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专题 04 认识一元二次方程
考点一 一元二次方程的定义 考点二 根据一元二次方程的定义求参数的值
考点三 一元二次方程的一般形式 考点四 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值
考点一 一元二次方程的定义
例题：（2022·安徽六安·八年级期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2y﹣3＝0 B．x3﹣x+4＝0
C．（m+1）x2+3x+1＝0 D．2x2＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义逐项判定即可．
【详解】
解：A、x2﹣2y﹣3＝0，含量有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、x3﹣x+4＝0最高次数不是2次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、（m+1）x2+3x+1＝0，当m+1=0，即m=-1时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、2x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，只含量有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫一元二次
方程．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
直接利用一元二次方程的定义逐项分析即可求解．
【详解】
解：A. ，是分式方程，不是一元二次方程，不合题意；
B. ，当a≠0时，是一元二次方程，当a=0，b≠0时，是一元一次方程，不合题意；
C. ，原方程整理得 ，是一元二次方程，符合题意；
D. ，原方程整理得 ，不是一元二次方程，不合题意．
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看
化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（2022·全国·九年级）下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③ ；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x
﹣3）＝x2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的定义一一判定即可．
【详解】
解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③ 不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二
次方程．综上所述，一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整
式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
考点二 根据一元二次方程的定义求参数的值
例题：（2022·全国·九年级）若关于x的方程（c﹣1）x|c|+1+9x﹣4＝0是一元二次方程，则c＝_____．
【答案】
【解析】
【详解】
根据一元二次方程的定义得出 且 ，由此即可得出答案．
【解答】
解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
且 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，掌握理解一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知
数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程）是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级单元测试）已知（m－1） ＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．
【答案】－1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义m-1≠0，且 ，解答即可．
【详解】∵（m－1） ＋3x－5＝0是一元二次方程，
∴m-1≠0，且 ，
∴m-1≠0，且 ，
∴ ，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定
义是解题的关键．
2．（2022·浙江嘉兴·八年级期中）若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值
为________
【答案】2
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义可知二次项系数不为0，未知数x的次数为2，进行计算即可．
【详解】
解：由题意可知： ，
解得： ，
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的定义，需要注意二次项系数不为0．
考点三 一元二次方程的一般形式
例题：（2022·全国·九年级）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（ ）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0【答案】B
【解析】
【分析】
将方程整理为一般形式即可．
【详解】
解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．
故选：B．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
【变式训练】
1．（2022·四川成都·九年级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为
（ ）
A．1，﹣2，﹣4 B．1，2，4 C．1，2，﹣4 D．1，﹣2，4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可．
【详解】
解：方程x2-2x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、-2、-4．
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式及一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项概念，其一般形式
为ax2+bx+c=0（其中a，b，c为常数，且a≠0）,注意：系数要包括项的符号．
2．（2022·全国·九年级）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元
二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做
常数项，进行分析即可．【详解】
解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要掌握二次项系数，一次项系数和常数项的定义，先把
一元二次方程化成一般形式．
考点四 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值
例题：（2022·全国·九年级）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝
_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的
定义确定m的值．
【详解】
解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m＝2，m＝﹣2，
1 2
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）若关于x的方程x2+3x﹣k＝0有一个解是1，则k的值是____．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意，将x＝1代入原方程中，可求k的值．
【详解】
解：依题意，当x＝1时，原方程为1+3﹣k＝0，
解得k＝4．故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义，掌握方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值是解题关键．
2．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）已知 是方程 的一个根，
则 _______．
【答案】2021
【解析】
【分析】
根据 是方程 的一个根，可得 ，再代入，即可求解．
【详解】
解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：2021
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题
的关键．
