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专题1.2 等腰三角形（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．50°或70° C．40°或70° D．40°或50°
2．老师在投影屏上展示了如下一道试题：
已知：如图， 平分 ， ．求证： ．
证明：∵ 平分 ，∴ （①角平分线定义），
∵ ，∴ （②等角对等边），
∴③ ，
∴ （④内错角相等，两直线平行）．
则以上证明过程中，结论或者依据错误的是一项是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
3．如图，在等腰 中， ， 平分 交 于点 ，若
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 、 是两格点，如果 也是
图中的格点，且使得 为等腰三角形，则点 的个数是（ ）
A．10 B．6 C．7 D．8
6．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，则图中的
等腰三角形共有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
8．在△ABC中，∠B=∠C，AB=5．则AC=（ ）
A．12 B．9 C．5 D．2
9．如图，上午8时，一艘船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，9时40分
到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，则
B处到灯塔C的距离是( )
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
10．如图，平面直角坐标系 中，点M的坐标为（2，2），点N在 轴上，若△OMN
是等腰三角形，则满足条件的点N共有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．8
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＜∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一边为边画等腰
三角形，使得它的第三个顶点P在△ABC的其他边上，则可以画出不同的点P的个数为（
）A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于
点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（ ）
A．115° B．80° C．65° D．50°
13．如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF＝b，
则AC的长为（ ）
A．a+b B．2b C．1．5b D．b
14．如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的
坐标不可能是（ ）
A．（2，0） B．（ ，0） C．（- ，0） D．（1，0）
15．如图，在等边三角形 中， 边上的高 ， 是高 上的一个动点， 是边 的中点，在点 运动的过程中，存在 的最小值，则这个最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
16．若 的三条边长分别是 、 、 ，且 则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
17．已知 中， 则 的周长等于（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在 中， ，若 ，则 等于（ ）
A．12 B．9 C．3 D．2
二、填空题
19．等腰三角形中顶角为30°，则底角的度数是_____________．
20．等腰三角形的顶角为90°，则它的一个底角度数为__________°．
21．如图， ， 是 上一点，当_________或_________时， ．22．底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是_____．
23．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个
格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使△ABC为等腰三角形，
则满足条件的格点C有_____个．
24．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形__．
25．在一个三角形中，有两个内角分别为 ，那么这个三角形按边分类是_______三
角形．
26．如图，一条船从A处出发，以15里/小时的速度向正北方向航行，10个小时到达B处，
从A、B望灯塔，得∠NAC=37°，∠NBC=74°，则B到灯塔C的距离是_____里．27．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝
10cm，则ΔOMN的周长为____．
28．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）和（3、0），点C是y轴上的
一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底
的等腰三角形时，OC＝__．
29．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知
．判断 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在 、
上分别取点 ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 的反向延长线于点 ．若
，则 ．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：
______________．30．已知等腰△ABC的周长是19，底边长AB＝7，则腰长BC＝___．
31．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于__________.
32．若等边三角形的周长为12，则它的边长为_________
33．已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ___．
34．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（ ， 为小路端点）和一棵小树（ 为小树
位置）．测得的相关数据为： ， ， 米，则
__________米．
35．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三
角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝___cm．
三、解答题
36．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，
求证：BD＝CE．37．如图，点 在线段 上， ， ， ， 平分 ，交
于点 ，求证： ．
38．如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至 ，使 ．
求证： ．39．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的
哪个定理，用字母表示：_________；
（2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原
点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段
OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．40．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度
沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运
动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示PC的长；
（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形时，求t的值；
（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．
41．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，
并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；
（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作
射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则
∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分
别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，
交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．
……
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．
①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．
①求证：△CEF≌△DFE；
②求证：△PEF是等腰三角形；
③小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据等腰三角形的一个外角等于110°，可能是底角的外角是110°，也有可能顶角的外角是
110°，从而求出答案．
【详解】
解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°-110°=70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°-110°=70°，
则底角为：（180°-70°）× =55°，
∴底角为70°或55°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解决问题的关键．
2．B
【分析】根据题目条件可直接判断② 错误，应该是“等边对等角”．
【详解】
解：证明：∵ 平分 ，∴ （①角平分线定义），
∵ ，∴ （②等边对等角），
∴③ ，
∴ （④内错角相等，两直线平行）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，理解掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．B
【分析】
根据等腰三角形的性质求出底角的度数，再根据角平分线求出 ，利用外角的性
质可求 ．
【详解】
解：∵ ， ，
∴AD⊥BC， ，
∴ ，
∵BE平分 ，
