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专题 1.9 三角函数的应用（专项练习）
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， 于点 ，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，已知矩形 中， ， ，沿对角线 折叠使点 落在平面内的点
处，过点 作 交 于点 ，则 到 的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于 的是（ ）
A． B． C． D．6．如图， 为 上一点，作 于 ，对于 的大小，下
列说法正确的是（ ）
A．与点 的位置有关B．与 的长度有关 C．与 的大小有关 D．与点 的位
置和 的大小都无关
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .
则下列关系式中不成立的是( )
A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA
C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1
8．如图，在正方形 中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，
交BF于点G，下列结论，① ；② ；③ ；
④ 其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在 中， ， 为锐角，且有 ，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形11．在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
12．设 、 是 的两个锐角，则关于 的二次方程 的根的情
况为（ ）．
A．有两个相等的实根
B．没有实数根
C．有两个不等的实根
D．不能确定
13．如图，在菱形 中， ，点E，F分别在 ， 上，沿 折叠菱形，
使点A落在 边上的点G处，且 于点M，若 （取 ， ），
则 等于（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，点 在 的延长线上，连
接 ，点 是 的中点，连接 交 于点 ，连接 ，若 ， ．则下
列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤点D
到CF的距离为 ．其中正确的结论是（ ）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
15．如图，已知直线 ， 之间的距离 为 ，在 中， ，将
绕点 在平面内顺时针旋转得到 ，若旋转角为60°， 交直线 于点 ，
则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点B在x轴的正半轴上， ，点
A的坐标为 ，将 绕点О逆时针旋转，使点B的对应点 落在边OA上，则
的坐标为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
17．计算： _____________．
18．已知 为锐角，且 ，则 ______．
19．如图， 为 轴负半轴上一点， 、 是函数 的图像上的两个动点，且
．若 的最小值为10，则点 的坐标为______．
20．如图，在矩形 中， 是 边上一点，且 ，连接 ．若
，则 的长为_____________．
21．下列结论中（其中 ， 均为锐角），正确的是___________．（填序号）
① ；② ；③当 时， ；④
．
22．已知： ， ， ，
请你根据上式写出你发现的规律________．
23．①sin2A+cos2A=________，②tanA•cotA=________．24．已知：实常数 同时满足下列两个等式：⑴ ；⑵
（其中 为任意锐角），则 之间的关系式是：
___________
25．已知部分锐角三角函数值： ， ， ，
，计算 ________．（提示： ）
26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，则sinB的值为_____．
27．已知 、 是锐角，若 ，那么 、 的关系是______.
28．如果 是锐角，且 ，那么 _______________度.
29．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，
使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点 M，BM与EF交于点P，再展开．则下
列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有
____
30．如图，在 中， ，D是 的中点，则 ______．
31．已知∠A，∠B为Rt△ABC的两个锐角，且sinA，sinB是方程2x2﹣（k+1）x+ ＝0的两根，k的值为____．
32．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 ，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝
CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是_____．
三、解答题
33．如图，在 中， 于点D．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
34． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，点E是BC上一个动点
（点E与B，C不重合），连AE，
（1）若AE平分△ABC的周长，求BE的长；
（2）是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分，若存在，求出BE的长；若
不存在，请说明理由．35．如图，在四边形ABCD中， 平分 ．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若 ，求 的面积．
36．如图，小明在森林公园的一处观景台观赏垂直而下的瀑布，从D点看到瀑布顶端B的
仰角为 ，看到瀑布底端E的俯角为 ，若瀑布底有一水潭，D点到水潭平面的距离DA
为4m，求瀑布顶端到水潭水平面的距离BE的长．（结果保留整数，参考数据：
参考答案
1．C
【分析】由同一锐角的正弦与余弦的平方和是1、结合正弦的定义解题．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（ ）2＝1，
∴sin2A＝ ，
∴sinA＝ 或sinA＝﹣ （舍去），
∴sinA＝ ，
故选：C．
【点拨】本题考查同角三角函数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
2．B
【分析】先根据题目已知条件推出 ∽ ，则可得 ，然后根据
，设 ， ，利用对应边成比例表示出 的值，进而得出
的值，
解：∵在 中， ，
∴ ,
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ∽ ，
∴ ，即， ，
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角
形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．
3．A【分析】根据 ，于是设 , ,由勾股定理得到
于是得到结论．
解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴ ，
∴设 , ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．A
【分析】过点E作EG⊥BD，过点F作FH⊥CD，连接CF，先求出AB∶AD∶BD=3∶4∶5，再利
用三角函数值求出结果即可．
解：过点E作EG⊥BD，过点F作FH⊥CD，连接CF，
由折叠得BE=AB=3，∠EBD=∠ABD，
在RT△ABD中，BD²= ，
则AB∶AD∶BD=3∶4∶5，
∴cos∠ABD= ，sin∠ABD= ，
∵EF∥CD,
∴∠BFE=∠BDC,
∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD,
∴∠BFE=∠ABD=∠EBD,
∴EF=BE=3，
∴点G为BF的中点，BF=2BG，
在RT△BGE中，
BG=BE·cos∠EBG=3× = ，BF=2BG= ，
∴DF=BD-BF=5- = ，在RT△DFH中，
DH=DF·cos∠BDC= ，
FH=DF·sin∠BDC= ，
HC=DC-DH=3- = ，
在RT△FCH中，
FC= ，
故选A．
【点拨】本题考查了折叠性质、勾股定理及利用三角函数值求解，解题的关键是正确作出
辅助线．
5．D
【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．
解：如下图所示
在Rt 中， = ，故A不符合题意；
在Rt 中， = ，故B不符合题意；
∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD
∴ =tan∠BCD= ，故C不符合题意；
≠ ，故D符合题意．
故选D．
【点拨】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．
6．D
【分析】根据同角三角函数的关系可得答案．
解：∵ ，
∴ 的大小与角的大小无关，与P点的位置都无关.
