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专题 1.2 动点问题
1．如图，在 中， ， ， ，动点 、 同时从 、 两点
出发，分别在 、 边上匀速移动，它们的速度分别为 ， ，当
点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设点 的运动时间为 ．
（1）当 为何值时， 为等边三角形？
（2）当 为何值时， 为直角三角形？
【解答】解：在 中， ， ，
．
，
， ，
（1）当 时， 为等边三角形．
即 ．
．
当 时， 为等边三角形；
（2）若 为直角三角形，
①当 时， ，即 ，
．
②当 时， ，
即 ，
．
即当 或 时， 为直角三角形．
2．如图1， 中， 于 ，且 ．
（1）试说明 是等腰三角形；
（2）如图2，已知 ，动点 从点 出发以每秒 的速度沿线段 向点
运动，同时动点 从点 出发以相同速度沿线段 向点 运动，当其中一点到达终点
时整个运动都停止．设点 运动的时间为 （秒 ，是否存在 ，使 的一边与 平
行？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：设 ，则 ， ，
，在 中， ，
，即 是等腰三角形；
（2）解：由（1）知， ， ，
，而 ，
，
则 ， ， ， ，
由题意知， ， ，
当 时， ，
即 ，
；
当 时， ，
，
，
的边与 平行时， 值为 或4．
3．在 中， ，点 在 上，点 在 上，连接 且 ．
计算发现
（1）若 ， ，则 ， ．
猜想验证
（2）当点 在 （点 ， 除外）边上运动时（如图 ，且点 在 边上，猜想
与 的数量关系式，并证明你的猜想．拓展思考
（3）①当点 在 （点 ， 除外）边上运动时（如图 ，且点 在 边上，若
，则 ．
②当点 在 （点 ， 除外）边上运动时（如图 ，且点 在 边所在的直线上，
若 ，则 ．
【解答】解：（1） ， ， ， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ； ；
（2） ．
理由如下：
设 ， ，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）①由（2）知， ，
，
故答案为： ；
②当 点在 的延长线上时， ，此时 ，故点 不可能在
的延长线上，
分两种情况：
当点 在线段 上时，与①相同， ；
当点 在 的延长线上时，如图 2，在 边上截取 ，连接 ，
，
，
，
由①知， ，
，
，
，
．故答案为： 或 ．
4．如图所示，已知 中， 厘米， 、 分别从点 、点 同时出
发，沿三角形的边运动，已知点 的速度是1厘米 秒，点 的速度是2厘米 秒，当点
第一次到达 点时， 、 同时停止运动．
（1） 、 同时运动几秒后， 、 两点重合？
（2） 、 同时运动几秒后，可得等边三角形 ？
（3） 、 在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰 ，如果存在，请求
出此时 、 运动的时间？
【解答】解：（1）设点 、 运动 秒后， 、 两点重合，
，
解得： ；
（2）设点 、 运动 秒后，可得到等边三角形 ，如图①，
， ，
是等边三角形，
，
解得 ，
点 、 运动 秒后，可得到等边三角形 ．
（3）当点 、 在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时 、 两点重合，恰好在 处，
如图②，假设 是等腰三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
，
设当点 、 在 边上运动时， 、 运动的时间 秒时， 是等腰三角形，
， ， ，
，
解得： ．故假设成立．
当点 、 在 边上运动时，能得到以 为底边的等腰 ，此时 、 运动
的时间为 秒．5．如图1，点 、 分别是等边 边 、 上的动点（端点除外），点 从顶点
、点 从顶点 同时出发，且它们的运动速度相同，连接 、 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）当点 、 分别在 、 边上运动时， 变化吗？若变化，请说明理由；若
不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动，直线 、 交
点为 ，则 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【解答】（1）证明： 是等边三角形
， ，
又 点 、 运动速度相同，
，在 与 中，
，
；
（2）解：点 、 在运动的过程中， 不变．
理由： ，
，
，
（6分）
（3）解：点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动时， 不变．（7
分）
理由： ，
，
，
．
6．如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动 不与 、
重合），连接 ，作 ， 交线段 于 ．
（1）当 时， 25 ， ；点 从 向 运动时，
逐渐变 （填“大”或“小” ；
（2）当 等于多少时， ，请说明理由；（3）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出
的度数．若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1） ，
，
逐渐变小；
故答案为： ， ，小；
（2）当 时， ，
理由： ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
（3）当 的度数为 或 时， 的形状是等腰三角形，
理由： 时，
，
，
， ，
，
的形状是等腰三角形；
当 的度数为 时，
，
，
，，
的形状是等腰三角形．
7．综合与实践：
问题情境：
已知在 中， ， ，点 为直线 上的动点（不与点 ，
重合），点 在直线 上，且 ，设 ．
（1）如图1，若点 在 边上，当 时，求 和 的度数；
拓广探索：
（2）如图2，当点 运动到点 的左侧时，其他条件不变，试猜想 和 的数
量关系，并说明理由；
（3）当点 运动点 的右侧时，其他条件不变，请直接写出 和 的数量关系．
【解答】解：（1） ．
在 中， ， ，
，
．
，
．
，
．
．
（2） ．理由如下：
在 中， ，
．
在 中， ，．
，
．
， ，
．
．
（3） ，理由如下：
如图③，在 中， ，
，
．
在 中， ，
．
，
，
， ，
，
．
8．如图， 中， ，点 在 所在的直线上，点 在射线 上，且
，连接 ．
（1）如图①，若 ， ，求 的度数；
（2）如图②，若 ， ，求 的度数；
（3）当点 在直线 上（不与点 、 重合）运动时，试探究 与 的数量
关系，并说明理由．
【解答】解：（1） ，，
，
，
，
；
（2） ， ，
，
，
，
，
；
（3）设 ， ， ，
①如图1，当点 在点 的左侧时， ，
，
（1） （2）得 ，
；
②如图2，当点 在线段 上时， ，
，
（2） （1）得 ，
；
③如图3，当点 在点 右侧时， ，
，
（2） （1）得 ，．
综上所述， 与 的数量关系是 ．
9．如图1，点 、 分别是边长为 的等边 边 、 上的动点，点 从顶点
，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都为 ，
（1）连接 、 交于点 ，则在 、 运动的过程中， 变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时 是直角三角形？
（3）如图2，若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动，直线 、 交
点为 ，则 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【解答】解：（1） 不变．
等边三角形中， ，又由条件得 ，
，
，
．
（2）设时间为 ，则 ，
①当 时，
，
，得 ， ；
②当 时，
，
，得 ， ；
当第 秒或第 秒时， 为直角三角形．
（3） 不变．
在等边三角形中， ，
，
又由条件得 ，
又 ，10．如图， ， ， 平分 ， 于 ， 为线段
上一动点．
（1）求 ；
（2）当 到 的距离为1，到 的距离为2时，求 的长；
（3）当 运动至 延长线上时，连接 ，求证： ．
【解答】（1）解： ， 平分 ，
，
，h
，
，
，
；
（2）解：如图2，连接 ，
， ， ，
，
，
，
到 的距离为1，到 的距离为2，
；
（3）证明： ， ，
，，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
