文档内容
专题04 相交线与平行线
考向一、对顶角、邻补角与折叠问题中角的计算
考向二、同位角、内错角和同旁内角的辨识
考向三、平行线间距离与面积的问题
考向四、证平行线的技巧
考向五、平行线的性质
考向六、构造辅助线之添加平行线
一、对顶角、邻补角与折叠问题中角的计算
1．（2021·甘肃·金昌市第五中学七年级期末）下列命题中，是真命题的是( )
A．一个角的余角大于这个角
B．邻补角一定互补
C．相等的角是对顶角
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余角的概念、邻补角的概念、对顶角的概念、垂线的概念判断即可．
【详解】
解：A、一个角的余角不一定大于这个角，如： ，是假命题，不符合题意；
B、邻补角一定互补，真命题，符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，解题的关键是掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命
题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列说法：①对顶角相等：②相等的角是对顶角；③等角的余角相等；④如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角；其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对顶角的性质“对顶角相等”即可得；根据根据余角的性质“等角的余角相等”即可得；根据补角的
定义“如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角”即可得．
【详解】
解：①对顶角相等，②相等的角不一定是对顶角，③等角的余角相等，④如果两个角的和是180°，那么这
两个角互为补角；
综上，①③④正确，正确的个数是3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角，余角，补角，解题的关键是掌握这些知识点．
3．（2021·河北沧州·七年级期末）如图，已知直线AB CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，
MH⊥EF于点M，则图中与∠BMH互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
由MH⊥EF即可知与∠BMH互余的角有∠BMF和∠AMN．再由AB//CD，可知∠CNE=∠DNM=∠AMN，
即又得出与∠BMH互余的角有∠CNE和∠DNM，综上即可选择．
【详解】
解：∵MH⊥EF，
∴∠FMH=∠EMH=90°，∴∠BMH+∠BMF=90°，∠BMH+∠AMN=90°．
∵AB//CD，
∴∠CNE=∠DNM=∠AMN．
∴∠BMH+∠CNE=90°，∠BMH+∠DNM=90°
综上，与∠BMH互余的角有∠BMF、∠AMN、∠CNE和∠DNM，共4个．
故选：D．
【点睛】
此题考查了余角，平行线的性质以及垂线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质和余角的定义．
4．（2021·宁夏固原·七年级期末）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定义判断即可：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这
两个角就叫做对顶角．
【详解】
解：根据对顶角的定义可知：只有C选项中的∠1与∠2是对顶角，其它都不是；
故选： C．
【点睛】
本题考查了对顶角的定义；掌握定义是解题关键．
5．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所七年级期末）下面四个图形中， 与 是邻补角的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据邻补角的定义判断即可；
【详解】
解：邻补角：两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补
角；
A．不是邻补角，不符合题意；
B．不是邻补角，不符合题意；
C．是邻补角，符合题意；
D．不是邻补角，不符合题意；
故选： C．
【点睛】
本题考查了邻补角的定义，掌握其定义是解题关键．
6．（2022·湖南衡阳·七年级期末）如图，直线 相交于点E， 于E，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用垂直的定义结合角的和差关系求解 再利用对顶角的性质可得答案.【详解】
解： ，
，
故选C
【点睛】
本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，对顶角的性质，掌握“对顶角相等”是解本题的关键.
