°，∴∠AOD=∠AOC-∠COD=65°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=25°．故选：B
【点睛】本题主要考查了角的和差关系，熟练掌握角的和差关系的表示是解决本题的关键，
4．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个
三角板的直角顶点重合， ，则 的大小是（ ）．
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B【分析】根据题意可求得∠CAE=40°，再由∠CAE+∠CAD=90°可求得∠CAD的度数．
【详解】解：由题意得：∠DAE=90°，∠BAC=60°，
∵∠BAE=20°，∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=60°-20°=40°，
∵∠CAE+∠CAD=∠DAE=90°，
∴∠CAD=90°−∠CAE=90°-40°=50°，故选：B．
【点睛】本题主要考查有关角的计算，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
5．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，
没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 _____．
【答案】68°
【分析】先求30°和45°重合部分的角度，再加上 和 的和即可得到答案．
【详解】解：三角板重合部分的角度
故答案为：68°．
【点睛】本题考查了角的和差关系，解题的关键是求出重合部分的角度．
6．（2022·江西赣州·七年级期末）如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
(1)若∠DCE＝25°，则∠ACB＝________°；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝_________°．
(2)如图2所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，
请说明理由．(3)如图3所示，已知∠AOB＝ ，∠COD＝ （ ， 都是锐角）．若把它们的顶点O叠放
在一起，将∠AOD与∠BOC的数量关系用含 与 的式子表示出来，直接写出结论．【答案】(1)155，50 (2)∠DAB＋∠CAE＝120°，理由见解析 (3)∠AOD＋∠BOC＝ ＋
【分析】(1)当∠DCE＝25°时，先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；当∠ACB＝130°时，
先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE-∠BCD求出即可；
(2)根据∠DAB=∠DAE+∠BAE求出即可；
(3)根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
（1）解:当∠DCE=25°时，∵∠BCE=90°，∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=65°，∵∠ACD=90° ，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；故答案为∶155；当∠ACB=130°时，∵∠ACD=90° ，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=130°-90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-40°=50°，故答案为∶50；
（2）∠DAB＋∠CAE＝120°，理由如下：∵∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝60°－
∠CAE，∴∠DAB＝∠DAE＋∠BAE＝120°－∠CAE，∴∠DAB＋∠CAE＝120°；
（3） ，理由如下，∵
∴ ，故答案为：
．
【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，正确理解图形中角的位置关系，掌握三角板中各角的度数是
解题的关键．
题型11 与角平分线（角的和差）有关的计算
1．（2022·甘肃瓜州县·七年级期中）如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分
∠AOD．
（1）如图1，若∠COE＝20°，则∠DOB的度数为 °；（2）将图1中的∠COD放置图2的位置，其
他条件不变，探究∠COE和∠DOB之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）40；（2）∠DOB＝2∠COE，理由见解析
【分析】（1）根据∠COD是直角，∠COE＝20°可得∠EOD＝70°，由OE平分∠AOD，可得∠AOD＝140°，从而可得∠DOB＝40°．（2）先根据∠COE与∠AOD之间的关系转化出∠AOD＝180°﹣2∠COE，
再根据∠DOB＝180°﹣∠AOD这一关系代入化简即可得出∠DOB＝2∠COE．
【详解】解：（1）∵∠COD是直角，∠COE＝20°，∴∠EOD＝70°，
又∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝140°，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝40°．故答案为：40．
（2）∠DOB＝2∠COE．
∵∠COD是直角，OE平分∠AOD，∴∠DOE＝ ∠AOD，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣ ∠AOD，∴∠AOD＝180°﹣2∠COE，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣2∠COE）＝2∠COE．
【点睛】本题主要考查角度的计算和角平分线的定义，正确进行角度之间的转化是解题的关键．
2．（2022·江苏七年级课时练习）如图，OM是 的平分线，ON是 的平分线．
（1）如图1，当 是直角， 时， ________， ________ ，
________；
（2）如图2，当 ， 时，猜想： 与 的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当 ， （ 为锐角）时，猜想： 与 ､ 有数量关系吗?如果有，
