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专题1.7 矩形的性质与判定（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、利用矩形的性质求线段、角度及面积
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 于点E，
， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
2．如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度
数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
3．两张全等的矩形纸片 ， 按如图的方式叠放在一起， ．若
， ，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
类型二、利用矩形的性质和判定证明
4．若顺次连接矩形的各边中点所得的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，点E为BC上的一点，ED平分
∠AEC，则BE的长为（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结
论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③S AOE＝S COE，其中正确结论有（ ）
△ △
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
类型三 直角三角形斜边上中线问题
7．如图，四边形 是菱形，对角线 、 相交于点 ，过点 作 于
点 ，连接 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作 于点H，连
接OH，若 ， ，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
9．如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝
2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（ ）A．3 B． C． D．
类型四、添加一个条件构成矩形
10．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
11．在 中，对角线 ， 相交于点 ，只需添加一个条件，即可证明
是矩形，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ，添加一个条件使平行四
边形 为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
类型五、证明四边形是矩形
13．如图，在 中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则下列四个判断中，
不正确的是（ ）A．四边形ADEF是平行四边形 B．若 ，则四边形ADEF是矩形
C．若 ，则四边形ADEF是菱形D．若四边形ADEF是正方形，则 是等边三角形
14．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，过点O作直线MN BC，MN分别交
∠ACB、∠ACD的平分线于E，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；
③若CE＝12，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是（
）
A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④
15．如图，在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC＝60°，
∠ADB＝15°．点E是AD边上一个动点，延长EO交BC于点F，当点E从D点向A点移动
过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积
16．将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形 ．当
时，下列针对 值的说法正确的是（ ）A． 或 B． 或 C． D．
17．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点
(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形
EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
18．如图，在平行四边形 中， ， ．连接AC，过点B作 ，
交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若 ，则四边形ABEC的面积
为（ ）
A． B． C．6 D．
二、填空题
类型一、利用矩形的性质求线段、角度及面积
19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点
E，连接OE．若∠BDE＝15°，则∠DOE＝_____．20．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点E是BC边上一动点，连接AE．将
△ABE沿AE翻折得到△AEF，连接DF．当△ADF的面积为 时，线段BE的长为______．
21．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别
取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN．若AB＝3，BC＝2 ，则图中阴影部分的
面积为______________．
类型二、利用矩形的性质和判定证明
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，3），过点B作BA⊥x轴于点
A，BC⊥y轴于点C．若直线l： 把四边形OABC分成面积相等的两部分，
则m的值为____．23．如图，线段AB＝10，点D是线段AB上的一个动点（不与点A重合），在AB上
方作以AD为腰的等腰 ACD，且∠CAD＝120°，过点D作射线DP⊥CD，过DP上一动点
G（不与D重合）作矩△形CDGH，其对角线交点为O，连接OB，则线段OB的最小值为
______．
24．如图，矩形 中， ， ，矩形 的顶点 ， ， 分别在
矩形 的边 ， ， 上，且 ，则点 到 的距离的最大值为______．
类型三 直角三角形斜边上中线问题
25．在 中， ， ， 是 的中点， ，则 ______．
26．如图，在 中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知
，求高 ______．
27．如图，在 中， ， ， ，点 、 分别在 轴、 轴上，
当点 在 轴上运动时，点 随之在 轴上运动，在运动过程中，点 到原点的最大距离
是______．类型四、添加一个条件构成矩形
28．如图，连接四边形 各边中点，得到四边形 ，还要添加
______________条件，才能保证四边形 是矩形．
29．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，要使它变为矩形，需要添加的条件
_______________（写出一种情况即可）
30．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，
DB请你添加一个条件___________，使四边形DBCE是矩形．
类型五、证明四边形是矩形
