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专题 04 整式的除法
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被
除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如：−7a2b4m÷49a2b
2、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商
相加。
即：(am+bm+cm)÷m=am÷m=bm÷m+cm÷m=a+b+c
【经典题型】
考点1 整式的除法
【典例1】（2021秋•朝阳区校级期末）计算：（9x5+12x3﹣6x）÷3x；
【答案】3x4+4x2﹣2
【解答】解：（9x5+12x3﹣6x）÷3x＝3x4+4x2﹣2；
【变式1-1】（2021秋•泉州期末）计算：（2x2y3）•（5xy2）÷（10x2y4）．
【答案】xy
【解答】解：（2x2y3）•（5xy2）÷（10x2y4）
＝10x3y5÷（10x2y4）
＝xy．【变式1-2】（2021秋•黄陂区期末）计算：（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
【答案】4a2﹣2a+1
【解答】解：原式＝4a2﹣2a+1．
【变式1-3】（2021秋•海淀区期末）化简：[（x+3y）（x﹣3y）﹣x2]÷9y．
【答案】﹣y．
【解答】解：原式＝[x2﹣9y2﹣x2]÷9y
＝﹣y．
【变式1-4】（2021秋•伊通县期末）计算：（2a2•8a2+8a3﹣4a2）÷2a．
【答案】8a3+4a2﹣2a．
【解答】解：原式＝（16a4+8a3﹣4a2）÷2a
＝16a4÷2a+8a3÷2a﹣4a2÷2a
＝8a3+4a2﹣2a．
【变式1-5】（2021秋•朝阳区期末）计算：（12a4﹣4a3﹣8a2）÷（2a）2．
【答案】3a2﹣a﹣2．
【解答】解：原式＝（12a4﹣4a3﹣8a2）÷4a2
＝3a2﹣a﹣2．
考点2 整式的混合运算
【典例2】（2022春•东台市期中）计算：
（1）（﹣2a2）3+（﹣4a）2•a4﹣2a8÷a2；
（2）（3x+y）2（3x﹣y）2．
【答案】（1）6a6； （2）81x4﹣18x2y2+y4．
【解答】解：（1）（﹣2a2）3+（﹣4a）2•a4﹣2a8÷a2
＝﹣8a6+16a2•a4﹣2a8÷a2
＝﹣8a6+16a6﹣2a6
＝6a6；
（2）（3x+y）2（3x﹣y）2
＝[（3x+y）（3x﹣y）]2
＝（9x2﹣y2）2
＝81x4﹣18x2y2+y4．
【变式2-1】（2021秋•长垣市期末）化简：（1）（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x）；
（2）（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）．
【答案】（1）2x2﹣3y2．
（2）﹣3x2+x
【解答】解：（1）（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x）
＝4x2﹣4xy+y2﹣3x2+4xy﹣4y2+x2
＝2x2﹣3y2．
（2）（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）
＝2x2﹣3x+4x﹣6﹣5x2+6
＝﹣3x2+x．
【变式2-3】（2021秋•南昌县期末）计算：
（1）3a2•2a4+（3a3）2﹣14a6；
（2）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2．
【答案】（1）a6； （2）4x﹣10．
【解答】解：（1）3a2•2a4+（3a3）2﹣14a6
＝6a6+9a6﹣14a6
＝a6；
（2）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2
＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣1
＝4x﹣10．
考点3 整式的化简求值
【典例3】（2022春•碑林区校级期中）先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）
﹣4y2]÷2y，其中x＝﹣ ，y＝1．
【答案】-4
【解答】解：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣4y2]÷2y
＝（4x2+4xy+y2+y2﹣4x2﹣4y2）÷2y
＝（4xy﹣2y2）÷2y
＝2x﹣y，当x＝﹣ ，y＝1时，原式＝2×（﹣ ）﹣1＝﹣3﹣1＝﹣4．