请写出结论，并说明理由．
【答案】（1） ， ， ；（2） ，理由见解析；（3）有， ，理由见解析．
【分析】（1）观察图形，结合角平分线的定义可得 ，
， 即可求解；
（2）观察图形，结合角平分线的定义可得 ，， 即可求解；
（3）观察图形，结合角平分线的定义可得 ， ，
即可求解；
【详解】解：（1）∵ON 平分 ，∴ ，
∴ ，
∵OM是 的平分线，∴ ，
∴ ；故答案为： ， ， ；
（2） ．理由： ，OM是 的平分线，
，因为ON平分 ，
所以 ， ；
（3） ．理由：因为ON平分 ，所以 ，
又因为 ，OM是 的平分线，
所以 ， ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是掌握角平分线的定义并通过观察图形
找到角与角之间的关系．
3．（2022·山东乳山市·期中）（问题回顾）我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线 上， ，
分别平分 ， ，可求得 ．（不用求解）
（问题改编）点O在直线 上， ，OE平分 ．（1）如图2，若 ，求 的度数；
（2）将图2中的 按图3所示的位置进行放置，写出 与 度数间的等量关系，并写明理
由．
【答案】（1）25°；（2） ，见解析
【分析】（1）先求 ，利用角平分线定义再求 ，最终求 的度数；
（2）设 ，再根据（1）的求解过程，用含α的式子表示两个角的数量关系，从而可得结论．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∵ 平分 ，∴ ．
∴ ．
（2）设 ．则 ．
∵ 平分 ，∴ ．
∵ ，
∴
∴按图3所示的位置放置时， 与 度数间的等量关系为： ．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平角的定义，角的和差关系，熟练运用平角，角平分线探究角与
角之间的关系是解题的关键.
4．（2022·湖北黄梅县·）如图，已知 ， 平分 ， 平分 ．
（1）若 是直角， ，求 的度数；（2）若 ，则 是多少
度？
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据 平分 ，求出 ，根据 平分 ，求出 ，即可求出 的度数；（2）根据角平分线的定义可得 ，由 ，可得
，整理可得 的度数．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ．
∵ 平分 ，∴ ．
∵ 平分 ，∴ ．
∵ ，∴ ．
（2）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ = ∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，正确识图是解答本题的关键．
5．（2022·黑龙江昂昂溪区·）如图①，已知线段AB＝14cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别
是AC和BC的中点．（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝______cm；若AC＝6cm，则DE＝
_______cm；
（2）随着C点位置的改变，DE的长是否会改变？如果改变，请说明原因；如果不变，请求出DE的长；
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝130°，过角的内部任意一点C画射线OC，若OD、OE分别平分
∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【答案】（1）7，7；（2）DE的长不会改变，DE的长为7cm；（3）证明见解析．
【分析】（1）利用线段中点定义求解即可；
（2）利用线段中点定义说明随着C点位置的改变，DE的长不变的原因即可；
（3）根据角平分线的定义说明∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【详解】解：（1）∵AB=14cm，点C为AB的中点，∴AC=BC= AB=7cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC=3.5cm，CE= BC=3.5cm，
∴DE=DC+CE=3.5+3.5=7，
∵AC=6cm，∴BC=AB﹣AC=14﹣6=8cm，∴DC= AC=3cm，CE= BC=4cm，
∴DE=DC+CE=3+4=7cm，故答案为：7，7；
（2）DE的长不会改变．理由如下：
∵点D是线段AC的中点，∴DC＝ AC．
∵点E是线段BC的中点，∴CE＝ BC．
∴DE＝DC+CE＝ AC+ BC＝ AB＝ ×14＝7cm．
∴DE的长为7cm．DE的长不会改变
（3）∵OD平分∠AOC，∴∠DOC＝ AOC．
∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝ ∠BOC．
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝ ∠AOC+ ∠BOC＝ ∠AOB．
∵∠AOB＝130°，∴∠DOE＝ ∠AOB＝ ∠130°＝65°．
∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【点睛】本题考查线段的中点、角平分线、线段的和与差、角的运算，熟练掌握线段中点和角平分线应用
是解答的关键．
6．（2022·辽宁大连市·）如图1，在 内部作射线 ， ， 在 左侧，且 ．
（1）图1中，若 平分 平分 ，则 ______ ；（2）如图2， 平分 ，探究 与 之间的数量关系，并证明；
（3）设 ，过点O作射线 ，使 为 的平分线，再作 的角平分线 ，若
，画出相应的图形并求 的度数（用含m的式子表示）．
【答案】（1）120；（2） ，见解析；（3）见解析， 或
【分析】（1）根据角平分线的性质得到 ，再结合已
知条件即可得出答案；（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ 平分 平分 ，∴ ，
∴ ，∴ ，故答案为：
120；
（2） ．
证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ；
（3）如图1，当 在 的左侧时，
∵ 平分 ，∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
