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专题01：勾股定理（一）
考点1：利用勾股定理直接计算
题型一：利用勾股定理求线段
例1.（1）已知a，b，c为三角形的三边长，a，b满足 ，若该三角形为直角三角形，
则c的值为________．
【答案】5或
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得到 ， ，再分类讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ， ，即 ， ，
当 为直角边时， ；当 为斜边时， ；
故答案为：5或 ．
【点睛】本题考查勾股定理、二次根式有意义的条件、绝对值的非负性，掌握分类讨论的思想是解题的关
键．
（2）如图，在 中， ， ， ， ．求AC的长．
【答案】13．
【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即
可得到AC长；
【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝15，AD＝12，∴BD＝ ，∵BC＝14，∴ ，
∵AC＝ ∴AC＝ ．
题型二：利用勾股定理求面积
例2.（1）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S，S，S，
1 2 3
已知S＝6，S＝8，则S＝_____．
1 2 3
【答案】14．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，S＝6，S＝8，∴AC2＝6，BC2＝8，∴AB2＝14，
1 2
∴S＝14，故答案为：14．
3
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
（2）如图，已知S，S 和S 分别是Rt ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S，
1 2 3 1
S 和S 满足的关系式为（ ） △
2 3
A．S＜S+S B．S＝S+S C．S＞S+S D．S＝S∙S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
【答案】B
【分析】运用等腰直角三角形得出S＝ AB2，S＝ BC2，S＝ AC2，由AC2+BC2＝AB2，即可得出结
1 2 3
论．
【详解】解：∵S，S 和S 分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为斜边向外作的等腰直角三
1 2 3
角形的面积，
∴S＝ AB2，S＝ BC2，S＝ AC2，
1 2 3∵AC2+BC2＝AB2，∴S＝S+S ．故选：B．
1 2 3
【点睛】本题主要考查了直角三角形以及勾股定理. 解题的关键是求出S，S 和S 的式子.
1 2 3
题型三：“赵爽炫图”中的计算
例3：如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两
条直角边长分别为 和 ．若 ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】:由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小
正方形的边长．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为： ab＝ ×8＝4，∴根据4× ab＋（a﹣b）2＝52＝25，
得4×4＋（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3（舍负），故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
考点2：勾股定理与折叠问题
题型一：三角形中的折叠问题
例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在边BC上有一点M，将△ABM沿直线AM折
叠，点B恰好在AC延长线上的点D处，求CM的长．
【答案】CM＝
【分析】由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可求CD＝1，DM＝BM，由勾股定理可求解．【详解】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝ ＝ ＝5，
∵将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好在AC延长线上的点D处，∴AD＝AB＝5，BM＝DM，
∴CD＝1，
∵DM2＝CM2+CD2，∴（3﹣CM）2＝CM2+1，∴CM＝ ．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理的运用，关键是灵活运用折叠的性质解决问题．
题型二：长方形中的折叠问题
例5.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿着对角线对折，使B折到M，
求：(1)线段CE的长度；
(2)求点E到直线AC的距离．
【答案】（1） ；（2）距离为
【分析】（1）根据平行线的性质、折叠的性质得到EA=EC，根据勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理
求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）∵AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，由折叠的性质可知，∠ACE=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACE，∴EA=EC，
在Rt△EDC中，DE2+CD2=CE2，即（8-EC）2+62=CE2，解得， ；
（2）设点E到直线AC的距离为h，则 ,
由三角形的面积可知， ×AE×CD= ×AC×h，则 ．
【点睛】
本题考查的是翻转变换、矩形的性质等知识，解题时注意折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对
应边和对应角相等．考点3：验证勾股定理
例6.“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定
理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边
为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由面积相等法列出等式，化简之后看是否符合 即可.
【详解】
四个图形都可由面积相等法列出等式，
A. ，化简可得 ，A选项可证明勾股定理；
B. ，此图可证明完全平方公式，B选项不能证明勾股定理；
C. ，化简可得 ，C选项可证明勾股定理；
D. ，化简可得 ，D选项可证明勾股定理；
故选：B.
【点睛】本题考查勾股定理的证明，用面积法列出等式并化简是解题的关键.
1．若直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，则另一条直角边长为（ ）
A．7 B．8 C．20 D．65
【答案】B
【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，
∴另一条直角边2 ，∴另外一边为8．故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，正确把握勾股定理是解题关键．
2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为 ( )
A．4 B．4或34 C．16或34 D．4或
【答案】D
【解析】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x= ；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x= ．
故选D．
3.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形
A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
【答案】D
【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得
到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和.