故选D.
【点拨】本题主要了考查同角的三角函数关系：sin2 +cos2 =1.
7．D
【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；
正切之间的关系进行解答．
解：根据锐角三角函数的定义，得
A.tanA•cotA= =1，关系式成立；
B.sinA= ，tanA•cosA= = ，关系式成立；
C.cosA= ，cotA•sinA= = ，关系式成立；
D.tan2A+cot2A= ≠1，关系式不成立．
故选D．
【点拨】本题考查了同角三角函数的关系．
（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的
比，即tanA= 或sinA=tanA•cosA．
（3）正切之间的关系：tanA•cotA=1．8．D
【分析】①根据正方形的性质求证 是直角三角形即可得到结果；
②由①求证 ，利用其对应边成比例即可得到结论；
③由①求证 即可得出结论；
④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；
解：∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点，
∴ ，
∴ ，
∵CG∥AE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即△CGF为直角三角形，
∵CG∥AE，
∴△BHE也是直角三角形，
∴ ．
故①正确；
由①得 ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
由①得 ，
∴BH=CG，而不是BH=FG，
故③错误；
∵ ，
∴ ，
即 ，
同理可得： ，
可得 ，∴ ，
∴④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案选D．
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角
形性质是解题的关键．
9．A
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，据此求解即可．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，
∴cosA ，∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA= ．
故选：A．
【点拨】本题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：
一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
10．B
【分析】利用互余两角的三角函数关系sinA=cos（90°-A），来得出∠A=90°-∠B．从而得
出此三角形是直角三角形．
解：∵sinA=cos（90°-A），sinA=cosB，
∴∠A=90°-∠B，
∴∠A+∠B=90°，
故选：B．
【点拨】题考查了锐角三角函数的定义，是基础知识，比较简单．
11．B
【分析】根据正弦和余弦的平方和等于1求解．
解：∵ ，∴ ，
故选B ．
【点拨】本题考查锐角三角函数的性质，熟练掌握正弦函数与余弦函数的平方和等于1的
性质是解题关键．
12．A
【分析】由 为 的两个锐角，得 ，再由根据根与系数的关系可求
得答案.
解：根据题意得 ，
∵ 是 的两个锐角，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴方程有两个相等的实数根．
故选: ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、锐角三角函数的定义、互余两角三角
函数的关系，解题时要注意两个锐角的正切值都大于0，两角互余时，其正切值之积为1.
