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宜昌市部分省级示范高中 2025 春季学期高一年级
期中考试数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B B C C D B ACD BC BCD
题号 12 13 14
答案 −4
8.【答案】B
【解析】 ， ，
， 在 上无零点，且 ，
最小正周期 ，且 ，
，且 ， ，当 时， ，
当 时， ，综上， 的取值范围为11.【答案】BCD
【解析】解： 取 ，则 ， ，因此 ，故A不正确；
B.设 ，则 ， ， ， ，
则 ，因此 ，故B正确；
C.设 ，当 时， ，
此时 ，当 时，
，
此时 ，综合可得，C正确；
D.不等式 ，可得： ，或 ，
，或 ，因此不等式的解集为 或 ，故D正确．
15．（13分）已知向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为1 若 ，求实数 的值;
2 求 与 的夹角的余弦值.
【答案】解： 1 因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，解得 ； （6分）
2 因为 ，
，
所以 ，
即 与 的夹角的余弦值为 （13分）
16．（15分）（1）已知 均为锐角且 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】解：（1）（7分）
即
又
即 （15分）
17（15分）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求角A；
若 ，BC边上的中线 ，求 的面积及BC边上的高．
【答案】解： 由已知得
(7
分）
因为 ，两边同时平方得 ，
即 ，解得 负值舍去 ， 的面积
由余弦定理得 ，所以
设BC边上的高为 ，因为 的面积 ，
所以 (15分）18.（17分）已知 ， ，函数
，的最小正周期为
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）当 时，求 的最值及取到最值时x的值；
（3）若函数 在 上有两个不同的零点 ，求实数 的取值范围,
并求 的值.
【答案】解：（1）
， 的最小正周期为 ，
， ， ，
由 ， ，解得： ， ，
单调递增区间为 （5分）
令 ， ，可得 ，即 ，
由 图象可得：当 ，即 时， 取得最大值1；
当 ，即 时， 取得最小值 （11
分）函数 所在 上有两个不同的零点 ，
转化为函数 与函数 有两个交点，由（2）可知 时，函数 与函数
有两个交点，其横坐标分别为 ，故得实数m的取值范围是
由题意可知 是关于对称轴是对称的，关于 对称轴，即
，
即 . （17
分）
19.（17分）意大利著名画家、数学家、物理学家达 芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过
这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什
么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用。在恰当的坐标系中，这类曲线
的函数表达式可以为 ，其中a、b为非零实数。
当 时，用单调性的定义证明： 在 上是单调递增函数；
(1)
在（ ）的条件下，若不等式 对 恒成立，求实数
(的2)取值范1围 m
若 为. 奇函数，函数 ， ，探究是否存在实数a，使
(3)
的最小值为 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
?【解答】（1）证明：当 时， ，
在 任取 ，则
因为 ，所以 ， ，则有 ，，所以 ，即
，所以 在(0,+∞)上单调递增． （4分）
（2） 的定义域为R， ， 为偶函数，
在 上单调递增，故 上单调递减，
不等式 在 上恒成立，
则 在 上恒成立
，
故 在 上恒成立，
令 ，而
，故当 时，
，
，故当 时， ，
的取值范围为 （12分）
（3） 为奇函数， ，即，得 ，
， ．
令 ， ，由函数 在 上单调递增，有 ，
则 可化为 ， ．
假设存在实数 ，使 即 的最小值为 ，结合二次函数的性质可知，
当 ，即 时， 在 上单调递增， ，不符合要求；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，此时 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减， ，
此时 ，不满足 ．
综上，当 时， 的最小值为 ． （17分）