∵ 为 的平分线，∴ ．∴ ；如图2，当 在 的右侧时，∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
∵ 为 的平分线， ．综上所述， 的度数为 或 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数
量关系．
7．（2022·天津和平区·七年级期中）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD＝80°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数．（2）在图1中若∠AOC＝α（其中20°＜α＜100°），请
直接用含α的代数式表示∠DOE的度数，不用说明理由．（3）如图2，①请直接写出∠AOC和∠DOE的
度数之间的关系，不用说明理由．②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣4∠AOF＝
2∠BOE+∠AOF．试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，直接写出关系式即可，不用说明理由．
【答案】（1）10°；（2） α﹣10°；（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°；②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又
由∠DOC＝80°可以求得∠DOE的度数；（2）由第（1）问的求法，可以直接写出∠DOE的度数；（3）①首先写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，由∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠BOC+∠AOC＝
180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
②首先得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，由∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∠COD＝80°，OE
平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度
数之间的关系．
【详解】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝ ∠BOC．∴∠COE＝70°．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣70°＝10°．
（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝ ∠BOC．∴∠COE＝90°﹣ α．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣90°+ α＝ α﹣10°．
（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°．
理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD＝80°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE+∠COE＝80°，∠AOC+2∠COE＝180°∴∠COE＝80°﹣∠DOE．
∵∠AOC+2∠COE＝180°．∴∠AOC+2（80°﹣∠DOE）＝180°．化简，得：∠AOC＝2∠DOE+20°；
②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
理由：∵∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∴∠AOC﹣2∠BOE＝5∠AOF．
∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOE，∴∠AOC﹣2∠EOC＝5∠AOF．
由（3）①知：∠AOC＝2∠DOE+20°，∴2∠DOE+20°﹣2∠EOC＝5∠AOF．
∵∠EOC＝∠COD﹣∠DOE＝80°﹣∠DOE，∴2∠DOE+20°﹣2（80°﹣∠DOE）＝5∠AOF．
∴4∠DOE﹣140°＝5∠AOF．即4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
【点睛】此题主要考查角度的关系综合，解题的关键是熟知角平分线的性质、邻补角的特点．8．（2022·湖南湘潭市·七年级期中）如图①，已知线段AB＝18cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，
E，F分别是AC，BD的中点．（1）若AC＝4cm，则EF＝ cm；（2）当线段CD在线段AB上运动时，
试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．
（3）a．我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分
∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝140°，∠COD＝40°，求∠EOF．
b．由此，你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系 ．（直接写出猜想即可）
【答案】（1）10；（2）不变，10cm；（3）a：90°；b：∠EOF＝
【分析】（1）欲求EF，需求EC＋DC＋DF．已知CD，需求EC＋DF．由E，F分别是AC，BD的中点，
得EC＝ ，DF＝ ，那么EC＋DF＝ ，进而解决此题；
（2）根据（1）的原理计算EF= 即可得到结论；
（3）a：欲求∠EOF，需求∠EOC＋∠DOF＋∠COD．已知∠COD，需求∠EOC＋∠DOF．由OE，OF分
别平分∠AOC和∠BOD，得∠EOC＝ ，∠DOF＝ ，进而解决此题．b：与（a）同理．
【详解】解：（1）∵E，F分别是AC，BD的中点，∴EC＝ ，DF＝ ．
∴EC＋DF＝ ．
又∵AB＝18cm，CD＝2cm，∴AC＋DB＝AB﹣CD＝18﹣2＝16（cm）．
∴EC＋DF＝ ＝8（cm）．∴EF＝EC＋DF＋CD＝8＋2＝10（cm）．故答案为：10．
（2）不变，理由如下：∵E，F分别是AC，BD的中点，∴EC＝ ，DF＝ ．∴EC＋DF＝ ．
∴EF＝EC＋DF＋CD=CD+ = ，
