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专题 04 二次函数 y=ax ²与 y=a(x-h)²+k 的图象与性质
考点一 二次函数y=ax²的图象与性质 考点二 二次函数y=ax²+k的图象与性质
考点三 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 考点四 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
考点一 二次函数y=ax²的图象与性质
例题：（2022·全国·九年级）已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．
【详解】
解：（1）由 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
，
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）已知y＝ 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
【答案】（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应的方程组，
求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴；
（2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得；
（3）当 时， ，当x＝4时， ，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出
解集．
【详解】
解：（1）由 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
∴对称轴为y轴，
故答案为：-3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m），故答案为：（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：
当 时， ，
当x＝4时， ，
根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时， ，
∴当 时， ；
故答案为： ．
【点睛】
题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关键
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，与 轴于点 ，
其中点 的坐标为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若 于点 ， ．试说明点 在抛物线上．【答案】(1) ，
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，
可得结论．
(1)
把点A（-4，8）代入 ，得：
∴ ；
把点A（-4，8）代入 ，得：
∴ ；
(2)
如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
∵直线AB的解析式为y=- x+6，
令x=0，则y=6
∴C（0，6），
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，
∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠ACM=∠CDN，
∵CA=CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），∴CN=AM=4，DN=CM=2，
∴D（-2，2），
当x=-2时，y= ×22=2，
∴点D在抛物线y= x2上．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
考点二 二次函数y=ax²+k的图象与性质
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
(2)图像见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
(1)
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
(2)
解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：
【点睛】
本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二
次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶
点的坐标．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
【答案】（1） ；（2）当 时，函数 随 的增大而增大
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线 过点 和点 ，
，解得
∴这个函数得关系式为： ．（2）∵二次函数 开口向下，对称轴为x=0，
∴当 时，函数 随 的增大而增大．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数 是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）m=2，m=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随
1 2
x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值.
【详解】
（1）∵函数 是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m=2，m=﹣3；
1 2
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答
本题的关键．
考点三 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质
例题：（2021·全国·九年级专题练习）抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面
积和周长．
【答案】 的面积为12，周长为
【解析】
【分析】
令 ，求出 的值，令 ，求出 的值，即可得出A、B两点的坐标，从而得出 、 的长度，由
勾股定理得出 的长度，由三角形面积公式以及周长公式即可求出答案．
【详解】
∵抛物线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令 ， ，
解得： ，
令 ， ，
， ，
， ，
由勾股定理得：
，
．
的面积为12，周长为 ．
【点睛】
本题考查二次函数图像上点的坐标特点，熟知二次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题
的关键．【变式训练】
1．（2021·江苏·九年级专题练习）对于二次函数 ．
它的图象与二次函数 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐
标分别是什么？
当 取哪些值时， 的值随 的增大而增大？当 取哪些值时， 的值随 的增大而减小？