∴ ，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质求出底角
的度数．
4．C
【分析】
利用等腰三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，故本选项正确，不符合题意；
B、∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，故本选项正确，不符合题意；
C、∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，而无法得到∠BAD＝∠CAD＝∠C，故本选项错误，符合题意；
D、∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．D
【分析】
分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得
到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB
垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定．解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的
图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
6．B
【分析】
先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判
断．
【详解】
∵∠A=36°，∠DBC=36°，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°，而∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°，
∴∠ABC=∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所
对的边也相等．
7．C
【分析】
由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角
形的定义及等角对等边得出答案．
【详解】
解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确
解答本题的关键．
8．C
【分析】
根据等腰三角形的判定定理，等角对等边即可求解．
【详解】
解：∵∠B=∠C，∴AC=AB=5．
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，等角对等边，理解定理
是关键．
9．B
【分析】
根据所给的角的度数，容易证得△BCA是等腰三角形，而AB的长易求，根据等腰三角形
的性质，即可得出BC的值．
【详解】
据题意得：∠A=26°，∠NBC=52°．
∴∠C=∠NBC-∠A=52°-26°=26°，
∴∠A=∠C=26°，
∴AB=BC．
∵AB=15 25，
∴BC=25(海里)．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定及方向角的问题；由已知得到三角形是等腰三角形
是正确解答本题的关键．要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识解决实际问题的
方法．
10．B
【分析】
根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论
【详解】
解：若OM为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若ON为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若NM为底边，则满足条件的点N有2个，在点O的右侧一个，在点O的左侧一个
由上可知，满足条件的点N共有4个
故选：B
【点拨】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键
11．C
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P，△BCP就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点P，△ACP就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点P，△BCP就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P，△BCP就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于P，则△APB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于P，则△BCP和△ACP是等腰三角形．
【详解】
解：如图：
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
12．D
【解析】
【分析】
首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线
l∥l，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数．
1 2
【详解】
解：根据题意得：AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∵直线l∥l，
1 2
∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选D．
【点拨】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握两直线
平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．
13．D
【分析】
延长AD到点M，使 ，连接BM，根据全等三角形的判定可得 ，由
全等三角形的性质得出 ， ，进而得出 即可得出结果．
【详解】
解：延长AD到点M，使 ，连接BM，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】题目主要考查全等三角形的判定定理及性质、等腰三角形的性质，理解题意，作
出相应辅助线运用全等三角形的判定是解题关键．
14．B
【解析】
【分析】
本题应该分几种情况讨论，已知边AB可能是底边，也可能是腰，当AB是底边时，就有
两个满足条件的三角形．当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点两种情况讨
论．
【详解】
解：由题意得OA＝ ，
当AB为底边时，B点为（1，﹣1），B点不在x轴上，故不存在；
当AB为腰时，有三种情况，当B点为（- ，0），（1，0），（2，0）．
故选B．
【点拨】对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符
合三角形三边关系的前提下分类讨论．
15．D
【分析】
先连接CF，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据
等边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】
连接CF，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴EB=EC，
当B. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
是等边三角形 边上的高，
和 中
∴AD=CF=8，
∴EF+BE的最小值为8，
故选D
【点拨】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线.
16．B
【分析】
根据非负性质求出a,b,c的关系,即可判断．
【详解】
∵ ,
∴a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形．
故选B．
【点拨】本题考查平方和绝对值的非负性,等边三角形的判定,关键在于利用非负性解出三边
关系．
17．D
【分析】
判断 为等边三角形即可求出其周长．
【详解】根据题意可知 为等边三角形，
∴ 的三条边相等且等于3，
∴ 的周长为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质．掌握等边三角形的判定条件是解答本题的关
键．
18．A
【分析】
由题意中三个角的比及三角形内角和定理可得出三角形为直角三角形且有一个角是 ，
根据 角所对直角边是斜边的一半即可得．
【详解】
解：∵ ，
∴根据三角形内角和定理可得： ， ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】题目主要考查三角形内角和定理、直角三角形中 角的性质，熟练运用此性质
是解题关键．
19． ##
【分析】
由等腰三角形的两个底角相等结合三角形的内角和定理列式 再计算即可得到答
案.
【详解】
解：等腰三角形中顶角为30°，则底角的度数是：
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“等腰三角
形的两个底角相等”是解本题的关键.
20．45【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为90°，
∴该等腰三角形的两底角相等，
∴它的一个底角度数为 ．
故答案为：45
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是
解题的关键．
21．
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质即可得出答案．
【详解】
解：根据等腰三角形的三线合一的性质：由角平分线可得， ；
由中线可得： ；
故答案为：① ；② ．
【点拨】题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，理解掌握其性质是解题关键．
22．底边BC的垂直平分线（除底边中点外）
【分析】
由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案．
【详解】
在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边
BC的垂直平分线上．
故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）．
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键．
23．6．
【分析】
以点B为圆心，AB为半径，画圆；以点A为圆心，AB为半径，画圆；作AB的垂直平分线，
即可求解．
【详解】
解：如图，以点B为圆心，AB为半径，画圆与方格纸交于3个格点，其中一个与AB共线舍去，
以点A为圆心，AB为半径，画圆与方格纸交于0个格点，
作AB的垂直平分线，与方格纸交于5个格点，其中一个是AB的中点不合题意舍去，
故满足条件的点C有6个，
故答案为：6．
【点拨】本题考查的知识点是等腰三角形的定义，在同一三角形中，有两条边相等的三角
形是等腰三角形，本题可以采用以上作图法求解，还可以根据等腰三角形的定义分AB为
底边和AB为一条腰两种情况分析求解.