又∵AB＝18cm，CD＝2cm，∴EF＝ ＝10（cm）．
（3）a：∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝ ，∠DOF＝ ．
∴∠EOC＋∠DOF＝ ＝ ．
又∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝100°．
∴∠EOC＋∠DOF＝50°．∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝50°＋40°＝90°．
b：由（1）得：∠EOC＋∠DOF＝ ．
∵∠AOC＋∠DOB＝∠AOB﹣∠COD，∴∠EOC＋∠DOF＝ ．
∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝ ＋∠COD＝ ．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和与差，角的平分线，角的和与差，类比的思想，熟练掌握线段
的中点，角的平分线的定义是解题的关键．
9．（2022·广西南宁市·）如图，己知 ， 是 内的一条射线，且 ．
（1）求 ， 的度数：（2）作射线 平分 ，在 内作射线 ，使得
，求 的度数；（3）过点 作射线 ，若 ，求 的度
数．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）由 ， 即可求出 ， 的度数；
（2）由 ， ，求出 ；由 平分 ,且 ，求出的度数；然后由 得到结果；
（3）分类讨论，画出相关图形，当射线 在 内部时，根据条件，计算出相关角度，由
，得到结果；当射线 在 外部时，由 ，得到结果．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ,
（2）∵ ， ∴
又∵射线 平分 ,且 ∴
∴
（3）分两种情况，讨论：①当射线 在 内部时，作图如下：
∵ ∴
又∵ ,且 ∴
∴ ，
又∵ ∴
②当射线 在 外部时，作图如下：
∵ 且 ∴
又∵ ∴∴ ，
又∵ ∴
综上所述， 或
【点睛】本题考查的是角度的计算，角平分线的性质等，利用分类讨论思想解题是关键．
题型12 多边形与圆的相关计算问题
1．（2022·陕西师大附中八年级期中）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木
块，那么正六边形木板的边长为（ ）
A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm
【答案】C
【详解】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的 ,正六边形的周长为90×3× =180cm，
所以正六边形的边长是180÷6=30cm.故选C.
2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的
对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积= =2x2，
∴9πx2÷2x2= ，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选B．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，
是解题的关键．
3．（2022·四川成都·七年级期末）如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出的对角
线条数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．
【详解】解：从八边边形的一个顶点出发，最多可以引出该五边形的对角线的条数是8-3=5，故选：D．
【点睛】此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握计算公式．
4．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形 的面积为
________．【答案】
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为： = ，故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
5．（2022·陕西汉中·七年级期末）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有 个等边
三角形和______ 个正方形．
【答案】
【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为 如果设用
个正三角形， 个正四边形，则有 ，求出此方程的正整数解即可．
【详解】解：设用 个正三角形， 个正四边形能进行平面镶嵌．
由题意，有 ，解得 ，当 时， ．
故在它的每个顶点周围，有 个正三角形和 个正方形．故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面镶嵌 密铺 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角
加在一起恰好组成一个周角．
6．（2022·江苏·启东市百杏中学八年级阶段练习）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得
到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（ ）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________；
（ ）如图， ， ， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则
的面积为________________．【答案】
【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可；
（2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案.
【详解】解：（ ）∵边长为 的正方形面积 ，边长为 的菱形面积 ，
∴菱形面积：正方形面积 ，
∵菱形的变形度为 ，即 ，∴ ．故答案为： ；
（ ）∵菱形边长为 ，“形变度”为 ，∴菱形形变前的面积与形变后面积比为 ，
∴ ．故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解.
