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专题1.4 一定是直角三角形吗（专项练习）
一、单选题
知识点一、勾股定理的证明方法
1.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示
的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三
角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形
的边长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图所示，在正方形 中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），
得到长为 的正方形，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．4．下图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学
问题是( )
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
知识点二、以弦图为背景的计算题
5．如图，以一直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积如图所示，
则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一
个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差是（
）
A．9 B．36
C．27 D．3
7．如图1是由 个全等的边长为 的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚
线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是 的大正方形，则（
）A．甲、乙都可以 B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都不可以
8．如图所示的是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，这个图案是由“弦图”演
变而来．“弦图”最早是由三国时期数学家赵爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着
中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（ ）
A．《周髀算经》 B．《几何原本》 C．《九章算术》 D．《孙子算经》
知识点三、以勾股定理构造图形解决问题
9．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔东南方向24m处有一建筑工
地B，在A、B间建一直水管，则水管的长为（ ）
A．40m B．45m C．50m D．56m
10．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何
东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到
离墙多远的地方灯刚好发光？( )
A．4米 B．3米
C．5米 D．7米
11．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）A． B． C． D．
12．如果梯子的底端离建筑物3米，5米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
二、填空题
知识点一、勾股定理的证明方法
13．如图，利用图(1)或图(2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著
名的定理，这个定理结论的数学表达式是________________．
14．利用图或图两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，
这个定理称为___________，该定理的结论其数学表达式是__________.
15．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由
四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，
直角三角形中较小锐角θ的正切为 ，那么大正方形的面积是_____．16． 如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：
∵S= ，S= ，S= ，
1 2 3
∴S+S S.
1 2 3
即（ ）2+（ ）2=（ ）2．
知识点二、以弦图为背景的计算题
17．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边
长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．
18．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如
果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角
边长为b，那么（a+b）2的值为 ．
19．如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为_____
20．如图，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部
分面积为__________．
知识点三、以勾股定理构造图形解决问题
21．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去
本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索
从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退
行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为_____．
22．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是_____．
23．如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 .若一只蚂蚁从 点开始经过
4个侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行的最短路径的长度是________ .24．如图，圆柱体的高为 ，底面周长为 ，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从 点到
点，路线如图所示，则最短路程为_______．
三、解答题
知识点一、勾股定理的证明方法
25．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发
现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如
下
如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a
S =
四边形ADCBS =
四边形ADCB
∴ 化简得：a2+b2=c2
请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中
∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
26．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得
到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你
写出验证的过程．
知识点二、以弦图为背景的计算题
27．（阅读理解）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边
关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边
长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为 和 ，斜边为 ，那么 ．迄
今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的
“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积
可以表示为 或者是 ，因此得到 ，
运用乘法公式展开整理得到 ．（尝试探究）（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角
形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为 、 ，斜边长
为 ，请你根据古人的拼图完成证明．
（2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定
理，其中四个直角三角形直角边分别为 、 ，斜边长为 ，请你帮助完成．
（实践应用）（3）已知 、 、 为 的三边 ，试比较代数式
与 的大小关系．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，BC＝8，，点D是边BC上的一个动点，
连接AD，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE
的中点，连接CE．
（1）如图①，连接CF，求证：DE＝2CF；
（2）如图②，连接AF并延长，交BC边所在直线于点G，若CG＝2，求BD的长．
知识点三、以勾股定理构造图形解决问题
29．如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高
出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．30．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，
出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面
是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦
苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别
是多少？参考答案
1．C
【分析】根据A、B、C、D各图形结合勾股定理一一判断可得答案.
解：A、有三个直角三角形, 其面积分别为 ab, ab和 ,
还可以理解为一个直角梯形,其面积为 ，由图形可知:
= ab+ ab+ ，
整理得:(a+b) =2ab+c , a +b +2ab=2ab+ c , a +b = c
能证明勾股定理;
B、中间正方形的面积= c ,中间正方形的面积=(a+b) -4 ab=a +b ,
a +b = c ,能证明勾股定理;
C、不能利用图形面积证明勾股定理, 它是对完全平方公式的说明.
D、大正方形的面积= c ,大正方形的面积=(b-a) +4 ab = a +b ,,
a +b = c ,能证明勾股定理;
故选C.
【点拨】本题主要考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
2．B
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，根据大正方形的面积等于四个全等的
直角三角形面积加小正方形的面积，即可求出小正方形的面积，进而可得边长．
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，
∵每一个直角三角形的面积为： ab= ×8=4，∴4× ab+ =25，
∴（a-b）2=25-16=9，
∴a-b=3，
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是根据大正方形的面积等于四个全等的直
角三角形面积加小正方形的面积列出等式，求出小正方形的面积，属于基础题型．
3．B
【分析】根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的
正方形，在 中， ， ， ，即可得出结论．
解：根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方
形，
∴在 中， ， ， ，
∴ ，A选项不符合题意；
根据勾股定理得： ，符合题意；
C： ，不符合题意；
D： ，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
4．C
【分析】根据"弦图",说明了直角三角形的三边之间的关系,解决的问题是:勾股定理即可得
出
解："弦图",说明了直角三角形的三边之间的关系,解决的问题是:勾股定理.
