文档内容
宜昌市部分省级示范高中 2025 春季学期高一年级
期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1． （ ）
A． B． C． D．
2．若全集 ，集合 ， ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，则 的形状为（
）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．下列各式的值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在四边形 中， ， ，设 ， ，则 等于（
）
A． B． C． D．7．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
8．函数 ，若 在 上无零点，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， 可以作为基底，则 B．若 ，则
C．若 在 上的投影向量为 ，则 D．若 与 的夹角为 ，则 或9
10．函数 的部分图象如图， 图象与 轴交于
点，与 轴交于 点，点 在 图象上，点 、 关于点 对称，则下列正确的是（
）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在 上单调递增
D．函数 的图象向右平移 后，得到函数 的图象，则 为偶函数
11．设 表示不超过 的最大整数，如： ， ， 又称为取整函数，在
现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按取整函数进行计费，以下关于
取整函数的描述正确的是（ ）
A． ， B． ， ，若 ，则
C． ， D．不等式 的解集为 或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数 ，则 的值为_____．
13．在 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，则 的值为
．
14．记 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，点 在边
上，若 ， ，则 的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）求 与 的夹角的余弦值．16．（15分）（1）已知 ， 均为锐角且 ， ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
17．（15分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 ；
（2）若 ， 边上的中线 ，求 的面积及BC边上的高．
18．（17分）已知 ， ，函数 ，
的最小正周期为 ．
（1）求函数 的单调递增区间；（2）当 时，求 的最值及取到最值时x的值；
（3）若函数 在 上有两个不同的零点 ， ，求实数 的取值范围，并求
的值．
19．（17分）意大利著名画家、数学家、物理学家达 芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过
这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什
么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类曲线
的函数表达式可以为 ，其中 、 为非零实数．
（1）利用单调性定义证明：当 时， 在 上单调递增；
（2）当 时，若不等式 对 恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若 为奇函数，函数 ， ，探究是否存在实数 ，
使 的最小值为 ？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
