专题06一次函数与三角形综合问题（4大题型）（专项训练）（教师版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_专项训练

专题 06 一次函数与三角形综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与三角形的面积问题..............................................................................................................1 题型二、一次函数与三角形全等问题..................................................................................................................6 题型三、一次函数与三角形存在问题................................................................................................................13 题型四、一次函数中折叠的综合问题................................................................................................................19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与三角形的面积问题 1.如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ， 与 轴交于点 ，直线 经过点 ， ，已知 ， ，直线 与 相交于点 ． (1)求直线 的解析式； (2)求 的面积； 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出点 、 的坐标，再根据 ，即可求解． 【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ， 直线 经过点 ， ， ， 解得： ，直线 的解析式为： ； （2）当 时，有 ， 解得： ， ， ， ， 联立： ， 得： ， ， ． 2．如图，直线 与x轴交于点A，与直线 交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)判断 是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1) ， (2) 是直角三角形，理由见解析 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，勾股定理及逆定理，解题的关键是熟练掌握一次函数的性 质及勾股定理及逆定理． （1）由 ，得 ，可得A(5,0)，再联立方程组求得点B的坐标； （2）过点B作 轴于点C，先求得 ， ， ，在 中，由勾股定理得： ，同理可得 ，再用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）由 ，得 ， ∴A(5,0)，由 得 ． ∴ ； （2） 是直角三角形，理由如下： 如图，过点B作 轴于点C， ∵点A，B的坐标分别为 ， ， ∴ ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 同理： ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ 是直角三角形． 3．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是 的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得 ，求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3) 或【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标． （2）先根据题意求出 ，设点 ，则 ，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的 值，即可得出点D的坐标． （3）设点P的坐标为 ，根据 ，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线 与y轴交于点B， 令 得， ， ∴ ， ∴ ， ∵点C是 的中点， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵直线 与x轴交于点A， 令 得， ， ∴A(−2,0)， ∴ ， ∴ ， 设点 ，则 ， ∴ ， 解得 或 ， ∴点D的坐标为 或 ； （3）解：设点P的坐标为 ， ∵ ，即 ， ， ，即 点 的坐标为(0,2)或 ． 4．如图，已知直线 与坐标轴分别交于A， 两点，与直线 交于点 ．(1)若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标； (2)若点 在直线 上，点 横坐标为 ，且 ，过点 作直线平行于 轴，该直线与直线 交于点 ，且 ，求点 的坐标． 【答案】(1)P的坐标为 或 (2)点M的坐标为 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与几何的综合等知识点，表示出点的坐 标是解题的关键． （1）根据题意求得 的长，从而求得 ，即可确定点P的坐标； （2）根据题意可得 ，进而得到 可求得m的值，最后确定点M 的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线 与坐标轴跟别交于A，B两点， ∴当 时， ；当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∵点P在y轴上，且 ， ∴ ， ∴P的坐标为 或 ． （2）解：∵点M在直线 上，点M横坐标为m，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴点M的坐标为 ． 题型二、一次函数与三角形全等问题 5．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线 于点A．若点C是射线 上的 一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与 全等，则 的长为（ ） A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质、用 勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨 论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到 ，则 ，令 ，则 ，求得 ， ， 根据勾股定理得到 ，①当 时，如图1，②当 时，如图2，根据全等三角 形的性质即可得到结论． 