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专题 04 二元一次方程组的特殊解法
目录
A题型建模・专项突破
题型一、解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘......................................................................................1
题型二、不解二元一次方程组求代数式的值......................................................................................................3
题型三、整体代入法解二元一次方程组..............................................................................................................5
题型四、换元法解二元一次方程组......................................................................................................................9
题型五、新定义型二元一次方程组....................................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘
1．（24-25七年级下·江苏·期末）解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：方程组整理得：
得 ，
解得： ，
把 代入①得 ，
解得： ，
故原方程组的解为： ．
2．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：得： ，
解得 ，
把 代入②得： ，
∴方程的解为 ．
3．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）解二元一次方程组： ．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，利用消元法解方程组是解决问题的关键．先整理方程组，再用加减
消元法求解即可．
【详解】解：原方程组可变形为 ，
得 ，
得： ，
解得 ，
将 代入①，得 ，
解得 ，
∴方程组的解是 ．
4．（24-25七年级下·内蒙古·期末）用加减法解方程组： ．
【答案】
【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
将第二个方程乘以4后，两个方程相减，即可消去未知数x，求出y的值，进而求出x的值，即可解答．
【详解】解： ，
，得 ，
，得 ，解得 ，
把 代入方程①，得 ，
解得 ，
∴方程组的解为 ．
题型二、不解二元一次方程组求代数式的值
5．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知 满足方程组 ，则
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键．
方程组两方程左右两边相减，再整理即可解答．
【详解】解： ，
① ②得： ，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）已知 满足方程组 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程相加变形，即可求出 的值．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得： ，
∴ ；
故答案为：1．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知x，y满足方程组 ，则 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．将方程组两个方程相加得到
，即可求出 的值．
【详解】解：
得， ，∴ ，
故答案为：3．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程组 ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法解方程组，
求出 的值，再代入计算即可．
【详解】解：
得， ，
解得 ，
把 代入①得， ，
解得 ，
∴方程组的解为 ，
∴ ．
故答案为： ．
题型三、整体代入法解二元一次方程组
9．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力 先阅读材料，再解方程组．
解方程组：
解：将 看作一个整体，将①整体代入②，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，
所以原方程组的解为
这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组：【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．
【详解】解：由①，得 ．③
把③代入②，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ，
所以原方程组的解为
10．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察发现：
材料：解方程组 ．
将①整体代入②，得 ．解得 ．
把 代入①得 ，所以 ．
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
(1)请直接写出方程组 的解为_______．
(2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．
（1）利用整体代入法解方程组即可；
（2）利用整体代入法解方程组即可．
【详解】（1）解：
将①代入②得 ，
解得： ，
将 代入①得： ，
解得： ，∴方程组的解为：
故答案为： ，
（2）解：
由①得： ，
将③代入 得： ，
解得： ，
将 代入③得： ，
解得 ，
∴方程组的解： .
11．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程组的过程．
解方程组
解：原方程组可化为
②－①，得 ，即 ．
把 代入方程②，得 ，解得 ，所以 ，所以原方程组的解是
以上解方程的方法叫作“消常数项法”．
请用“消常数项法”解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）按示例“消常数项法”解题即可；
（2）②×2化为两个方程常数项相等，再按示例“消常数项法”解题即可．
【详解】（1）解：
①-②，得 ，即 ．③
将③代入②，得 ，解得 ．
将 代入③，解得 ．
故原方程组的解为
（2）（2）
②×2-①，得 ，即 ．
把 代入①，得 ，解得 ．
把 代入 ，得 ．
故原方程组的解为
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握“消常数项法”解二元一次方程组是解题的关键．
12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现：
解方程组
将①整体代入②，得 ，解得 ．
将 代入①，解得 ，
所以原方程组的解是
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解．
请写出方程组 的解为________；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：
（3）已知 满足方程组 ，求 的值．【答案】（1） （2） （3）15
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．
（1）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可；
（2）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可；
（3）先将①式进行变形化简，再利用整体代入法解方程组即可．
【详解】解：（1）由①，得 ③
将③代入②，得 ，解得 ，
将 代入③，得 ，
则原方程组的解为 ；
故答案为： ；
（2）由①，得 ③
将③代入②，得 ，解得 ，
将 代入③，得 ，解得 ，
则原方程组的解为 ；
（3）
由①，得 ，
化简，得 ③
把③代入②，得 ，
解得 ，
把 代入③，得 ，
所以 ．
题型四、换元法解二元一次方程组
13．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
解方程组 时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便．
解：①-②，得 ，即 ．③，得 ．④
②－④，得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是
(1)请用上述方法解方程组：
(2)直接写出关于 的二元一次方程组 的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可．
【详解】（1）解：
①-②，得 ，即 ．③
，得 ．④
②－④，得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是 ；
（2）解：
①-②，得 ，即 ．③
，得 ．④
②－④，得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是 .