24．△ABD，△BDC，△ABC．
【分析】
先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判
断．
【详解】
∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所
对的边也相等．25．等腰
【分析】
根据三角形的内角和等于180°和三角形的分类，解答此题即可．
【详解】
解：由三角形的内角和求另一个角的度数：180°-120°-30°=60°-30°=30°，
这个三角形的三个内角为：
所以这个三角形按边分是等腰三角形．
故答案为：等腰．
【点拨】本题主要考察三角形的分类及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的分类标准，
是解答此题的关键．
26．150．
【分析】
根据三角形的外角和以及等角对等边的性质，得出BC=AB，再由路程公式即可得出答案．
【详解】
∵∠NAC=37°，∠NBC=74°
∴∠C=37°
∴BC=AB=10×15=150里．
故答案为：150．
【点拨】本题主要考查了三角形的外角和以及等角对等边的性质，熟记知识点是解决本题
的关键．
27．10cm
【分析】
由角平分线和平行线的性质，等量代换得到∠MBO=∠MOB，再由等角对等边得到
OM=BM，同理ON=CN，从而求得结果．
【详解】
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
又OM∥AB，
∴∠ABO=∠MOB，
∴∠MBO=∠MOB，
∴OM=BM，同理ON=CN，
∵BC=10cm，
则△OMN的周长c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm．
故答案为10cm．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
28． ．
【分析】
设C点坐标为（0，a），由勾股定理可表示出BC2和AC2，由△ABC是以AB为底的等腰三
角形可知BC＝AC，据此可列出关于 的方程，求解即可.
【详解】
解：设C点坐标为（0，a），
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC＝AC，
平方得BC2＝AC2，即32+a2＝22+（4﹣a）2，
化简得8a＝11，
解得a＝ ．
故OC＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离及等腰三角形的判定，灵活利用两点
的坐标确定两点间距离是解题的关键.
29．等腰三角形的三线合一
【分析】
根据等腰三角形的三线合一即可得．
【详解】
由作图可知，
是等腰三角形
是等腰 斜边上的中线
（等腰三角形的三线合一）
，即故答案为：等腰三角形的三线合一．
【点拨】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟记等腰三角形的三线合一是解题关键．
30．6
【分析】
根据等腰三角形的性质得，腰长 ，计算即可得出答案．
【详解】
∵等腰△ABC的周长是19，底边长AB＝7，
∴腰长 ，
故答案为：6．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两腰相等是解题的关键．
31．15或18
【详解】
当7为底时，其它两边都为4，7、4、4可以构成三角形，周长为15；
当7为腰时，其它两边为4和7，4、7、7可以构成三角形，周长为18，
故答案是：18或15．
32．4
【分析】
根据等边三角形的基本性质求解即可．
【详解】
解：∵等边三角形三边相等，且周长为12，
∴它的边长为12÷3=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，理解其基本性质是解题关键．
33．12
【分析】
先证明这个等腰三角形是等边三角形，再求周长即可．
【详解】
解：∵有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，
∴这个等腰三角形是等边三角形，边长为4，
它的周长为3×4=12，故答案为：12．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记有一个角是60°的等腰三角形是
等边三角形．
34．58
【分析】
根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【详解】
解：∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC=58米，
∴AC=58米．
故答案为：58．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，关键是得到△ABC是等边三角形．
35．8
【分析】
利用等边三角形的性质求出DF的值，利用三十度角所对的直角边是斜边的一半求出GF，
从而求出BG，利用等腰三角形的性质求出BC．
【详解】
解：∵△BEF是等边三角形
∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60°
∵DE＝2cm
∴DF=4cm
∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴AG⊥BC，BG= BC
∴∠GDF=90°-∠EFB=30°
∴GF= DF=2cm
∴BG=BF-GF=4cm
∴BC=8cm
故答案为8【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出BG的长是解决
问题的关键．
36．见解析
【分析】
过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．
【详解】
证明：如图，过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF-DF=CF-EF，
∴BD=CE．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上
的中线，顶角的平分线互相重合．
37．见解析
【分析】
根据平行线性质得出∠A＝∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC＝CE，根据等腰三
角形的三线合一定理推出即可．
【详解】
证明：∵AD∥BE
