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专题10 实数、数轴、勾股定理结合
1．如图，点E表示的数为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点A表示的数为-1，点D表示的数为0，得到AD=1，根据正方形ABCD中AD=CD=1，
∠ADC=90°，推出 ，得到 ，推出 ，得
到点E表示的数为 ．
【详解】
解：∵点A表示的数为-1，点D表示的数为0，
∴AD=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=1，∠ADC=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点E表示的数为： ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴，解决问题的关键是熟练掌握实数与数轴上的点一一对应的关系，数轴上两点间的距离与两点表示的数的关系．
2．如图，数轴上的点 表示的数是-2，点 表示的数是1， 于点 ，且 ，以点
为圆心， 为半径画弧交数轴于点 ，则点 表示的数为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由勾股定理可求得AC的长度， 再由AD=AC，OA=2即可求得OD的长，从而可得点D表示的数．
【详解】
∵ ，AB=3，BC=2
∴由勾股定理得：
∴
∵OA=2
∴
∴点D表示的数是
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，运用勾股定理是关键．
3．某同学学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：画数轴并在数轴上找到表示数
的点 以及表示数1的点 ，然后过点 作 轴，且 （如图），以 为圆心，
长为半径作弧，交数轴正半轴于点 ，则点 所表示的数介于（ ）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出AC，进而确定点P表示的实数，再估算其大小．
【详解】
解：由题意得 ， ，
在 中，
，
而 ，所以 所对应的数为 ，
∵ ， ，
∴ 在2到3之间．
故选：B
【点睛】
本题考查了勾股定理、数轴上实数的表示、无理数大小的估算，题目较为简单，但涉及知识点较
多，扎实掌握各知识点是解题关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
4．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．把正方形 放到数轴上，
如图2，使点 与-2重合，那么点 在数轴上表示的数为___________．【答案】
【解析】
【分析】
设每个小立方体的棱长为a，由题意易得 ，则有 ，根据图形可得正方形 的面积
为8，然后根据正方形的面积公式可得 ，进而问题可求解．
【详解】
解：设每个小立方体的棱长为a，由题意得： ，
∴ ，
设正方形 的边长AD=x，由图形可得正方形 的面积为 ，
∴ ，
∵点 与-2重合，
∴点 在数轴上表示的数为 ；
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查立方根和算术平方根的应用，熟练掌握求一个数的立方根和算术平方根是解题的关
键．
5．如图， 的直角边 ， ， 在数轴上，在 上截取 ，以原点 为
圆心， 为半径画弧，交边 于点 ，则点 对应的实数是________．【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理和同圆半径相等的性质可以得到解答．
【详解】
解：由题意得： ，
∵AB=CB=1，
∴OC=OB-BC = ，
∴OP=OC = ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查圆的应用，运用勾股定理、同圆半径相等和尺规作图求解是解题关键．
6．如图，在数轴上，过数2表示的点B作数轴的垂线，以点B为圆心1为半径画弧，交其垂线于
点A，再以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算即可．【详解】
解： ，
点C所表示的实数为 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用、数轴与实数的关系，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
三、解答题
7．如图，请在数轴上找到表示 的 点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
因为17＝16＋1，则首先作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 ，再以原点
为圆心，以 为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．
【详解】
解：如图，点 即为所求．
【点睛】
本题考查运用数轴上的点来表示一个无理数，比较基础．
8．小华想手工制作一个底面积为41cm2的正方体首饰盒，作为送给妈妈41岁的生日礼物，那么如
何确定这个正方体首饰盒的棱长呢？
小华的解题思路是：设正方体的棱长为xcm．
①第一步，先利用算术平方根的知识，求出正方体的棱长x为 ；②第二步，利用勾股定理的知识，尝试求出满足式子 的a，b（a，b为正整数）的值，
其中a＝ ，b＝ （a≤b）；
③第三步：分别以第二步中求出的a，b的值为直角边长，在下列数轴上构造Rt OEF，使∠OEF
＝90°，点E落在数轴的正半轴上；（数轴上一个单位长度表示1cm）
④第四步：以点O为圆心，以线段 长为半径画弧，交数轴的正半轴于点M，OM长即
为所求的正方体首饰盒的边长．
请将小华的解题过程补充完整，并帮小华在数轴上准确找到点M的位置．
【答案】① ；②4，5；③见解析；④
【解析】
【分析】
①根据算术平方根得出正方体的棱长即可；
②根据勾股定理得出 ， 的值即可；
③根据题意画出图形解答即可；
④根据题意得出点 的位置即可．
【详解】
解：①设正方体的棱长为 ，
制作一个底面积为 的正方体首饰盒，
，
取正数，
；
故答案为： ；
② a，b为正整数且 ，
， ；
故答案为：4；5；
③如图所示：④以点 为圆心，以线段 长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 ， 长即为所求的正方体首
饰盒的边长，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴上的点一一对应，用勾股定理构造长度为 的线段是解题关键．
9．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中四边形 为正方形，求出此正方形的面积及其边长．
（3）把正方形 放到数轴上，如图2，使得A与 重合，点E与1重合，点F与点D关于E
点对称，那么D在数轴上表示的数为________；点F在数轴上表示的数为________．
【答案】（1）4；（2）面积是8，边长是 ；（3） ，
【解析】
【分析】
（1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长．
（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个
直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．
（3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数，结合中点的定义可求出点F表示的数．【详解】
解：（1） ＝4．
答：这个魔方的棱长为4．
（2）∵魔方的棱长为4，
∴小立方体的棱长为2，