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同，所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以
得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根
据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴；
（2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．
【详解】
将 的图象向左平移 个单位可以得到 的图象，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
它是轴对称图形，对称轴为 ，顶点坐标是 ；
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， 的值随 的增大而增大；当 时， 的值随 的增大而减小．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
2．（2022·全国·九年级）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．
【答案】见解析；三条抛物线都开口向上，对称轴依次是y轴、直线x＝－2，直线x＝2，顶点坐标依次是
（0，0），（－2，0），（2，0）．【解析】
【分析】
用描点法画函数图像，先列表，描点，平滑曲线连线可依次得到 ， ， ，
根据平移的性质可得出三函数关系，结合函数图像可得出三函数的开口方向，对称轴，顶点坐标．
【详解】
解：列表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2 0 2
0 2 8
8 2 0
描点（-3， ），（-2，2），（-1， ），（0，0），（1， ），（2，2），（3， ），
用平滑曲线连线可得 的图形如图；
描点（-3， ），（-2，0），（-1， ），（0，2），（1， ），（2，8），（3， ），
用平滑曲线连线可得 的图形如图；
描点（-3， ），（-2，8），（-1， ），（0，2），（1， ），（2，0），（3， ），
用平滑曲线连线可得 的图形如图；
将抛物线 向左平移2个单位得 ，向右平移2个单位得函数 开口方向 对称轴 顶点
向上 y轴 （0，0）
向上 x=-2 （-2，0）
向上 x=2 （2，0）
【点睛】
本题考查在平面直角坐标系中画二次函数图像，掌握描点法，列表，描点，连线，二次函数的性质开口方
向，对称轴，顶点坐标是解题关键．
考点四 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
例题：（2021·全国·九年级课时练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；（2）开口向下，对称轴是直线
x＝1，顶点坐标是（1，－2）；（3）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；（4）开口向
下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）．
【解析】
【分析】
根据 的符号直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标．
【详解】
（1） ，开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；
（2） ，开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）；（3） ，开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；
（4） ，开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
【答案】（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3
【解析】
【分析】
（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝2；当
x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．
【详解】
解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性．2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数 （ 是实数）．
(1)小明说：当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点 ， 都在该二次函数图象上，求证： ．
【答案】(1)对的，理由见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据顶点坐标即可得到当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；
（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，
得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次函数的
性质即可证得结论．
(1)
解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数 （ 是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．
(2)
证明：点 ， 都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入 ，得∴c≤15．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·重庆市綦江中学九年级阶段练习）抛物线 的顶点坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的顶点式即可得．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键．
2．（2022·天津市西青区杨柳青第三中学九年级期中）已知点 ， ， 都在函数
的图象上，则（ ）
A． B． C． ． D．
【答案】D
【分析】分别计算自变量为 对应的函数值即可得到 的大小关系．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．
3．（2022·全国·九年级阶段练习）已知四个二次函数的图象如图所示，那么 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：① 的开口小于② 的开口，则 ，
③ 的开口大于④ 的开口，开口向下，则 ，
故 ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
4．（2022·天津市汇文中学九年级期中）由二次函数 可知（ ）
A．图象开口向下 B．图象向左平移1个单位得到C．图象的对称轴为直线 D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：∵ 中的 ，且顶点坐标是 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而减小，
∴选项A、C、D不符合题意；
∵二次函数 图象向左平移1个单位得到 ，即 ．
∴选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，对