13．D
【分析】首先连接AC，在Rt△ABO中，求出AO的长度，进而求出AC的长度是多少；然
后根据EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，所以 ，据此求出AE的长为多少即可．
解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠A=60°，
∴∠BAO=30°，∴AO=AB•cos30°= ，
∴AC= ，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG=AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴ ，
又∵EG=AE，
∴ ，
解得AE= ，
∴AE的长为 ．
故选：D．
【点拨】（1）此题主要考查了翻折变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折
叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边
和对应角相等．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具
有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且
每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线
所在直线．
14．C
【分析】由题意易得 ，①
由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数
可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，
然后根据三角函数可进行求解．
解：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴点G是CD的中点，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴ ，故②正确；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示：∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴ ，
设 ，则 ，
在Rt△DHC中， ，
解得： ，
∴ ，故⑤正确；
∴正确的结论是①②③⑤；
故选C．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正
方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
15．C
【分析】由题意可作出如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，由题意易得 ，
∠ACE=∠DAC，进而可得BE=2，则由勾股定理可得 ，设 ，则 ，
，然后根据三角函数可进行求解．
解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示：
∵ ，∴∠ACE=∠DAC，
∵AE⊥EC， ，
∴ ，
∵BC=2，
∴ ，
∴在Rt△AEC中， ，
∵旋转角为60°，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故选C．
【点拨】本题主要考查三角函数、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、旋转的性
质及勾股定理是解题的关键．
16．A
【分析】由勾股定理求出OA的长度，利用三角函数值求出角的度数，即可求得 的坐标．
解：过 点作x轴垂线，垂直为C，A的坐标为 ，即 ，
，
则 ，
，则 ，
，
，
，
的坐标为(-1， )，
故选：A．
【点拨】本题主要考查锐角三角函数，勾股定理等知识点，熟知三角函数对应的边的关系
是解题的关键．
17．
【分析】先根据一般角三角函数的性质化简，然后再计算即可．
解：
=
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一般角的三角函数值的运算和实数的运算，掌握一般角三角函数的性
质的解答本题的关键．
18．【分析】根据 ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表
达式即可推出 的值．
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 为锐角，
∴ .
故答案为： .
【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函
数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式
求三角函数值．
19．
【分析】取MN的中点为B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：AB最小值，
由AB⊥MN时，AB最小，再通过 即可求出AC的长，从而得出A点的
坐标．
解：假设 中点为点 ，连接 ，根据直角三角形斜边中线定理可得
∵
∴
（即定点A到直线 上动点 的最短距离为5）
∵ 的图象与x、y轴交于C、D两点，
∴C(0，3)，D(4，0)，
根据垂线段最短可得， 直线 时 ，如图所示在 中，由勾股定理得：
中，
中，
∴ ，
∴
∵点A在 轴的负半轴
∵
∴
∴点A的纵坐标为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标，以及垂线段最短和三角函数等知识，得出
垂线段AB长是解决问题的关键．
20．29
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE的长，在Rt△AEF
中，根据45°余弦的三角函数定义可求得EF，设CE＝x，在Rt△EFC、Rt△ABC中，根据
同一个角的正切相等，可求得CF，在Rt△EFC中利用勾股定理建立方程即可解决．
解：过点E作EF⊥AC于点F，在Rt△ABE中， ， ，
由勾股定理得： ，
在Rt△AEF中， ，
， ，
解得： ，
设CE＝x，
在Rt△ABC中，
，
在Rt△EFC中，
，
∴ ，
在Rt△EFC中， ，
即 ，
解得：x＝29或x＝﹣11.6（舍去）
∴ 的长为29
故答案为：29
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义、矩形的性质和勾股定理，熟练掌握各性质
定理是解题的关键．
21．①③④
【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．解：①如图，在 中，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
②若 ，则 ，
，
∴
∴ ，故②错误；
③当 时， ，
∴ 越大，对边越大，且越接近斜边，
∴ 越大，
∴当 时， ，故③正确；
④∵ ， ， ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的
概念是解题的关键．
22．
【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，规律为： .
故答案为 .
【点拨】本题考点：同角三角函数的关系.
23．1 1
【解析】
如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为 ，
则sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= ， ，
∴（1）sin2A+cos2A= ；
（2）tanA•cotA= .
点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理
进行推理计算即可得到答案.
24．a2+b2=c2+d2
【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到这四个数
的关系．
解：由①得asinθ+bcosθ=c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，
由②得acosθ-bsinθ=-d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④，
③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，
∴a2+b2=c2+d2．
【点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcos2θ=1的应用是解题的
关键，属于基础题．25．
【分析】根据互余两角三角函数的关系： 即可求解．
解：∵ ，
∴ ．
故答案为: ．
【点拨】本题考查了互余两角的三角函数的关系，深刻理解三角函数的定义是解题关键．
26．
【分析】根据∠A的正切值，设两直角边分别为5k，12k，然后利用勾股定理求出斜边，
则∠B的正弦值即可求出．
解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
∴设AC＝12k，BC＝5k，
则AB＝ ＝13k，
∴sinB＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直
观，此类题目通常都用到勾股定理．
27．互余
【分析】在∠α的边OA上取一点A，过点A作AB⊥x轴，根据正切和余切的定义进行计算求得当 时两个角的关系.
解：如图：在∠α的边OA上取一点A，过点A作AB⊥x轴
在Rt△OAB中，
∴
此时 + =90°
即当一个角的正切值等于另一个角的余切值时，此时两个角的和为90°
∴α+β=90°
故答案为：互余
【点拨】本题考查正切、余切的定义，掌握锐角三家函数的定义是本题的解题关键.
