文档内容
专题 2.3 函数的奇偶性与周期性
思维导图
知识点总结
知识点一 函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数
f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数
f(x)就叫做奇函数．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
知识点四 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]
上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点五 奇偶性与单调性
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单
调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相
反的单调性．
典型例题分析
考向一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
解 (1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
(3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∵定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)f(x)＝＋的定义域为{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)＝＋既为奇函数，又为偶函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
考向二 利用函数的奇偶性求解析式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例2 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析
式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此
时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，
即可得所求区间上的解析式．
考向三 构造方程组求函数的解析式
例3 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
反思感悟 f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，
从中解出f(x)和g(x)．
考向四 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例4 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－
3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然
后利用单调性比较大小．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数 是定义在R上的偶函数， 时， ，那么 的值是多少
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性， ，即可求解，
【详解】∵ 是定义在R上的偶函数，∴ ，
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性，属于基础题.
2．已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2．
【答案】B
【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由 及 是奇函数得 ， ，
所以 ，所以 是周期函数，周期为4，
，
故选：B．
3．已知函数 与函数 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
，则
A．1 B．2 C．0 D．-1
【答案】D
【分析】根据条件可得出f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），从而根据f（x）+g
（x）＝x3+x2+x即可得出f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，从而可求出f（1）﹣g（1）＝﹣1．
【详解】∵f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且f（x）+g（x）＝x3+x2+x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，
∴f（1）﹣g（1）＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了奇函数和偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
4．已知非空集合A，B满足： ， ，函数 ，对于下
列两个命题：①存在唯一的非空集合对 ，使得 为偶函数；②存在无穷多非空集
合对 ，使得方程 无解.下面判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①､②都正确 D．①､②都错误
【答案】B
【分析】在同一平面直角坐标系画出 与 的图象，结合函数图象即可判断①；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】再分别求出 与 的解，即可判断 无解的条件，从而判断②，即可得
解；
【详解】解：在同一平面直角坐标系画出 与 的图象如下所示：
由 ，解得 ，由函数图象可知当 或
时 为偶函数，故①错误；
令 ，解得 ，令 ，解得 ，因为 ， ，
，所以当 ， 时满足 无解，故存在无穷多非空集
合对 ，使得方程 无解，故②正确；
故选：B
5．已知定义在 上的函数 是偶函数，且在 上单调递增，则满足
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先通过函数 的性质得到 的对称性和单调性，再利用
的性质去掉 中的 ，然后解不等式即可.
【详解】函数 是偶函数, 且在 上单调递增，
即函数 的对称轴为 ，
又函数 向右平移1个单位可得 ，
函数 的对称轴为 ，且在 上单调递增，
由 得
解得 或
故选：B.
6．若函数 同时满足:
①对于定义域上的任意 ,恒有 ；
②对于定义域上的任意 ,当 时,恒有 ；
则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1） （2） （3）
，其中能被称为“理想函数”的有（ ）个.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】满足① 为奇函数，满足② 在定义域内是减函数，对（1）（2）（3）中的
三个函数逐个判断，即可得结果.
【详解】对于①对于定义域上的任意 ,恒有 ；
则有 ，故满足条件① 为奇函数；
对于②对于定义域上的任意 ,当 时，
不妨设 ，恒有 ，
，
故满足②条件的函数 是在定义域内是减函数；
所以“理想函数”即为定义域内是减函数且为奇函数.
（1） ，在定义域不是减函数，故不是；
（2） 不是奇函数，故不是；
（3） ，
，所以为奇函数，
作出其图像，函数在定义域内是减函数，故为“理想函数”.
故选:A
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解题的关键，属于中档题.
二、多选题
7．已知 ，设函数 ， ， ，若 的最大值为 ，最
小值为 ，那么 和 的值可能为（ ）
A．4与1 B．5与2 C．5与3 D．6与4
【答案】CD
【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.
【详解】令 ， ，
∴ ，∴ 为奇函数，
设 的最大值为t，最小值为 ，
∴ ， ，可得 ，
∵ ，∴2b为偶数，
故选：CD．
8．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时，
C． 是 图象的一条对称轴
D． 在 上单调递增
【答案】ABD
【解析】根据题意先求解出 时， 的解析式，然后根据已知条件作出 的图象，
根据图象即可判断出 是否为对称轴以及 在 上是否单调递增.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】当 时， ，所以 ，所以 ，
所以 ，作出 图象如下图所示：
由图象可知： ，所以 ，故A正确；
当 时， 故B正确；
由图象可知 显然不是 的对称轴，故C错误；
由图象可知 在 上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题考查奇函数的综合应用，其中涉及函数的解析式、单调性、对称性，考查学
生综合分析问题的能力，难度一般.