称轴为 ，顶点坐标为 ．
5．（2022·山东·首都师范大学附属滨州中学九年级阶段练习）若二次函数 ，当 时，y
随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据解析式可求得对称轴为直线 ，再根据二次函数的性质及当 时，y随x的增大
而减小，即可求得
【详解】解： 二次函数 ，
该抛物线的对称轴为直线 ， ，
该抛物线的开口向上，当 时，y随x的增大而减小，
当 时，y随x的增大而减小，
，解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
二、填空题6．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）抛物线 的开口向______．
【答案】上
【分析】根据二次项系数的符号即可确定答案．
【详解】解：∵其二次项系数为1，且二次项系数：1>0，
∴开口方向向上，
故答案为：上．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数 图象的开口方向与a的取值范围
有关是解题的关键．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．
7．（2022·广东·和平县上陵中学九年级阶段练习）若点 在抛物线 上，则点 的坐标是
_________，点 关于 轴的对称点的坐标是______________．
【答案】
【分析】先将点 代入抛物线的解析式可得 的值，由此即可得点 的坐标，再根据关于 轴对称
的两点的横坐标互为相反数、纵坐标相同即可得出答案．
【详解】解：将点 代入抛物线 得： ，
则点 的坐标是 ，
点 关于 轴的对称点的坐标是 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了求二次函数的函数值、点坐标与轴对称变化，熟练掌握求二次函数的函数值的方法是
解题关键．
8．（2022·山东德州·九年级阶段练习）已知二次函数 为常数），当 时， 的最大值为
，则 的值为______．
【答案】1或6##6或1
【分析】分 、 和 三种情况考虑：当 时，根据二次函数的性质可得出关于 的一元二
次方程，解之即可得出结论；当 时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当 时，根据二次函数的性质可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】解：当 时，有 ，
解得： ， （舍去）；
当 时， 的最大值为0，不符合题意；
当 时，有 ，
解得： （舍去）， ．
综上所述： 的值为1或6．
故答案为：1或6．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 、 和 三种情况求出 值是
解题的关键．
9．（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学九年级阶段练习）已知点A（ ， ）、B（2， ）、C（
， ）在抛物线 ，则 的大小关系是__________（用“<”连接）．
【答案】
【分析】根据抛物线的开口方向，和抛物线上的点离对称轴的远近进行判断即可．
【详解】解： ，
，对称轴为： ，
∴抛物线的开口朝下，图象上点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ，∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，正方形
的顶点B在第一象限内，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线 经过B，C两点，顶点
D在正方形OABC内部．若点D在直线 上，则 的值是_____．
【答案】10
【分析】设点B的坐标为 ，则点C的坐标为 ，先根据抛物线解析式求出抛物线对称轴和顶
点坐标，再根据顶点坐标在直线 上求出 ，将 代入抛物线解析式得：
，求出m的值，进而求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：设点B的坐标为 ，则点C的坐标为 ，
∵抛物线 经过B，C两点，
∴抛物线的对称轴为直线 ，抛物线顶点坐标为 ，
∵抛物线顶点坐标在直线 上，
∴ ，将 代入抛物线解析式得： ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次
函数的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级课时练习）指出下列二次函数图象的开口方向､对称轴和顶点坐标，必要时画草图
进行验证：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ．
【答案】（1）开口向上，直线 ， ；（2）开口向下，直线 ， ；（3）开口向下，直
线 （即y轴）． ；（4）开口向上，直线 ， ；（5）开口向上，直线 ， ；
（6）开口向下，直线 ， ．
【分析】由抛物线的顶点式y＝a（x−h）2＋k，可知a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下；对
称轴是直线x＝h；顶点坐标是（h，k）；利用这个结论即可确定各二次函数图象的开口方向、对称轴和顶
点坐标．
【详解】解：（1）由y＝2（x−3）2−5，
可知，二次项系数为2＞0，
所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，
顶点坐标为（3，−5）；
（2）由y＝−0.5（x＋1）2，可知，二次项系数为−0.5＜0，
所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝−1，
顶点坐标为（−1，0）；
（3）由 ，
可知，二次项系数为 ＜0，
所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝0，
顶点坐标为（0，−1）；
（4）由y＝2（x−2）2＋5，
可知，二次项系数为2＞0，
所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
顶点坐标为（2，5）；
（5）由y＝0.5（x＋4）2＋2，
可知，二次项系数为0.5＞0，
所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝−4，
顶点坐标为（−4，2）；
（6）由
可知，二次项系数为 ＜0，
所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，
顶点坐标为（3，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的开口方向，对称轴
方程和顶点坐标．
12．（2020·重庆市实验学校九年级阶段练习）已知函数
（1）函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ．
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）抛物线 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位，就可以得到抛物线
．【答案】（1）向下，直线 ，（-2，1）；（2） ；（3）左，2，上，1．
【分析】（1）根据题目中的函数顶点式即可解答本题；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题；
