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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 04 二次函数与一元二次方程
一．选择题
1．（2020秋•焦作期末）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣
13的解为（ ）
A．2 B．4 C．2和4 D．无解
【思路引导】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
【完整解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴ ，
∴b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得x＝2，x＝4．
1 2
故选：C．
2．（2020秋•宜昌期末）如图，抛物线y ＝ax2+bx+c与直线y ＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，
1 2
1）．当y＞y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．1＜x＜6 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜1或x＞6
【思路引导】根据两函数的图象和A、B的坐标得出即可．
【完整解答】解：∵二次函数y ＝ax2+bx+c与一次函数y ＝kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，﹣
1 2
3）、（6，1），
∴当y＞y 时，x的取值范围是x＜1或x＞6，
1 2
故选：D．
3．（2020秋•三明期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（ ）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【思路引导】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点A（4，p），B（﹣2，q），
∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
4．（2021春•镇海区期末）如图是二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y ＝mx+n（m≠0）的图象．
1 2
则下列结论正确的是（ ）
A．若点M（﹣2，d），N（ ，d），P（2，d）在二次函数图象上，则d＜d＜d
1 2 3 1 2 3
B．当x＜﹣ 或x＞3时，y＞y
1 2
C．2a﹣b＝0
D．当x＝k2+2（k为实数）时，y≤c
1
【思路引导】根据二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，观察图象即可判断．【完整解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，且|﹣2﹣1|＞|2﹣1|＞| ，
∴d＜d＜d，故A错误；
1 3 2
无法求得两个函数图象的交点坐标，故B错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴2a+b＝0，故C错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点（0，c）与点（2，c）故对称轴对称，
∴当x＝k2+2（k为实数）时，y≤c，故D正确．
1
故选：D．
5．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y
＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【思路引导】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用 A点或B点向右平移得到点
（4，0）得到m的值．
【完整解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称
轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
6．（2021•彭泽县模拟）关于 x的二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a≠0，a为常数），下列说法错误的是
（ ）
A．函数的对称轴为直线x＝1
B．函数必经过点（2，1）
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．当0＜a＜1时，函数图象与x轴无交点
【思路引导】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否符合题意，
从而可以解答本题．【完整解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a≠0，a为常数），
∴该函数的对称轴为直线x＝1，故选项A不符合题意；
当x＝2时，y＝1，故选项B不符合题意；
a的正负不知道，故当x＞1时，y随x的增大如何变化无法确定，故选项C符合题意；
当0＜a＜1时，该函数图象开口向上，Δ＝（﹣2a）2﹣4a×1＝（2a﹣1）2﹣1＜0，则当0＜a＜1时，函
数图象与x轴无交点，故故选项D不符合题意；
故选：C．
7．（2021•巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c
＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x＝﹣2，x＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
1 2
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【思路引导】由表格可以得到二次函数图象经过点点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对
称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，
