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专题 04 二次函数 y=ax ²与 y=a(x-h)²+k 的图象与性质
考点一 二次函数y=ax²的图象与性质 考点二 二次函数y=ax²+k的图象与性质
考点三 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 考点四 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
考点一 二次函数y=ax²的图象与性质
例题：（2022·全国·九年级）已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）已知y＝ 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，与 轴于点 ，
其中点 的坐标为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若 于点 ， ．试说明点 在抛物线上．
考点二 二次函数y=ax²+k的图象与性质
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数 是关于x的二次函数．（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
考点三 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质
例题：（2021·全国·九年级专题练习）抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面
积和周长．
【变式训练】
1．（2021·江苏·九年级专题练习）对于二次函数 ．
它的图象与二次函数 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐
标分别是什么？
当 取哪些值时， 的值随 的增大而增大？当 取哪些值时， 的值随 的增大而减小？
2．（2022·全国·九年级）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．
考点四 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
例题：（2021·全国·九年级课时练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数 （ 是实数）．
(1)小明说：当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点 ， 都在该二次函数图象上，求证： ．
一、选择题
1．（2022·重庆市綦江中学九年级阶段练习）抛物线 的顶点坐标（ ）A． B． C． D．
2．（2022·天津市西青区杨柳青第三中学九年级期中）已知点 ， ， 都在函数
的图象上，则（ ）
A． B． C． ． D．
3．（2022·全国·九年级阶段练习）已知四个二次函数的图象如图所示，那么 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津市汇文中学九年级期中）由二次函数 可知（ ）
A．图象开口向下 B．图象向左平移1个单位得到
C．图象的对称轴为直线 D．当 时，y随x的增大而增大
5．（2022·山东·首都师范大学附属滨州中学九年级阶段练习）若二次函数 ，当 时，y
随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题6．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）抛物线 的开口向______．
7．（2022·广东·和平县上陵中学九年级阶段练习）若点 在抛物线 上，则点 的坐标是
_________，点 关于 轴的对称点的坐标是______________．
8．（2022·山东德州·九年级阶段练习）已知二次函数 为常数），当 时， 的最大值为
，则 的值为______．
9．（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学九年级阶段练习）已知点A（ ， ）、B（2， ）、C（
， ）在抛物线 ，则 的大小关系是__________（用“<”连接）．
10．（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，正方形
的顶点B在第一象限内，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线 经过B，C两点，顶点
D在正方形OABC内部．若点D在直线 上，则 的值是_____．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级课时练习）指出下列二次函数图象的开口方向､对称轴和顶点坐标，必要时画草图
进行验证：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ．12．（2020·重庆市实验学校九年级阶段练习）已知函数
（1）函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ．
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）抛物线 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位，就可以得到抛物线
．
13．（2020·福建龙岩·九年级期中）已知抛物线y＝－(x－1)2＋3．
（1）抛物线的对称轴是_____，顶点坐标是_______．
（2）选取适当的数值填入下表，并在如图所示的直角坐标系中描点画出该抛物线的图像 ．
… …
… …
（3）说明该抛物线与抛物线y＝－x2有什么关系．
14．（2022·湖北·华中科技大学附属中学九年级阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为 ．
(1) ______， ______， ______
(2)当 时， 的取值范围是______
(3)当 时，x的取值范围是______
15．（2022·福建·闽侯县实验中学九年级阶段练习）如图是二次函数 的图象的一部分，图
象过点 ，顶点为C，根据图象回答下列问题：(1)顶点C的坐标为 ，m＝ ．
(2)利用抛物线的对称性在所给平面直角坐标系中补全函数的图象．
(3)若以点B为顶点且经过点C的抛物线为y，则使y＞y 的自变量的取值范围是 ．
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16．（2022·湖北·汉川市实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线 的顶点为
A，对称轴与x轴交于点C，当以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，
我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形 为它的内接正方形．
(1)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