7．（2022·山东临沂·七年级期末）如图，点O是直线 上的一点，若 ， ，
，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用补角、余角、角的n等分线的性质进行角度的和差倍数计算，判断选项的正确性．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵∠AOC=50°， ，
∴ ，故D不符合题意；
∴ ,故C符合题意；
∴ ，故A不符合题意；
∵∠AOC=50°，∴ ，故B不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知补角和余角定义、角的n等分线的性质．
8．（2021·海南省直辖县级单位·七年级期末）如图，将长方形纸片进行折叠，ED，EF为折痕，A与 、B
与 、C与 重合，若 ，则 的度数为（ ）
A．130° B．115° C．65° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质和平角的定义即可得到，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出
∠AED=∠A'ED，∠BEF=∠FEB'即可求解．
【详解】
根据翻折的性质可知，∠AED=∠A' ED，∠BEF=∠FEB'，
∵∠AED+∠A'ED+∠BEF+∠FEB'= 180°，
∴∠AED+∠BEF= 90°
又∵∠AED= 25°
∴∠BEF= 65°
故选：C
【点睛】
此题考查了角的计算和翻折变换的性质，能够根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形
全等，对应的角相等是解题的关键．
9．（2022·贵州遵义·七年级期末）如图，将一张长方形纸片沿BE所在的直线折叠，点C落在 处．若
，则 的度数为（ ）A．90° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【解析】
【分析】
先由折叠的性质得到 ，再根据平角的定义得到 ，即可
求解．
【详解】
由折叠可得
故选：C．
【点睛】
本题考查折叠的性质、平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2021·浙江台州市·七年级期末）一个角的补角是它的余角的三倍，则这个角的度数为__________．
【答案】45°
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列方程求出这个角的度
数即可．
【详解】解：设这个角是α，则它的补角为180°-α，余角为90°-α，
根据题意得，180°-α=3（90°-α），解得α=45°．故答案为：45°．
【点睛】本题考查了余角与补角，是基础题，熟记概念并列出方程是解题的关键．
11．（2021·江苏扬州市·七年级期末）已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大20°，则∠α的度数是_____．
【答案】80
【分析】首先根据补角的定义，设∠α为x，则∠β＝180°−x，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
【详解】设∠α为x，则∠β＝180°−x．∴180°−x-x＝20°，解得：x＝80°，
∴∠α的度数是80°，故答案为：80
【点睛】此题综合考查余角与补角，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．
12．（2020·内蒙古临河.初一期末）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则
________度．
【答案】65
【分析】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．
【解析】解：如图，由题意可知，AB∥CD，∴∠1+∠2=130°，
由折叠可知，∠1=∠2，∴2∠1＝130°，解得∠1＝65°．故答案为：65．
【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．
13．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2
＝_____°．
【答案】110
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．
【详解】如图：由折叠的性质可得，∠1＝∠3，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，
∵长方形纸片的两条长边平行，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠2＝110°，故答案为：110．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2022·山西·中阳县第一中学校七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O， ，
，则 ．请说明理由（补全解答过程）．
解：∵ （ ）
∴ ______＝______°
∴ （ ）
【答案】对顶角相等； ；90；垂直的定义
【解析】
【分析】
根据垂线的定义、对顶角的性质即可求出答案．
【详解】
∵ （对顶角相等）
（已知）
∴ ＝90°
∴ （垂直的定义）
故答案为：对顶角相等； ；90；垂直的定义．
【点睛】
本题考查垂线的定义、对顶角的性质、角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．（2022·福建·莆田哲理中学七年级期末）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．
(1)若∠BOD＝ ∠COD，求∠BON的度数；
(2)若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
【答案】(1)75°
(2)54°
【解析】
【分析】
（1）先由对顶角相等求出∠COD＝70°，再由已知条件求出∠BOD的度数，根据邻补角的定义与角的和差
进行求解即可；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差即可解得x，进而求解．
(1)
∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝ ∠COD＝ ，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