【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．
故选D．
【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长
的正方形面积之和是解决此题的关键.
4.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，
则△BDE的周长为( )A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．
【详解】在Rt ABC中，
△
∵AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB 10，
由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE，∴BE=4，
∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12．
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将 ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC
上，则CD长是△（ ） △
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【答案】C
【分析】根据“在Rt ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定
理和翻折的性质，运用△方程的方法进行求解．
【详解】解：∵ ， ， ，∴ ，
∵将 ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，
∴ △ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选：C．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的
关键．
6.如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB＝2，BC
＝4，则AF的长是（ ）．
A．2 B．2.5 C．2.8 D．3
【答案】B
【分析】根据题意，根据轴对称的性质，得AB=AE=CD=2，BC=AD=4；通过证明 得
，再通过直角 中勾股定理，计算得AF的长．
【详解】根据题意得：AB=AE=CD=2，BC=AD=4
设AF=x，则FD=AD-AF=4-x∵ ∴ ∴
∴
∵ ∴ ∴ ∴AF的长是2.5
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形、矩形、勾股定理、一元一次方程、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌
握全等三角形、矩形、勾股定理、轴对称的性质，从而完成求解．
7.在 中， ， ， ，则 的值是__________．
【答案】9
【分析】首先设出 ， ，然后运用勾股定理列出关于 的方程，求出 的值即可解决问题．
【详解】
∵ ，∴设 ， ，由勾股定理得： ，
解得： (负值已舍)，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理及其应用，灵活运用勾股定理来分析、判断是解题的关键．
8.直角三角形的一条直角边为8cm,斜边为10cm,它的面积为______cm2，斜边上的高为______cm．
【答案】24 4.8
【分析】先根据勾股定理求出另一条直角边的长，设斜边上的高为h，再根据三角形的面积公式求的其面
积，利用等积法求得其斜边上的高．
【详解】解：∵直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm，
∴另一条直角边的长= cm，∴三角形的面积为 =24 cm2；
设斜边上的高为h（cm），则6×8=10h，
解得h=4.8cm．故答案为：24；4.8．
【点睛】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平
方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
9.如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月
牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为_____．
【答案】6．
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，两小半圆与直角三角形的和
减去大半圆即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ACB中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5，
阴影部分的面积 ，故答案为：6．
10.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样
就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为___________．
【答案】49
【分析】根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【详解】
直角三角形直角边的较短边为 =5，
正方形EFGH的面积＝13×13﹣4× ＝169﹣120＝49．
故答案为：49．
【点睛】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．
11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图，火柴盒的一个侧
面ABCD（是一个长方形）倒下到AB＇C＇D＇的位置连接AC、AC＇、CC＇，设AB=a ，BC=b，AC=c．
（1）试用a，b有关的代数式表示梯形BCC＇D＇的面积；
（2）试用a，b，c有关的代数式分别表示 ABC， AD＇C＇， AC＇C的面积
△ △ △
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理： ．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）证明见详解．
【分析】
（1）根据梯形面积公式表示梯形 的面积；
（2）根据三角形面积公式分别表示 、 、 的面积；
△ △
（3）根据 ，列出方程并整理可证．
【详解】
解：（1）梯形 的面积 ；
（2） ，
为直角三角形，
， ；
（3）由图形可知 ，
则
．因此， ．
【点睛】本题考查了代数式，三角形的面积和勾股定理的证明，熟悉相关性质并能结合图形进行求解是解
题的关键．
12.如图，已知长方形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，点E在AD边上，将 ABE沿BE折叠后，点A正好
落在CD边上的点F处． △（1）求DF的长；
（2）求 BEF的面积．
【答案】△（1） ；（2） 的面积为25
【分析】
（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，由矩形得BC=AD=8，由勾股定理算出CF=6，从而算出DF=4；
（2）由翻折知：△BEF和△BEA全等，在 中求，设EF=x，依据勾股定理列方程解出，而AB=10，
求出直角△BEA的面积，即为所求.
【详解】
解：（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，
由矩形得BC=AD=8，CD=AB=10， ,
∵在 中， ，BF=10，BC=8，
∴
∴DF=CD-CF=10-6=4，
（2）设EF=EA=x，则DE=8-x，
∵在 中， ，DE=8-x，DF=4，EF=x，
∴42+(8-x)2=
∴x=5.
∴直角△BEA的面积为 ，
又∵由翻折知：△BEF和△BEA全等，
∴ BEF的面积为25.
△【点睛】
本题考查矩形翻折问题中的勾股定理，明确在翻折过程中的变量和不变量是解题的关键，熟练掌握勾股定
理是解题的基础.