【详解】解： ， ， ， ， 在 中， 令 ，则 ，令 ，则 ， ， ，由勾股定理得 ， ①当 时，如图1，， ， ； ②当 时，如图2， ， ， ， 综上所述： 的长为 或4． 故选：D． 6．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线 于点A．若点C是射线 上的 一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与 全等，则点D的坐标为 ． 【答案】 或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出 两点的坐标，进而求出 的长，分 或 两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解， 是解题的关键．【详解】解：当 时， ， ∴点B的坐标为(0,2)， ∴ ， 当 时， ， 解得： ， ∴点A的坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 如图所示， ∵ ， ， ∴ ， 当以C、D、A为顶点的三角形与 全等时，共有 或 两种情况， 当 时， ， ∴点D的坐标为 ，即 ； 当 时， ， ∴点D的坐标为 ． 综上所述，点D的坐标为 或 ． 故答案为： 或 ． 7.如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 于点C，点P在直线 上 运动，点Q在y轴的正半轴上运动．(1)求点A，B的坐标； (2)求 的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与 全等，求点Q的坐标． 【答案】(1) ， ； (2) (3)Q的坐标为 或 或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、 用勾股定理解三角形 【分析】（1）将 和 分别代入 求解即可； （2）首先根据点A和点B的坐标得到 ，然后利用勾股定理求出 ，然后利用 代入求解即可； （3）首先根据题意得到 是 的斜边，Q为直角顶点，然后设 ，则 ， 然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在 中，令 得 ，令 得 ， ∴ ， ； （2）由（1）知 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与 全等， ∴ 是 的斜边，Q为直角顶点，设 ，则 ， 当 ，P在C下方时，如图： 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 ，P在C上方时，如图： ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 时，如图：则 ， ∴ ； 综上所述，Q的坐标为 或 或 ． 【点睛】此题考查了一次函数与三角形综合题，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知 识点． 8．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)． (1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点 F．求点E的坐标； (2) AOB与△FOD是否全等，请说明理由； (3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标． △ 3 3 【答案】(1)E（ ， ） 2 2 (2)△AOB≌△FOD，理由见详解； 13 7 (3)P（0，-3）或（4，1）或（ ， ）. 2 2 【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的 坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可； (2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD； (3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时， ③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答. (1)解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H， 当y=0时，-3x+3=0， 解得x=1， ∴A（1，0）， 当x=0时，y=3， ∴OB=3，B（0，3）， ∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3， ∴D（-3，0）， ∵点E到两坐标轴的距离相等， ∴EG=EH， ∵EH⊥OC，EG⊥OC， ∴OE平分∠BOC， ∵OB=OC=3， ∴CE=BE， ∴E为BC的中点， 3 3 ∴E（ ， ）； 2 2 (2) 解: △AOB≌△FOD， 设直线DE表达式为y=kx+b， 3kb0  则3 3 ， kb  2 2  1 k  解得： 3，  b1 1 ∴y= x+1， 3∵F是直线DE与y轴的交点， ∴F（0，1）， ∴OF=OA=1， ∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°， ∴△AOB≌△FOD； (3) 解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3）， ∴点G（0，-3）， ∵C（3，0）， 设直线GC的解析式为：y=ax+c， c3  ， 3ac0 a1 解得： ， c3 ∴y=x-3， AB= 3212 = 10 ， 设P（m，m-3）， ①当AB=AP时， m12m32 = 10 整理得：m2-4m=0， 解得：m1=0，m2=4， ∴P（0，-3）或（4，1）， ②当AB=BP时， 10 = m2m332 m2-6m+13=0, △＜0 故不存在， ③当AP=BP时， m12m32 = m2m332 ， 13 解得：m= ， 2 13 7 ∴P（ ， ）， 2 2 13 7 综上所述P（0，-3）或（4，1）或（ ， ）， 2 2【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理. 题型三、一次函数与三角形存在问题 9.如图，在平面直角坐标系中，将直线 向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴 分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形，请求出符合条件 的所有点M的坐标． 