【变式3-1】（2022春•绿园区校级月考）化简，再求值：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2），其
中x＝﹣3．
【答案】-1
【解答】解：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）
＝x2+2x+1﹣x2+4
＝2x+5，
当x＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）+5
＝﹣6+5
＝﹣1．
【变式3-2】（2022春•淮阴区期中）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式2（x﹣1）2﹣x（x﹣
2）+（3x﹣2）（3x+2）的值．
【答案】0
【解答】解：2（x﹣1）2﹣x（x﹣2）+（3x﹣2）（3x+2）
＝2（x2﹣2x+1）﹣x2+2x+9x2﹣4
＝2x2﹣4x+2﹣x2+2x+9x2﹣4
＝10x2﹣2x﹣2，
∵5x2﹣x﹣1＝0，
∴原式＝2（5x2﹣x﹣1）＝2×0＝0．
【变式3-3】（2022春•大丰区期中）先化简，再求值：4（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3），
其中x＝﹣1．
【答案】41
【解答】解：4（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
＝4（x2﹣4x+4）﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣16x+16﹣4x2+9
＝﹣16x+25，
当x＝﹣1时，原式＝﹣16×（﹣1）+25＝16+25＝41．
【变式 3-4】（2022 春•蜀山区期中）先化简，再求值：[2y（x+2y）+（x+2y）（x﹣
2y）]÷2x，其中x＝﹣2，y＝ ．【答案】﹣ ．
【解答】解：[2y（x+2y）+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x
＝（2xy+4y2+x2﹣4y2）÷2x
＝（x2+2xy）÷2x
＝ x+y，
当x＝﹣2，y＝ 时，原式＝ ×（﹣2）+
＝﹣1+
＝﹣ ．
【变式3-5】（2022•朝阳区一模）已知x2+x﹣3＝0，求代数式（2x+3）（2x﹣3）﹣x（x﹣
3）的值．
【答案】0
【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）﹣x（x﹣3）
＝4x2﹣9﹣x2+3x
＝3x2+3x﹣9，
当x2+x﹣3＝0时，
原式＝3（x2+x﹣3）
＝3×0
＝0．
【典例4】（2021春•宝安区校级月考）先化简后求值：[（a﹣2b）2﹣（a+3b）（a﹣
2b）]÷（﹣5b），其中|a+2|+（b﹣1）2＝0．
【答案】-4
【解答】解：原式＝（a2﹣4ab+4b2﹣a2+2ab﹣3ab+6b2）÷（﹣5b）
＝（﹣5ab+10b2）÷（﹣5b）
＝a﹣2b，
∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴原式＝a﹣2b＝﹣2﹣2＝﹣4．【变式4-1】（2021秋•遂宁期末）先化简后求值：[（a﹣2b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷
（﹣2b），其中|a+2|+（b﹣1）2＝0．
【答案】-8
【解答】解：原式＝（a2﹣4ab+4b2﹣a2+4b2）÷（﹣2b）＝（﹣4ab+8b2）÷（﹣2b）＝
2a﹣4b，
∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝﹣4﹣4＝﹣8．
【变式4-2】（2021秋•渝中区校级期末）化简求值：已知|2x﹣2|+（3y+2）2＝0，求代数式
的值．
【答案】﹣
【解答】解：∵|2x﹣2|+（3y+2）2＝0，
∴2x﹣2＝0，3y+2＝0，解得x＝1，y＝﹣ ，
原式＝﹣x6y3﹣ x3y2+x6y3﹣ xy2
＝﹣ x3y2﹣ xy2
＝﹣ y2x（x2+1）
当x＝1，y＝﹣ 时，
原式＝﹣ y2x（x2+1）＝（﹣ ）× ×1×（1+1）＝﹣ ．
【变式4-3】（2021秋•道里区期末）已知a、b为实数，|a﹣2011|+b2﹣2b+1＝0，求代数式
[（2a+b）2+（2a+b）（b﹣2a）﹣6ab]÷2b的值．
【答案】﹣2010
【解答】解：∵|a﹣2011|+b2﹣2b+1＝0，
∴|a﹣2011|+（b﹣1）2＝0，
a﹣2011＝0，b﹣1＝0，
a＝2011，b＝1，∴[（2a+b）2+（2a+b）（b﹣2a）﹣6ab]÷2b
＝[4a2+4ab+b2+b2﹣4a2﹣6ab]÷2b
＝[﹣2ab+2b2]÷2b
＝﹣a+b
＝﹣2011+1
＝﹣2010．