(2)
设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．【点睛】
本题考查了对顶角相等、邻补角的定义及角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、同位角、内错角和同旁内角的辨识
1．（2021·广东梅州·七年级期末）如图所示，结论中正确的是（ ）
A． 和 是内错角 B． 和 是同旁内角
C． 和 是同位角 D． 和 是同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同位角、内错角、同旁内角的意义结合图形进行判断即可．
【详解】
解：如图， 与 并不属于同位角、内错角或同旁内角，因此选项A不符合题意；
与 是直线 与直线 被直线 所截的同位角，因此选项B不符合题意；
与 是直线 与直线 被直线 所截的内错角，因此选项C不符合题意；
与 是直线 与直线 被直线 所截的同旁内角，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提，
判断两个角是由哪两条直线被第三条直线所截所得到的角是判断的关键．
2．（2021·浙江丽水·七年级期末）如图，下列各角与 是同位角的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，
则这样一对角叫做同位角．据此解答即可．
【详解】
直线AB，DE被直线AC所截而成的角中，∠A与∠3在两直线的同侧，并且在截线的同旁，所以∠A的同
位角是∠3．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了同位角的识别，解题时注意：同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角
的边构成“U”形．
3．（2021·重庆·七年级期末）如图， 与 是直线 和 被直线 所截形成的（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的内部，并且在第三条直线（截线）的同旁，
则这样一对角叫做同旁内角．
【详解】
解：如图，与 是直线 和 被直线 所截形成的同旁内角．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了同旁内角的概念，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成
“U”形．
4．（2022·河南南阳·七年级期末）完成下列推理过程：
(1)如图，已知AB∥CD，∠B+∠D=180°．
求证：BC∥DE
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠ =∠ ( )；
∵∠B+∠D=180°( 已知 )
∴∠ +∠D=180°( 等量代换 )
∴BC∥DE( )
(2)如图，若已知∠1=∠2，试完成下面的填空．
∵∠2=∠3（ ）又∵∠1=∠2（已知）
∴∠ =∠ ( 等量代换 )
∴ ∥ （ ）
【答案】(1)B；C；两直线平行，内错角相等；C；同旁内角互补，两直线平行；
(2)对顶角相等；1；3；AB；CD；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质、判定填空即可；
（2）对顶角、平行线判定及等量代换等填空即可．
(1)
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠B+∠D=180°（已知），
∴∠C+∠D=180°（等量代换），
∴BC∥DE（ 同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：B；C；两直线平行，内错角相等；C；同旁内角互补，两直线平行；
(2)
证明：∵∠2=∠3 （ 对顶角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3．（等量代换）
∴AB∥CD．（ 同位角相等，两直线平行）；
故答案为：对顶角相等；1；3；AB；CD；同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的性质及判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理、判定定理．
三、平行线间距离与面积的问题
1．（2021·贵州铜仁·七年级期末）已知直线 ，点 在 上，点 ， ， 在 上，且 ，
， ，则 与 之间的距离为（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于
【答案】D
【解析】【分析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答
案．
【详解】
解：∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，
∴AB＜AC＜AD，
∴m与n之间的距离小于或等于4cm，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线之间的距离，解题关键是掌握平行线之间距离的定义．
2．（2021·四川凉山·七年级期末）若a，b，c是同一平面内三条互相平行的直线，已知a与b的距离是
5cm，b与c的距离是2cm，则a与c距离为_________cm．
【答案】3cm或7cm
【解析】
【分析】
分类讨论：当直线 在 、 之间或直线 不在 、 之间，然后利用平行线间的距离的定义分别求解．
【详解】
解：当直线 在 、 之间时，
∵ 、 、 是三条平行直线，
而 与 的距离为5cm， 与 的距离为2cm，
∴ 与 的距离=5-2=3（cm）；
当直线 不在 、 之间时，
∵ 、 、 是三条平行直线，
而 与 的距离为5cm， 与 的距离为2cm，
∴ 与 的距离=5+2=7（cm），
综上所述， 与 的距离为3cm或7cm．
故答案为：3cm或7cm．
【点睛】
本题考查了平行线之间的距离，解题的关键是掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线
段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．
3．（2021·上海市久隆模范中学七年级期末）如图，已知直线 ，点 是线段 的中点， ，则 ______．
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据平行线间的距离可得 的 边上的高等于 的 边上的高，再根据线段中点的定义可得
