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专题 1.7 正方形十字模型
【例题精讲】
【例1】如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， 交于点 ，
．求证： ．
【解答】证明： 四边形 是正方形，
，
，
， ，
，
又 ，
（同角的余角相等），
在 和 中
，
．
．【题组训练】
1．如图，点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点， 与 交于点 ，连
接 ．
（1）写出线段 与 的数量关系和位置关系，并证明；
（2）求证： ．
【解答】证明：（1） 且 ．理由如下：
四边形 是正方形， ， 均为中点，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
；
（2）延长 交 的延长线于 ，
， ，
，
，
，
，
，
，，
．
2．如图，在正方形 中，点 是 的中点，连接 ，过点 作 交 于
点 ，交 于点 ．
（1）证明： ；
（2）连接 ，求证： ．
【解答】证明：（1） 四边形 是正方形，
， ，
又 ，
，
，
；
（2）如图所示，延长 交 的延长线于 ，
是 的中点，
，
又 ， ，
，
，即 是 的中点，
又 ，
中， ．
3．如图，正方形 中， ， 分别为 ， 上的点，且 ，垂足为 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求正方形的边长．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，垂足为 ，
，
，
在 与 中， ，
，
；
（2）解： 四边形 为正方形，，
，
，
，
，
，
即： ，
设 ，则 ，
，
解得： ， （不合题意舍去），
，
．
4．如图，正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连接 ，
相交于点 ．
（1）当 时， 4 0 ；
（2）判断 与 的关系，并证明．
【解答】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
又 ，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
故答案为：40；
（2） ， 的位置关系互相垂直，
证明：由（1）知 ，
，
，
，
，
即 ， 的位置关系互相垂直．
5．如图，在正方形 中，点 在 上，且不与 、 重合， 的垂直平分线分别
交 、 于 、 两点，垂足为 ，过 作 于 ．
（1）求证： ；
（2）若正方形 的边长为12， ，求线段 的长．【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
．
在 与 中，
，
，
；
（2）解：由勾股定理得， ．
是 的垂直平分线，
，
．由（1）知， ，
，
．
6．如图1，在正方形 中， 、 分别是边 、 上的点，且 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，在正方形 中， 、 、 、 分别是边 、 、 、 上的
点，且 ． 与 是否相等？并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形 中， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
；
（2）解： 与 相等．
理由如下：如图，过点 作 交 于 ，过点 作 交 于 ，
， ，
四边形 与四边形 是平行四边形，
， ，
在正方形 中， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
．9．如图，在正方形 中， ， 与 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中， ，
，
（2）由（1）知， ，
，
，
．
10．已知正方形 ， 、 分别在 、 上， ， 、 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 是 中点时，求证： ．
【解答】证明：（1） 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
；
（2）方法一：如图，过点 作 于点 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是 中点，
，
设 ，则 ，
，，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，
．
方法二：如图，延长 ，与 交于点 ，
是 中点，
，
在正方形 中， ， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
，
，
即 ．
11．已知正方形 ， 、 分别为边 、 上的点， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【解答】证明：（1） 四边形 为正方形，
， ，
在 与 中，
；
（2）设 与 交于 ，
，
，
，
．12．综合与实践：
如图，在正方形 中，点 是边 上的一个动点（点 与点 ， 不重合），连接
，过点 作 于点 ，交 于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当点 运动到 中点时，连接 ，求证： ；
（3）如图3，若 ，连接 ，当点 在边 上运动的过程中． 是否存在最小
值，若存在，请直接写出 最小值，及此时 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，（2）证明：如图2，延长 ， 交于点 ，
点 是 的中点，
，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，，
．
（3）解： 存在最小值．
如图3，以 为直径作 ，连接 ， ，
，
，
点 在以 为直径的 上，
在 中， ，
当点 在 上时， 有最小值，
此时：如图4，
，点 是 中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由（2）可得 ，
．
13．如图1， 为正方形 的边 上一动点 与 、 不重合），点 在 边上，
且 ，连接 、 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 运动到 中点处时（如图 ，连接 ，请你判断线段 与 之间的关系，
并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过 点作 于点 ，交 、 于点 、 ，
若 ，求 的长度．
【解答】解：（1）在正方形 中有： ， ，
，
，
，，
，
，
；
（2） ，理由如下：
如图，延长 、 交于一点 ，
当点 为 中点时， 为 中点，即 ，
， ，
，
，
，
由（1）得： ，
；
（3）由（1）得： ，
，
，
，设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
解得： ，
．
14．（1）如图1，在正方形 中， 、 相交于点 且 则 和 的数
量关系为 ．
（2）如图 2，在正方形 中， 、 、 分别是边 、 、 上的点，
，垂足为 ．求证： ．
（3）如图3，在正方形 中， 、 、 分别是边 、 、 上的点， ，， ，将正方形沿 折叠，点 的对应点恰好与 边上的点 重合，求
的长度．
【解答】解：（1） ， ，
，
在 和 中， ，
，
，
故答案为 ；
（2）如图1，故点 作 于点 ，则四边形 为矩形，
则 ，
在正方形 中， ，
，
，
，
，，
，
在 和 中，
，
，
；
（3）如图2，连接 ，
、 关于 对称，
，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，则 ，
由（2）同理可得： ，
，
， ，
，
又 ，
．
