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专题 04 勾股定理中的实际应用问题
题型一 树折断问题
1．如图，一棵树从 处折断了，树顶端离树底端距离 ，那么这棵树原来的高度是
A． B． C． D．
【解答】解： 米， 米， ，
折断的部分长为 ，
折断前高度为 （米 ．
故选： ．
2．如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出 ，
当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部 ，由此可计算出学
校旗杆的高度是
A． B． C． D．
【解答】解：设旗杆的高度为 米，则绳子的长度为 米，
根据勾股定理可得： ，
解得， ．
即旗杆的高度为12米．故选： ．
3．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，
量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大
爷的房子吗？
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
【解答】解：
因为房屋是有高度的（并且题中未说明房屋到底多高），大树倒下部分，以 为半径，绕点 做圆弧形
的运动， ，10大于9，当房屋超过一定高度的时候，就一定会被砸到，故 、 、 都是错误的．
故选： ．
4．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，
未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子 丈 尺），现被
大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为 4.5 5 尺 ．
【解答】解：设折断后的竹子高 为 尺，则 长为 尺，根据勾股定理得：
，
即： ，
解得： ，
故答案为：4.55尺．题型二 梯子滑落问题
5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙 上，测得 ，若梯子的顶端沿墙下滑 ，这时梯子的底
端也下滑 ，则梯子 的长度为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，
由题意得： ， ， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
在 中，根据勾股定理得： ，
，
解得： ，
，
即梯子 的长为 ，
故选： ．
6．如图，一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时 为 ．如果将梯子的底端 外移
，顶端 沿着墙壁也下滑 吗？
【解答】解：依题意，得 ， ，
在 中，根据勾股定理，可得： ，在 中，根据勾股定理，可得： ，
顶端 沿着墙壁下滑了 ，
答：顶端 沿着墙壁没有下滑 ．
7．如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上，这时梯子下端 与墙角 距离为15米，梯子滑动
后停在 的位置上，测得 长为5米，请回答：
（1）梯子滑动后，梯子的高度 是多少米？
（2）梯子顶端 下落的长度 有多少米？
【解答】解：（1） 在 中，
米， 米，
（米 ，
在 中，
米， （米 ，
（米 ，
答：梯子滑动后，梯子的高度 是15米；
（2）由（1）知， 米， 米，
则 （米 ．
答：梯子顶端 下落的长度 有5米．
8．如图，一架长为5米的梯子 斜靠在与地面 垂直的墙 上，梯子底端距离墙 有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离 的长．
（2）若梯子顶点 下滑1米到 点，求梯子的底端向右滑到 的距离．【解答】解：（1） 米；
（2） 米， 米．
9．如图，长 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端 ．
（1）求梯子的顶端到地面的距离；
（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动 ，则梯子顶端向下滑多少米？
【解答】解：（1）如图，在 中， ，
， ，
，
答：梯子的顶端到地面的距离为 ；
（2）如图， ，
，
，
，
答：梯子顶端向下滑1.5米．题型三 台风问题
10．在某台风登陆期间， 市接到台风警报时，在该市正南方向 的点 处台风中心正以 的
速度沿 方向移动，已知城市 到 的距离 ．
（1）台风中心经过多长时间从点 移动到点 ？
（2）如果在距台风中心 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点 的人脱离危险．人必
须在接到台风警报后的几时内撤离（撤离速度为 ？
【解答】解：（1）在直角三角形 中，根据勾股定理，得 ．
时；
所以台风中心经过6小时从点 移动到点 ．
（2）根据题意得：游人最好选择沿 所在的方向撤离．撤离的时间 ．
又台风到点 的时间是6小时．
即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离．
11．如图，在点 正北方 的 处有一信号接收器，点 在点 的北偏东 的方向，一电子狗
从点 向点 的方向以 的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为．
（1）求出点 到线段 的最小距离；
（2）请判断点 处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．
【解答】解：（1）作 于 ．
在 中， ， ，
，
答：点 到线段 的最小距离为 ．
（2） ，
点 处能接收到信号．
当 时， ，
当 时， ，
，
可接收信号的时间 ．
答：可接收信号的时间 ．
12．2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控
政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路 的一侧点 处有一村庄，村庄 到公路 的距离为600米，假设宣讲车 周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车 在
公路 上沿 方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米 分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【解答】解：（1）村庄能听到宣传，
理由： 村庄 到公路 的距离为600米 米，
村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到 点开始影响村庄，行驶 点结束对村庄的影响，
则 米， 米，
（米 ，
米，
影响村庄的时间为： （分钟），
村庄总共能听到8分钟的宣传．
13．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．
如图，有一台风中心沿 由点 向点 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上两点 ， 的距
离分别为 和 ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）海港 受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为 ，台风影响该海港持续的时间有多长？【解答】解：（1）海港 受台风影响．
理由：如图，过点 作 于 ，
， ， ，
．
是直角三角形．
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受到台风影响．
（2）当 ， 时，正好影响 港口，
，
台风的速度为 ，
（小时）
即台风影响该海港持续的时间为5.6小时．14．台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心， 在周围数十千米范围内形气旋风暴， 有极强的破坏