，然后根据三角形的面积公式即可得．
【详解】
解： ，
的 边上的高等于 的 边上的高，
点 是线段 的中点，
，
，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离、线段中点等知识点，掌握理解平行线间的距离是解题关键．
四、证平行线的技巧
1．（2021·天津滨海新·七年级期末）如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（
）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定进行逐一判断即可．
【详解】
A、 ，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出 ，故A正确；
B、 ，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出 ，故B错误；
C、∠D与∠A非同位角，内错角，同旁内角，故不能判断直线平行，故C错误 ；
D、 ，利用同旁内角互补，两直线平行，即可判断出 ，故D错误，
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
2．（2022·四川遂宁·七年级期末）如图，有下列一些条件：① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ ．其中能判断直线 的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】
解：∵
∴ ，故①正确，
∴ ，故③正确，∴ ，故④正确，
，
∴ ，故⑤正确，
∴ ，故⑥正确，
由 ，无法判断 ，故②不正确
故正确的有5个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
3．（2022·河南鹤壁·七年级期末）如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：①∠3=∠4；
②∠1=∠2；③∠A=∠DCE；④∠D＋∠ABD=180°．能判断AB∥CD的是__________．（填正确条件的序
号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．
【详解】
解：①如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故①错误；
②∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故②正确；
③∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故③正确；
④∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故④正确．
综上分析可知，正确的有②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查的是平行线的判定，正确的掌握和应用平行线的判定方法是解题的关键．
4．（2022·黑龙江·七台河市第十六中学七年级期末）如图，在图中标注的∠1、∠3、∠4、∠5中，当∠2=∠_______时， AE∥BF．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理即可求解．
【详解】
∵∠2、∠4是同位角
故∠2 =∠4时，AE∥BF．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．
5．（2022·河南南阳·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，点C为直角顶点，边AB和边DE
所在的直线交于点P，若固定三角板ABC不动，改变三角板CDE的位置（其中点C位置始终不变），则
当∠APD的度数为______时，DE∥AC．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，去求解即可．【详解】
解：三角板CDE转动到DE∥AC的情况，如图
，
DE∥AC，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，牢固掌握平行线的判定定理是做出本题的关键．
五、平行线的性质
1．（2021·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图，平行线AB、CD被直线AE所截，∠A=100°，则∠1的度数
是（ ）
A．40° B．70° C．80° D．100°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和邻补角解答即可．
【详解】
∵AB∥CD，∠A=110°，∴∠2=110°，
∴∠1=180°-110°=70°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
2．（2022·全国·七年级期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD， ， ，那
么 的度数为（ ）
A．100° B．132° C．142° D．154°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平行线性质求出∠A，再根据邻补角的定义求出∠4，最后根据三角形外角性质得出∠3=∠4+∠A．
【详解】
解：如图：
∵AB∥CD，∠1=26°，∴∠A=∠1=26°，
∵∠2=74°，∠2+∠4=180°，
∴∠4=180°-∠2=180°-74°=106°，
∴∠3=∠4+∠A=106°+26°=132°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，解题的关键是求出∠A的度数和得出∠3=∠4+∠A．
六、构造辅助线之添加平行线
1．（2021·上海·上外浦东附中七年级期末）如图，已知船C在观测站A的北偏东35°方向上，且在观测站
B的北偏西20°方向上，那么 ______度．
【答案】55
【解析】
【分析】
过点C作 ，根据两直线平行，内错角相等，即可解决问题．
【详解】
解：过点C作 ，如图所示：
，，
， ，
．
故答案为：55．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键．
2．（2022·四川乐山·七年级期末）如图，直线AB//CD， ， ，则 ______.