31．如图，菱形 中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形 的各边
中点，若 ， ，则四边形 的面积为______．32．如图，△ABC中，分别以AB、AC为边在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角
形ACE，连接CD、BE，四边形ADFE是平行四边形．
（1）当∠BAC的度数为______时，平行四边形ADFE是矩形；
（2）当∠BAC的度数为______时，平行四边形ADFE不存在；
（3）当△ABC满足____________时，平行四边形ADFE是菱形．
33．数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形：其中四边形ABCD为菱形，
△ADH、△CBF、△AEB、△CGD均为直角三角形．若AH＝ ，DH＝1，CG＝2，则EF
的长为____．
类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积
34．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2 ，将△ABC沿AC
翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形．35．如图，在 中， ，直线 垂直平分 ，把线段 绕点 顺时针
旋转 ，使点 落在直线 上的点 处，联结 、 ，线段 、 交于点 ，如
果 ，那么 ______度．
36．如图，等腰直角三角形 ， ，点D、E分别是AB、BC上的点，且
， ，则图中阴影部分的面积为____________．
三、解答题
37．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD于点O， ，AB=4．
(1)求AC、BD的长； (2)求矩形ABCD的面积．38．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
(1)求证： ABN≌ MAD；(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
△ △
39．如图，在 中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作
交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求四边形ADCF的周长．
40．如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且∠ABC=90°，
，BE∥AC，CE∥DB，求证：四边形OBEC是菱形．从以下三个选项中选两个作为已知条件：
①AD∥BC， ②AB=CD， ③AD=BC，并完成证明．
你选择的条件是41．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边相交于点E，∠AEB
＝45°．
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)连接CE，若CE ，DE＝1，求AD的长．参考答案
1．A
【分析】
设 ，则 ，利用 求出 ，进一步得 ，设
，则 ，利用勾股定理求出 ，再求出 ， ，利用 求
解即可．
解：设 ，则 ，
∴ ，得： ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，解之得： ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一半．解题
的关键是求出 ， ，再利用勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一
半，求出BE，BO．
2．C
【分析】
根据矩形的性质可得OB=OC，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，又由AE平分∠BAD，
∠AOD=120°，即可求得∠OBC和∠AEB的度数，以及AB=BE，AB=OA=OB，即可得
OB=BE，∠BOE=∠BEO，即可求得∠OEB的度数
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OB= BD，OC= AC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BOC=∠AOD=120°，
∴∠OBC=30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEB=∠EAD=∠BAE=45°，
∴AB=BE，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴AB=OA=OB，
∴OB=BE，∴∠BOE=∠BEO，
∴∠OEB=75°，
∴∠AEO=∠OEB-∠AEB=75°-45°=30°，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质
和判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
3．A
【分析】
先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，再根据三角
形全等的判定证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，设 ，
则 ，然后在 中，利用勾股定理求出 的值，最后根据平行四边形的面
积公式即可得．
解： 如图，在两张全等的矩形纸片 ， 中， ，
，
四边形 是平行四边形，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
则图中重叠（阴影）部分的面积为 ，
故选：A．【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形全等的判定定理与性质
等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
4．A
【分析】
利用中位线的定理和矩形对角线的性质证明顺次连接矩形的各边中点所得的四边形的
四条边都相等即可求解．
解：如图，四边形ABCD是矩形，点E、F、G、H分别是其四条边的中点，顺次链接
E、F、G、H可得四边形EFGH一定是菱形，
证明：连接AC、BD，
∵在 ABD中，
∵ △ ， ，
∴ ，
同理可得： ， ， ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ,
∴四边形EFGH是菱形，
故选：A．
【点拨】本题考查矩形的性质、三角形中位线按定理、菱形的判定，解题的关键是正
确解读题意，熟练运用菱形的判定方法．5．B
【分析】
由 平分 得出 ，再根据矩形的性质得出相应角的度数，再由角
与角之间的关系得出 ，从而得出 ，再由角相等得出边相等，
再根据勾股定理求出 的长．
解：∵ 平分
∴
∵四边形 为矩形
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质及勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质和运用
勾股定理是解答此题的关键．
6．C
【分析】
由矩形的性质得OA＝OD＝OC＝OB，再证∠ACD＝60°，得△ODC是等边三角形，故
①正确；然后由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AB，则2AB＞BC，故②错误；最后
由OA＝OC得S AOE＝S COE，故③正确；即可求解．
△ △
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD BC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
