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专题1.7 直角三角形（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、直角三角形两锐角互余
1．如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145°，则∠EDF
的度数为（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
2．在 中， ， 于 ， 平分 交 于 ，则下列结论
一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：
①AH⊥EF，②∠ABF=∠EFB，③AC∥BE，④∠E=∠ABE，正确的是( )
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②④
类型二、直角三角形的判定
4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A． B．1,
C．6,7,8 D．2,3,4
5．以线段 、b、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ）A． =3，b=4，c=6 B． =1，b= ，c=
C． =5，b=6，c=8 D． = ，b=2，c=
6．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
类型三、图形上的点与已知两点构成直角三角形
7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的
距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
8．在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得
△ABC为直角三角形，这样的点C共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
9．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90º
D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
类型四、在网格中判断直角三角形
10．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的
三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
12．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好
在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．45°
类型五、利用勾股定理的逆定理求解
13．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半
径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC
一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
14．如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°成△ABC ，则CC 的长等
1 1
于（ ）
A． B． C． D．
15．如图所示，有一块地ABCD，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，
BC=12米，则这块地的面积为（ ）A．60米2 B．48米2 C．30米2 D．24米2
类型六、勾股定理的逆定理的实际应用
16．已知实数a，b为 的两边，且满足 ，第三边 ，则第三
边c上的高的值是
A． B． C． D．
17．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，
DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
18．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东 的方向航行，它
们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为
（ ）
A．北偏西 B．南偏西75°
C．南偏东 或北偏西 D．南偏西 或北偏东
类型七、勾股定理的逆定理拓展应用
19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（
）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
20．ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定21．下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
二、填空题
类型一、直角三角形两锐角互余
22．如图， 于点 ， ， ，则 ____________．
23．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=_____度．
24．如图，在 中， ， ， 于 ， 于 ，
与 交于 ，则 ______.
类型二、直角三角形的判定
25．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是
__________.
26．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．27．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于_____．
类型三、图形上的点与已知两点构成直角三角形
28．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也
是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有_____个．
29．如图，在 中， ， ， ， ． 是 边上的一个动
点，点 与点 关于直线 对称，当 为直角三角形时， 的长为________．
30．如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P从点A出发沿
以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时
出发，用 表示移动的时间，当 _________s时， 是等腰三角形；当
_________s时， 是直角三角形．
类型四、在网格中判断直角三角形
31．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．32．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D均在格点上，则
∠CAB+∠CBA=____°．
33．如图所示的网格是正方形网格，则 __________ （点 ， ， ， ，
是网格线交点）．
类型五、利用勾股定理的逆定理求解
34．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在
AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V=2cm/s，V =1cm/s，当点P到达点B时，
p Q
P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．
35．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AD=3，若∠B=90°，则∠BCD的度数为____________________．
36．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n
都是正整数．以AB、AC、BC 为边分别向外画正方形，面积分别为S、S、S，那么S、
1 2 3 1
S、S 之间的数量关系为_____．
2 3
类型六、勾股定理的逆定理的实际应用
37．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．
38．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点， 于点E， ， ，
， ，则四边形ABCD的面积为_________．
39．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形 ，经测量， ，
， ， ， ．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知
草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．类型七、勾股定理的逆定理拓展应用
40．已知， 、 、 是 的三边长，若 ，则 是
_________.
41．阅读下列内容：设 ， ， 是一个三角形的三条边的长，且 最大，我们可以利用 ，
， 之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；
②若 ，则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．
例如：若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则最长边是 ， ，故由③
可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则该三角形是__________；
（2）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，且这个三角形是直角三角形，则 的值为
__________；
（3）带一个三角形的三边长 ， ， ，其中 是最长边长，
则该三角形是__________三角形．
42．在 中， 的对边分别是 ，若 ，又 ，
则最大边上的高为_________．
三、解答题
43．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交
AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．44．如图，在四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=2 ，若AC⊥BC，求证：
AD∥BC．
45．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20.
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
46．如图，△ABC中，CD⊥AB于D．
（1）图中有几个直角三角形；
（2）若AD=12，AC=13，则CD等于多少；
（3）若CD2=AD·DB， 求证：△ABC是直角三角形．47．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地
上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
48．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．
49．如图1, △ABC中，CD⊥AB于D,且BD: AD:CD=2:3:4,
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)已知S =40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运
△ABC
动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整
个运动都停止.设点M运动的时间为t(秒)，若△DMN的边与BC平行，求t的值;参考答案
1．B
【详解】
∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠DFC=35°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°.