【答案】135°##135度
【解析】
【分析】
如图，过点E作EF//AB，可得EF//CD，根据平行线的性质及垂直的定义可得出∠BAE的度数，根据平角
的定义即可得答案．
【详解】
解：如图，过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∵∠C＝45°，
∴∠CEF＝∠C＝45°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，∴∠AEF＝∠AEC-∠CEF=90°-45°＝45°，
∴∠BAE=∠AEF=45°，
∴∠1=180°-∠BAE=135°．
故答案为：135°
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，运用平行线的性质，利用数形结合的思想解答．
3．（2022·河南鹤壁·七年级期末）
(1)填空：如图①，AB∥CD，猜想∠BPD与∠B，∠D的关系，并说明理由．
解：过点P作EF∥AB，如图所示
∴∠B＋∠BPE=180°（______________________________）．
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么（_____________________）．
∴∠EPD＋∠D=180°
∴∠B＋∠BPE＋∠EPD＋∠D=________，
即∠BPD＋∠B＋∠D=360°
(2)仿照上面的解题方法，观察图②，已知AB∥CD，猜想图中∠BPD与∠B，∠D的关系，并说明理由．
(3)观察图③和④，已知AB∥CD，猜想图中∠BPD与∠B，∠D的关系，不需要说明理由．【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；这两条直线互相平行；360°
(2)∠BPD=∠B+∠D；理由见解析
(3)图③：∠D=∠B+∠BPD；图④：∠B=∠BPD+∠D
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质解答；
（2）作平行线，根据内错角相等可证∠BPD=∠B+∠D；
（3）同样作平行线，根据内错角相等可证∠B=∠BPD+∠D．
(1)
过点P作EF∥AB，如图所示：
∴∠B+∠BPE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；这两条直线互相平行；360°．
(2)
猜想∠BPD=∠B+∠D；
理由：过点P作EP∥AB，如图所示：
∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．
(3)
图③结论：∠D=∠BPD+∠B，
理由是：过点P作EP∥AB，如图所示：
∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
图④结论∠B=∠BPD+∠D，
过点P作EP∥AB，如图所示：
理由是：∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D．
【点睛】
本题主要考察了平行线的判定性质，作出辅助线，熟练掌握运用两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
1．（2022·重庆市第七中学校七年级期末）如图，下列说法错误的是（ ）A． 与 是对顶角 B． 与 是同位角
C． 与 是内错角 D． 与 是同旁内角
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据对顶角、同位角、内错角以及同旁内角的定义判断即可．
【详解】
解：A、 与 是对顶角，正确，故该选项不合题意；
B、 与 是同位角，正确，故该选项不合题意；
C、 与 是内错角，错误，故该选项符合题意；
D、 与 是同旁内角，正确，故该选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了对顶角、同位角、内错角以及同旁内角的定义，熟记定义是解答本题的关键．
2．（2022·湖南·衡阳市第十五中学七年级期末）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠5和∠6是内错角
【答案】B
【解析】【分析】
根据同位角、内错角、同旁内角的意义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截的两直线的
同一侧的角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之
间的两个角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两条直线之内的两角叫做同
旁内角，可得答案．
【详解】
解：A、∠1和∠3是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠5不存在直接联系，故此选项符合题意；
C、∠1和∠2是同旁内角，故此选项不符合题意；
D、∠1和∠6是内错角，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了同位角、内错角、用旁内角，利用同位角、内错角、同旁内角的意义是解题关键．
3．（2021·山东临沂·七年级期末）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内
错角分别是（ ）
A．∠2 和∠4 B．∠6和∠4 C．∠2 和∠6 D．∠6和∠3
【答案】A
【解析】
【分析】
同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的
同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线
的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，根据此定义即可得出答案．
【详解】
解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，
∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠4是内错角，
故选A．【点睛】
本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题关键是熟记内错角和同位角的定义．
4．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确
的是（ ）
A． 1与 5是同位角 B． 3与 6是同旁内角
C． 2与 4是对顶角 D． 5与 2是内错角
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同位角、对顶角、同旁内角以及内错角的定义对各选项作出判断即可．
【详解】
解：A、∠1与∠5是同位角，故本选项不符合题意；
B、∠3与∠6是同旁内角，故本选项不符合题意．
C、∠2与∠4是对顶角，故本选项不符合题意；
D、∠5与 2不是内错角，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了同位角、对顶角、同旁内角、内错角的定义，解答此题的关键是确定三线八角，可直接从
截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的
几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
