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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 04 二次函数与一元二次方程
一．选择题
1．（2020秋•焦作期末）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣
13的解为（ ）
A．2 B．4 C．2和4 D．无解
2．（2020秋•宜昌期末）如图，抛物线y ＝ax2+bx+c与直线y ＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，
1 2
1）．当y＞y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．1＜x＜6 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜1或x＞6
3．（2020秋•三明期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关
于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（ ）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
4．（2021春•镇海区期末）如图是二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y ＝mx+n（m≠0）的图象．
1 2
则下列结论正确的是（ ）A．若点M（﹣2，d），N（ ，d），P（2，d）在二次函数图象上，则d＜d＜d
1 2 3 1 2 3
B．当x＜﹣ 或x＞3时，y＞y
1 2
C．2a﹣b＝0
D．当x＝k2+2（k为实数）时，y≤c
1
5．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y
＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
6．（2021•彭泽县模拟）关于 x的二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a≠0，a为常数），下列说法错误的是
（ ）
A．函数的对称轴为直线x＝1
B．函数必经过点（2，1）
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．当0＜a＜1时，函数图象与x轴无交点
7．（2021•巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c
＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x＝﹣2，x＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
1 2
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
8．（2020秋•肥东县期末）如下表是二次函数 y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以
判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A．只有一个公共点
B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧
D．没有公共点
9．（2020秋•蒙城县期末）对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与两坐标轴有两个交点
D．顶点坐标是（2，1）
10．（2020秋•攸县期末）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则
下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③9a﹣3b+c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4
的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．（2021春•雨花区校级期末）一个二次函数图象与 x轴交于点（2，0），（1，0），且过另一点（0，
﹣4），则这个二次函数的解析式为 ．
12．（2020秋•高平市期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标
为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，则y＞0时，x的取值范围 ．13．（2020秋•莆田期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集
为 ．
14．（2020秋•遂川县期末）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，点B（1，2）与点A分别位于y轴
两侧，点 P 在点 B 的下方，且在对称轴上，当△ PAB 为等腰三角形时，BP 的长为
．
15．（2021春•长沙期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为 且经过点
（2，0）．下列说法：①若（﹣3，y ），（π，y ）是抛物线上的两点，则y ＜y ；②c＝2b；③关于x
1 2 1 2
的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解；④ （其中m为实数）．其中
说法正确的是 ．
16．（2020秋•崇川区期末）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没
有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
17．（2021•江岸区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x
轴交于点（﹣1，0）．下列四个结论：
①方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1，x＝3；
1 2
②3a+c＝0；
③对于任意实数t，总有at2+bt≥a+b；④不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣k≥0（k为常数）的解集为x＜﹣1或x＞3+ ．
其中正确的结论是 （填写序号）．
18．（2021•武汉模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）中，x与y的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 3 …
y … n 2 n …
对于下列结论：①b＞0；②2是方程ax2+bx+c＝2的一个根；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④若
m＞0，且点A（m，y ），B（m+2，y ）在该二次函数的图象上，则y ＞y ．其中正确结论的序号是
1 2 1 2
．
19．（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a
（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为 ．
三．解答题
20．（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．
21．（2021•姜堰区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（m，y ）、B（m+4，y ）是二次函数y＝ax2﹣
1 2
2atx﹣3a（a＞0）图象上的两个点．
（1）当t＝2时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当y＝y 时，
1 2
①判断t﹣m的值是否随着a的变化而变化？若不变，求t﹣m的值；若变化，说明理由；
②若y＝y＝0，求t的值；
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（3）若t＝2m﹣3，且y＜y，求出所有符合条件的正整数m的值．
1 222．（2021•贺兰县校级一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0）、B（0，﹣1）和C
（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．
23．（2021•瓯海区模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（2，0），B
（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′
均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
24．（2020秋•义乌市期末）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y＝﹣x+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标．
（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．
25．（2020秋•仁寿县期末）如图，抛物钱y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点的左、
右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC＝ CD．
①求此抛物线解析；
②求直线BD的解析式；
③点P在x轴的下方的抛物线上，当2S ＝9 +9时，请求出满足条件的点P的坐标．
△PDB
26．（2020秋•娄星区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，
0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x+3经过点C，与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△PCD的面积的最大
值及此时点P的坐标．
27．（2021春•海淀区校级月考）已知抛物线C ：y＝ x2﹣x+c．
1 1
（1）直接写出抛物线C 的顶点坐标 （用含c的式子表示）；
1
（2）将抛物线C 平移得抛物线C ：y＝a（x﹣h）2，若2＜x≤m时y≤x恒成立，求m的最大值．
1 2 2 2
28．（2021•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，5）和点B（﹣
2，﹣3）．
（1）求该抛物线的表达式，并根据图象写出y＞0时x的取值范围．
（2）请你写出一种平移的方法使平移后的抛物线顶点落在直线y＝2x上，并写出平移后抛物线的表达式．