三、填空题
9．函数 为偶函数，当 时， ，则 时， ________．
【答案】
【分析】由 ，可得 ，根题意得到 ，代入化简，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为函数 为偶函数，且当 时， ，
所以 ，
即 时， .
故答案为： .
10．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
【分析】先由函数奇偶性的概念判断 为奇函数；再由二次函数单调性，得到函数
在 上是减函数；将不等式 化为 ，求解，即可得出结果.
【详解】因为 ，
所以，当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ；所以 为奇函数；
又当 时， 单调递减；所以 时， 也单调递减；
即函数 在 上是减函数；
则由 得 ，则 ，即 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为
【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考
题型.
11．已知定义在 的偶函数 在 是增函数，且 ，则不等式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的解集是______．
【答案】
【解析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．
【详解】 是偶函数，定义域为 ，
又 在 上是增函数，且 （1） ，
不等式 等价为 且 ，
则 或 ，
即不等式的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题.将奇偶性与单调性
综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇
偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区
间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
12．已知 是R上的偶函数，且 ，当 时，
，则 __________.
【答案】
【分析】根据 ，求得函数的周期，再根据函数的周期将所求的转化到已知
区间，即可得解.
【详解】解：当 时， ，
则 ， ，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以函数 是以8为周期的周期函数，
则 ，
由 ，得 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
13．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；
【答案】f（x）＝
【解析】根据已知可得 ，设x<0，则－x>0，求出 ，再由奇偶性，求出
即可.
【详解】设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f（x）＝x＋1，
∴当x<0时，f（x）＝－x－1.
又x＝0时，f（0）＝0，
所以f（x）＝
【点睛】本题考查求函数的解析式，利用函数的奇偶性是解题的关键，不要忽略“ ”
情况，属于基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．已知偶函数 定义域为 ，当 时， .
（1）求函数 的表达式；
（2）用函数单调性的定义证明：函数 在区间 单调递减，并解不等式
.
【答案】（1） ；（2）证明见解析， .
【解析】(1) 设 ，则 ，结合已知条件可求出 ，结合函数的奇偶性即可求出
函数 的表达式.
(2) 设 且 ，求出 ，即可证明函数在 单调递减，
结合奇偶性和单调性可得 ，从而可解 .
【详解】（1）设 ，则 ， ，又因为 定义域为 的偶函数，
所以 ， 所以 ，所以 .
（2）当 时， ，设 且 ， 则
= ，
因为 ， ，所以 ，
所以函数 在区间 单调递减， 又因为 定义域为 的偶函数，
所以 ，所以 ，又 在区间 单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 .
【点睛】关键点睛：
本题第二问的关键是由奇偶性得 ，再结合函数的单调性列出关于 的不等
式.
15．已知函数 是定义在 上的奇函数.
(1)求函数 的解析式；
(2)判断函数 的单调性并证明；
(3)解不等式 .
【答案】(1) ；
(2) 在 上单调递增，证明见解析；
(3) .
【分析】（1）由奇函数定义可得 ，由对应项系数相等可求得 ，进而得到
；
（2）任取 ，可证得 ，由此可得结论；
（3）将不等式转化为 ，结合函数定义域和单调性可构造不等式求得结果.
(1)
是定义在 上的奇函数， ，
即 ， ， ；
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】任取 ，
， ， ，
， ，
在 上单调递增.
(3)
由 得： ，
又 是奇函数， ，
由（2）知： 在 上单调递增， ，解得： ，
即不等式 的解集为 .
16．已知函数 为奇函数，且
(1)求a，b的值；
(2)判断函数 在区间 上的单调性，并用定义加以证明；
(3)求 在区间 上的值域.
【答案】(1) ，
(2)函数在 上单调递增，在 上单调递减，证明见解析
(3)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）根据函数为奇函数得到 ，解得 ，再计算 解得答
案.
（2）判断函数在 上单调递增，在 上单调递减，设 ，计算
得到证明，同理可得答案.
（3）根据函数的单调性计算函数的最小值和最大值得到值域.
【详解】（1）函数 为奇函数，故 ，即 ，故
，
，即 .
，定义域为 ， ，为奇函数，满足.
（2）函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
设 ，则 ，
易知 ， ， ，
故 ，函数单调递增；
设 ，则 ，
易知 ， ， ，
故 ，函数单调递减；
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3） ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故函数的值域为 .
提升题型训练
一、单选题
1．已知一个奇函数的定义域为 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，即可得答案；
【详解】 奇函数的定义域关于原点对称，
，
故选：A.
【点睛】本题考查奇函数的性质，属于基础题.
2．已知偶函数 在区间 上单调递减，那么下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知 在区间 上单调递增，而且 ，即可比较大小.
