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专题 04 勾股定理中的实际应用问题
题型一 树折断问题
1．如图，一棵树从 处折断了，树顶端离树底端距离 ，那么这棵树原来的高度是
A． B． C． D．
2．如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出 ，
当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部 ，由此可计算出学
校旗杆的高度是
A． B． C． D．
3．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，
量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大
爷的房子吗？
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
4．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子 丈 尺），现被
大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为 ．
题型二 梯子滑落问题
5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙 上，测得 ，若梯子的顶端沿墙下滑 ，这时梯子的底
端也下滑 ，则梯子 的长度为
A． B． C． D．
6．如图，一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时 为 ．如果将梯子的底端 外移
，顶端 沿着墙壁也下滑 吗？
7．如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上，这时梯子下端 与墙角 距离为15米，梯子滑动
后停在 的位置上，测得 长为5米，请回答：
（1）梯子滑动后，梯子的高度 是多少米？
（2）梯子顶端 下落的长度 有多少米？8．如图，一架长为5米的梯子 斜靠在与地面 垂直的墙 上，梯子底端距离墙 有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离 的长．
（2）若梯子顶点 下滑1米到 点，求梯子的底端向右滑到 的距离．
9．如图，长 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端 ．
（1）求梯子的顶端到地面的距离；
（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动 ，则梯子顶端向下滑多少米？
题型三 台风问题
10．在某台风登陆期间， 市接到台风警报时，在该市正南方向 的点 处台风中心正以 的
速度沿 方向移动，已知城市 到 的距离 ．
（1）台风中心经过多长时间从点 移动到点 ？
（2）如果在距台风中心 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点 的人脱离危险．人必
须在接到台风警报后的几时内撤离（撤离速度为 ？11．如图，在点 正北方 的 处有一信号接收器，点 在点 的北偏东 的方向，一电子狗
从点 向点 的方向以 的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为
．
（1）求出点 到线段 的最小距离；
（2）请判断点 处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．
12．2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控
政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路 的一侧点 处有一
村庄，村庄 到公路 的距离为600米，假设宣讲车 周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车 在
公路 上沿 方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米 分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？13．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．
如图，有一台风中心沿 由点 向点 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上两点 ， 的距
离分别为 和 ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）海港 受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为 ，台风影响该海港持续的时间有多长？
14．台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心， 在周围数十千米范围内形气旋风暴， 有
极强的破坏力， 此时某台风中心在海域 处， 在沿海城市 的正南方向 240 千米， 其
中心风力为 12 级， 每远离台风中心 25 千米， 台风就会减弱一级， 如图所示， 该台
风中心正以 20 千米 时的速度沿 方向移动 ． 已知 且 ，且台风中
心的风力不变， 若城市所受风力达到或超过 4 级， 则称受台风影响 ． 试问：
（1） 城市是否会受到台风影响？请说明理由 ．
（2） 若会受到台风影响， 那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3） 该城市受到台风影响的最大风力为几级？题型四 “玄图”的应用
15．在数学实践活动中，伍伍利用四个全等的直角三角形纸片拼成了一个“伍伍弦图”．如图，连接小正
方形的一条对角线，并把部分区域涂上颜色，大直角三角形的两条直角边的长分别是 6和8．则图中阴影
部分的面积是
A．36 B．64 C．100 D．50
16．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设 ， ，则斜边 的长是
A． B． C． D．
17．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，
则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和 构成的，可以用其面积关系验证勾股定
理．将图1按图2所示“嵌入”长方形 ，则该长方形的面积为A．120 B．110 C．100 D．90
18．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，
小正方形的面积为 9，若用 、 分别表示直角三角形的两直角边长 ，则下列四个说法：①
：② ；③ ；④ ．其中正确的是
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
题型五 其它问题
19．如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、
乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点 ， 处，且相距20海里，如果知道
甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿 方向航行．
20．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进
行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路 旁选取一点 ，在公路 上确定点 、 ，使得
， 米， ．这时，一辆轿车在公路 上由 向 匀速驶来，测得此车从 处行驶到 处所用的时间为3秒，并测得 ．求 的距离和此车的速度．（参考数据 ，21．如图，一条笔直的公路 经过树湘纪念馆 和何宝珍故里 两个红色文化景区，我县准备进一步开发
月岩景区 ，经测量景区 位于 的北偏东 方向上， 位于 的北偏东 的方向上，且 ，
（1）求何宝珍故里 与月岩景区 的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区 游玩，景区管委会准备由景区 向公路 修一条距离最短的公路，不考虑
其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
22．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸
齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在
它的中央，高出水面部分 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部
恰好碰到岸边的 处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺．23．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点 处绕着点 经过最低点 ．最终荡到最高点 处，若
，点 与点 的高度差 米，水平距离 米，则点 与点 的高度差 为 米．
24．如图，铁路上 、 两点相距 ， 、 为两村庄， 于 ， 于 ，已知
， ，现在要在铁路 上建一个土特产品收购站 ，使得 、 两村到 站的距离
相等，则：
（1） 站应建在距 站多少千米处？
（2） 和 垂直吗？说明理由．
25．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽 为 ，
在入口的一侧安装了停止杆 ，其中 为支架．当停止杆仰起并与地面成 角时，停止杆的端点
恰好与地面接触．此时 为 ．在此状态下，若一辆货车高 ，宽 ，入口两侧不能通车，
那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：
