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专题 04 二元一次方程组的特殊解法
目录
A题型建模・专项突破
题型一、解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘......................................................................................1
题型二、不解二元一次方程组求代数式的值......................................................................................................3
题型三、整体代入法解二元一次方程组..............................................................................................................5
题型四、换元法解二元一次方程组......................................................................................................................9
题型五、新定义型二元一次方程组....................................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘
1．（24-25七年级下·江苏·期末）解方程组：
2．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
3．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）解二元一次方程组： ．
4．（24-25七年级下·内蒙古·期末）用加减法解方程组： ．
题型二、不解二元一次方程组求代数式的值
5．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知 满足方程组 ，则
6．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）已知 满足方程组 ，则 的值为 ．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知x，y满足方程组 ，则 的值是 ．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程组 ，则 ．题型三、整体代入法解二元一次方程组
9．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力 先阅读材料，再解方程组．
解方程组：
解：将 看作一个整体，将①整体代入②，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，
所以原方程组的解为
这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组：
10．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察发现：
材料：解方程组 ．
将①整体代入②，得 ．解得 ．
把 代入①得 ，所以 ．
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
(1)请直接写出方程组 的解为_______．
(2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 ．
11．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程组的过程．
解方程组
解：原方程组可化为
②－①，得 ，即 ．
把 代入方程②，得 ，解得 ，所以 ，所以原方程组的解是以上解方程的方法叫作“消常数项法”．
请用“消常数项法”解下列方程组：
(1)
(2)
12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现：
解方程组
将①整体代入②，得 ，解得 ．
将 代入①，解得 ，
所以原方程组的解是
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解．
请写出方程组 的解为________；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：
（3）已知 满足方程组 ，求 的值．
题型四、换元法解二元一次方程组
13．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
解方程组 时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便．
解：①-②，得 ，即 ．③
，得 ．④
②－④，得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是
(1)请用上述方法解方程组：(2)直接写出关于 的二元一次方程组 的解．
14．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组 ．
解：设 ， ，原方程组可变为
解方程组得：即 ， ，所以 ．这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高
运用上述方法解下列方程组： ；
(2)能力运用
已知关于x，y的方程组 的解为 ．直接写出关于m、n的方程组
的解为______．
15．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 ．小明发现，如
果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 看成一个整体，
把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令 ， ．
原方程组化为 ，解得 ，把 代入 ， ，得 ，
解得 ，∴原方程组的解为 ．
(1)学以致用：
运用上述方法解下列方程组： ．
(2)拓展提升：已知关于x，y的方程组 的解为 ，请求出关于m、n的方程组 的解．
16．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元
法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元
的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组 ，设m ，n ，则原方程组可化为 ，解化简之后的方程组得
，即 ，所以原方程组的解为 ．
运用以上知识解决下列问题：
(1)求方程组 的解．
(2)关于x，y二元一次方程组 的解为 ，则方程组 的解为 ．
(3)举一反三：方程组 的解为 ．
题型五、新定义型二元一次方程组
17．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算： ， ，其
中a，b是常数．例如， ，
已知 ， ，则根据定义可以得到：
(1) _______， _______；
(2)若 ，求 的值；
(3)若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求m的值；
(4)若关于x，y的方程组 的解为 ，则关于x，y的方程组
的解为_______．18．（24-25七年级下·云南昆明·期中）【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．
如：已知实数 满足 ，求 和 的值．
方法一：解方程组，分别求出 的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．
解法如下：
① ②．得： ，
① ② ，得： ．
比较：
方法一运算量较大，是常规思路；
方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______， ______．
(2)对于实数 ，定义新运算： ，其中 是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运
算．已知 ， ，求 的值．
19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考
新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横
坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点 ．
①已知点 ，且 、 为有理数．
当 、 满足 时，就称点 为“理想点”．
例如：点 ，令 ，得
不是“理想点”；
点 ，令 ，得
是“理想点”．
②已知点 ，且 为有理数．当 满足 时，就称点 为“开心
点”．反之，当点 为“开心点”时，则 ．
认真阅读上面材料，完成下面问题：
(1)请仿照上述材料中①的方法判断点 是否为“理想点”．(2)已知 是二元一次方程组 的解，若点 是“开心点”，求 的值．
20．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）对于关于 ， 的二元一次方程组 （其中 ， ， ，
， ， 是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“开心”方程组．
(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
； ；
(2)若关于 ， 的方程组 是“开心”方程组，求 的值；
(3)若对于任意的有理数 ，关于 ， 的方程组 都是“开心”方程组，求 的值．
一、单选题
1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）已知x，y满足方程组 ，则 的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知方程组 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（22-23七年级下·福建泉州·期中）若关于 、 的方程组 的解为 ，则方程组
的解是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知 ， 满足方程组 ，则 的值是 ．
6．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知方程组 ，那么x与y的关系是 ．
7．（24-25七年级下·浙江丽水·阶段练习）若方程组 的解是 ，则关于x，y的方程组
的解为 ．
8．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组
的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它
们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以 ，然后通过整体换元替代的
方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
三、解答题
9．（24-25七年级下·天津·阶段练习）解下列方程组：
(1) ；
(2) ．
10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
由①得， ③
把③代入②，得 ，解得 ，
把 代入③得 ，所以这个方程组的解为 ．
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组： ．
11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务．
“整体思想”应用举例
“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整
体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击
破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为
简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一
种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如
例1解方程组：
解：把②代入①得， ，解得 ．
把 代入②得， ．所以原方程组的解为
例2已知实数 满足 ① ②，求 和 的值．
解：由 可 ，由① 可得 ．
整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问
题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼
此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法．
任务：（要求：运用阅读内容中的方法）
(1)已知二元一次方程组 求 和 的值；
(2)解方程组：
(3)已知方程组 的解是 请直接写出方程组： 的解．
12．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读与思考
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数 ，
满足 ，求 和 的值．
小明：利用消元法解方程组，得出 ， 的值后，再分别代入 和 求值．
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，
①， ②，由 ，可得 ，由 ，可得 ．李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸
同学的做法，解决下面的问题．
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______________， _______________．
(2)已知关于 ， 的二元一次方程组 ，若方程组的解满足 ，求 的值．
13．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题．
【类比观察】（1）求下列方程组的解
方程组 的解为：________；
方程组 的解为：________；
【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________；
【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ，
的方程组 的解．
14．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常
用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．
例如，已知方程组： ，求 ， 的值．
解：原方程组即为 ，设 ，
原方程组可变形为： ，
解得， 即 ．
理解上述内容，解决下列问题：
(1)若关于 的一元一次方程 （ ， 为常数，且 ）的解为 ，则关于 的一元一次方
程 的解为 ________；
(2)已知关于 ， 的方程组 ，求 的值；
(3)已知关于 ， ， 的方程组 ，求 的值．
15．（24-25七年级下·山东日照·期中）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ．
小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的
看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
以下是他的解题过程：令 ．
原方程组化为 ，解得 ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，所以原方程组的解为 ．
(1)学以致用运用上述方法解下列方程组：
(2)拓展提升已知关于 的方程组 的解为 ，请直接写出关于 、 的方程组
的解是_________．