【详解】偶函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递增，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选:A.
【点睛】本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查利用抽象函数的单调性比较函数值的
大小，属于基础题.
3．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A, , 是偶函数，且在区间 上单调递增，
符合题意；对于B, 对于 既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C,
是奇函数，不合题意；对于D, 在区间 上单调递减，不合题意，
只有 合题意，故选A.
4．已知函数 ，若 ，则实数 ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．3
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质，可以得到 ，依题意可以求出实数 ．
【详解】因为 ，所以 ，
，又 ，所以 ，
解得 .故选D.
【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质解决和抽象函数有关的问题．
5．已知定义在 上的函数 满足 ．若函数 与 的图像
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的交点为 ， ，…， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】由题意可知函数 与 都关于点 点对称，则可知 ，
，由此即可得处答案 .
【详解】由题意函数 满足 ，则函数 关于点 点对称，
记 ，则 ，
则
所以函数 也关于点 点对称，
则其交点 ， ，…， 也关于点 点对称，
即 ， ，所以 .
故选：A
6．狄利克雷函数为F(x) .有下列四个命题：①此函数为偶函数，
且有无数条对称轴；②此函数的值域是 ；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；
④存在三点 ，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题
正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断；②根据 的取值得到值域；
③根据周期性的定义进行分析；④先假设存在，然后推理证明是否存在.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】① 的定义域为 关于原点对称，当 为有理数时， ，当
为无理数时， ，
所以 恒成立，所以 是偶函数，
取非零有理数 ，当 为有理数时， ，当 为无理数时，
，
所以 恒成立， 有无数种可能，所以 有无数条对称轴；
②因为 的取值只有 ，所以 的值域为 ；
③取有理数 ，当 为有理数时， ，当 为无理数时，
，
所以 恒成立， 有无数种可能，所以 是周期函数且无最小正周期；
④设存在 满足条件，
根据函数值域可知， 的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，
(1)不妨设 为有理数， 为无理数，因为 为等腰直角三角形，所以 只能为
的斜边，
所以 ，所以 为有理数，与假设矛盾，故不成立；
(2)不妨设 为无理数， 为有理数，因为 为等腰直角三角形，所以 只能为
的斜边，
所以 ，所以 为无理数，与假设矛盾，故不成立，
综上可知：不存在三点使得 为等腰直角三角形.
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，难度较难.处理新函数的性质问题，可从函数各
个性质的定义入手解决问题；常见的函数对称轴对应的形式 ，周期函数
对应的形式 .
二、多选题
7．某数学兴趣小组对函数 进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是
（ ）
A． 是偶函数 B． 的值域为
C． 有且只有1个零点 D．
【答案】BD
【分析】由函数的奇偶性的定义判断A，求出函数的值域判断B，求解函数的零点判断C，
由函数的单调性判断D
【详解】解：函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以 为奇函数，所以A错误；
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 为奇函数，所以 的值域为 ，所以B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，当 时， ，则0是函数的零点，
当 时， ，
由 ，得 或 ，而方程 无解，
当 时， ，
由由 ，得 或 ，方程 有一负根，则 有一负的
零点，综上， 有2个零点，所以C错误；
当 时， 为单调减函数，
因为 为奇函数，所以 在 上为减函数，
而 ，
所以 ，
所以D正确，
故选：BD
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断，考查函数的
值域的求法，考查函数零点的判方法，考查计算能力，解题的关键是对函数解析式恒等变
形，属于中档题
8．已知函数 ， ，若存在实数m，使得对于任意的 ，都有 ，则
称函数 ， 有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意
的 ，都有 ，则称函数 ， 有上界，M为其一个上界.若函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， 既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是（ ）
A．若函数 在定义域上有下界，则函数 有最小值
B．若定义在 上的奇函数 有上界，则该函数一定有下界
C．若函数 为有界函数，则函数 是有界函数
D．若函数 的定义域为闭区间 ，则该函数是有界函数
【答案】BC
【分析】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可．
【详解】解：对于A，当 时， ，则 恒成立，则函数 有下界，
但函数 没有最小值，故A错误；
对于B，若定义在 上的奇函数 有上界，不妨设当 时， 成立，
则当 时， ，则 ，
即 ，则 ，该 的下界是 ，则函数是有界函数，故B正确；
对于C，对于函数 ，若函数 为有界函数，
设 ，则 或 ，
该函数是有界函数，故C正确；
对于D，函数 ，
则函数 的定义域为闭区间 ，值域为 ，
则 只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数，故D错误.
故选：BC.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三、填空题
9．函数 为偶函数，则实数a的值______.
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性列方程，由此求得 的值.