28．55
【分析】根据同角的三角函数关系 直接解答．
解：∵ 是锐角时有 ，
∴ =55°.
【点拨】本题考查了对同角的三角函数的关系 的理解．
29．②③④
【分析】根据题给条件，证不出① ； 是由 翻折得到的，故
，又点 为 的中点，可知： ，求出 ，继而可求
出② ；在 中， ，继而可知 ，可以证出③
；求出 ，继而可证出④ 是等边三角形．解：如图示，
是由 翻折得到的，
，又点 为 的中点，
在 中， ，
， ，
，故②正确；
在 中， ，
，
， 故③正确；
， ，
是等边三角形，故④正确；
由题给条件，证不出 ，故①错误．
故答案是：②③④．
【点拨】本题考查翻折变换，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定与性质等知识点，
熟悉相关性质是解题的关键．
30．
【分析】设 ，则 ， ，求出 ，在求出
，由三角函数的定义求解即可.解：
如图，过点D作 于点E，
∵在 中 ，
∴ ，设 ，则 ， ，又∵D是边 的中点，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ．
【点拨】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，准确求出BD、DE
的长是解题的关键．
31． ．
【分析】先利用根与系数的关系得到 ， ，再根据三角函数的意
义得到 ，则 ，解方程求出 ，然后利用三角函数的意义确
定 的值．
解：根据根与系数的关系得 ， ，
，
，
即 ，整理得 ，解得 ，
， ，
的值为 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两
根时， ， ．也考查了互余两角的三角函数关系．
32． ．
【分析】作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，过点M作MF⊥BC于F，
利用矩形的判定方法证出四边形ABFM是矩形，再利用矩形的性质求出线段 和 的
长，利用三角函数的比值关系即可得到∠E＝∠PNE＝30°，利用三角形外角的性质可得出
∠MPN＝ ，再根据三角函数特殊值求解即可．
解：如图，作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，
过点M作MF⊥BC于F，
∴NC＝CE，PN＝PE，
∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AB＝MF＝2，AM＝BF，
∵AM＝CN，
∴BF＝AM＝CN＝CE，
∴BC＝EF＝ ，∵
∴∠E＝30°，
∵PN＝PE，
∴∠E＝∠PNE＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴tan∠MPN＝ ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了最短路径问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，
三角函数值等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
33．（1） ；（2）
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义解答；
（2）根据相似三角形的判定定理证明△BCD∽△CAD，根据相似三角形的性质求出CD，根
据正切的定义解答．
解：（1）∵ ，
∵ ，
∴ ，在 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形
的判定定理和性质定理是解题的关键．
34．（1）2；（2）不存在，理由见解析
【分析】（1）设 的长为 ，则 的长为 ，列出等量关系即可求出；
（2）分别根据AE平分三角形ABC的周长和平分面积时不能同时符合要求进而得出答案．
解：（1）设 的长为 ，则 的长为 ，依题意得， ，
解得 ，
即 的长为2；
（2）不存在．
∵当 将 分成周长相等的 和 时， ， ，
此时， 的面积为： ，
的面积为： ，两三角形面积不相等，
∴ 不存在线段 将三角形 的周长和面积同时平分．
【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质以及一元一次方程组的解法，进行分类讨论得
出是解题关键
35．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据已知条件先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四
边形为菱形即可证明；
（2）过点A作BC垂线，垂足为F，根据已知条件求出 BE边上的高，即可求解．
解：（1） ，
，
又 ，
四边形ABCD是平行四边形，，
，
∵AD∥BC
，
，
，
四边形ABCD是菱形；
（2）如图，过点A作BC垂线，垂足为F，
，
， ，
，
，
，
在 中，
，
．
【点拨】本题主要考查平行四边形性质与判定，菱形的判定与性质，根据锐角三角函数求
边长等知识点，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
36．11．
【分析】过D作DC⊥BE于C，可证四边形ADCE为矩形，可得CE=AD=4m，由
tan∠CDE= ，可得CD= m，可证∠B=45°，可求BC=DC= m即可．
解：过D作DC⊥BE于C，
根据题意可得∠BDC=45°，∠EDC=30°，AD=4m，
∵AD⊥AE，BE⊥AE，
∴∠A=∠CEA=∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形，
∴CE=AD=4m，
在Rt△EDC中，
∵tan∠CDE= ，
∴CD= m，
又∵∠BDC=45°，CD⊥BC，
∴∠B=90°-∠BDC=90°-45°=45°=∠BDC，
∴BC=DC= m，
∴BE=BC+CE= +4≈4×1.732+4=10.928≈11m．
【点拨】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角形的定义，仰角与俯角，矩形判定与
性质是解题关键．
