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专题1.2 探索勾股定理（专项练习）
一、单选题
知识点一、用勾股定理解直角三角形
1．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．13
2．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．20 B．40 C．80 D．100
3．若直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，则另一条直角边长为（ ）
A．7 B．8 C．20 D．65
知识点二、勾股（树）数的问题
4．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3
C．8，9，10 D．5，6，9
6．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．5，8，10 D．3，4，6
知识点三、以直角三角形三边长求图形面积
7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
8．如图， ， ， 分别表示以直角三角形三边为边长的正方形面积，则下列结论正确的
是（ ）A． B． C． D．
9．如图，直线 上有三个正方形 ，若 的面积分别为3和8，则c的面积为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
知识点四、勾股定理与折叠问题
10．如图，将等腰直角三角形 （ ）沿 折叠，使点 落在 边的
中点 处， ，那么线段 的长度为
A．5 B．4
C．4. 25 D．
11．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点
E处，AD是折痕，则△BDE的周长为( )A．6 B．8 C．12 D．14
12．如图， 中， ，将 沿DE翻折，使点A与
点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
知识点五、利用勾股定理求两线段平方和（差）
13．如图，在 中， ， ， ．以 为一条边向三角形外部
作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
14．下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2b2c2；
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2b2c2；C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2b2c2；
D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2b2c2；
15．若△ABC的两边长为4和5，则能使△ABC是直角三角形的第三边的平方是( )
A．9 B．41 C．3 D．9或41
知识点六、利用勾股定理求线段之间关系
16．在 中， 、 、 的对应边分别是a、b、c，若 ，则下
列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
17．在 中， ， ， 的对应边分别是 ， ， ，若 ，则下列等
式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点
F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
二、填空题
知识点一、用勾股定理解直角三角形
19．已知直角三角形的两直角边分别为9和12，则它的周长为______________．
20．一条直角边3，斜边长为5的直角三角的面积为_________．
21．已知甲往东走了3 ，乙往南走了4 ，这时甲、乙两人相距____ ．
知识点二、勾股（树）数的问题
22．若15，25，x三个数构成勾股数，则x=___
23．如图，两个较大的正方形面积分别为25，16，那么用字母A代表的正方形面积为___________
24．已知一直角三角形的三边长都是正整数，斜边长13，周长为30，则该直角三角形的面
积是________．
知识点三、以直角三角形三边长求图形面积
25．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
26．图中 代表的是所在的正方形的面积，则 的值是______．
27．如图，以 的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形 、
正方形 的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．知识点四、勾股定理与折叠问题
28． 中， 为 边上的一点，将 沿
折叠，使点C落在 边的点E处，则 的面积为__________．
29．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图折叠，使点 与点 重
合，则 的长是________．
30．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，
CD=6，则CF的长为_________________．
知识点五、利用勾股定理求两线段平方和（差）
31．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝_____．
32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之
和为_____．33．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B
点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为
______m．
知识点六、利用勾股定理求线段之间关系
34．如图，以 的三边分别向外作正方形，其面积分别用 ， ， 表示，若
，则 的形状是_______________ ．
35．在 中，斜边AB=3．则 =___________________；
36．如图， 中， ，分别以 为直径作三
个半圆，那么阴影部分的面积为______．（平方单位）三、解答题
知识点一、用勾股定理解直角三角形
37．在 Rt△ABC 中，∠C=90°
① 若 a=40，c=41， 则 b= ；
②若 c=13， b=5，则 a= ；
③ 己 知 a：b=3：4， c=15， 则 a= ；b= ．
知识点二、勾股（树）数的问题
38．阅读材料，并解决问题．
有趣的勾股数
定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之
为勾股数．
一般地，若三角形三边长 ， ， 都是正整数，且满足 ，那么数组
称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数