【答案】(1) ， ， (2) 或 或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、几何问题(一次函数的实际应用)、 等腰三角形的定义 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令 求A点坐标， 求B点坐标； （2）分 ， 两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线 向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为 ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ， ∴ ， ； （2）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 设 ，当 时， ， 解得 或 ， ∴M的坐标为 或 ； 当 时， ∵ ， ∴ ， ∴M的坐标为 ； 综上，M的坐标为 或 或 ． 10．如图，过点 的直线 与坐标轴相交于 、 两点，已知点 是第二象限的点，设 的面积为 ． (1)写出 与 之间的函数关系，并写出 的取值范围； (2)当 的面积为 时，求出点 的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点 ，使得 与 、 、 中任意两点形成的三角形面积也为 ， 若存在，请直接写出点 的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）先求出点A坐标，由 可求函数关系式， （2）将 代入函数解析式可求得点 ； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点 在第二象限，则 因为 当 时，x ，则（ ) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为 ， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为 ， II．当M点在y轴时，若 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为 ， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为 ； III．当M点在y轴时，若 ，即 ， ， ∴ ，∴当点M在点B上方时，点M坐标为 ， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为 ， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为 ，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵点A坐标为 ， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为 ， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类 讨论的数学思想． 11．如图，已知点 是正方形 的一个顶点，E是AB的中点，点P是直线CE上一点． (1)求点E的坐标和直线 的解析式； (2)若 的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线 在第一象限的一个动点，连接 ，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在， 请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为 ，直线 的解析式为(2) 或 (3) 或 或 【知识点】坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定 理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为 ，利用 列方程解题； （3）设点P的坐标为 ，分为 ， 和 三种情况，利用勾股定理计算即 可解题． 【详解】（1）解：∵点 是正方形 的一个顶点， ∴ ， ∵E是AB的中点， ∴ ， ∴点E的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ， 则 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ， （2）解：设点P的坐标为 ， ∴ ， 解得： ， 当 时， ； 当 时， ； ∴点P的坐标为 或 ； （3）解：设点P的坐标为 ， 当 时， ，解得： ， ， ∴点P的坐标为 或 （舍去）；当 时， ，即 ，解得 ， ∴点P的坐标为 ； 当 时， 解得： （舍去）或 ， ∴点P的坐标为 ； 综上所述，点P的坐标为 或 或 ． 题型四、一次函数中折叠的综合问题 4 12．如图，直线y x8与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 是线段 上的一点，若将 沿 3 x y B A C OA  ABC BC 折叠，点A恰好落在x轴上的A处，若P是 y 轴负半轴上一动点，且 BCP是等腰三角形，则P的坐标为 ______． 9 【答案】0,3或 0,33 5 或 (0, 2) 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用勾股定理可求出AB的长度，进 而可得出OA的长度，设OC m，则在Rt△AOC中，利用勾股定理即可得出关于m的方程，解之即可得 出m的值，进而可得出点C的坐标，进一步求得BC，然后分三种情况讨论求得P点的坐标即可． 【详解】当x0时， y8， 点 A 的坐标为 0,8 ； 4 当 时， x80，解得： ， y0 3 x6 点 B 的坐标为 6，0 ． AB 8262 10． 由折叠的性质可得AB AB，AC  AC， OA4． 设OC m，则AC  AC 8m．在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2 OC2OA'2 ，即(8m)2 42m2， 解得：m3， 点C的坐标为0，3， BC  6232 3 5， 当BC BP时， ∵OBPC， ∴点O是PC的中点， ∴P0，3 ；   当BC CP3 5时，则P 0,33 5 ； 当CPBP时，设P0,n ，则BPCP3n， 9 ，解得n ， (3n)2 62n2 2 9 此时 ；  P(0, 2) 9 综上， P 点的坐标为0,3或 0,33 5 或 (0, 2) ； 9 故答案为：0,3或 0,33 5 或 (0, 2). 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质以及勾股定理，等腰三角形的定义，在 Rt△AOC中，利用勾股定理找出关于m的方程是解题的关键． 4 13．如图，直线y x4与 轴、 轴分别相交于点 ， ，点 在 轴上，将 沿 折叠，点 3 x y A B C y  AOC AC O恰好落在直线AB上，求点C的坐标．  3 【答案】  0, 2   或0,6 【分析】由题意可求点A，点B坐标，即可求得AB，分点C在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股 定理可求点C坐标． 