【详解】由于 为偶函数，所以 ，
所以 ，
，
，
所以 ， .
故答案为： .
10．已知 是定义域为 的奇函数，且函数 为偶函数，当 时，
，则 ______．
【答案】
【解析】根据函数的对称性和奇偶性即可求得函数值.
【详解】 关于 对称，关于直线 对称，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和对称性求函数值，属综合基础题.
11．已知函数 ，若对任意的 ，不等式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】恒成立，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意可得 为偶函数，求得 在 上连续，且为减函数，可得
，即有即 在 恒成立，由一次函数的单调性，
解不等式组，即可得到所求范围．
【详解】∵
∴ 为偶函数且在 单调递减
∵ 在 恒成立
∴ 在 恒成立，则 在 恒成立
∴ 在 恒成立
∴ ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思
想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数 的奇偶性与单调性，属于中档题．
12．定义函数 如下:对于实数 ,如果存在整数 ,使得 ,则 .则下列结论:
① 是实数 上的递增函数;② 是周期为1的函数;③ 是奇函数;④函数 的
图像与直线 有且仅有一个交点.则正确结论的序号是______.
【答案】③
【分析】直接利用对于实数 ，如果存在整数 ,使得 ,则 ，对四个命题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】分别进行判断，即可得出结论.
【详解】对于①如果对于实数 ,存在整数 ，使得 ，则 ，即
时， ，所以 在 上为常数函数，故①不正确；
对于②令 ，则 时， ，令 ，则 时， ，所以
，即 是周期为1的函数不正确，故②不正确；
对于③因为 ，所以 ，
所以 ，所以 为奇函数，故③正确；
④由③可知，函数 为奇函数，又函数 也为奇函数，根据奇函数的图像关于原点对
称知，两个函数的图像如果有交点，那么它们至少有两个交点，故④不正确.
综上所述：只有③正确.
故答案为：③
【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了函数的单调性，奇偶性和周期性，
考查了奇函数的图像的对称性，属于中档题.
四、解答题
13．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数
(2)偶函数
(3)既是奇函数也是偶函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(4)奇函数
【分析】（1）确定函数的定义域，并判断其定义域不关于坐标原点对称；
（2）根据奇偶函数的定义进行判断，可得 ，即可判断；
（3）根据奇偶函数的定义进行判断，判断出两个点在 轴上；
（4）根据 可判断其奇偶性.
(1)
（1）∵函数 的定义域是 ，关于坐标原点不对称
∴ 既不是奇函数也不是偶函数．
(2)
∵函数 的定义域为 ，关于坐标原点对称．
又
∴ 为偶函数．
(3)
∵函数 的定义域为 ，关于坐标原点对称，
∴ 既是奇函数也是偶函数．
(4)
的定义域为 ．
∵
∴ ，∴ 为奇函数．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．已知函数 ，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式 的解集.
【答案】（1） ；（2）函数 为奇函数；（3） .
【分析】（1）真数位置大于0，得到 的取值范围；（2）得到 ，然后判断与
的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于 的不等式，从而得到 的解集.
【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式 ，
解得 ,
函数的定义域为 .
（2）函数 为奇函数，
证明：由第一问函数的定义域为 ，
，
所以函数 为奇函数.
（3）解不等式 ，
即
即 ，
从而有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
不等式 的解集为 .
【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.
15．设设函数 .
(1)若 ，判断函数 在区间 上的单调性，并用定义法证明；
(2)若函数 为奇函数， ，且 对 恒成立，求 的取
值范围.
【答案】(1)在 上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】(1)求出a的值，利用定义证明函数单调性的方法和步骤证明即可；
(2)求出a的值，再判定函数的单调性，借助奇偶性及单调性脱去法则“f”，转化为恒成立
的不等式即可得解.
(1)
函数 中，由 得 ，则 ，函数 在区间
上的单调递增，
设 且 ，则 ，
因 ，则 ，即 ，于是得 ，
即 ，
所以函数 在 上单调递增.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
因函数 为奇函数，则 ，即 ，即
有 对任意 成立，
于是得 ，函数 在 上递减，
当 时， ，
而 ， ，又 ，于是得 ，因此有 对
恒成立，
又 在 单调递增，当 时， ，则 ，
所以 .
16． 是定义在 上的函数，对一切 都有 且
（1）求 ；
（2）判断函数 的奇偶性
【答案】(1) (2)偶函数
【分析】（1）取 ，得到
（2）取 得到 ，即 得到答案.
【详解】（1）
取 ，则
（2）
取 得到 ，即
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】函数 为偶函数
【点睛】本题考查了求函数的值和函数奇偶性的判断，意在考查学生对于函数性质的灵活
运用.
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