故选 C
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
5．B如图所示，
根据勾股定理，可得
12+A=16，
∴A=4.
故选B.
6．B
【分析】将四个直角三角形的面积相加即可得．
解：由图可知，大正方形与中间小正方形的面积差等于四个直角三角形的面积和
由直角三角形的面积公式得：面积和
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形的面积公式，理解题意，正确将面积差转化为面积和是解
题关键．
7．A
【分析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．
解：如图所示：
可得甲、乙都可以拼一个面积是5的大正方形．
故选： ．
【点拨】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关
键．
8．A
【分析】根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”即可解答．
解：根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”，故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理，知道“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过是解答的关
键．
9．A
【分析】东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
解：∵在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地
B，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝32m，OB＝24m，
∴AB＝ ＝40m．
故选：A．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10．A
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理解答．
解：由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，
由勾股定理，得CE＝ ＝4 m，
故离门4米远的地方，灯刚好发光，
故选A.
【点拨】本题考查勾股定理的应用.
11．C
【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
解：由勾股定理得： cm,
∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；
故选：C．
【点拨】考查了勾股定理、长方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
12．C
【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可.
解：如图所示：∵梯子、地面、建筑物正好构成直角三角形，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC=3米，AB=5米，
∴AC=√AB2−BC2=√52−32=4米，
故本题答案为：C.
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此
题的关键．
13．a2＋b2＝c2
【分析】题中的两个图叫勾股弦图，四个全等的直角三角形的面积和加上小正方形的面积
等于大正方形的面积；根据上述的等量关系列式并变形即可得直角三角形的三边关系.
解：选择用图(2)证明，
如图大正方形的面积＝(a＋b)2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4× ab＋c2，
则(a＋b)2＝4× ab＋c2化简，得a2＋b2＝c2.
故答案为a2＋b2＝c2.
【点拨】本题考查勾股定理的证明.
14．勾股定理 c2=a2+b2
解：试题分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．
用图（2）较简单，
如图正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4× ab+c2，即（a+b）2=4× ab+c2化简得a2+b2=c2．
这个定理称为 勾股定理．
考点：本题考查的是勾股定理的几何背景
点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
15．169．
【分析】由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运
用正切函数定义求解．
解：由题意知，小正方形的边长为7，
设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则
tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．
所以b＝ a，①
又以为b＝a+7，②
联立①②，得a＝5，b＝12．
所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．
故答案是：169．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三
角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.
16．4，9，13，=，AC,BC,AB
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，分别得出S S S 再根据面积的数量关系得
1、 2、 3，
出边长的关系。
解：∵S= =4 S = =9; S = =13
1 2 3
∴S+S =S .
1 2 3
∴ +
故答案为: 4，9，13，=，AC,BC,AB
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识点，熟练掌握相关知识是解题的
关键。17．66
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和
即为最大正方形的面积．
解：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S，C、D的面积和为S，
1 2
S=42+52，S=32+42，
1 2
于是S=S +S ，
3 1 2
即可得S=16+25+9+16=66．
3
故答案是：66．
【点拨】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S 是解答本题的关
3
键．
18． 25
解：a
解：由题意知（a-b）2=
所以ab=6,所以（a+b）2=（a-b）2+4ab=1+4×6=25.
故答案为：25
19．36
试题分析：由题意知，BD2=100，BC2=64，且∠DCB=90°，∴CD2=100-64=36，正方形A
的面积为CD2=36．故答案为36．
考点：勾股定理．
点评：本题中解直角△BCD是解题的关键．
20．4
【分析】求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积．解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是8和6，
∴阴影部分的正方形的边长为8-6=2，
∴阴影部分的面积为2×2=4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了“赵爽弦图”，正方形的面积，熟悉“赵爽弦图”中小正方形的边长
等于四个全等的直角三角形中两直角边的差是解题的关键．
21．（x﹣3）2+64＝x2
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可
解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故答案为（x﹣3）2+64＝x2
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方
程是解题的关键.
22．25
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，
根据题意得： ， ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得： ，
即 ，
∴ ，
故答案为：25．
【点拨】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据
题意判断出长方形的长和宽即可解答．23．13
【分析】该题主要考查曲面（或折面）上的最短路径的求解，这在我们平时做题时会经常
遇到，对于这类涉及到空间图形的问题，我们一般的解法就是作出立体图形的侧面展开图，
然后进行分析，利用平面知识解决曲面问题，这也是一种很好的转化思想．
解：
根据题意，画出侧面展开图.