以外，还提到 ， ， ， 等勾
股数．
数学小组的同学研究勾股数时发现：设 ， 是两个正整数，且 ，三角形三边长 ，
， 都是正整数．下表中的 ， ， 可以组成一些有规律的勾股数 ．
2 1 3 4 5
3 2 5 12 13
4 1 15 8 17
4 3 7 24 25
5 2 21 20 295 4 9 40 41
6 1 35 12 37
6 5 11 60 61
7 2 45 28 53
7 4 33 56 65
7 6 13 84 85
通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数 可以写成 ．
解答下列问题：
（1）表中 可以用 ， 的代数式表示为_____________．
（2）若 ， ，则勾股数 为______________．
（3）小明通过研究表中数据发现：若 ，则勾股数的形式可表述为
（ 为正整数），请你通过计算求此时的 ．(用含 的代数式表示 )
知识点三、以直角三角形三边长求图形面积
39．如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角
三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边 上距直角顶点 米远的点 处同
时开始测量，点 为终点.小娟沿 的路径测得所经过的路程是 米，小燕沿
的路径测得所经过的路程也是 米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的
花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了.亲爱的
同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？
知识点四、勾股定理与折叠问题
40．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将此图形折叠得图②，折痕为
AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长．
知识点五、利用勾股定理求两线段平方和（差）
41．如图， ， ， ， ．（1）请你用无刻度的直尺和圆规，作出 的内切圆 （保留作图痕迹，不要求写
作法）；
（2）求 的半径长．
知识点六、利用勾股定理求线段之间关系
42．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝
12cm，求四边形ABCD的面积．参考答案
1．D
【分析】根据勾股定理 ，计算出斜边长为13．
解：由勾股定理得，斜边长＝ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，直接代公式就可以求出斜边的长．
2．A
【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜
边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．
解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为，800÷2=400，
∴斜边长=20，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题
中正确计算斜边长的平方是解题的关键．
3．B
【分析】根据勾股定理解答即可．
解：∵直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，
∴另一条直角边2 ，
∴另外一边为8．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，正确把握勾股定理是解题关键．
4．B
【分析】根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求
解即可．
解：根据勾股数的定义可得，
，故选：B．
【点拨】本题考查了勾股数，熟练勾股数的定义是解决本题的关键．
5．A
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和
是否等于最长边的平方．
解：A、 ，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
B、 ，不能构成三角形，故不是勾股数；
C、 ，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
D、 ，不能构成直角三角形，故不是勾股数．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键．
6．A
【分析】勾股数是符合a2+b2=c2特点的，还要是正整数，据此判断即可．
解：A、因为82+152=172，故是勾股数；故此选项正确；
B、因为勾股数必须是正整数，故不是勾股数．故此选项错误；
C、因为52+82≠102，故不是勾股数．故此选项错误；
D、因为32+42≠62，故不是勾股数．故此选项错误；
故选：A．
【点拨】此题主要考查了勾股数的判定方法，比较简单，只要对各组数据进行检验，看各
组数据是否符合勾股定理的逆定理即可．
7．D
【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长
的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和.
解：由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．
故选D．【点拨】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个
以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键.
8．D
【解析】
【分析】根据勾股定理求解即可．
解：如图，由勾股定理得，AB2＝AC2＋BC2，
∴x＝y＋z，
故选：D．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分
别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
9．B
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
解： 如图，
由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，
∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△CDE，
∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即S=S −S=8−3=5．
c b a
故选B．
【点拨】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理
解能力要比较强.