5．（2022·江苏南京·七年级期末）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1
的数量关系是（ ）
A．∠1＝∠4 B．∠4＋∠1＝90° C．∠1－∠4＝90° D．∠4－∠1＝90°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，得∠1+∠2=90°，∠3+∠2=180°，∠4=∠3，作差后，运用等量代换的思想即可确定．【详解】
∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=180°，∠4=∠3，
∴∠3-∠1=90°，∠4=∠3，
∴∠4-∠1=90°，
故选D．
【点睛】
本题考查了互余即和为90°、互补即和为180°和对顶角的性质，熟练掌握定义，灵活掌握性质是解题的关
键．
6．（2021·江苏淮安·七年级期末）如图， ，垂足为 ，直线 经过点 ，若 ，则
的度数是（ ）
A．35° B．40° C．55° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对顶角相等，只需要求出∠COF即可得到答案．
【详解】
解：∵AB⊥CD，
∴∠BOC=90°，
∴∠COF=∠BOC-∠BOF=55°，
∴∠DOE=∠COF=55°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了垂直的定义，对顶角相等，熟知相关知识是解题的关键．7．（2020·四川营山.初一期末）在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少
40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．55° C．20°或 125° D．20°或55°
【答案】C
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40°，所以它们互
补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解析】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：∠B=∠A=x°，x=3x-40解得，x=20，故∠A=20°，
②两个角互补时，如图2：x+3x-40=180，所以x=55，3×55°-40°=125°
故∠A的度数为：20°或125°．故选：C．
【点睛】此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠A与
∠B互补．
8．（2022·上海·七年级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A．当a∥b时，一定有∠1＝∠2 B．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2＝90° D．当∠1+∠2＝180°时，一定有a∥b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理即性质定理求解判断即可．
【详解】解：如图，
A、当a∥b时，∠1＝∠3，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
故A错误，不符合题意；
B、当∠1＝∠2时，且∠1＝∠2＝90°，才有a∥b，
故B错误，不符合题意；
C、当a∥b时，∠1＝∠3，
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
故C错误，不符合题意；
D、当∠1+∠2＝180°时，
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3，
∴一定有a∥b，
故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
9．（2022·河北保定·七年级期末）如图，将长方形纸片ABCD的 沿着GF折叠（点F在BC上，不与
B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若 ， ，则 的度数是
（ ）A．90° B．120° C．100° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得 ，根据 ， ，即可求得
的度数.
【详解】
解：∵将长方形纸片ABCD的 沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内
部点E处，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∠EFH=∠BFE-∠BFH=40°，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了角的计算、折叠的性质、角的倍数关系，熟练根据角的关系进行推理和计算是解题的关键.
10．（2020·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的
位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．【答案】30°．
【分析】根据平角的定义计算出∠DED′=150°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，所以∠DEF=
∠DED′=75°．再由平行线的性质可得∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，即可得
∠EFC=105°，由折叠的性质可得∠EFC=∠EF C′=105°，由此可得∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-
75°30°.
【解析】∵∠AED′=30°，∴∠DED′=180°-∠AED′=180°-30°=150°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠D′EF，∴∠DEF= ∠DED′= ×150°=75°．
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，∴∠EFC=105°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠EFC=∠EF C′=105°，∴∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-75°30°.故答案为30°．
【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的性质，熟练运用折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键.
11．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图，把一个长方形纸片沿 折叠后，点 ， 分别落在 ，
的位置，若 ，则 ’等于__________ ．
【答案】
【分析】先根据两直线平行，内错角相等，由AD∥BC得到∠DEF＝∠EFB＝68°，再利用折叠的性质得到
∠D′EF＝∠DEF＝68°，然后利用平角的定义求解．