b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【完整解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），
∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，
∴二次函数的对称轴为直线x＝ ＝﹣1，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣2，3），（2，0）得，
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为： ，
∵ ，
∴c＝3，
∴①是错误的，∵b2﹣4ac＝ ＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝0为 ，
即为x2+2x＝0，
∴x＝﹣2，x＝0，
1 2
∴③是正确的，
∵7a+c＝ ＝ ＞0，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故选：B．
8．（2020秋•肥东县期末）如下表是二次函数 y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以
判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A．只有一个公共点
B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧
D．没有公共点
【思路引导】利用二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断出顶点坐标，开口方向即
可解决问题．
【完整解答】解：根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x＝0，x
＝2时，y的值都等于﹣0.5＜0，
根据二次函数的图象对称性可得：x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，
因此判断该二次函数的图象的开口向上，与x轴有两个交点，分别位于y轴的两侧，
故选：B．
9．（2020秋•蒙城县期末）对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与两坐标轴有两个交点D．顶点坐标是（2，1）
【思路引导】根据Δ的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数
式中x＝0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【完整解答】解：A、二次项系数a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；
B、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），结论错误，不符合题意；
C、Δ＝42﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝4＞0，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有1个交点，即与两坐标轴
有3个交点，结论错误，不符合题意；
D、由y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标为（2，1），结论正确，符合题意；
故选：D．
10．（2020秋•攸县期末）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则
下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③9a﹣3b+c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4
的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②③进行判断；
根据抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2+bx+c上的点（﹣1，﹣4）的对称点为（﹣5，﹣4），则可对④
进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，则根据二次函数的性质可对⑤进行判断．
【完整解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上，
∴当x＝﹣3时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
∴9a﹣3b+c＝﹣6，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，
而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，
∵﹣3﹣（﹣5）＞﹣2﹣（﹣3），
∴m＜n，所以⑤错误．
故选：D．
二．填空题
11．（2021春•雨花区校级期末）一个二次函数图象与 x轴交于点（2，0），（1，0），且过另一点（0，
﹣4），则这个二次函数的解析式为 y ＝﹣ 2 x 2 + 6 x ﹣ 4 ．
【思路引导】借助两点式y＝a（x﹣x）（x﹣x），x 和x 为抛物线x轴交点横坐标．
1 2 1 2
【完整解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣1），将点（0，﹣4）代入得，
2a＝﹣4，解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）（x﹣1）
＝﹣2x2+6x﹣4．
故答案为y＝﹣2x2+6x﹣4．
12．（2020秋•高平市期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标
为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，则y＞0时，x的取值范围 x ＜﹣ 4 或 x ＞ 2 ．
【思路引导】利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用函数图形写出抛物线
在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【完整解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），