10．D
【分析】由折叠的性质可求得AE=A E，可设AE=A E=x，则BE=6-x，且AB=3，在
1 1 1
Rt△A BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．
1
解：由折叠的性质可得AE=A E，
1
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6，
∴AB=6，
∵A 为BC的中点，
1
∴AB=3，
1
设AE=A E=x，则BE=6-x，
1
在Rt△A BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x= ，
1
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A E是解题的关键，注意勾股定
1
理的应用．
11．C
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决
问题．
解：在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，∠C=90°，
∴AB=10，
由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE，
∴BE=4，
∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12．
故选：C．
【点拨】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．12．D
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，
AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到
x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD= AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x= ，
∴CE= = ，
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也
考查了勾股定理．
13．D
【分析】根据勾股定理解得 的值，再结合正方形的面积公式解题即可．
解：在 中， ， ， ，
以 为一条边向三角形外部作的正方形的面积为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．D
【分析】根据勾股定理的内容，即可解答．解：A、勾股定理只限于在直角三角形里应用，故错误；
B、虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B错误；
C、在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为
b2+c2=a2，故C也错误；
D、符合勾股定理，正确．
故答案为：D．
【点拨】注意：利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边．
15．D
【分析】根据勾股定理解答，要分类讨论：当一直角边、斜边为4和5时；当两直角边长
为4和5时．
解：当一直角边、斜边为4和5时，第三边的平方=52-42=9；
当两直角边长为4和5时，第三边的平方=52+42=41,
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的计算同时要注意分类讨论．
16．C
【分析】由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用
勾股定理即可得到结果．
解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
则根据勾股定理得： ．
故选：C．
【点拨】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．C
【分析】根据勾股定理解题．
解：如图，由勾股定理得， ，
故选：C．
【点拨】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．A
解：设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理
得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝ b2，x2+4y2＝ a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、
c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝ AC＝ b，BD＝ a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝ b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝ a2，③
②+③得5x2+5y2＝ （a2+b2），∴4x2+4y2＝ （a2+b2），④
①﹣④得c2﹣ （a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
19．36
【分析】根据勾股定理可求出斜边，然后由三角形的周长公式解答．
解：∵直角三角形的两条直角边分别为9、12，
∴斜边长= =15，
∴周长=9+12+15=36．
故答案是：36．
【点拨】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的周长的求法，熟练掌握勾股定理是解
决问题的关键．
20．6
【分析】根据勾股定理可以求得另一条直角边的长，然后即可求得此直角三角形的面积．
解：∵直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，
∴另一条直角边为4，
∴此直角三角形的面积为： =6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和三角形的面积
公式解答．
21．5
【分析】因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，
则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离．
解：如图，
∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，
∴ ，
故答案为5．
【点拨】本题考查勾股定理的应用．能结合题述正确画出图形是解题关键．
22．20【分析】按照x是最大勾股数和非最大勾股数两种情形求解．
解：当x是最大勾股数时，则由 ，
显然x不是整数，此情形不符合题意；
当x是非最大勾股数时，则由
，
∴x=20，是整数，符合题意；
故答案为：20．
【点拨】本题考查了勾股数的计算，学会分类计算且保证数是整数是解题的关键．
23．
【分析】由较大正方形的面积可以求得其边长，再由勾股定理可以得到直角三角形第三边
即A的边长长度，从而得到A的面积．
解：由图可知，直角三角形的斜边长度为 ，一直角边的长度为 ，
∴直角三角形的另一直角边长度为 ，
∴正方形A的面积为 ，
故答案为9 ．
【点拨】本题考查勾股定理及正方形的综合应用，通过勾股定理得到直角三角形三边的关
系求解是解题关键．
24．30
【分析】由周长及斜边长可得两条直角边的长，再由勾股定理可求出两直角边的大小，进
而可求解其面积．
解：由题意可得，AC＝13，又AB＋AC＋BC＝30，
∴AB＋BC＝17，
又AB2＋BC2＝AC2，
解得：AB＝12，BC＝5，
∴三角形的面积S＝ AB•BC＝ ×12×5＝30．【点拨】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股数是关键．
25．100．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表
的正方形的面积A=36+64=100．
解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边
的平方=36+64．
故答案为：100．
【点拨】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
26．225
【分析】根据勾股定理可直接求解．
解： 所在正方形的面积为 ，
故答案为：225．
【点拨】本题主要考查考查勾股定理，勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜
边的平方，找我勾股定理是解题的关键．
27．139
【分析】根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，
即可求解．