（3）根据平移的性质可以解答本题．
【详解】（1）∵函数 ，
且 ，
∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线 ，顶点坐标是（-2，1），
故答案为：向下，直线 ，（-2，1）；
（2）∵函数 ，
且 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
故答案为： ；
（3）把抛物线 就先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到抛物线 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2020·福建龙岩·九年级期中）已知抛物线y＝－(x－1)2＋3．
（1）抛物线的对称轴是_____，顶点坐标是_______．
（2）选取适当的数值填入下表，并在如图所示的直角坐标系中描点画出该抛物线的图像 ．
… …
… …
（3）说明该抛物线与抛物线y＝－x2有什么关系．【答案】（1）直线x＝1，(1，3)；（2）见解析；（3）形状、开口方向完全相同，把抛物线y＝-x2向右平
移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝-(x-1)2＋3
【分析】（1）根据抛物线的顶点式y＝a(x－h)2＋k的对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）即可得出结
论；
（2）根据顶点式给x赋值，求出对应的y的值，然后描点、连线即可；
（3）先求出两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标的平移方式即可得出抛物线的平移方式．
【详解】解：（1）抛物线y＝－(x－1)2＋3的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，3）；
故答案为：直线x＝1；（1，3）；
（2）列表：
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -6 -1 2 3 2 -1 -6 …
描点，连线，如下图所示，
（3）抛物线y＝－(x－1)2＋3与抛物线y＝－x2的形状、开口方向完全相同，
抛物线y＝－(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），抛物线y＝－x2的顶点坐标为（0，0）
而（0，0）到（1，3）的平移方式为：向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
∴把抛物线y＝－x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝－(x－1)2＋3 ．
【点睛】此题考查的是画二次函数的图象和二次函数的图象及性质，掌握抛物线的顶点式特征、画二次函
数图象和二次函数的平移是解题关键．
14．（2022·湖北·华中科技大学附属中学九年级阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点
A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为 ．(1) ______， ______， ______
(2)当 时， 的取值范围是______
(3)当 时，x的取值范围是______
【答案】(1) ，1，4
(2)
(3) 或
【分析】（1）由图象可知该抛物线顶点坐标为 ，与x轴的交点A的坐标为 ，从而可知 ，
．再将 代入 ，即可求出a的值；
（2）由图象可知该抛物线对称轴为直线 ，开口向下，从而得出当 时，y随x的增大而增大，
当 时，y随x的增大而减小，进而得出 的最大值为 ．求出当 时， 的值和当 时，
的值，再比较，即可得出当 时， 的取值范围；
（3）根据求 时，x的取值范围，即求函数 的图象在 的图象下方时，x的
取值范围，再结合图象即可得解．
【详解】（1）解：由图象可知该抛物线顶点坐标为 ，与x轴的交点A的坐标为 ，
∴ ．
将 代入 ，得： ，
解得： ．∴ ， ， ．
故答案为： ，1，4；
（2）解：由（1）可知该抛物线的解析式为 ．
由图象可知该抛物线对称轴为直线 ，开口向下，
∴当 时，y随x的增大而增大，
当 时，y随x的增大而减小，
∴当 时， 的最大值为 ．
∵当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， 的取值范围是 ；
（3）解：对于 ，令 ，则 ，
∴ ．
求 时，x的取值范围，即求函数 的图象在 的图象下方时，x的取值范围．
由图象可知当 或 时，函数 的图象在 的图象下方，
∴当 时，x的取值范围是 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题
关键．
15．（2022·福建·闽侯县实验中学九年级阶段练习）如图是二次函数 的图象的一部分，图
象过点 ，顶点为C，根据图象回答下列问题：(1)顶点C的坐标为 ，m＝ ．
(2)利用抛物线的对称性在所给平面直角坐标系中补全函数的图象．
(3)若以点B为顶点且经过点C的抛物线为y，则使y＞y 的自变量的取值范围是 ．
2 1 2
【答案】(1) ，2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，根据抛物线对称性可得点B坐标；
（2）根据抛物线解析式作图；
（3）由两抛物线交点坐标求解．
（1）
解：∵ ，
∴顶点C的坐标为 ，抛物线对称轴为直线 ，
∵ 关于对称轴对称，
∴ ，
故答案为： ，2；
（2）
解：补全函数的图象如图所示，；
（3）
解：∵抛物线 开口向上，与抛物线 交于 ， ，
∴ 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．（2022·湖北·汉川市实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线 的顶点为
A，对称轴与x轴交于点C，当以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，
我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形 为它的内接正方形．
(1)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
【答案】(1)(2)4
(3)
【分析】（1）画出函数 的图像，求出点D的坐标，即可求解；
（2）求得顶点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，即可求解；
（3）同（2）求得顶点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，即可求解．
（1）
解：函数 的图像如下：
抛物线 是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入 得： ，
解得 ；
故答案为： ；
（2）
解：∵ ，
∴顶点A的坐标为 ，
同理，点D的坐标为 ，
将点D的坐标代入 得：,
解得 ；
故答案为：4；
（3）
解：∵ ，
∴顶点A的坐标为 ，
同理，点D的坐标为 ，
将点D的坐标代入 得：
,
解得 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定
义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键．