∴y＞0时，x的取值范围为x＜﹣4或x＞2．
故答案为x＜﹣4或x＞2．
13．（2020秋•莆田期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为 x ＞ 1 或 x ＜﹣ 3 ．
【思路引导】通过函数图象和二次函数与一元二次不等式的关系直接写出结论．
【完整解答】解：由函数图象可得，
∵抛物线开口向上，与x轴的交点为（﹣3，0）和（1，0），
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为：x＞1或x＜﹣3．
故答案为：x＞1或x＜﹣3．
14．（2020秋•遂川县期末）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，点B（1，2）与点A分别位于y轴
两侧，点P在点B的下方，且在对称轴上，当△PAB为等腰三角形时，BP的长为 2 或 4 或 ．
【思路引导】先求出A的坐标为（﹣1，0），再设P的坐标为（1，m）且m＜2，根据两点距离公式表
示出AB2，PA2，PB2，再分三种情况，AB2，PA2，PB2两两相等即可．
【完整解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1，x＝3，
1 2
∵点B（1，2）与点A分别位于y轴两侧，
∴A（﹣1，0），即AB2＝（1+1）2+（2﹣0）2＝8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P的坐标为（1，m）且m＜2，
则PA2＝（1+1）2+m2＝4+m2，PB2＝（1﹣1）2+（m﹣2）2＝4﹣4m+m2，
当PA＝PB时，4+m2＝4﹣4m+m2，解得：m＝0，BP＝2；
当PA＝AB时，4+m2＝8，解得：m＝2（舍），m＝﹣2，BP＝4；
1 2
当PB＝AB时，4﹣4m+m2＝8，解得：m＝2+2 （舍），m＝2﹣2 ，BP＝2 ．
3 4
故答案为：2或4或 ．
15．（2021春•长沙期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为 且经过点
（2，0）．下列说法：①若（﹣3，y ），（π，y ）是抛物线上的两点，则y ＜y ；②c＝2b；③关于x
1 2 1 2
的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解；④ （其中m为实数）．其中
说法正确的是 ①②③④ ．【思路引导】①根据点（﹣3，y）离对称轴为 要比点（π，y）离对称轴要远且a＜0，即可判断；
1 2
②根据对称轴为x＝ ，且经过点（2，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得 ＝
﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，即可判断；
③根据Δ＝b2﹣4a且a＜0，即可判断；
④根据抛物线的对称轴x＝ ，可得当x＝ 时，y有最大值，即 a+ b+c＞am2+bm+c（其中m≠
），根据a＝﹣b，即可进行判断．
【完整解答】解：∵点（﹣3，y）离对称轴为 要比点（π，y）离对称轴要远且a＜0，
1 2
∴y＜y，所以①正确；
1 2
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
∴b＝﹣a，
∵抛物线经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴ ＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a＝2b，所以②正确；
∵Δ＝b2﹣4a且a＜0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝ ，∴当x＝ 时，y有最大值，
∴ a+ b+c＞am2+bm+c（其中m≠ ），
∴ a+ b＞m（am+b）（其中m≠ ），
∵a＝﹣b，
∴﹣ b+ b＞m（am+b），
∴ b＞m（am+b），所以④正确．
故答案为：①②③④．
16．（2020秋•崇川区期末）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没
有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ﹣ 2 ≤ a ＜ 4 ．
【思路引导】先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式Δ＜0，从而解得a
＜4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，可得a≥
﹣2，从而得出选项．
【完整解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9
＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝ ＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．
故答案为：﹣2≤a＜4．
17．（2021•江岸区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x
轴交于点（﹣1，0）．下列四个结论：
①方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1，x＝3；
1 2
②3a+c＝0；
③对于任意实数t，总有at2+bt≥a+b；④不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣k≥0（k为常数）的解集为x＜﹣1或x＞3+ ．
其中正确的结论是 ①②③ （填写序号）．
【思路引导】由抛物线与x轴的交点关于对称轴对称可以判断①；根据x＝﹣1时y＝0和对称轴等于1
即可判断②；由抛物线开口向上，抛物线在顶点处去的最小值a+b+c，再由抛物线的性质对于任意t都
有at2+bt+c≥a+b+c恒成立，即可判断③；设y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣k，由②得c＝﹣3a，b＝﹣2a，即y
＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k，再由当x＝﹣1时，y＝0，对称轴，可求出y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k与x