∵AD BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
∴2AB＞BC，故②错误；
∵OA＝OC，
∴S AOE＝S COE，故③正确；
△ △
正确的结论有2个，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形
的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA＝OD＝OC是解题的关键．
7．A
【分析】
先根据菱形的性质得 、 、 、 ，借助
可计算出 、 的值，再利用DH⊥AB、 可知OH为Rt DHB的斜边DB
上的中线，得到 ，利用等腰三角形的性质得 ，△进而求出∠DHO
的度数．
解：∵ABCD是菱形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】此题考查菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形等边对等角
求角度等知识，熟记相关几何性质是解题的关键．8．B
【分析】
由Rt BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，
OH=2，则△，BD=4，由菱形对角线的性质可得AC=8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积
的一半，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=2，
∴BD=4，
∵OA=4，
∴AC=8，
∴菱形ABCD的面积= AC•BD= ×8×4=16．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性
质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．
9．B
【分析】
先连接 ，取其中点 ，连接 、 ，根据点D、E为线段AC、AO的中点求出
DE的长，再根据斜中线定理求出BE的长，当当 、 、 三点在同一条直线上时，BD
值最大，求出结果即可．
解：如下图所示，连接 ，取其中点 ，连接 、 ，
∵点D、E为线段AC、AO的中点，
∴ ,
又∵AB⊥x轴于点B，
∴
∴ ，当 、 、 三点在同一条直线上时，BD值最大，
此时 ；
故选：B．
【点拨】本题主要考查三角形中位线定理、斜中线定理，本题解题的关键是在于找到
两点之间线段最短．
10．A
【分析】
利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当 ，利用 ,
可得 即可证明四边形EFGH是矩形．
解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴ ，且 ， 且 ，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形
中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用 推出 ．
11．B
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可；
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴平行四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴平行四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴不能判定平行四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；
故选B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和菱形的判定，准确分析判
断是解题的关键．
12．B
【分析】
根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
解： A、 时，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、 时，∠BAD＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、 时，平行四边形ABCD不一定是矩形，故选项C不符合题意；
D、 时，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；
熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键．
13．D
【分析】
根据三角形中位线定理可知 ， ，所以四边形ADEF是平行四边形；
当 ，四边形ADEF是矩形；若 ，则 ，所以四边形
ADEF是菱形；若四边形ADEF是正方形，则 ， 不是等边三角形．
解：A.由三角形中位线定理可知： ， ，
∴四边形ADEF是平行四边形，选项正确，不符合题意；
B.∵四边形ADEF是平行四边形，∴当 ，四边形ADEF是矩形，选项正确，
不符合题意；
C.∵四边形ADEF是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，点D、F分别是AB、AC的中点∴ ，
∴ ，
∴若 ，则四边形ADEF是菱形，选项正确，不符合题意；
D.∵若四边形ADEF是正方形，则 ，
∴若四边形ADEF是正方形，则 是等边三角形，选项错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，
正方形的性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟记定理及性质．
14．A
【分析】
① 证明 ， ，即可证明结论①正确；
②先由角平分线性质证 ，若 ，则 ， ，与
已知矛盾，故结论②错误；
③由直角三角形斜边中线性质知， ，故结论③错误；
④由矩形判定方法可以证明该结论正确．
解： MN BC
EC平分角 ，FC平分角
故结论①正确；
若 ，则 ， ，与 ABC是锐角三角形矛盾，故
结论②错误； △
由上面分析知， ECF是直角三角形， 是斜边中线，故 ，故
△
结论③错误；
由 ， ，知四边形AECF是矩形，故结论④正确．
综上，正确答案为：A【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形中线性质、矩形的判
定等知识点，熟练掌握基本知识是解题的关键．
15．B
【分析】
根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可．
解：点E从D点向A点移动过程中，
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵∠AOD=180°-∠DAC-∠ADB=115°，
∴当∠EOD＝15°时，∠AOE=90°，
此时平行四边形AECF是菱形；
当∠EOD=45°，∠AEO=∠EOD+∠ADO=45°+15°=60°，
∴∠OAE=∠OEA，
∴OA=OE，
∴AC=EF，
此时平行四边形AECF是矩形；
∴∠EOD＜15°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD＝15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，
当15°＜∠EOD＜45°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD＝45°时，四边形AFCE为矩形，
当45°＜∠EOD＜105°时，四边形AFCE为平行四边形，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，解决问题的关键是熟练掌
握并应用它们的判定定理.