解：如图，∵正方形 、正方形 的面积分别为25、144，
∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12
∴阴影部分的面积为169- ×5×12=169-30=139
故答案为：139．【点拨】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法．
28．
【分析】由折叠的性质得 ， ，由勾股定理得出
，则 ，在△BDE中利用勾股定理求得
，由三角形面积公式 即可得出结果．
解：由折叠的性质得： ， ，
，
，
设CD=x，则BD=12-x，DE=x，
在△BDE中， ，
则 ，
解得：x= ，
∴ ，
，故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练运用折叠的
性质与勾股定理是解题的关键．
29．
【分析】先通过勾股数得到 ，再根据折叠的性质得到 ， ，
，设 ，则 ， ，在 中利用勾股定理可计
算出 ，然后在 中利用勾股定理即可计算得到 的长．
解： 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，
，
又 根据折叠的性质，
， ， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，解得 ，
在 中， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了勾股定理．
30．
【分析】设 ，在 中利用勾股定理求出x即可解决问题．
解：∵ 是 的中点， ， ，
∴ ，
由折叠的性质知： ，
设 ，
则 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即： ，解得 ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转
化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
31．18
【分析】根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解．
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，
∵c＝3，
∴a2+b2+c2＝2×32＝18．
故答案为：18．【点拨】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值．
32．36
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
解：在Rt△ACB中， ，
则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和
故答案为：36．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜边长
为 ，那么 ．
33．500
【分析】根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=53°，再根据平角的定义得出
∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根
据勾股定理求出AC的值即可．
解：由题意知BE∥AD，
∴∠DAB=∠ABE=53°，
∵∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°且∠FBC=37°，
∴∠CBA=90°，
∴△ABC为直角三角形，
∵BC=300，AB=400，
∴AC （m）．
答：A、C两点之间的距离为500m．
【点拨】此题考查用勾股定理求两点之间的距离，用方位角的知识得到直角三角形是关键．
34．直角三角形
【分析】先求 ，面积 ，得等式即可．
解： ，
，
，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理判断直角三角形问题，掌握勾股定理的逆定理，利用
面积关系得到三角形三边具有两短边的平方和等于长边的平方是解题关键．
35．18
【分析】由题干已知的直角三角形和所求的是与直角三角形的三边的平方和可知，运用勾
股定理求解．
解：在 中：
∵斜边AB=3
∴AC、BC为直角边
∴ （勾股定理）
∴ =9+9=18．
故答案为：18．
【点拨】本题考察对勾股定理含义的理解．
36．14
【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角
形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
解：S =直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S -直径为AB的半圆面积
阴影 △ABC
==
=
=
=
=14
故答案为：14．
【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面
积的和或差．
37．①9；②12；③9；12
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
解：∵在 中， ，
∴ ,
（1）∵ ， >0,
∴ ；
（2）∵ ， >0
∴
（3）∵ ，
∴设 ，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
故答案为：①9；②12；③9；12.
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
c，那么 ．
38．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；
（2）把 ， 代入 即可求解；
（3）根据勾股定理求解即可；
解：（1）∵4=2×2×1，
12=2×3×2，
8=2×4×1，
24=2×4×3，
…，
∴ ，
故答案为： ；
（2）当 ， 时，
a=m2-n2=42-22=12， =2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20，
∴勾股数 为 ，
故答案为： ；
（3）根据题意，得 ，
∴ ，解得 ．
【点拨】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关
键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
39．能，理由见祥解， 米
【分析】设 ， ， ，根据小娟沿 的路径测
得所经过的路程是 米，小燕沿 的路径测得所经过的路程也是 米，
， ，由勾股定理求出x的值，有面积公式得 ，
即可求解.
解： 中， ，
设 ， ，
则 .
，
又在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，即 （米）
米， 米， 米
， 米答：这个直角三角花台底边上的高位 为 米
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积公式.正确运用勾股定理及三角形
的面积公式是解决问题的关键.
40．C'F=3．
【分析】利用勾股定理求出BA=10，设C'F=x，则BF=8-x，在Rt△BC'F中，利用勾股定理
解出x的值即可．
解：由折叠得：AC'=AC=6，C'F⊥AB，CF=C'F，
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，
∴AB=10，
∴BC'=10﹣6=4，
在Rt△BC'F中，设C'F=x，则BF=8﹣x，
∴x2+42=(8﹣x)2，
解方程得：x=3．
即C'F=3．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的
性质．
41．（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）作 的平分线 ，作 的平分线 ，两平分线相交于点 ，
作 于点 ，以 为圆心， 为半径作 即可；
（2）过 作 于点 ， 于点 ，先证明四边形 是矩形，再证
明矩形 是正方形，设 的半径为 ，则 ，利用勾股定理、面
积法解题即可．
解：（1）如图所示，（2）过 作 于点 ， 于点 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
∵ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
∵ 是 的内切圆，
∴ ， （从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线
长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：圆的半径长为2.
【点拨】本题考查作图—作角平分线、三角形内切圆与内心、勾股定理、正方形的判定与
性