∴∠A=∠B
在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（SAS）
∴DC＝CE
又∵CF平分∠DCE
∴EF=DF（三线合一）
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识
点，关键是求出DC＝CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
38．见解析
【分析】
利用等腰三角形三线合一得出 ，再结合等腰三角形的底角相等和外角的
性质得出 ，利用等角对等边证明即可．
【详解】
解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用
等腰三角形的性质和判定进行推理证明．
39．（1）c2＝a2＋b2；（2）①C（0， ），D（2，0）；②点M的坐标为：（ ，0）、
（ ，0）；、（－2，0）、（－ ，0）．
【分析】
（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，根据勾股定理求出AB的长度，根据翻折的性质得到BD
＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，然后在Rt△COD中，根据勾股定理列方程求解即可；
②根据等腰三角形的性质分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵S ＝2× ab＋ c2
梯形ABCD
S ＝ （a＋b）（a＋b）
梯形ABCD
∴2× ab＋ c2＝ （a＋b）（a＋b）
∴2ab＋c2＝a2＋2ab＋b2
∴c2＝a2＋b2．
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，又 ，
根据翻折可知：
BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，
OD＝BD－OB＝5－3＝2．在Rt△COD中，根据勾股定理，得： ，
即（4－a）2＝a2＋4，解得a＝ ．
∴C（0， ），D（2，0）．
答：C、D两点的坐标为C（0， ），D（2，0）．
②如图：
当点M在x轴正半轴上时，当CM＝DM，
设CM＝DM＝x，
在 中，根据勾股定理得： ，
则x2＝（2－x）2＋（ ）2，解得x＝ ，
∴2－x＝ ，
∴M（ ，0）；
当CD＝MD， ＝4－ ＝ ， 2＋ ＝ ，
∴M（ ，0）；
当点M在x轴负半轴上时，当CM＝CD，
∵ ，
∴OM＝OD＝2，∴M（－2，0）；
当DC＝DM， ＝4－ ＝ ，
∴OM＝ －2＝ ，
∴M（－ ，0）．
答：符合条件的所有点M的坐标为：（ ，0）、（ ，0）；、（－2，0）、（－ ，
0）．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合
题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用．
40．（1） ；（2）当 时， 是以 为顶角的等腰三角形；（3）
当Q的速度为2cm/s或 时， 与 在某一时刻全等．
【分析】
（1）根据题意：点P的运动速度为2cm/s，可得BP长度，然后即可得出PC长度；
（2）根据题中 以 为顶角的等腰三角形，可知 ，用含t的式子表示出两
条线段长度然后求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当 时，②当 时，根据全等三角形的性质得出线
段相等，然后利用各线段之间的等量关系求解即可．
【详解】
解：（1）∵点P的运动速度为2cm/s，
∴ ，
∴ ；
（2） 以 为顶角的等腰三角形，
则 ，
， ，
即 ，解得： ，
∴当 时， 是以 为顶角的等腰三角形；
（3）①当 时， ，
此时 ，
根据题意可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
②当 时，
∵ 与 全等， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上可得：当Q的速度为2cm/s或 时， 与 在某一时刻全等．
【点拨】题目主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质及一元一次方程等，理解题
意，利用分类讨论思想进行分析是解题关键．
41．（1）⑤；（2）①证明见解析；②证明见解析；③射线 是 的平分线，证明
见解析
【分析】
（1）因为小明的证明条件为∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，即两对直角相等，
一对直角边相等，一对斜边相等，故为HL证明依据．
（2）①由等边对等角得 ，再由一条公共边EF和重合的部分得出
，即 ，SAS为依据可证明△CEF≌△DFE．②由①问所证
△CEF≌△DFE，则对应角 相等，再由等角对等边可得 ，即△PEF
是等腰三角形③可由全等得出 ，得出OP是 的垂直平分线，又因为②
可知 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可知 也是 的平分线．【详解】
（1）∵小明的证明条件为∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP为HL证明方法，故
选⑤；
（2）证明：①
即
又
②由①知：
即： 是等腰三角形；
③射线 是 的平分线，理由如下：（方法不唯一）
是 的垂直平分线
又 是等腰三角形
平分 （三线合一）
【点拨】本题考查了全等三角形的判断及性质，以及等腰三角形的性质．一般三角形的判
定方法1．定义法:能够完全重合的两个三角形全等；2．SAS：两条边及其夹角对应相等的
两个三角形全等；3．ASA：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等；4．AAS：两个角
及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；5．SSS：三条边对应相等的两个三角形
全等．直角三角形证明全等斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三
角形全等．等腰三角形性质有底边上的中线及高线，与顶角的角平分线三线合一．反之仍
然成立，用这个性质可以证明这个三角形为等腰三角形．垂直或边相等．