轴的另一交点，然后分情况讨论即可判断④．
【完整解答】解：∵抛钱与x轴交于点（﹣1，0），且抛物线的对称轴：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解即为抛物线与x轴交点的横坐标：x＝﹣1，x＝3，
1 2
故①正确；
将（﹣1，0）代入抛物线得：a﹣b+c＝0，
又∵抛物线的对称轴x＝﹣ ＝1，即：2a+b＝0，
∴3a+c＝0，
故②正确；
∵抛物线的对称轴x＝1，且a＞0，抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为a+b+c，
∴对任意t，at2+bt+c≥a+b+c，
即at2+bt≥a+b，
故③正确；
由②可知：c＝﹣3a，b＝﹣2a，
∴y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k，
对称轴x＝﹣ ＝1+ ，
当x＝﹣1时，y＝0，
设y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k与x轴另一交点横坐标为t，
则 ＝1+ ，
得：t＝3+ ，当3+ ＜﹣1，即k＜﹣4a时，
ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≤3+ 或x≥﹣1，
当k≥﹣4a时，ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≥3+ 或x≤﹣1，
故④错误．
故答案为：①②③．
18．（2021•武汉模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）中，x与y的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 3 …
y … n 2 n …
对于下列结论：①b＞0；②2是方程ax2+bx+c＝2的一个根；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④若
m＞0，且点A（m，y ），B（m+2，y ）在该二次函数的图象上，则y ＞y ．其中正确结论的序号是
1 2 1 2
①②④ ．
【思路引导】①由表格看，抛物线的对称轴为x＝ （3﹣1）＝1，故抛物线的对称轴在y轴的右侧，则
ab异号，即可求解；
②由表格看，根据函数的对称性，当y＝2时，即ax2+bx+c＝2，x＝0或2，进而求解；
③由①知，函数的对称轴为x＝1，故x＞1时，y随x的增大而减小，即可求解；
④分0＜m≤1、m＞1两种情况，分析点A、B和对称轴的距离远近，即可求解．
【完整解答】解：①由表格看，抛物线的对称轴为x＝ （3﹣1）＝1，
故抛物线的对称轴在y轴的右侧，则ab异号，
而a＜0，故b＞0，
故①正确，符合题意；
②由表格看，根据函数的对称性，当y＝2时，即ax2+bx+c＝2，x＝0或2，
即2是方程ax2+bx+c＝2的另外一个根，
故②正确，符合题意；
③由①知，函数的对称轴为x＝1，故x＞1时，y随x的增大而减小，
故③错误，不符合题意；④当0＜m≤1时，点A、B在对称轴的两侧，
点A、B离对称轴的距离分别为1﹣m、m+1，
而0＜m≤1，则点B离对称轴的距离比A远，故y＞y．
1 2
当m＞1时，点A、B在对称轴的右侧，则点B在点A的下方，
故y＞y．
1 2
故④正确，符合题意，
故答案为①②④．
19．（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a
（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为 1 或 4 ．
【思路引导】把a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，转化为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即y′＝a（x﹣2）
2+b（x﹣2）+c于y′′＝3的交点，进而求解．
【完整解答】关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
设y′′＝3，
当y′＝y′′时，即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，
即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点，
而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4
故答案为1或4．
三．解答题
20．（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．
【思路引导】（1）将A（2，0）代入抛物线解析式即可求出m的值，然后将关系式化为顶点式即可得
出顶点坐标；
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，M的坐标代入即可．
【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），∴2×22+2m＝0，
∴m＝﹣4，
∴y＝2x2﹣4x
＝2（x﹣1）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（1，﹣2），
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（2，0），M（1，﹣2），
∴ ，
解得 ，
∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4．
21．（2021•姜堰区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（m，y ）、B（m+4，y ）是二次函数y＝ax2﹣
1 2
2atx﹣3a（a＞0）图象上的两个点．
（1）当t＝2时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当y＝y 时，
1 2
①判断t﹣m的值是否随着a的变化而变化？若不变，求t﹣m的值；若变化，说明理由；
②若y＝y＝0，求t的值；
1 2
（3）若t＝2m﹣3，且y＜y，求出所有符合条件的正整数m的值．
1 2
【思路引导】（1）令y＝0，则ax2﹣4ax﹣3a＝0，解方程即可；
（2）①根据对称轴得到 t＝m+2，即可求得t﹣m＝2，即可得到结论；②根据根与系数的关系得到