16．A
【分析】
当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．
解：如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC=GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM=BH= ，
∴GM垂直平分AD，
∴GD=GA=DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=360°-60°=300°，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
17．A
【分析】
由矩形的性质与线段的等量关系证明 ， ，则
， ，如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时
最小，即四边形 周长最小，作 于 ，则四边形 是矩形，
， ，则 ， ，在 中，由勾股
定理得 求出 的值，进而可求最小的周长．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 最小，即
四边形 周长最小，作 于 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴四边形 的周长 ，
故选A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．
解题的关键在于找出四边形 周长最小时点 、 的位置关系．
18．B
【分析】
先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，
∵ ，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴2AF=2BF，
即BC=AE，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴ ,
∴矩形ABEC的面积为 ．
故选：B
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知
相关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键．
19．135°##135度【分析】
首先得出△CDE为等腰直角三角形，即可推出△OCD为等边三角形，得CO=CE，进
而求出∠COE，即可得出答案．
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，CD＝CE，
∵∠BDE＝15°，
∴∠ODC＝60°，
在矩形ABCD中，OD＝OC，
∴△ODC为等边三角形，
∴OC＝CD＝CE，∠OCD＝∠COD＝60°，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝ （180°﹣∠OCE）＝75°，
∴∠DOE＝135°，
故答案为：135°．
【点拨】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分且相等的性质是解题关
键．
20．
【分析】
过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，求出AM长，再根据勾股定理列出方
程求解即可．
解：过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，
由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，
∵△ADF的面积为 ，
∴ ，
∵AD＝5，∴ ，
∴ ，
∵∠ABN=∠BAN=∠AMN=90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴ ，∠BNM=90°，AB=MN=3，
∴FN=MN-FM=2，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长，
利用勾股定理列方程．
21．
【分析】
利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出 , ,
,即可得出答案．
解： 点 、 分别是 、 的中点，连接 和 ，分别取 、 的中点
、 ,,
, , ,
图中阴影部分的面积 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中线的性质，得出图中阴影部分的面
积等于矩形 面积的一半是解题关键．
22．-3
【分析】
先由BA⊥x轴，BC⊥y轴得到四边形OABC是矩形，然后由矩形的性质可得直线l过矩
形OABC的中心点，再由点B和点O的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入
直线l的解析式求得m的值．
解：∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，
∴四边形OABC是矩形，
∵直线l将四边形OABC分为面积相等的两部分，
∴直线l过矩形OABC的中心点，
∵点B（3，3），点O（0，0），
∴矩形OABC的中心点为（ ， ），（中点坐标公式）
将中心点（ ， ）代入y＝mx﹣2m得， m﹣2m ，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过
直线l平分四边形OABC的面积得到直线l经过矩形OABC的中心点．
23．
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：EC=ED，再根据AC=AD，点一定在∠CAB的平
分线上运动，根据垂线段最短得：当EB⊥AE时，EB的长最小，根据∠BAE=60°得出结论．
解：连接AE，
∵四边形CDGH是矩形，
∴CG=DH，EC= CG，ED= DH，
∴EC=ED，
∵AC=AD，
∴AE垂直平分CD，
∴∠DAE=∠CAE= ∠CAD= ×120°=60°，
∴点E在∠CAB的平分线上运动，
∴当EB⊥AE，∠AEB=90°时，EB的长最小，
∵∠B=90°-∠BAE=30°，
∴EB= AB= ×10=5 ，即EB的最小值为5 cm，
故答案为5 ．
【点拨】本题考查了矩形、线段垂直平分线、含30°角的直角三角形、垂线段．熟练
掌握矩形对角线相等且平分的性质，线段垂直平分线的判定和性质、含30°角的直角三角
形边的性质、垂线段最短，是解决问题的关键．
24．
【分析】
如图，作 于 交 于 ，作 于 证明 ≌ ，推出 ，由四边形 是矩形，推出 ，推出
，在 中， 推出当 的
值最小时， 的值最大， 的值最大，求出 的最小值即可解决问题．
解：如图，作 于 交 于 ，作 于 ．
四边形 ，四边形 都是矩形，
， ，
， ， ，
，
，
，
≌ ，
，
四边形 是矩形，
，
，
在 中， ，
当 的值最小时， 的值最小， 的值最大，
四边形 是矩形，
，
当 时， 的值最小，
的最小值 的长 ，
的最小值 ，
，的最大值 ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的
关键是学会添加常用条辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．
【分析】
依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AB的长，再根据含30°角的直角三角形
的性质，即可得到BC的长，最后依据勾股定理进行计算，即可得出AC的长．
解：∵点D是AB的中点，CD=3，∠ACB=90°，
∴AB=2CD=6，
∵在 ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=△2BC，
即BC= AB=3，
∴Rt ABC中， ，
△
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形
中，斜边上的中线等于斜边的一半．
26．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得 ，勾股定理求得 ，
然后根据等面积法求得三角形的高即可求解．
解： 是 边BC上的中线
中，故答案为：
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握以上
知识是解题的关键．
27．
【分析】
根据题意，可得：当 、 、 三点共线时，点 到原点 的距离最大，即可得解．
解：如图，取 的中点 ，连接 、 ，
则 ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴当 、 、 三点共线时，点 到原点 的距离最大，
所以，点 到原点 的最大距离是 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟
记性质是解题的关键．
28．AC BD
【分析】
根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边互相垂直即可，然后只需要证明∠2为90°即可．
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF= BD，
同理可得GH∥BD，GH= BD，FG∥AC，FG= AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD
故答案为：AC⊥BD.