3．（2022·江苏淮安·一模）已知m是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值是
______．
【答案】12
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到m2+m=6即可求解．
【详解】
∵m为一元二次方程 的一个根．
∴m2+m-6=0，
∴m2+m=6，
即2m2+2m=12，
故答案为：12．【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
一、选择题
1．（2022·江苏·西附初中八年级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2＋3y＝1 B．x2＋3x＝1 C．ax2＋bx＋c＝2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二
次方程．
【详解】
解：A、是二元二次方程，故本选项不合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、当a 0时，是一元二次方程，故本选项不合题意；
D、是分式方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（2022·广东河源·九年级期末）下列方程中，一元二次方程有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．
【详解】解：①3x2+x=20变形得3x2+x-20=0，符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程；
②2x2−3xy+4=0，含量有两个未知数度，所以它不是一元二次方程；
③ax2+bx+c=0，不能确定a是否等于0，所以它不是一元二次方程；
④2x2+ =0，分母中含有未知数，所以它不是一元二次方程；
⑤(x-3)(x-2)=x2，化简后为-5x+6=0是一元一次方程，所以它不是一元二次方程；
⑥x2=3，变形得x2-3=0，符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程；
综上，①⑥共2个是一元二次方程．
故选：B．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．（2022·甘肃陇南·九年级期末）已知关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为
（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．任意实数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：一般地，形如 （a、b、c为常数，a≠0）的整式方程叫做一元二
次方程，进行求解即可．
【详解】
解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．4．（2021·江西九江·九年级期中）如果关于x的一元二次方程 ，有一个解是0，那
么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
【答案】B
【解析】
【分析】
把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项
系数为0．
【详解】
解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
5．（2021·安徽安庆·八年级期末）已知m是一元二次方程 的一个根，则代数式
的值为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到m2+3m=3，再把2m2+6m-5变形为2（m2+3m）-5，然后利用整体代入的
方法计算．
【详解】
解：∵m为一元二次方程x2+3x−3=0的一个根．
∴m2+3m-3=0，即m2+3m=3，
∴2m2+6m-5=2（m2+3m）-5=2×3-5=1．
故选：A．【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二、填空题
6．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）若关于x的方程 是一元二次方程，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方
程）即可得．
【详解】
解：由题意得： ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
7．（2022·河南开封·九年级期末）已知： 是关于x的一元二次方程，则
__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义即得出 且 ，解出m即可．
【详解】
根据一元二次方程的定义可得： ，
解得： ．
故答案为：-3．【点睛】
本题考查一元二次方程的定义．掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是2；二次项
系数不为0是解题关键．
8．（2022·全国·九年级）关于x的一元二次方程 的一个解是1，则 的值是____．
【答案】2021
【解析】
【分析】
把根代入方程，得关于a、b的关系式，然后整体代入即可得出结果．
【详解】
把x＝1代入方程，得 ，即 ．
则原式 ，
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的意义，解题的关键是运用整体代入的思想．
9．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）若 是方程 的一个根，则代数式 的
值是__________.
【答案】15
【解析】
【分析】
利用 是方程 的一个根，得到 ，代入 即可．
【详解】
解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了方程解的定义以及整体代入求值，其中利用方程解的定义求得 是解题的关键．10．（2022·山东烟台·八年级期中）若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则m
的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可知，该一元二次方程的二次项系数 ，且常数项 ，由此可解得 的值．
【详解】
解： 关于 的一元二次方程 的常数项为 ，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数 ， ， 的位置与要求是解决本题的关
键．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级）已知关于x的方程（m﹣ ） ﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝ 或 或±1
(2)m＝﹣
【解析】
【分析】
（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
(1)
解：由题意，得m2﹣1＝1，解得m＝ ，
当m＝ 时，该方程是一元一次方程；
m﹣ ＝0，解得m＝ ，
当m＝ 时，该方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1时，该方程是一元一次方程，
综上，当m＝ 或 或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
(2)
解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣ ≠0，
解得m＝﹣ ，
当m＝﹣ 时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做
一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视
的知识点．
12．（2022·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)m＝1；x＝﹣1
(2)m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1
【解析】
【分析】
（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可；
（2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程．
(1)解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，
则m﹣1＝0且m﹣2≠0，
解得m＝1．
∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0
解得x＝﹣1．
(2)
解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，
此时该方程的二次项系数为m﹣1，
一次项系数为m﹣2，
常数项为﹣2m+1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元
二次方程的相关定义是解决本题的关键．