7．（2022·上海普陀·期末）斐波那契数列是数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称
为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13…也就是从第三个数开始，每一个数都是
前两个数的和． 如图所示的长方形是由几个正方形依次拼接而成，其中最小的正方形的边长为1．
(1)如图1中最大的正方形的边长是_________．(2)如图2所示，在小正方形中画弧，将6段圆弧依次连接起来得到曲线ABCDEFG，求曲线ABCDEFG的长．(3)如果按此规律继续画弧，将9段圆弧依次连起来得
到的曲线的长为____．
【答案】(1)8(2) (3)
【分析】（1）由图可以看出最大的正方形是 ，它的的边长是“兔子数列”的第六个数，可得；
（2）由图2可知，每个小正方形内的圆弧的半径都为这个小正方形的边长，根据弧长公式可求每个小正方
形内的弧长，然后相加即可；
（3）根据“兔子数列”的规律继续画弧，第9段圆弧的半径是34，根据弧长公式可求．
（1）解：∵ =1，由图1知， 是数列中的第六项，∴ =8，故答案为:8；
（2）解：由图2可知，每个小正方形内的圆弧的半径都为这个小正方形的边长，
则 …
∴
∴曲线ABCDEFG的长为10π；
（3）解：根据题意得：按此规律继续画弧，将9段圆弧依次连起来得到的曲线的长为：
故答案为：44 ．
【点睛】本题考查用归纳推方法需求数列规律及弧长，理解“兔子数列”的特征是求解本题的关键．
题型13 七巧板相关问题
1．（2022·广东南海区·）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①~⑦编号，①~⑦号分别对应着七巧板的七
块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于______．
【答案】16
【分析】由七巧板的作图原理，设⑤，⑥的面积为x，分别得到其他部分的面积，根据①的面积得到x，从
而计算所有部分的面积即可．
【详解】解：由七巧板的原理可知：
设⑤，⑥的面积为x，则②，③的面积为4x，①的面积为2x，④的面积为2x，⑦的面积为2x，∵①对应的面积等于2，即2x=2，则x=1，
∴这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于x+x+4x+4x+2x+2x+2x=16x=16，故答案为：16．
【点睛】本题考查七巧板中的几何图形；能够理解七巧板的构图原理是解题的关键．
2．（2022·山东城阳区·）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块，如
果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”的面积等于___________cm2．
【答案】80
【分析】将七巧板进行分割，分成16个面积相等的三角形，从而计算即可．
【详解】解：如图，将七巧板进行如下分割，可将七巧板分成16个面积相等的三角形，
其中编号5对应的面积为5cm2，∴由这个七巧板拼成的正方形的面积为：16×5=80cm2，
则拼成的“房子”的面积为80cm2，故答案为：80．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，七巧板的性质，解题的关键是明确七巧板的构成，以及每块的面积与整
个七巧板的关系．
3．（2022·江苏苏州市·九年级专题练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板
组成的．清陆以潘《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．玩
家也可以把它拼成各种人物、形象、动物、桥、房、塔等等．小明用一块边长为8cm的正方形的厚纸板，
做了一套七巧板（如图甲）．小聪用小明做的七巧板拼成一座桥（如图乙），这座桥的阴影部分的面积是
______．【答案】32cm2
【分析】观察两个图之间的关系，发现阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，进而可求得阴影的面积．
【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，
∴阴影部分的面积为8×8÷2=32cm2，故答案为：32cm2．
【点睛】本题考查平面图形的认识 -用七巧板拼图形、正方形的面积，正确得出阴影部分的面积为原正方
形的面积的一半是解答的关键．
4．（2022·河南中原区·七年级期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用一个边长
为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头部所占的面积为
（ ）
A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．20 cm2
【答案】C
1
【分析】由图1的正方形的边长为8cm，可求正方形的面积，再根据牛头所占面积为正方形面积的 可得
4
答案．
【详解】解：∵图1的正方形的边长为8cm，∴正方形的面积是64cm2，
1 1
由牛的拼法可知，牛的头部占正方形的 ，∴牛头部所占的面积是64× =16cm2，
4 4故选：C．
【点睛】本题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手
能力，展开学生的丰富想象力．
5．（2022·福建宁德·七年级期末）七巧板是中国传统数学文化的重要载体．将一块正方形木板制成如图1
所示的一副七巧板，小明选择该副七巧板中的若干块拼成了如图2所示的“帆船”图案，其中已经用上编
号为①和③的两块，则拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是（ ）
A．②⑥ B．④⑥⑦ C．⑤⑥⑦ D．④⑤⑥
【答案】A
【分析】根据七巧板拼凑的方法及拼图的线条即可求解．
【详解】解：图2中“帆”的部分由两块大三角形组成，即图1中的①③④，左侧船体是一块小三角形，
即③，右侧船体由于帆有一些重合，但根据线条形状不难看出是一个平行四边形，即⑥⑦，所以拼成该
“帆船”图案还需要的木块一定是④、⑥和⑦，故选：A．
【点睛】本题考查了七巧板的运用，熟练掌握七巧板的拼凑方法是解题的关键．
6．（2022·湖南株洲·二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，
经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的
拼图”）．图①是由边长为8cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成
的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形（阴影部分）面积为______ ．【答案】
【分析】由图可知，七巧板中小正方形的面积为大正方形面积的 ，先算出大正方形的面积，再计算小正
方形的面积．
【详解】解：由图①可知，小正方形的面积是大正方形面积 ，
因为大正方形的面积为 ，所以小正方形（阴影部分）的面积为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了七巧板，熟知七巧板中图形的构成与面积是解题的关键．