，消去m，即可得到t2＝1，即可求得t的值为1或﹣1；
（3）分两种情况讨论，得到关于m的不等式，解不等式即可求得结果．
【完整解答】解：（1）当t＝2时，则y＝ax2﹣4ax﹣3a（a＞0），
令y＝0，则ax2﹣4ax﹣3a＝0，
解得，x＝ ＝2± ，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（2+ ，0），（2﹣ ，0）；
（2）①不变，当y＝y 时，则对称轴为直线x＝ ＝m+2，
1 2
∴﹣ ＝m+2，
∴t＝m+2，
∴t﹣m＝2；
②若y＝y＝0，则m+m+4＝﹣ ＝2t，m（m+4）＝ ＝﹣3，
1 2
∴ ，
由①得，m＝t﹣2③，
把③代入②整理得，t2＝1，
∴t＝±1，
∴t的值为1或﹣1；
（3）∵二次函数y＝ax2﹣2atx﹣3a（a＞0），
∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ＝t，
若t＝2m﹣3，则对称轴为直线x＝2m﹣3，
当2m﹣3﹣m＜m+4﹣（2m﹣3）时，y＜y，此时m＜5，
1 2
综上，m＜5，
故所有符合条件的正整数m的值为1、2、3、4．
22．（2021•贺兰县校级一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0）、B（0，﹣1）和C
（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．【思路引导】（1）将A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点代入二次函数y＝ax2+bx+c即可；
（2）令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出坐标．
【完整解答】解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点代入二次函数y＝ax2+bx+c得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝ ；
（2）当y＝0时，
＝0，
∴x＝2，x＝﹣1，
1 2
∴点D的坐标为（﹣1，0）．
23．（2021•瓯海区模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（2，0），B
（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′
均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
【思路引导】（1）利用交点式写出抛物线解析式，再求出C点坐标，然后写出在y轴左侧的二次函数
值的范围即可；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出O′（m，n），B′（4+m，n），把它们代入抛物线解析式得到，然后解方程组即可．
【完整解答】解：（1）抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x﹣4），
即y＝x2﹣6x+8，
当x＝0时，y＝x2﹣6x+8＝8，即C（0，8），
所以当x＜0时，y＞8；
（2）∵线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′，
∴O′（m，n），B′（4+m，n），
∵点O′，B′均落在此二次函数图象上，
∴ ，解得 ，
即m的值为1，n的值为3．
24．（2020秋•义乌市期末）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴交于点
A，B，直线BC的解析式是y＝﹣x+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标．
（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．
【思路引导】（1）将C点代入到直线BC的解析式，求出b，再由直线BC的解析式，求出B点坐标，
将B，C两点坐标代入到二次函数解析式中，得到二次函数解析式，再将其配成顶点式求出顶点坐标；
（2）根据题意，B点和C点直线和抛物线的交点，根据图象，数形结合，即可求解．
【完整解答】解：（1）∵y＝x+b经过点C（0，3），
∴b＝3，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
令y＝0，则﹣x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴点B的坐标为（3，0），∴B（3，0），
∵y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），B（3，0），
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴此二次函数图象的顶点坐标为（1，4）；
（2）由题可得，当x＝0或3时，ax2+bx+c＝﹣x+b，
根据图象可得：x≤0或x≥3时，ax2+bx+c≤﹣x+b，
∴原不等式的解集为：x≤0或x≥3．
25．（2020秋•仁寿县期末）如图，抛物钱y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点的左、
右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC＝ CD．
①求此抛物线解析；
②求直线BD的解析式；
③点P在x轴的下方的抛物线上，当2S ＝9 +9时，请求出满足条件的点P的坐标．
△PDB
【思路引导】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE＝ ，可求点D坐标，利用待定系数法
可求解析式；
（3）过点P作x轴垂线交BD于Q，设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则Q的坐标为（t，t﹣ t﹣3+3
），由S ＝S +S 求出PQ＝3 ，从而求得m，即可求出P的坐标．
△PDB △PDQ △PQB
【完整解答】解：①∵BO＝3AO＝3，
∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
②如图，过点D作DE⊥AB于E，
∴CO∥DE，
∴ ，
∵BC＝ CD，BO＝3，
∴ ＝ ，
