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专题01：勾股定理（一）
考点1：利用勾股定理直接计算
题型一：利用勾股定理求线段
例1.（1）已知a，b，c为三角形的三边长，a，b满足 ，若该三角形为直角三角形，
则c的值为________．
（2）如图，在 中， ， ， ， ．求AC的长．
题型二：利用勾股定理求面积
例2.（1）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S，S，S，
1 2 3
已知S＝6，S＝8，则S＝_____．
1 2 3
（1）题图 （2）题图
（2）如图，已知S，S 和S 分别是Rt ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S，
1 2 3 1
S 和S 满足的关系式为（ ） △
2 3
A．S＜S+S B．S＝S+S C．S＞S+S D．S＝S∙S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
题型三：“赵爽炫图”中的计算
例3：如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两
条直角边长分别为 和 ．若 ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为( )A．1 B．2 C．3 D．4
考点2：勾股定理与折叠问题
题型一：三角形中的折叠问题
例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在边BC上有一点M，将△ABM沿直线AM折
叠，点B恰好在AC延长线上的点D处，求CM的长．
题型二：长方形中的折叠问题
例5.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿着对角线对折，使B折到M，
求：(1)线段CE的长度； (2)求点E到直线AC的距离．
考点3：验证勾股定理
例6.“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定
理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边
为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．1．若直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，则另一条直角边长为（ ）
A．7 B．8 C．20 D．65
2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为 ( )
A．4 B．4或34 C．16或34 D．4或
3.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形
A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
4.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，
则△BDE的周长为( )
A．6 B．8 C．12 D．14
5.如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将 ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC
上，则CD长是△（ ） △
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
6.如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB＝2，BC
＝4，则AF的长是（ ）．
A．2 B．2.5 C．2.8 D．37.在 中， ， ， ，则 的值是__________．
8.直角三角形的一条直角边为8cm,斜边为10cm,它的面积为______cm2，斜边上的高为______cm．
9.如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月
牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为_____．
10.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样
就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为___________．
11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法
如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB＇C＇D＇的位置连接
AC、AC＇、CC＇，设AB=a ，BC=b，AC=c．
（1）试用a，b有关的代数式表示梯形BCC＇D＇的面积；
（2）试用a，b，c有关的代数式分别表示 ABC， AD＇C＇， AC＇C的面积
△ △ △
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理： ．
12.如图，已知长方形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，点E在AD边上，将 ABE沿BE折叠后，点A正好
落在CD边上的点F处． △
（1）求DF的长； （2）求 BEF的面积．
△