【点拨】本题考查矩形的判定，有一个角是90°的平行四边形是矩形和中位线定理，
解题的关键是了解矩形的判定定理，难度不大．
29．AD=BC（答案不唯一）
【分析】
可以根据“有一个角是90°的平行四边形是矩形”这一判定方法添加一条件使四边形
ABCD是平行四边形即可.
解：若AD∥BC，AD=BC，
则：四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴此时平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AD=BC（答案不唯一）.【点拨】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握相关概念是解题关键.
30．EB＝DC(答案不唯一)
【分析】
欲得四边形DBCE是矩形，由已知条件，易证得DE平行且等于BC，得出四边形
DBCE是平行四边形，“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∵AD=DE，
∴DE=BC.
∵DE∥BC，DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形，
∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即DC=EB.
故答案为DC=EB（答案不唯一）.
【点拨】考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键.
矩形常见的判定方法有：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
31．12
【分析】
利用三角形中位线定理，可以证明四边形EFGH和四边形MFNO是平行四边形，同时
得到四边形EFGH的边长，再证明四边形MFNO是矩形，∠MFN是直角，则四边形EFGH
是矩形，即可求得面积．
解：如图，设EF交BD于点M，FG交AC于点N，
∵ E、F、G、H 是菱形 的各边中点，∴EH BD，FG BD，EF AC，GH AC，EH＝FG＝ BD＝4，GH＝EF＝ AC
＝3
∴EH FG，EF GH，FM ON，FN OM
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠MON＝90°
∴四边形EFGH是矩形
∴四边形 的面积＝EF×FG＝12
故答案为：12
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的性质、矩形的判定方法等知识，熟
练掌握相关知识的应用是解题的关键．
32． 150° 60° AB=AC且∠BAC≠60°
【分析】
（1）当∠BAC=150°时，则∠DAE=90°，得平行四边形ADFE是矩形；
（2）当∠BAC=60°，证出D、A、E三点共线，得平行四边形ADFE不存在；
（3）先由等边三角形的性质得AD=AB，AE=AC，再由AB=AC得AD=AE，即可得出
结论．
解：（1）当∠BAC的度数为150°时，平行四边形ADFE是矩形，理由如下：
当∠BAC=150°时，
∵∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAE=360°-150°-60°-60°=90°，
又∵四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是矩形．
故答案为：150°；
（2）当∠BAC的度数为60°时，平行四边形ADFE不存在；理由如下：
当∠BAC=60°，∠BAC+∠DAB+∠CAE=180°，
∴D、A、E三点共线，
∴平行四边形ADFE不存在；
故答案为： 60°；（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，平行四边形ADFE是菱形，理由如下：
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
又∵四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是菱形，
故答案为：AB=AC且∠BAC≠60°．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性
质、平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和菱形的
判定．
33．1
【分析】
先证四边形 是矩形，可得 ，利用勾股定理可求 ， 的长，即可
求解．
解： 、 、 、 均为直角三角形，
， ， ， ，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
四边形 是菱形，
，
，
故答案为1．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理、矩形的判定，解题的关键是证明四边形
是矩形．
34．6或4
【分析】
分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和
矩形的判定与性质解答即可．解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°．
①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠B′EC=90°，
由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°，
在Rt△B′EC中，CE= B′C，即CE= BC，
∴BE=CE= BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2 ，
∴AE= AB= ，BE= =3，
∴BC=2BE=6；
②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O，
∵AD∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C，
∴∠OAC=∠ACO，
∴OA=OC，又AD=BC=B′C，
∴OD=OB′
∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°．
∵∠ADC=∠B=∠AB′C，
∴∠CDB′=∠AB′D=90°，
∴CD∥AB′，又CD =AB′，
∴四边形AB′DC是矩形，
∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠B=30°，AB= ，
∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，
解得：BC=4，
综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形．故答案为：6或4．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定
与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相
关知识间的联系与运用是解答的关键．