【详解】解：如图，若点C在正半轴上，将 AOC沿AC翻折，点O恰好落在直线AB上O点处， 4 ∵直线y x4与 轴、 轴分别相交于点 ， ， 3 x y A B4 当 时， x40，得： ， y0 3 x3 4 当 时，y 044， x0 3 ∴A3,0 ，B0,4 ， ∴OA3，OB4， ∴AB OA2OB2  3242 5， ∵将 AOC沿AC翻折，点O恰好落在直线AB上O点处， ∴OAOA3，AOC AOC 90，OC OC， ∴OB ABAO532， 在Rt△BCO中，BC2 OB2OC2， ∴4OC2 22OC2， 3 ∴OC ， 2  3 ∴C0, ；  2 如图，若点C在负半轴上，将 AOC沿AC翻折，点O恰好落在直线AB上O点处， ∴AO AO3，AOC AOC 90，COCO， ∵AB5， ∴BO ABAO538， 在Rt△BCO中，BC2 OB2OC2， ∴4OC2 82OC2， ∴OC 6， ∴C0,6 ；  3 综上所述，点 C 的坐标是  0, 2   或0,6．【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标，勾股定理，折叠的性质，运用了分类讨论的思想． 熟练运用折叠的性质是解题的关键． 14.如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点 和点B，M是 上一点，若将 沿 折叠，则点 恰好落在 轴上的点 处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求 的面积． 【答案】(1) ， (2) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解 是解题的关键： （1）分别令 ，求出A、B的坐标即可； （2）设 ，勾股定理求出 的长，等积法求出 的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当 时， ，当 时， ，解得 ， ∴ ， ；（2）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵翻折， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则： ， ∴ ， 解： ， ∴ ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线yx4与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由； (3)若将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕BC所在直线的表达式． 【答案】(1)A(4,0)，B(0,4)； (2)存在，P点坐标为(2,2)； (3)折痕BC的解析式为y(1 2)x4． 【分析】（1）利用直线解析式，容易求得A、B的坐标； （2）作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P，则P点即为所求，可求得E点坐标，则容 易求得P点坐标； （3）可设C(t,0)，由折叠的性质可得到CDt，AC4t，在RtACD中，由勾股定理可得到关于t的方程， 可求得t的值，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式． 【详解】（1））在yx4中，令x0可得y4，令y0可求得x4，A(4,0)，B(0,4)； （2）如图1，作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P， 则OPPA，即P点即为满足条件的点，  OA4， OE2， 在yx4中，当x2时，可得y2， P点坐标为(2,2)； （3）如图2， 设C(t,0)，则ACOAOC4t，  OAOB4， AB4 2， 由折叠的性质可得BDOB4，CD=OC =t，ADC BOC 90， ADABBD4 24， 在RtACD中，由勾股定理可得AC2  AD2CD2，即(4t)2 t2(4 24)2，解得t4 24， C(4 24，0)， 设直线BC解析式为ykxb， b4 k 1 2  ，解得 ， (4 24)kb0 b4 折痕BC的解析式为y(1 2)x4．一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数 的图象与坐标轴所围成的三角形面积 是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解 析式是解答此题的关键．结合一次函数 的图象可以求出图象与 轴的交点 以及 轴的交 点 ，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：∵在 中，令 ，则 ， 解得： ， 令 ，则 ， ∴一次函数 的图象与 轴的交点 ，与 轴的交点为 ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若一次函数 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，则 为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求出函数与坐标轴的交点，根据面积 可得 到关于k的方程，即可得出k的值． 【详解】解：当 时， . 当 时， ， ∴ .∴函数与x轴的交点为 ，与y轴的交点为 ， ∵与两坐标轴围成的三角形面积为3， ∴ ， 解得 ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，直线 上三点A，B，C的横坐标依次为 ，1，2， 分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键． 分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：∵直线 上三点A，B，C的横坐标依次为 ，1，2， 点A横坐标为 ，代入直线方程得纵坐标 ； 点B横坐标为1，代入得 ； 点C横坐标为2，代入得 ； 记直线 与y轴的交点为 ，如图， 点A形成的三角形面积： ；点B形成的三角形面积： ； 点C形成的三角形面积： ， ∴这三个三角形的面积之和为3． 故选：B． 二、填空题 4．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数 的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则 的值 为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关 键．分别令 和 可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在 中，令 ，可得 ， 令 ，可得 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 整理可得 ， ∴ 或 ， 故答案为：2或 ． 5．（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，直线 的解析式为 分别与 ， 轴交于 ， 两点， 点 的坐标为 ，过点 的直线交 轴负半轴于点 ，且 ．在 轴上方存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，则点 的坐标为 ． 