故答案为：13.
【点拨】本题考查了勾股定理，解题关键在于把侧面展开后根据两点之间线段最短去求解.
24．5cm
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表
面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
解：如图，沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，
连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
∵AC=3cm，BC=4cm，
∴AB= ，
故答案为：5cm.
【点拨】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，掌握平面展开-最短路径问题是解题的关键.
25．见解析.
【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形
ACBED，两者相等，整理即可得证．
解：证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，
∵S =S +S +S = ab+ b2+ ab，
五边形ACBED △ACB △ABE △ADE
又∵S =S +S +S = ab+ c2+ a（b-a），
五边形ACBED △ACB △ABD △BDE
∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a（b-a），
∴a2+b2=c2．
【点拨】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题
的关键．
26．见解析
【分析】根据S =S +S +S ，利用三角形以及梯形的面积公式即可证明．
梯形ABEF △ABC △CEF △ACF
解：证明：∵S = （EF+AB）•BE= （a+b）•（a+b）= （a+b）2，
梯形ABEF
∵Rt△CDA≌Rt△CGF，
∴∠ACD=∠CFG，
∵∠CFG+∠GCF=90°，
∴∠ACD+∠GCF=90°，
即∠ACF=90°，∵S =S +S +S ，
梯形ABEF △ABC △CEF △ACF
∴S = ab+ ab+ c2，
梯形ABEF
∴ （a+b）2= ab+ ab+ c2
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
考点：勾股定理的证明．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式 与 的大小关系是相等．
【分析】 尝试探究 （1）根据图形面积的不同求法即可得到结论；
（2）根据图形面积的不同求法即可得到结论；
实践应用 （3）分解因式，根据勾股定理即可得到结论．
解： 尝试探究 （1）图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，
即 ，
；
（2）图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，
即 ，
；
实践应用]（3） ， ，
代数式 与 的大小关系是相等．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
28．（1）见解析；（2）BD长为 或【分析】（1）由AB＝AC，∠BAC=90°，得∠B=∠ACB=45º，利用同角的余角相等
∠BAD=∠CAE，AD＝AE，可证△ABD≌△ACE（SAS）得到∠B=∠ACD=45º，可证
∠BCE=90º，由点F是DE的中点，DE=2CF；
（2）设BD=x=CE，由（1）△ABD≌△ACE得BD=CE，当点G在BC上，利用 AF⊥ DE，
DF=EF垂直平分线证DG=GE=6-x，由勾股定理得：CG2+CE2=GE2，即22+x2=(6-x)2，求出
x，当点G在BC延长线上上，CG=2，BC=8， DG=8-x+2=10-x，由勾股定理得：
CG2+CE2=GE2，即22+x2=(10-x)2解之即可．
解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45º,
∴∠BAD+∠DAC=90º，
∵以AD为直角边向右作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠DAC+∠CAE=90º，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACD=45º，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45º+45º=90º，
∵点F是DE的中点，
∴CF= DE，
DE=2CF；
（2）设BD=x=CE，由（1）△ABD≌△ACE得BD=CE，
当点G在BC上，CG=2，BC=8， DG=8-x-2=6-x，
∵△ADE等腰直角三角形，点F是DE的中点，
∴AF⊥ DE，DF=EF
∴DG=GE=6-x，
在Rt△GCE中，由勾股定理得：CG2+CE2=GE2，即22+x2=(6-x)2，
解得x= ，
当点G在BC延长线上上，CG=2，BC=8，
∵△ADE等腰直角三角形，点F是DE的中点，
∴AF⊥ DE，DF=EF
∴DG=GE，
∴DG=8-x+2=10-x，
在Rt△GCE中，
由勾股定理得：CG2+CE2=GE2，即22+x2=(10-x)2，
解得x= ．
BD的长为 或 ．
【点拨】本题考查直角三角形的斜边中线，，垂直平分线，和勾股定理等知识，掌握这些
知识，会证明三角形全等，会利用全等三角形的性质证直角三角形，会利用等腰直角三角
形的斜边中线，三线合一证DG=EG，会利用勾股定理构造方程是解题的关键．
29．7.5尺；8.5尺.
【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得： ，解得 ，
∴门高7.5尺，竹竿高 尺．
【点拨】本题考查的是勾股定理的运用
30．水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
解：设水的深度为x尺，如下图，
根据题意，芦苇长：OB＝OA＝(x＋1)尺，
在Rt△OCB中，
52＋x2＝(x＋1)2
解得：x＝12，
x＋1＝13
所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