【详解】∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝68°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点DC分别落在点D′、C′的位置，∴∠D′EF＝∠DEF＝68°，
∴∠AED′＝180°−∠D′EF−∠DEF＝180°−2×68°＝44°．故答案为44°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，
内错角相等．也考查了折叠的性质．12．（2021·上海市市西初级中学七年级期末）如图，已知 ， ， ，图
中表示AB与CD之间的距离是线段______的长度．
【答案】BC或AD
【解析】
【分析】
由题意易得 ，然后可得 ，进而问题可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ （同旁内角互补，两直线平行），
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴表示AB与CD之间的距离是线段BC或AD的长度．
故答案为BC或AD
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
13．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图， ， 的面积为 ，那么 的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过 作 ，交 的延长线与 ， 的高等于 的长，根据 ，
计算求解即可．【详解】
解：如图，过 作 ，交 的延长线与 ，
，
的高等于 的长，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离．解题的关键在于明确两平行线处处垂线段相等．
14．（2021·上海市风华初级中学七年级期末）如图， // ，点 、 在直线 上，点 、 、 在直线
上，如果 ， 的面积为30，那么 的面积是______．
【答案】20
【解析】
【分析】
由 ，可得出 ．根据 ，即可知 与 的高相等，从而可得出
，即可求出结果．
【详解】
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ 与 的高相等，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查平行线间距离的问题，掌握平行线间的距离处处相等是解题关键．
15．（2021·湖南常德·七年级期末）如图，直线 ， 被直线 所截， ， 于 ，
， ，则 与 间的距离为________ ．
【答案】6
【解析】
【分析】
求出∠EFG＝∠FEG，推出EG＝FG＝6cm，即可得出答案．
【详解】
解：∵EG⊥CD，
∴∠EGF＝90°，
∵∠EFG＝45°，
∴∠FEG＝45°，
∴FG＝EG，
∵FG＝6cm，∴EG＝6cm，
∴AB与CD间的距离为6cm．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了平行线之间的距离公式，熟练掌握性质和概念是解题的关键．
16．（2022·黑龙江·大庆市万宝学校七年级期末）如图，已知BD平分∠ABC，AB＝AD．
(1)AD BC吗？请说明理由；
(2)当∠ABD＝35°，∠DAC＝2∠ABD时，求∠BAC的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)40度
【解析】
【分析】
（1）由 平分 ，得到 ,根据等腰三角形的性质得到 等量代换得到
，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到 ，由平行线的性质得到 ，
由 ，于是根据 得到结论．
(1)
证明： 平分 ，
，
又 ，
，
，
；
(2)
解： 平分 ， ，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握性质并能灵活应用是解题的关键．
17．（2021·河南安阳·七年级期末）如图，已知AC⊥BC于点C，∠B＝70º，∠ACD＝20º．
(1)求证：AB//CD；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC//AD．
【答案】(1)证明见解析
(2)AC⊥AD（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）由题意易求出 ，即可利用同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）由在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可补充条件为：AC⊥AD．（答案不唯
一）
(1)
证明：∵AC⊥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
补充条件：AC⊥AD，
∵AC⊥AD，AC⊥BC
∴BC//AD．故答案为：AC⊥AD．
【点睛】
本题考查垂直的定义，平行线的判定．掌握平行线的判定条件是解题关键．
18．（2022·河南南阳·七年级期末）请完成下面的推理过程：
如图，已知∠D＝108°，∠BAD＝72°，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知）
∴∠D+∠BAD＝180°
∴ （ ）
∴∠1＝ （ ）
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）
∴EF （ ）
∴∠2＝ （ ）
∴∠1＝∠2（ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由直线相交及平行的相关定理性质即可得到答案．
【详解】
解：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知）
∴∠D+∠BAD＝180°
∴ （ 同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1＝ （两直线平行，内错角相等）
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）
∴EF AC（垂直于同一直线的两条直线平行）
∴∠2＝ （两直线平行，同位角相等）∴∠1＝∠2（等量代换）
【点睛】
本题考查直线相交及平行的相关定理性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（2021·江苏淮安·七年级期末）如图，在 中， ，点 是边 上一点，
点 是边 上一点，连接 、 ，若 ， ．
(1)求 的度数：
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)18°
(2) ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出∠BAC=36°，∠B=60°，∠C=84°，再由三角形外角的性质求解即可；
（2）由∠1=18°，∠BAC=36°，得到∠BAD=∠BAC-∠1=18°，可以推出∠BAD=∠2，则 ．
(1)
解：设∠BAC=3x，∠B=5x，∠C=7x，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴3x+5x+7x=180°，