∵在Rt△BDE与△Rt△CFD中BE=CD，BD=CF，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD，
∴∠BDE=∠CFD=35°.
∵∠EDF+∠BDE=90°，∴∠EDF=55°.
故选B.
2．C
【详解】
分析：根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出
∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出
∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．
详解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故选C．
点睛：本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等
腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．
3．D
【详解】
解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴①AH⊥EF正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠CBF，
∴②∠ABF=∠EFB正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB=∠ABF，∴④∠E=∠ABE正确．
故选D．
4．B
【详解】
试题解析：A．（ ）2+（ ）2≠（ ）2，故该选项错误；
B．12+（ ）2=（ ）2,故该选项正确；
C．62+72≠82，故该选项错误；
D．22+32≠42，故该选项错误.
故选B.
考点：勾股定理.
5．B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、 ，C、 ，D、 ，故错误；
B、 ，能构成直角三角形，本选项正确.
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.
6．C
【分析】
分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题.
【详解】
解：当3为斜边时,
32=22+x2,解得：x= ,
当x为斜边时,
x2=32+22,解得：x= ,∴x为 或 ,
故选C.
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,分类讨论是解题关键.
7．C
【分析】
当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，
满足条件的C点2个．所以共有6个．
【详解】
∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∵点C到AB距离为5，AB=10，
∴点C在平行于AB的两条直线上，
∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以
AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上），
∴满足条件的C点共，6个．
故选C．
【点拨】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角
形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
8．B
【详解】
试题解析：（1）∠BAP=90°易得P（0，2）；
1
（2）∠ABP=90°易得P（0，-3）；
2
（3）∠BAP=90°；
（如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P、P、P、P，AB与x轴交于C，过
3 4 5 6
点O′作O′D⊥y轴，在Rt△OO′p 中易知O′D=2，O′p = ，则PD= ，
3 3 3
OP =P D-OD= - =1，则P（0，1）易知PD=PD，
3 3 3 3 5
则P（0，-2），连接O′P ，O′P ，
5 4 6
易求出P（2- ，0）P（2+ ，0）
4 6
综上所述P（0，2），P（0，-3），P（0，1），P（2- ，0），P（0，-2），P（2+
1 2 3 4 5 6
，0）．
故选B.
考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质．
9．B
【分析】
根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
【详解】
解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该
都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错
误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵ ，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴ ，
D错误；
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和
等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
10．C
【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理
的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：
AB2=12+22=5,AC2=22+42=20,AD2=12+32=10,BC2=52=25,CD2=12+32=10,BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选C.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
11．A
【分析】
由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数 ．
【详解】
解：如图，连结AC，
由题意可得：
∴AC=BC， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，
故选A ．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性
质是解题关键．
12．D
【分析】
根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，根据等腰直角三角形的性质
即可得到结论．
【详解】
解：根据图形可得：
∵AB＝AC＝ ＝ ，BC＝ ＝ ，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故选D．
【点拨】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的
关键．
13．B
【分析】
依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝
AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】
如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝
c2，那么这个三角形就是直角三角形．
14．D
【解析】
连接CC′，交AB于点D，
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴BC 2 +AC 2 =AB 2 ，
∴△ABC是直角三角形．
根据折叠的性质，得AB垂直平分CC′，
∴CD= ，
∴CC′=2CD= ，
故选D．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结
合思想的应用．
15．D
【分析】
连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得AC的长，在△ABC中，利用勾股定理的逆
定理证明其是直角三角形，然后用△ABC的面积﹣△ACD的面积即可得解.
【详解】
解：如图，连接AC，在Rt△ACD中，AC= =5米，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
则这块地的面积=S ﹣S = ×5×12﹣ ×3×4=24米2.
△ABC △ACD
故选D.
【点拨】本题考查勾股定理以及其逆定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌
握其知识点.
16．D
【分析】
本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积
的运算，首先根据非负性的性质得出a、b的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判
定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c边上高即可．
【详解】
解：整理得， ，
所以 ，
解得 ；
因为 ，
，
所以 ，
所以 是直角三角形， ，
设第三边c上的高的值是h，
则 的面积 ，
所以 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：
几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．17．B
【分析】
连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角
三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】
连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°．
这块草坪的面积=S +S = AB•BC+ AC•DC= （3×4+5×12）=36米2．
Rt△ABC Rt△ACD
故选B．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
18．C
【分析】
先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的
航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．
【详解】
解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海
里；
∵ ，
∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，
∵甲船的航行方向是北偏东75°，
∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌
握勾股定理的逆定理是解题的关键．
19．D
【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】
选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直
角三角形，选项正确；
选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么
△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项
正确；
选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；
故选D．
【点拨】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结
合直角三角形的定义解出此题．
20．A
【解析】
【分析】
先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状.