【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的
关键．14．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组 ．
解：设 ， ，原方程组可变为
解方程组得：即 ， ，所以 ．这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高
运用上述方法解下列方程组： ；
(2)能力运用
已知关于x，y的方程组 的解为 ．直接写出关于m、n的方程组
的解为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键．
（1）利用换元法解方程组即可；
（2）设 ，进而得到 ，求解即可．
【详解】（1）解：设 ， ，
原方程可变为： ，
解方程组得 ，即 ，
解得： ；
（2）解：原方程化为 ，设 则方程可化为 ，
则方程的解为 ，即 ，
解得： ．
15．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 ．小明发现，如
果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 看成一个整体，
把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令 ， ．
原方程组化为 ，解得 ，把 代入 ， ，得 ，
解得 ，∴原方程组的解为 ．
(1)学以致用：
运用上述方法解下列方程组： ．
(2)拓展提升：
已知关于x，y的方程组 的解为 ，请求出关于m、n的方程组 的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整体代入法求二元一次方程组.
（1）令 ， ，原方程组化为 ，求解原方程组代入 ， 求解即可；
（2）令 ， ，原方程组化为 ，求解原方程组，代入 ， 求解即
可；【详解】（1）解：令 ， ，
原方程组化为 ，
解得： ，
把 代入 ， ，得 ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：在 中，
令 ， ，
则 可化为 ，
且 解为 ，
则有 ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元
法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元
的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组 ，设m ，n ，则原方程组可化为 ，解化简之后的方程组得
，即 ，所以原方程组的解为 ．运用以上知识解决下列问题：
(1)求方程组 的解．
(2)关于x，y二元一次方程组 的解为 ，则方程组 的解为 ．
(3)举一反三：方程组 的解为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元
法，适当换元可使得运算简便．
（1）设 ， ，将原方程组可化为 ，解二元一次方程求得 ，从而可求得原方程组
的解；
（2）由已知得 ，求解即可得答案；
（3）利用换元思想设 ， ，然后解方程组即可得到未知数的值．
【详解】（1）解：（1）设m ，n ，则原方程组可化为 ，
解得， ，
即 ，
解得， ；
（2）解：根据题意得 ，解得， ；
（3）设 ， ，则原方程组可化为 ，
解得， ，
∴ ，
解得， ．
题型五、新定义型二元一次方程组
17．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算： ， ，其
中a，b是常数．例如， ，
已知 ， ，则根据定义可以得到：
(1) _______， _______；
(2)若 ，求 的值；
(3)若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求m的值；
(4)若关于x，y的方程组 的解为 ，则关于x，y的方程组
的解为_______．
【答案】(1)1，
(2)5
(3)
(4)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方
程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）由 ，得到 ， ，代入 ，求解即可；
（3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程 求解即可；（4）把所求方程组写成 ，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解
答即可．
【详解】（1）解： ，
，得
，
∴ ，
把 代入②，得
，
∴ ，
解得： ；
故答案为：1， ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：依题意得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
（4）解：由方程组 得： ，
∵ 的解为 ，
∴ ，解得： ．
18．（24-25七年级下·云南昆明·期中）【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．
如：已知实数 满足 ，求 和 的值．
方法一：解方程组，分别求出 的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．
解法如下：
① ②．得： ，
① ② ，得： ．
比较：
方法一运算量较大，是常规思路；
方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______， ______．
(2)对于实数 ，定义新运算： ，其中 是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运
算．已知 ， ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2) 的值为
【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，理解材料提示方法，新定义运算法则是关键．
（1）根据材料提示方法， ， 即可求解；
（2）根据新定义的计算方法得到 ， 为 ，结合材料提示方法 ，
由此即可求解．
【详解】（1）解： ，
得， ，
得， ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，其中 是常数， ， ，
∴ ，∵ 为 ，
∴ 得， ，
整理得， ，
∴ 的值为 ．
19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考
新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横
坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点 ．
①已知点 ，且 、 为有理数．
当 、 满足 时，就称点 为“理想点”．
例如：点 ，令 ，得
不是“理想点”；
点 ，令 ，得
是“理想点”．
②已知点 ，且 为有理数．当 满足 时，就称点 为“开心
点”．反之，当点 为“开心点”时，则 ．
认真阅读上面材料，完成下面问题：
(1)请仿照上述材料中①的方法判断点 是否为“理想点”．
(2)已知 是二元一次方程组 的解，若点 是“开心点”，求 的值．
【答案】(1)点 不是“理想点”
(2)
【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元
一次方程组时，先观察再选择合适方法求解．
（1）仿照材料中 的方法，列出方程 即可判断；
①
（2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出 求解．