∴OE＝ ，
∴点D横坐标为﹣ ，
∴点D坐标为（﹣ ，2 ），
设直线BD的函数解析式为：y＝kx+m，
由题意可得： ，
解得： ，
∴直线BD的函数解析式为y＝（1﹣ ）x﹣3+3 ；
③如图，过点P作x轴垂线交BD于Q，设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则Q的坐标为（t，t﹣ t﹣3+3 ），
∴PQ＝﹣t2+（3﹣ ）t+3 ，
∵S ＝S +S ＝ PQ•BE＝ ×（ +3）×PQ＝ ×（9 +9），
△PDB △PDQ △PQB
∴PQ＝3 ，
∴3 ＝﹣t2+（3﹣ ）t+3 ，
∴m＝0或3﹣ ，
∵P在x轴下方抛物线上，
∴m＝3﹣ ，
∴点P的坐标为（3﹣ ，3﹣4 ）．
26．（2020秋•娄星区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，
0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x+3经过点C，与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△PCD的面积的最大
值及此时点P的坐标．
【思路引导】（1）根据直线y＝﹣2x+3与y轴交点坐标为C，求出点C的坐标，由于抛物线与x轴交于
A、B两点，故可设抛物线为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C点坐标代入即可求得；
（2）过点P作PF⊥y轴于点F，交DC于点E，设点P的坐标是（t，﹣t2+2t+3），则点E的纵坐标为：﹣t2+2t+3，代入直线y＝﹣2x+3，得E的横坐标： ，则S ＝S +S ＝ PE•OC＝﹣
△PCD △PEC △PED
（t﹣2）2+3，进而求出最大值和点P的坐标．
【完整解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），
由于抛物线与x轴交于A、B两点，故可设抛物线为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入得 a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），
整理得：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，过点P作PF⊥y轴于点F，交DC于点E，
设点P的坐标是（t，﹣t2+2t+3），则点E的纵坐标为：﹣t2+2t+3，
代入直线y＝﹣2x+3，得E的横坐标： ，
∴点E坐标是（ ，﹣t2+2t+3）
∴ ，
∴S ＝S +S ＝ PE•CF+ PE•OF＝ PE（CF+OF）＝ PE•OC＝ × ×3＝﹣ （t2
△PCD △PEC △PED
﹣4t）＝﹣ （t﹣2）2+3，
∴S 的最大值是3，此时P点坐标为（2，3）．
△PCD27．（2021春•海淀区校级月考）已知抛物线C ：y＝ x2﹣x+c．
1 1
（1）直接写出抛物线C 的顶点坐标 （ 1 ， ） （用含c的式子表示）；
1
（2）将抛物线C 平移得抛物线C ：y＝a（x﹣h）2，若2＜x≤m时y≤x恒成立，求m的最大值．
1 2 2 2
【思路引导】（1）把抛物线的一般式化为顶点式，即可求顶点坐标；
（2）将抛物线C 平移得抛物线C ：y ＝a（x﹣h）2得出a＝ ，令y ＝x，设其图象与抛物线C 交点的
1 2 2 3 2
横坐标为x，x′，且x＜x′，观察图象，随着抛物线C 的不断平移，x，x′的值不断增大，当满足
0 0 0 0 2 0 0
2＜x≤m时y≤x恒成立，m的最大值在x′处取得，可得：x＝2时，所对应的x′ 既为m的最大值．
2 0 0 0
【完整解答】解：（1）∵y＝ x2﹣x+c＝ （x﹣1）2+ ，
1
∴抛物线C 的顶点坐标 （1， ），
1
故答案为：（1， ）；
（2）∵将抛物线C 平移得抛物线C ：y＝a（x﹣h）2，
1 2 2
∴a＝ ，
∴抛物线C ：y＝ （x﹣h）2，
2 2
令y＝x，
3
设其图象与抛物线C 交点的横坐标为x，x′，且x＜x′，
2 0 0 0 0
∵抛物线C 可以看作抛物线y＝ x2左右平移得到的，
2
观察图象，随着抛物线C 的不断平移，x，x′的值不断增大，
2 0 0
∴当满足2＜x≤m时y≤x恒成立，m的最大值在x′处取得，
2 0
可得：x＝2时，所对应的x′ 既为m的最大值，
0 0于是，将x＝2代入 （x﹣h）2＝x，
0
有 （2﹣h）2＝2，
解得：h＝4或h＝0（舍去），
∴y＝ （x﹣4）2，
2
此时，y＝y，得 （x﹣4）2＝x，
2 3
解得：x＝2，x′＝8，
0 0
∴m的最大值为8．
28．（2021•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，5）和点B（﹣
2，﹣3）．
（1）求该抛物线的表达式，并根据图象写出y＞0时x的取值范围．
（2）请你写出一种平移的方法使平移后的抛物线顶点落在直线y＝2x上，并写出平移后抛物线的表达
式．
【思路引导】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数与一元二次方程的关系，有图像
判断y＞0时x的取值范围．
（2）由抛物线解析式求出对称轴和顶点坐标，然后把抛物线沿对称轴平移到顶点在直线y＝2x上时，
求出顶点坐标，再代入y＝x2+2x+c上，求出c即可．
【完整解答】解：（1）∵A、B在抛物线上，
∴将A、B坐标代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∵抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解，
解方程x2+2x﹣3＝0，
得：x＝1或x＝﹣3，
有图像知：y＞0时，图像在x轴上方，
∴x＞1或x＜﹣3，
故y＞0时x的取值范围为：x＞1或x＜﹣3；
（2）①把抛物线沿对称轴x＝﹣1向上平移2个单位，顶点就落在直线y＝2x上；
②∵抛物线y＝x2+2x﹣3，
∴对称轴为：x＝﹣ ＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣4），
把抛物线沿对称轴x＝﹣1平移到顶点在直线y＝2x上，
此时把x＝﹣1代入y＝2x得：y＝﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
把x＝﹣1，y＝﹣2代入y＝x2+2x+c，
得：c＝﹣1，
∴此时抛物线为：y＝x2+2x﹣1．
