专题1.8三角形的证明与计算大题专练（重难点培优）-八年级数学下册尖子生同步培优题典（原卷版）北师大版_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_05习题试卷

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.8三角形的证明与计算大题专练（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一．解答题（共24小题） 1．（2021秋•邢台月考）已知等腰三角形 ． （1）若顶角 ，则 的度数为 ； （2）若底角 ，求 的度数； （3）若 ，则 的度数为 ．（用含 的式子表示） 2．（2021秋•余杭区月考）如图，在 中， ， ， 是 边上的点，且 ，过点 作 边的垂线交 边于点 ，求 的长． 3．（2021秋•昭通期中）已知在 中， 为边 上一点， ， 平分 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 平分 ，求 的度数． 4．（2021秋•新昌县期中）如图1，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ， 交 于 ，交 于 ． （1）当 ， ，则 ； （2）当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它仍然和 的角平分线相交于点 ，过 点 作 ，交 于 ，交 于 ，试判断 ， ， 之间的关系，并说明理由．5．（2020秋•余杭区期末）如图，点 是等边 内一点， ， ．以 为一边 作等边三角形 ，连接 ． （1）求证： ； （2）当 时，试判断 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？ 6．（2020秋•和平区期末）已知， 中， ， ，点 是边 上一点，连接 ， 且 ． （1）如图①，求证 ； （2）如图②，点 为边 上一点，连接 ，以 为边在 的左侧作等边三角形 ，连接 ， 则 的大小 （度 ； （3）如图③，过点 作 交 于点 ，点 为线段 上一点，连接 ，作 ， 交 的延长线于点 ．线段 ， 与 之间有怎样的数量关系，并证明． 7．（2021•新泰市模拟）在 中， ， ， ， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ． （1）如图1，过点 作 交 的延长线于点 ，求证： ； （2）如图2，若 为 的中点， 的延长线交 于点 ，连接 ，求证： ； （3）在（2）的条件下，若 ， ，直接写出 的长． 8．（2021 秋•长汀县期中）如图，在 中， ， ，点 为 内一点， ， 为 延长线上的一点，且 ． （1）求 的度数； （2）求证： 平分 ； （3）请判断 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 9．（2020秋•二道区期末）在 中， ， ，点 为边 的中点，动点 以2个单位的 速度从点 出发在射线 上运动，点 在边 上，设点 运动时间为 秒． （1）用含 的代数式表示线段 的长． （2）当 ，点 在线段 上． ①若 和 全等，则 的值为 ． ②连接 ，设 的面积为 ．当 时，求 的值． （3）当 ， 为等腰三角形时，请直接写出 的度数为 ．10．（2020秋•锦江区校级期末）如图1，已知 中， ，点 是 上一点，且 ， ， 于点 ，交 于点 ． （1）如图1，若 ，求 的长； （2）如图2，若 ，求 的面积； （ 3 ） 如 图 3 ， 点 是 延 长 线 上 一 点 ， 且 ， 连 接 ， 求 证 ： 11．（2020秋•滨海新区期末）在 中， ， ， 平分 交 于点 ， 交 延长线于点 ，连接 ，过点 作 交 于 ． （Ⅰ）如图①， （1）求 的度数； （2）求证 ； （Ⅱ）如图②， 交 的延长线于点 ，探究 、 、 之间的数量关系，并给出证明． 12．（2020秋•船营区期末）（1）如图①， 和 都是等边三角形，且点 ， ， 在一条直线 上，连接 和 ，直线 ， 相交于点 ．则线段 与 的数量关系为 ； 与 相交构成的锐角的度数为 ． （2）如图②，点 ， ， 不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由． （3）应用：如图③，点 ， ， 不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有 ．设直 线 交 于点 ，请把图形补全．若 ，则 ． 13．（2020秋•淮南期末）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 ， 重合），以 为 一 边 在 的 右 侧 作 ， 使 ， ， 连 接 ． （1）如图1，当点 在线段 上，如果 ，则 度； （2）如图2，如果 ，则 度；（3）设 ， ． ①如图3，当点 在线段 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点 在直线 上移动，请直接写出 ， 之间的数量关系，不用证明． 14．（2021春•西安期末）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证： ． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长 至 ，使 ， 是 边上的中线 在 和 中 （依据一） 在 中， （依据二） ． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据 ； 依据 ． 