【详解】（1）解：令 得 ，
，
∵点 不是“理想点”．
∴（2）由 + ，得 ，
解得 ①，②
将 代入 ，得 ，
，②
∴点 是“开心点”，
∵ ，
∴ ，
∴
解得 ．
答： 的值为 ．
20．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）对于关于 ， 的二元一次方程组 （其中 ， ， ，
， ， 是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“开心”方程组．
(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
； ；
(2)若关于 ， 的方程组 是“开心”方程组，求 的值；
(3)若对于任意的有理数 ，关于 ， 的方程组 都是“开心”方程组，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答．
（2）先整理原方程为 ，再结合“开心”方程组的定义，得出 ，再代入 ，
进行计算，即可作答．
（3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出 ，然后解出 ， 或 ， ，再分别代入 ，结合题意列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 中的 ，
故 不是“开心”方程组；
∵ 中的
∴ 是“开心”方程组；
∵ ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
把 代入 ，
∴ ，
∵ ，
故 不是“开心”方程组；
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴两式子相加得 ，
整理得 ，
∵关于 ， 的方程组 是“开心”方程组，
∴ ，
即 ，解得 或 ；
（3）解：关于 ， 的方程组 都是“开心”方程组，
∴
即把 代入 ，
得
整理得 ，
∴ ，
故 或 ，
当 时， ；
∵ ，
∴ ，
则 ，
整理得 ，
∵对于任意的有理数 ，关于 ， 的方程组 都是“开心”方程组，
∴ ，
即 ，
则
∴ ，
此时 ；
当 时， ；
∵ ，
∴ ，
则 ，
整理得 ，
∵对于任意的有理数 ，关于 ， 的方程组 都是“开心”方程组，
∴ ，即 ，
则
∴ ，
此时 ；
综上： 的值为 或 ．
一、单选题
1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）已知x，y满足方程组 ，则 的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】C
【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对
应相加或相减即可得到答案的方法更为简便．
根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案．
【详解】解： ，
得： ，
则 ，
故选：C．
2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知方程组 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组，先分别求出 ， ，然后利用因式分解转化为
求解．
【详解】
将①式与②式相加：∴
用②式减去①式：
∴
∴
故选B．
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用两式相加化简得到 ，根据题意，方程组的解满足
，得到 ，求解即可．
【详解】解： ，
① ②得： ，
两边同时除以3，得： ，
根据题意，方程组的解满足 ，
因此： ，
解得： ．
故选：C．
4．（22-23七年级下·福建泉州·期中）若关于 、 的方程组 的解为 ，则方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将
恒等变形为 ，由 与 的解相同可得，直接求解即可得到答案．
【详解】解：将 恒等变形为 ，
关于 、 的方程组 的解为 ，
关于 、 的方程组 的解为 ，
解 得 ，
故选：B
二、填空题
5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知 ， 满足方程组 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键．
将两方程相加除以3即可．
【详解】解：
得 ，
即 ，
故答案为： ．
6．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知方程组 ，那么x与y的关系是 ．
【答案】 ．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用整体的思想进行计算，即可解答．
【详解】解： ，② 得： ③，
① ③得： ，
即 ，
故答案为： ．
7．（24-25七年级下·浙江丽水·阶段练习）若方程组 的解是 ，则关于x，y的方程组
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义，掌握方程组解的意义是解决本题的
关键．
把 和 看作整体，根据二元一次方程组的解的意义可得 ，再解方程组即可．
【详解】解： 方程组 的解是 ，
对于方程组 ，可得 ，
．
故答案为： ．
8．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组
的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它
们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以 ，然后通过整体换元替代的
方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
【答案】
【分析】本题考查特殊法解二元一次方程组，理解题中乙的想法是解题的关键．根据题中乙的想法将方程
组 化为： ，结合已知条件得到 ，进行求解即可．【详解】解：方程组 可化为： ，
∵方程组 的解是 ，
∴ ，
解得： ；
∴方程组 的解为 ．
故答案为： ．
三、解答题
9．（24-25七年级下·天津·阶段练习）解下列方程组：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）把 看成一个整体，利用加减法解答即可求解；
（2）将方程组化简，得到 ，利用代入法解答即可求解．
【详解】（1）解：得， ，
得， ，
解得 ，
把 代入 中，得 ，
解得 ，
原方程组的解为 ．
（2）解：方程组整理得， ，
把 代入 中，得 ，
解得 ，
把 代入③，得 ，
原方程组的解为 ．
10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
由①得， ③
把③代入②，得 ，解得 ，
把 代入③得 ，所以这个方程组的解为 ．
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程
组： ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
由第一个方程求出 的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【详解】解：
由①，得： ．③把③代入②，得： ，解得： ．
把 代入③，得 ，解得： ．
∴原方程组的解为 ．
11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务．
“整体思想”应用举例
“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整
