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专题 02 等边三角形常考作辅助线法（两种方法）
学习了等腰三角形、等边三角形、全等三角形后,发现同学们对知识点的接受
比较单一,不能很快找到各知识点之间的内在联系,更谈不上综合运用。为了把初
中几何中的几个重要的知识点等腰三角形、等边三角形与全等三角形很好的联
系起来，提高同学们的数学思维能力和解题能力，特意设计了本节课，主要探究
添加平行线和截长补短构造全等解决等边三角形有关问题。
【新方法解读】
技巧1：作平行线法
技巧2：截长补短法
【典例分析】
【典例1】（烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，
点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段 CE，CF与CD之间存在怎
样的数量关系？并说明理由．
【变式1-1】（2020秋•句容市期中）如图，在等边三角形 ABC中，点E是边
AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC；
【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段 CE，CF与CD之间存
在怎样的数量关系？直接写出你的结论．
【变式1-2】（天心区期中）如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，
点E是直线BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF．
（1）如图 1，若点 E 在边 BC 上，且 DE⊥BC，垂足为 E，求证：CD＝
2CE；
（2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝
CD；
（3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段 CE，CF与CD之间存在怎
样的数量关系？并说明理由．
【典例2】（2020秋•湖南期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是
射线AB、射线CB上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD、DE．
（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE＝DC．
（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之
间的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，当点 D 移动到线段 AB 的延长线上，并且 ED⊥DC 时，求
∠DEC度数．
【变式2-1】（道外区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点
E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．（1）求证：EF＝DF；
（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．
【变式2-2】（东城区期末）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图 1，
等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上
一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．
小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点 P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．
请根据小明同学的思路直接写出DE的长．
（2）【类比探究】
老师引导同学继续研究：
1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长
线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2
中补全图形并求DE的长．
2．已知等边△ABC，当 P为AB的延长线上一点时，作 PE⊥射线 AC于点
E，Q为 （①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，
且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将
答案的编号填在横线上）
【夯实基础】
1．（2021秋•咸丰县期末）如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点
（1）求证：CD＝BE；
（2）若DE⊥AC，求BP的长．
2．（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点
A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成
立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
3．（2021春•垦利区期末）已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个
动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．
（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明
理由．
4．（2022秋•张家港市期末）已知：如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点
P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点
D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结
论．
【能力提升】
5．（2021秋•濠江区校级期中）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为
直线BC上任一动点，将一 60°角的顶点置于点 D处，它的一边始终经过点
A，另一边与直线a交于点E．
（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结
论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．6．（宾县校级月考）△ABC是边长为2的等边三角形，点 P、Q分别从A、C
两点同时出发做匀速直线运动，且它们的速度相等．已知点 P沿边射线AB
运动，点 Q 沿边 BC 的延长线运动，设 PQ 与直线 AC 相交于点 D，作
PE⊥AC，垂足是E．
（1）当点P在线段AB上运动时，求证：2DE＝AC；
（2）当点P、Q继续运动时，（1）中的结论还成立吗？若成立，画出图形
并证明．如不成立指出DE与AC的关系并说明理由．