∴阴影部分面积为： ×2×2×4=8，
边长为： ，
答：阴影部分的面积是8，边长是 ；
（3）∵A与 重合，AD= ，
∴D在数轴上表示的数为 ，
∵点E与1重合，点F与点D关于E点对称，
∴点F表示的数为1×2-（ ）= ．
【点睛】
本题考查的是立方根在实际生活中的运用，实数与数轴，解答此题的关键是根据立方根求出魔方
的棱长．
10．已知 是 的整数部分， 是 的小数部分．
（1）求 的值；
（2）求 的平方根；
（3）请在下图的数轴中准确标出表示 这个数的点．（图中的正方形的边长等于数轴的单
位长度）【答案】（1）a=1，b= ；（2）±3；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）首先估算出 的范围，从而可得整数部分a和小数部分b；
（2）将a和b的值代入 中计算，再得到平方根；
（3）在方格中取长度为 的线段，在数轴上以原点O向右取OC= ，再以C为端点向左取
长度为2的线段CD，则点D即为所求．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为a=1，小数部分为b= = ；
（2）由（1）可得：
= = ，
∴ 的平方根为±3；
（3）如图，点D表示 ．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，实数与数轴，勾股定理与网格问题，解题的关键是正确取得表示
长度的点．11．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图2所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直
角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数
的相反数是多少？
（3）如图3你能把十三个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，
并求它的边长是多少？
【答案】（1） ；（2） ；（3）剪拼见解析，边长是
【解析】
【分析】
（1）由题意可以得到拼后正方形的面积，再根所正方形的面积公式可以得到其边长；
（2）由勾股定理可以算得-1至A点距离，再根据数轴上两点间距离的坐标表示可以得到A点表示
的数，并得到其相反数；
【详解】
解：（1）拼成的正方形的面积等于原来5个小正方形面积之和，即为5，
∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形的边长即为面积的算术平方根，为 ；
（2）设点A表示的数为x，则由题意可得：x-(-1)= ，∴x= ，
又∵ ，∴点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是 ；
（3）如图，可以按如下方式把十三个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形，其中三角形A可以平
移至三角形C，三角形B可以平移至三角形D，由题意可知其边长为13的算术平方根，即 ．【点睛】
本题考查勾股定理与无理数、实数与数轴的综合应用，灵活运用图形变换对图形进行剪拼组合是
解题关键．
12．在数轴上作出表示— 的点．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得AB的长，根据圆的性质，可得答案．
【详解】
解：如图
根据勾股定理，则有 ，
因为 ，
所以D点为所求．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出BA的长是解题关键，又利用了圆的性质．
13．甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C
在同一数轴上，OB＝OC．（1）请求出甲同学所做的点C表示的数；
（2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－ 的点D．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得点C表示的数；
（2）由17=16+1，依据勾股定理即可作出表示 的点D.
【详解】
（1）解：由勾股定理得：
∴
∴点C表示的数是
（2）
【点睛】
本题为考查勾股定理、实数与数轴的综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理是解题关键.
14．利用勾股定理可以在数轴上画出表示 的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足 ，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，
b=________；
第二步：（画长为 的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt OEF，使
△
O为原点，点E落在数轴的正半轴上， ，则斜边OF的长即为 .
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示 的点）在下面的数轴上画出表示 的点M，并描述第三步的画图步骤：
_______________________________________________________________.
【答案】第一步：4，2；第二步：画图见解析；第三步：以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧
与数轴正半轴的交点即为点M，画图见解析.
【解析】
【详解】
解：第一步： ,
∴a=4,b=2；
第二步，画图如下：
第三步，作图如上，以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M．
15．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可
得到一个的大正方形．若将得到的直角三角形 按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与
数轴上的原点重合，（1）图1中大正方形的边长为_______．
（2）如图2，若将直角三角形 绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1
次翻转，将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2
次翻转…．以此类推．
①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．
②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．
【答案】（1） （2）① ②
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求出 的长即为大正方形的边长；
（2）①根据旋转以后点B的位置可判断B代表的数即为 的长度，据此计算即可；
②根据翻转规律可知每翻转三次为一个循环，每个循环点C代表的数都增加 个单位，据
此解答即可．
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1，即 ,
∴ ,则大正方形的边长为 ；
（2）①∵直角顶点A与数轴上的原点重合， ,
∴点A表示的数为0，点C表示的数为1，
第一次翻转以后点B表示的数为 的长度，
即为 ，
故答案为： ；
②根据图形翻转规律，每翻转三次为一个循环，
每一个循环，点C代表的数增加 个单位，
个循环，
∵点C的初始位置为1，
∴经过2010次翻转后点C代表的数为： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、实数与数轴、以及结合数轴的规律探索问题，结合图形找出翻转的规律
是解题的关键．