【详解】
解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时，
由勾股定理可知42+52=41>36=62
可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形.
故应选A
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时
三角形形状的变化趋势.
21．D
【分析】
根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符
合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足
a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符
合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．
22．20
【分析】
已知∠A=50°，∠D=20°，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，可知
∠BED=70°，又BC⊥ED于点O，根据直角三角形两锐角互余即可得出∠B的度数．
【详解】
根据题意，在△AED中，∠A=50°，∠D=20°，
∴∠BEO=∠A+∠D=70°，
∵BC⊥ED于点O，
∴∠BOE=90°，
∴∠B=90°-∠BEO=20°，
故答案为20°．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握相关
性质是解题的关键.
23．135
【详解】
由题意得,在 与 中, ∵AB=DE, ∠ABC=∠ADE,BC=AD,
, , ,又∵△DEA是等腰直角三角形, ,
.
24．
【分析】
延长CH交AB于点F，利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．
【详解】
解：延长CH交AB于点F.
∵在△ABC中，三边的高交于一点，∴CF⊥AB，
∵ ， ，，
∴∠ABC=45°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF=45°，
∵ ，
∴∠CHD=45°，
【点拨】本题考查三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．5或 ．
【详解】
分析: 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论．
详解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2=42，解得x= ；
当4是直角三角形的直角边时，32+42=x2，解得x=5．
故使此三角形是直角三角形的x的值是5或 ．故答案为: 5或 ．
点睛:本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
26．15
【分析】
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾
股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的
面积．
【详解】
解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积= AD•AB=15．
故答案为15．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是
添加辅助线，构造全等三角形．
27．
【分析】
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=直角边×直角
边÷2，就可以求出最长边的高．
【详解】
∵52+122=132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的
高为h，则S = ×5×12= ×13h，解得：h= ．
△ABC
故答案为 ．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理和利用三角形的面积公式求高．
28．6
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角
△ABC其中的一条腰；分别找出符合题意的点C即可.
【详解】
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：6.
【点拨】本题考查了网格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三
角形的判定和性质、分情况探寻是解答的关键.
29．7或17
【分析】
分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．【详解】
解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC= =135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，
解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．30． 或5 4或10
【分析】
根据 是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 在 上，或点 在 上；根据
是直角三角形，分两种情况进行讨论： ，或 ，据此进行计算即可．
【详解】
解：如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，
解得 ；
如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，
解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，， ，
当 时， ，
解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ，
当 时， ，
解得：t=10．
故答案为： 或5；4或10．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进
行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
31．
【分析】
根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公
式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积
法即可求出BD的长．
【详解】
解：根据勾股定理得：AC＝ ＝5，
由网格得：S ＝ ×2×4＝4，且S ＝ AC•BD＝ ×5BD，
△ABC △ABC∴ ×5BD＝4，
解得：BD＝ ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键
32．45
【分析】
设每个小格边长为1，可以算得AD、CD、AC的边长并求得∠ACD的度数，根据三角形
外角性质即可得到∠CAB+∠CBA的值．
【详解】
解：设每个小格边长为1，则由图可知：
∴ ，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
又∠ACD=∠CAB+∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA=45°，
故答案为45．
【点拨】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理及三角形的外角性
质是解题关键．
33．
【分析】
连接CG、AG,根据勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°,从而知△CAG是等腰直角三角形,根
据平行线的性质和三角形全等,可知,∠BAC-∠DAE=∠ACG,即可得解．
【详解】
解:如图,连接CG、AG,由勾股定理得:AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10,
∴AC2+AG2=CG2,
∴∠CAG=90°,
∴△CAG是等腰直角三角形,
∴∠ACG=45°,
∵CF∥AB,
∴∠ACF=∠BAC,
在△CFG和△ADE中,
∵CF＝AD, ∠CFG＝∠ADE＝90°, FG＝DE,
∴△CFG≌△ADE（SAS）,
∴∠FCG=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAE=∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°,
故答案为：45．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理,三角形的全等的性质, 等腰直角三角形的
判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键．
34． 或 .
【分析】
先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可
以求出结论．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=6-2t，BQ=t，
∴6-2t=2t，解得t= ；
当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴t=2（6-2t），
解得t= ，
∵00，
△ABC
∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm.
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10−t=t，
∴t=5；
当DN∥BC时，AD=AN，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用及等
腰三角形的性质.