体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击
破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为
简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一
种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如
例1解方程组：
解：把②代入①得， ，解得 ．
把 代入②得， ．所以原方程组的解为
例2已知实数 满足 ① ②，求 和 的值．
解：由 可 ，由① 可得 ．
整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问
题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼
此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法．
任务：（要求：运用阅读内容中的方法）
(1)已知二元一次方程组 求 和 的值；
(2)解方程组：
(3)已知方程组 的解是 请直接写出方程组： 的解．
【答案】(1) ，
(2)
(3)【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键．
（1）两个方程分别相加或相减，即可求解；
（2）将②可变形为 ，将①代入求解即可；
（3）由整体思想得 ，即可求解．
【详解】（1）解：
① ②得 ，
① ②得 ，
，
的值为 ， 的值为3；
（2）解：
解：②可变形为 ③，
把①代入③得， ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
原方程组的解为 ；
（3）解： 方程组 的解是 ，
，
解得 ．
故原方程组的解为 ．
12．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读与思考
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数 ，
满足 ，求 和 的值．
小明：利用消元法解方程组，得出 ， 的值后，再分别代入 和 求值．
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，
①， ②，由 ，可得 ，由 ，可得 ．李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸
同学的做法，解决下面的问题．
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______________， _______________．
(2)已知关于 ， 的二元一次方程组 ，若方程组的解满足 ，求 的值．
【答案】(1)2，16
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键．
（1）参照题干中小逸的作法求解；
（2）由 ，得出 ，即可求解．
【详解】（1）解：
由 ，可得 ，
由 ，可得 ．
故答案为：2，16；
（2）解：
由 ，可得 ，
方程组的解满足 ，
，
解得 ．
13．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题．
【类比观察】（1）求下列方程组的解
方程组 的解为：________；
方程组 的解为：________；
【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________；
【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ，的方程组 的解．
【答案】（1） ； ；（2）相同；相同；（3）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元
法和代入消元法．
（1）用加减消元法求出方程组的解即可；
（2）根据方程组的解得出规律即可；
（3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可．
【详解】解：（1） ，
得： ，
把 代入①得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ；
，
得： ，
把 代入①得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ；
（2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同；
（3）∵关于 ， 的方程组 的解为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解满足： ，
解得： ；
14．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常
用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．例如，已知方程组： ，求 ， 的值．
解：原方程组即为 ，设 ，
原方程组可变形为： ，
解得， 即 ．
理解上述内容，解决下列问题：
(1)若关于 的一元一次方程 （ ， 为常数，且 ）的解为 ，则关于 的一元一次方
程 的解为 ________；
(2)已知关于 ， 的方程组 ，求 的值；
(3)已知关于 ， ， 的方程组 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，涉及解二
元一次方程组，完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．
（1）利用换元法，设 ，因为 ，所以 ，即可求得 的值；
（2）设 ， ，解关于 ， 的二元一次方程组，求出 的值，再利用
，即可求出 的值；
（3）设 ， ，解关于 ， 的二元一次方程组，即可求出 ， 的值，进而可求出
的值．
【详解】（1）解：设 ，
，即 ，
的解为 ，
，
解得 ，
故答案为： ；
（2）解：原方程组为 ，设 ， ，
原方程组可变形为： ，
解得， 即 ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：设 ， ，
由 可得 ，即 ①，
由 可得 ，即 ②，
① ②得 ，
解得 ，
把 代入①得， ，
．
15．（24-25七年级下·山东日照·期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ．
小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的
看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
以下是他的解题过程：令 ．
原方程组化为 ，解得 ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，所以原方程组的解为 ．
(1)学以致用运用上述方法解下列方程组：(2)拓展提升已知关于 的方程组 的解为 ，请直接写出关于 、 的方程组
的解是_________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正
确求解方程组．
（1）结合题意，利用整体代入法求解，令 ， 得 ，解得 即 ，
即可求解；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令 ， 则 可化为 ，
且解为 ，则有 ，求解即可．
【详解】（1）解：令 ， ，
原方程组化为 ，
解得： ，
把 代入 ， ，得 ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：在 中，
令 ， ，
则 可化为 ，且 解为 ，
则有 ，
；
故答案为：
