文档内容
2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.8完全平方公式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021春•福田区校级月考）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】 选项利用乘方的定义和幂的乘方的法则计算即可得出结论；
选项根据同底数幂的运算法则，可得出答案；
选项由同类项得定义知，这两项不是同类项，不能合并；
选项根据完全平方公式，可以得出答案．
【解析】 ，故 正确；
，故 错误；
与 不是同类项，不能合并，故 错误；
，故 选项错误；
故选： ．
2．（2021•余杭区二模）
A． B． C． D．
【分析】完全平方公式： ，依此即可求解．
【解析】 ．
故选： ．3．（2020秋•静安区期末）下列多项式中，是完全平方式的为
A． B． C． D．
【分析】完全平方式： ，据此判断即可．
【解析】 、 ，故原式是完全平方式，故本选项符合题意；
、 不是完全平方式，故本选项不符合题意；
、 不是完全平方式，故本选项不符合题意；
、 不是完全平方式，故本选项不符合题意；
故选： ．
4．（2021秋•朝阳区校级期中）如果 是完全平方式，那么 的值是
A．8 B．4 C． D．
【分析】先写出 ，进一步求出 的值．
【解析】 ，
是完全平方式，
；
故选： ．
5．已知 ， ，则代数式 的值为
A．8 B． C． D．无法确定
【 分 析 】 根 据 ， 求 出 的 值 ， 再 根 据 单 项 式 乘 以 多 项 式 的 运 算 法 则 将
化简，最后代入计算即可求解．
【解析】 ， ，，
，
．
故选： ．
6．（2020秋•越秀区期末）已知 ， ，则 的值等于
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
【解析】 ， ，
，
故选： ．
7．（2020春•龙岗区期末）已知 ， ，则 的值是
A．11 B．15 C．3 D．7
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【解析】 ， ，
，
故选： ．
8．（2020秋•封开县期末）如果 是一个完全平方式，那么 的值是
A．7 B． C． 或7 D． 或5
【分析】根据完全平方式的特点得出 ，再求出即可．
【解析】 是一个完全平方式，，
，
或7，
故选： ．
9．（2020春•南岸区期末）如图，在边长为 的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为 ， 的
四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【分析】根据面积之间的关系用代数式表示，化简即可．
【解析】由题意得， ，
故选： ．
10．（2021春•合肥期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来
解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解 ，那么通过图2中阴影部分面积的计算
验证的恒等式是
A． B．C． D．
【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列
式整理即可得解．
【解析】阴影部分的面积： ，
还可以表示为： ，
此等式是 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•天桥区期末）若 是一个完全平方式，则 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 的值．
【解析】 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
12．（2021秋•富裕县期末）已知代数式 是一个完全平方式，则 的值为 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解析】 是一个完全平方式，
，
．
故答案为： ．
13．（2021秋•香坊区校级期末）若 ， ，则 的值为 6 8 ．
【分析】利用完全平方公式，把 化为 求解即可．
【解析】 ， ，．
故答案为：68．
14．（2021•商河县校级模拟）若 ， ，则 1 3 ．
【分析】利用完全平方公式可以求出 的值．
【解析】 ，
，
，
，
，
，
故答案为：13．
15．（2020春•单县期末）已知 ， ，则 的值为 2 5 ．
【分析】根据 进行解答．
【解析】 ， ，
．
．
故答案是：25．
16．（2020秋•宝山区期末）如果关于 的多项式 是一个完全平方式，那么 1 6 ．
【分析】根据两数和的完全平方等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．
【解析】由 是一个完全平方式，得，
故答案为：16．
17．（2019春•西湖区校级期中）如果多项式 是个完全平方式，则 3 或 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解析】 ，
，
或3，
故答案为： 或3．
18．（2020秋•长春期末）数学课上老师让同学们用若干个小矩形，拼成一个大矩形，如图所示，请你仔
细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为 ．
【分析】由拼图可得大长方形的长为 ，宽为 ，根据面积的计算方法可得总面积为 ，
再根据各个部分的面积和也是大长方形的面积，即可得出等式．
【解析】由拼图可得，大长方形的长为 ，宽为 ，
所以面积为 ，
根据各个部分面积和为 ，
因此有 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．运用完全平方公式计算：（1） ；
（2） ，
（3） ；
（4） ．
【分析】（1）利用完全平方公式得到原式 ，然后整理即可；
（2）利用完全平方公式得到原式 ，然后整理即可；
（3）利用完全平方公式得到原式 ，然后整理即可；
（4）直接利用完全平方公式计算．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式 ．
20．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．【分析】（1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得到结果；
（2）把 看成整体，利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可；
（3）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得到结果．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
．
21．（2020秋•朝阳区期末）若 ， ，
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解析】（1） ， ，
，，
；
（2） ， ，
，
，
．
22．（2021春•莱山区期末）如图是用4个全等的长方形拼成一个“回形”正方形．
（1）图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个等式，这个等式是 ．
（2）已知 ， ，则 ；
（3）若 ， ，求 的值．
【分析】（1）我们通过观察可知阴影部分面积为 ，它是由大正方形的面积减去中间小正方形的面积得
到的，从而得出等式；
（2）可利用上题得出的结论求值即可；
（3）同理由（1）的结论计算即可．
【解析】（1） ；
故答案为： ；
（2） ， ，；
故答案为：8；
（3）由（1）得： ，
， ，
，
．
23．（2020秋•嘉定区期中）如图①所示，是一个长为 ，宽为 的长方形，沿途中虚线剪成四个全等
的小长方形，然后按图②所示的形状拼成一个较大的正方形．
（1）请用2种方法表示图②中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；
（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系．
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题，如果 ， ，求 的值．
【分析】（1）从整体和部分两个角度，可分别表示图②中阴影部分的面积为 和 ；
（2）由（1）的两种结果，可得到 ；
（3）由（2）所得结果 ，可得 ，从而可计算出此题结果．
【解析】（1）从图形整体来看，可图②中阴影部分的面积为 ，从图形部分来看，可图②中阴
影部分的面积为和 ；
（2）由（1）可得等式： ；
（3）由（2）可得等式，可得， ，
又 ， 均为正数，
，
当 ， 时，
．
24．（2020秋•卧龙区期中）如图①所示是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四
个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长为 ；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积．
方法一： ；
方法二： ；
（3）观察图②，写出代数式 、 、 之间的等量关系式： ；
（4）计算： ．
【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为 的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；
方法二，从边长为 的大正方形减去四个长为 ，宽为 的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将 化成 即可．
【解析】（1）由拼图可知，阴影部分是边长为 的正方形，
故答案为： ；
（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为 ；方法二：从边长为 的大正方形减去四个长为 ，宽为 的矩形面积即为阴影部分的面积，
即 ；
故答案为： ， ；
（3）由（2）的两种方法可得， ；
故答案为： ；
（4）
．
故答案为：84．