∴x=12°，
∴∠BAC=36°，∠B=60°，∠C=84°，
∵∠1+∠C=∠ADB=102°，
∴∠1=∠ADB-∠C=18°；
(2)
解： ，理由如下：
∵∠1=18°，∠BAC=36°，
∴∠BAD=∠BAC-∠1=18°，
∴∠BAD=∠1，
又∵∠1=∠2，∴∠BAD=∠2，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
20．（2021·天津西青·七年级期末）（1）已知：如图所示，AB∥CD，BC∥DE．求证：∠B+∠D＝180°．
证明：∵AB∥CD
∴∠B＝∠_______（_____________________）
∵BC∥DE（已知）
∴∠C+∠D＝_______°（_____________________）
∴∠B+∠D＝180°．
（2）如图，CD∥EF，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠ACB．
证明：∵CD∥EF，
∴∠______＝∠2（_____________________）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠______＝∠1．
∴______∥CB（_____________________）．
∴∠3＝∠ACB（_____________________）．
【答案】（1）∠C；两直线平行，内错角相等；180；两直线平行，同旁内角互补；（2）∠BCD；两直线
平行，内错角相等；∠BCD；GD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质及等量代换即可证明；（2）由平行线的判定和性质即可证明．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）
∵BC∥DE（已知）
∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠D＝180°．
故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；180；两直线平行，同旁内角互补；
（2）证明：∵CD∥EF，
∴∠BCD＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠BCD＝∠1．
∴GD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠BCD；GD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，
同位角相等．
【点睛】
题目主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握运用平行线的性质定理是解题关键．
21．（2021·河北沧州·七年级期末）如图， ABC中，CD⊥AB于点D，DE BC交AC于点E，EF⊥CD于
点G，交BC于点F．
(1)判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明理由；
(2)若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．
【答案】(1)∠ADE＝∠EFC，理由见解析
(2)42°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可得到结论．
(1)
解：∠ADE＝∠EFC，
理由：∵DE BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵CD⊥AB，EF⊥CD，
∴AB EF，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC；
(2)
解：∵∠ACB＝72°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝48°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝180°－90°－48°＝42°．
【点睛】
此题考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．
22．（2022·四川资阳·七年级期末）如图1，AB CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，
CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
(1)试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ，如图2，当P点在EF的右侧时，
∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．
(2)如图3，EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q，∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交于点Q，∠BEQ ，
1 1 1 2 2
与∠DFQ 的角平分线交于点Q；此次类推，则∠EPF与∠EQ F满足怎样的数量关系？（直接写出结
2 3 2021
果）
【答案】(1)∠EPF＝∠AEP +∠PFC；∠AEP +∠EPF +∠PFC＝360°
(2)①60°，150°；②∠EPF +2∠Q＝360°，理由见解析；③∠EPF + 22022∠EQ F = 360°
2021
【解析】
【分析】
（1）过点P作PH∥AB，利用平行线的性质求解即可；
（2）①先求出∠PEA +∠PFC＝∠EPF＝60°，再根据角平分线的定义及角的和差求解即可；
②过点P作PG∥AB，利用角平分线的定义及平行线的公理和平行线的性质进行求解即可；
③由②即可发现规律，求解即可．
(1)
如下图，过点P作PH∥AB，
AB CD
则∠EPF＝∠EPH +∠FPH＝∠AEP +∠CFP，
如下图，过点P作PH∥AB，∠EPF＝∠EPH +∠FPH
∠AEP +∠EPF +∠PFC＝360°
故答案为：∠EPF＝∠AEP +∠PFC；∠AEP +∠EPF +∠PFC＝360°；
(2)
①由（1）知∠PEA +∠PFC＝∠EPF＝60°，
EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD
∠PFC +2∠6＝180°，∠PEA+2∠5＝180°，
∠5+∠6＝150°，
由（1）得∠5+∠6＝150°＝∠EQF
故答案为：150°；
②∠EPF +2∠Q＝360°，理由如下
如图，过点P作PG∥AB
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PEB=2∠5，∠PFD=2∠6
∵PG∥AB
∴ ∠1=∠2∵ AB∥CD，PG∥AB
∴CD∥PG
∴∠3=∠4
∵∠EPF=∠2+∠3
∴∠EPF=∠1+∠4，
同理∠Q=∠5+∠6
∵∠1+∠PEB=180°，∠4+∠PFD =180°
∴∠1+∠PEB+∠4+∠PFD = 360°
∴∠1+2∠5 +∠4+2∠6 = 360°
∴∠EPF +2∠Q＝360°；
③由②可得 ，此时
，此时
……
，此时
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的公理、平行线的性质等，准确作出辅助线是解题的关键．