35．105
【分析】
过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF＝BE＝AE，则△BEF
是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝ AB＝
AC，可得出∠CAH＝30°，根据三角形内角和定理即可求解．
解：过点C作CH⊥AB于H，
∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处，
∴AE＝EF，
∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC，
∴AE＝BE＝ AB＝ AC，∠BEF＝90°，
∴EF＝BE＝AE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，∵DE⊥AB，CF AB，
∴CF⊥DE，
∵DE⊥AB，CH⊥AB，
∴四边形EFCH是矩形，
∴CH＝EF＝ AB＝ AC，
∴∠CAH＝30°，
∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°．
故答案为：105．
【点拨】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性
质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求
出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解题的关键．
36． ##
【分析】
如图，过 作 于 过 作 于 证明四边形 是矩形，
证明 求解 可得
再利用三角形的面积公式进行计算即可．
解：如图，过 作 于 过 作 于
四边形 是矩形，故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，
等腰三角形的性质，作出合适的辅助线构建矩形与等腰直角三角形是解本题的关键．
37．(1)AC = BD = 8 (2)
【分析】
（1）根据矩形的性质可得 ，再根据等边三角形的判定与性质可得
，从而可得 ；
（2）根据矩形的性质得 是直角，利用勾股定理可得AD的长，最后利用矩形的
面积公式即可．
(1)
解： 四边形ABCD是矩形，
，
又 ，
是等边三角形，
，
，
．
∴AC = BD = 8．
(2)
解： 四边形ABCD是矩形，在 中，
，
则矩形 的面积为 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩
形的性质是解题关键．
38．(1)见分析 (2)S BCMN＝4 －8
四边形
【分析】
（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS证
得两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质求得AD=BN=2，AN=4，从而利用勾股定理求得AB的长，
利用S BCMN=S ABCD-S ABN-S MAD求得答案即可．
四边形 矩形
解：(1) △ △
证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD.
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在 ABN与 MAD中，
△ △
，
∴△ABN≌△MAD(AAS)．
(2)
解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD.
∵AD＝2，
∴BN＝2.
又∵AN＝4，
∴在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB＝2 .
∴S ABCD＝2×2 ＝4 .
矩形
又∵S ABN＝S MAD＝ ×2×4＝4.
△ △
∴S BCMN＝S ABCD－S ABN－S MAD＝4 －8.
四边形 矩形
△ △
【点拨】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，
四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．
39．(1)见分析； (2)
【分析】
（1）证△AEF≌△DEB得AF=DB，再证出DB=DC即可；
（2）先证明四边形ADCF是菱形，进而求出周长即可．
解：(1)
证明：∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵点E是AD的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AD是BC边上的中线，
∴ ，
∴ ；
(2)
∵ ， ，
∴四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵ ，
∴ ，
∵AD是BC边上的中线，∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形ADCF为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴ ，
∴四边形ADCF的周长 ．
【点拨】本题利用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判
定和性质等，求周长的关键就在于得到四边形ADCF为菱形．
40．①③或②③
【分析】
选择的条件只要能证得四边形ABCD是矩形即可证明四边形OBEC是菱形.
解：选择①③时，
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是菱形．
选择②③时，
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是菱形．
综上可得，选择的条件是①③或②③
【点拨】本题考查了菱形、矩形的判定和性质，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键．
41．(1)证明见分析；
(2)3
【分析】
（1）根据角平分线及平行四边形的性质得出∠ABC=90°，利用矩形的判定定理即可证
明；
（2）连接CE，由勾股定理及等角对等边得出AB=AE=2，结合图形即可得出结果．
解：(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，∠AEB=45°，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
(2)
解：连接CE，
∵ ，DE=1，
∴ ，
∴AB=2，
由（1）可知∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=2，
∴AD=2+1=3．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质及矩形的判定，角平分线的定义，勾股定理
解三角形及等角对等边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