归纳总结：上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转化 到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形 和证明边之间的关系．任务二：如图3， 是 边上的中线， ， ，则 的取值范围是 ； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以 和 为边作等腰直角三角形，在 中， ， ； 中， ， ．连接 ．试探究 与 的数量关系，并说明理由． 15．（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，点 ， 分别在等边 的边 ， 上，且 ， ， 交于点 ． （1）如图1，求 的度数； （2）如图2，若 ， ， ， 分别是 各边上的三等分点， ， 交于 ．若 的面积 为 ，请用 表示四边形 的面积； （3）如图3，延长 到点 ，使 ，设 ， ，请用含 ， 的式子表示 长，并 说明理由． 16．（2020秋•惠山区期中）如图，在等边 中， ，点 从点 出发沿 边向点 点以 的速度移动，点 从 点出发沿 边向 点以 速度移动． 、 两点同时出发，它们移动 的时间为 秒钟． （1）请用 的代数式表示 和 的长度： ， ． （2）若点 在到达点 后继续沿三角形的边长向点 移动，同时点 也在继续移动，请问在点 从点 到点 的运动过程中， 为何值时，直线 把 的周长分成 两部分？ （3）若 、 两点都按顺时针方向沿 三边运动，请问在它们第一次相遇前， 为何值时，点 、 能与 的一个顶点构成等边三角形？17．（2020秋•惠安县期中）在 中， ，分别过点 、 两点作过点 的直线 的垂线， 垂足分别为点 、 ． （1）如图1，当 ，点 、 在直线 的同侧时，猜想线段 ， 和 三条线段有怎样的数 量关系？请直接写出你的结论： ； （2）如图2，当 ，点 、 在直线 的异侧时，请问（1）中有关于线段 、 和 三条线 段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由． （3）当 ， ，点 、 在直线 的同侧时，一动点 以每秒 的速度从 点出发 沿 路径向终点 运动，同时另一动点 以每秒 的速度从 点出发沿 路径向终 点 运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点 和点 作 于 ， 于 ．设运动时间为 秒，当 为何值时， 与 全等？ 18．（2020秋•连江县期中）如图，在 中， ， ，过 作直线 ， 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ， ， 与 的交点为 ，设 ． （1）若 ，则请直接写出下列两个角的度数： ， ． （2）随着 的变化， 的度数是否也发生变化，请说明理由； （3）当 成为等腰三角形时，求 的值．19．（2020秋•南关区校级期中）在 中， ， ， ，点 在边 上， ，动点 从点 出发，沿射线 运动，速度为每秒1个单位长度，当点 不与点 重合时，以 为边构造 ，使 ， ，且 与点 在直线 的同侧，设点 运动时 间为 秒． （1） 的长为 ． （2）点 落在 边上时，求 的值； （3）当点 在线段 上时，设 与 重合部分图形的周长为 ，求 与 之间的函数关系式． （4）当点 与 的一个顶点（点 除外）连线所在的直线平分 面积时，直接写出 的值． 20．（2020秋•诸暨市期中）如图1，等边 边长为8， 是 的中线， 为线段 （不包括 端点 、 上一动点，以 为一边且在 下方作如图所示的等边 ，连接 ． （1）点 在运动过程中，线段 与 始终相等吗？说说你的理由； （2）若延长 至 ，使得 ，如图2， ①求出此时 的长； ②当点 在线段 的延长线上，点 在射线 上时，判断 的长是否为定值，若是请直接写出 的长；若不是请简单说明理由． 21．（2020秋•增城区期中）等腰 中， ， ，点 是 的中点． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，点 在边 上，点 在边 延长线上， ，求 的度数； （3）如图3， ， ， 与 交于点 ， 是 的中点，连接 、 ，试判断线 段 与 的关系，并给出证明． 22．（2020秋•西湖区校级期中）如图1，在 和 中， ， ， ． （1）求证： ； （2）如图2，若 ，点 为 的中点，求 的大小；（3）在（2）的条件下， 垂直平分 于 ，连接 ，设 ， ， ，猜想 ， ， 满足的关系式，并证明． 23．（2020秋•阳东区期中）如图1，点 、 分别是边长为 的等边 的边 、 上的动点， 点 从顶点 、点 从顶点 同时出发，且它们的速度都是 ． （1）连接 、 交于点 ，则在 、 运动的过程中， 的度数变化吗？若变化，则说明理由， 若不变，则求出它的度数； （2）何时 是直角三角形？ （3）如图2，若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动，直线 、 的交点为 ，则 的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 24．（2021秋•义乌市期中）如图，在 中， ， ，点 从 点出发，沿射线 方向 以每秒3个单位长度的速度运动，射线 射线 且 ，点 从 点出发，沿射线 方向以 每秒 个单位长度的速度运动，已知 、 两点同时出发，运动时间为 秒． （1）当 时， 是等腰三角形，求 的值． （2）求 为何值时， 为等腰三角形． （3）是否存在 ，使得 与 全等，若存在，请直接写出 的值，若不存在，请说明由．