力， 此时某台风中心在海域 处， 在沿海城市 的正南方向 240 千米， 其中心风力为 12 级， 每远
离台风中心 25 千米， 台风就会减弱一级， 如图所示， 该台风中心正以 20 千米 时的速度沿 方向
移动 ． 已知 且 ，且台风中心的风力不变， 若城市所受风力达到或超过 4 级，
则称受台风影响 ． 试问：
（1） 城市是否会受到台风影响？请说明理由 ．
（2） 若会受到台风影响， 那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3） 该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【解答】解：（1） 该城市会受到这次台风的影响 ．
理由是： 如图， 在 中，， 千米，
千米，
城市受到的风力达到或超过四级， 则称受台风影响，
受台风影响范围的半径为 千米 ．
，
该城市会受到这次台风的影响 ．
（2） 如图以 为圆心， 200 为半径作 交 于 、 ．
则 ．
台风影响该市持续的路程为： ．
台风影响该市的持续时间 （小 时） ．
（3） 距台风中心最近，
该城市受到这次台风最大风力为： （级 ．
题型四 “玄图”的应用15．在数学实践活动中，伍伍利用四个全等的直角三角形纸片拼成了一个“伍伍弦图”．如图，连接小正
方形的一条对角线，并把部分区域涂上颜色，大直角三角形的两条直角边的长分别是 6和8．则图中阴影
部分的面积是
A．36 B．64 C．100 D．50
【解答】解：由题知，阴影部分的面积刚好为大正方形面积的一半，
大正方形的边长为大直角三角形的斜边 ，
阴影部分的面积 ，
故选： ．
16．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设 ， ，则斜边 的长是
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，则 ，
，
，
，
，，
，
故选： ．
17．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，
则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和 构成的，可以用其面积关系验证勾股定
理．将图1按图2所示“嵌入”长方形 ，则该长方形的面积为
A．120 B．110 C．100 D．90
【解答】解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，如图所示：
则四边形 是矩形．
，
，
又 中， ，
，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
，，
矩形 是正方形，边长 ，
， ，
长方形 的面积为 ．
故选： ．
18．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，
小正方形的面积为 9，若用 、 分别表示直角三角形的两直角边长 ，则下列四个说法：①
：② ；③ ；④ ．其中正确的是
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：① 为直角三角形，
根据勾股定理： ，
故本选项正确；
②由图可知， ，
故本选项正确；
③由 可得 ，
故本选项正确；④ ，
整理得， ，
，
故本选项错误；
正确结论有①②③．
故选： ．
题型五 其它问题
19．如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、
乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点 ， 处，且相距20海里，如果知道
甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿 北偏东 方向航行．
【解答】解：由题意可知： ， ， ，
，
是直角三角形，
，
由题意知 ，
，
即乙船沿北偏东 方向航行，
故答案为：北偏东 ．20．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进
行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路 旁选取一点 ，在公路 上确定点 、 ，使得
， 米， ．这时，一辆轿车在公路 上由 向 匀速驶来，测得此车从 处行
驶到 处所用的时间为3秒，并测得 ．求 的距离和此车的速度．（参考数据 ，
【解答】解： ， ，
是等腰直角三角形，
米，
，
（米 ，
米，
（米 秒），
答： 的距离为73米，此车的速度约为24米 秒．
21．如图，一条笔直的公路 经过树湘纪念馆 和何宝珍故里 两个红色文化景区，我县准备进一步开发
月岩景区 ，经测量景区 位于 的北偏东 方向上， 位于 的北偏东 的方向上，且 ，
（1）求何宝珍故里 与月岩景区 的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区 游玩，景区管委会准备由景区 向公路 修一条距离最短的公路，不考虑
其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）【解答】解：（1）根据题意得： ， ，
，
，
．
答：何宝珍故里 到月岩景区 的距离为 ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，则 的长是这条最短公路的长．
，
，
，
，
在 中， ， ， ，
，
．
答：这条最短公路的长为 ．
22．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸
齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在它的中央，高出水面部分 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部
恰好碰到岸边的 处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 1 2 尺．
【解答】解：依题意画出图形，
设芦苇长 尺，
则水深 尺，
尺，
尺，
在 △ 中，
，
解得 ，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
23．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点 处绕着点 经过最低点 ．最终荡到最高点 处，若
，点 与点 的高度差 米，水平距离 米，则点 与点 的高度差 为 4.5
米．【解答】解：作 于 ， 于 ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
米，
设 米，
在 中， ，即 ，
解得 ．
则 （米 ．
故答案为：4.5．
24．如图，铁路上 、 两点相距 ， 、 为两村庄， 于 ， 于 ，已知， ，现在要在铁路 上建一个土特产品收购站 ，使得 、 两村到 站的距离
相等，则：
（1） 站应建在距 站多少千米处？
（2） 和 垂直吗？说明理由．
【解答】解：（1） 使得 ， 两村到 站的距离相等．
，
于 ， 于 ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
， ，
，
解得： ，
．
．
（2） 和 垂直，理由如下：
在 与 中，
，
，
， ，
，
，，
即 ．
25．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽 为 ，
在入口的一侧安装了停止杆 ，其中 为支架．当停止杆仰起并与地面成 角时，停止杆的端点
恰好与地面接触．此时 为 ．在此状态下，若一辆货车高 ，宽 ，入口两侧不能通车，
那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：
【解答】解：不能通过．
如图，在 之间找一点 ，使 ，过点 作 交 于点 ，
， ， ，