【答案】 或【分析】求出 、点 ，分点 在 轴右侧、点 在 轴左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】解：将点 的坐标代入函数表达式得： ， 解得： ， 故直线 的表达式为： ， 则点 ， ，则 ， 即点 ； ①如图，当点 在 轴右侧时， 点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，则四边形 为平行四边形， 则 ，则点 ， ②当点 在 轴左侧时， 则 ，则点 、 到 的距离相等， 则直线 ， 设直线 的表达式为： ， 将点 代入上式得 ，解得： ， 直线 的表达式为： ， 设点 ， ， ， 为顶点的三角形与 全等， 则 ， 解得： ， 故点 ； 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运 用等，并注意分类求解，题目难度较大． 6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，射 线 于点 ，若点 是射线 上一动点，点 是 轴上的一动点，若以 ， ， 为顶点的三角 形与 全等，则点 的坐标为【答案】 或 【分析】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，熟练掌握求一次函数与坐 标轴交点的方法，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 首先求出点 ，点 ，则 ， ，当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时， 有以下两种情况：①当 时，先证 ，当 ，则 ， ，则 ，据此可得点 的坐标；② 时，过点 作 于 ，由于 ，因此当 时， ， ，由勾股定理求出 ，再由三 角形的面积公式求出 ，进而再求出 ，据此可得点 的坐标． 【详解】解：对于直线 ，当 时， ，当 时， ， 点 ，点 ， ， ， 当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时， 则以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形， 因此有以下两种情况： ①当 时，如图 所示： ， ， ， ， ， 当 时， ， ， ， 点 的坐标为 ； ② 时，如图 所示：过点 作 于 ，由①知 ， 当 时， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 由三角形的面积公式得： ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ， 点 的坐标为 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ． 故答案为： 或 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，直线 的表达式为 ，且与x轴交于点A，直线 的表达式为 ，且与 轴交于点 ，直线 ， 交于点C．(1)求A、C两点的坐标； (2)求三角形 的面积； (3)在直线 上存在一点P，使得 ，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数与坐标轴的交点，准确求出交点的坐标为解题关键． （1）根据直线与坐标轴的交点坐标特点求出交点坐标即可； （2）过点C作 轴，求出两直线交点坐标，利用三角形面积公式进行求解即可； （3）设点 ，如图过点P作 轴，表示出 ，结合已知求出b的值，代入 求出a的值即可． 【详解】（1）解：直线 与x轴交于点A， ， ， ， 直线 ， 交于点C ， 解得： ， ； （2）如图，过点C作 轴，， ， ， ； （3）设点 ，如图过点P作 轴， ， ， ， ， ， 或 当 时， ，解得： ， 当 时， ，解得： ， 或 ． 8．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点．(1)求 、 的长； (2)已知点 ，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与 全等？若存在，请 直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，利用图象与坐标轴交点求法分别得 出即可； （2）根据全等三角形的判定，以及 的长度，得出对应边关系求出即可． 【详解】（1）解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当 ，则 ； 当 ，则 ， ∴A点坐标为： ，B点坐标为： ； ∴ ； （2）解： ， ， ，点D在x上； ， ， 点的坐标为 或 ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及一次函数与坐标轴交点坐标求法，找准D、C、O 为顶点的三角形与 对应顶点是解题关键． 9．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是 的中点．(1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得 ，求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标． （2）先根据题意求出 ，设点 ，则 ，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的 值，即可得出点D的坐标． （3）设点P的坐标为 ，根据 ，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线 与y轴交于点B， 令 得， ， ∴ ， ∴ ， ∵点C是 的中点， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵直线 与x轴交于点A， 令 得， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设点 ，则 ，∴ ， 解得 或 ， ∴点D的坐标为 或 ； （3）解：设点P的坐标为 ， ∵ ，即 ， ， ，即 点 的坐标为 或 ． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图， ， 满足 ． (1)直接写出直线 的解析式为______； (2)如图1，已知 ，D为直线 上一点，若 ，求点D的坐标； (3)如图2，点P为线段 上一点，过P作 ，交y轴于点Q，若直线 将三角形 的面积分割 为3∶5的两个部分，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)： 或 (3)点P的横坐标为 或 【分析】本题考查的是非负数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质， 利用平方根的含义解方程，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. （1）根据非负数的性质先求解 ，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）如图，过 作 于 ，交 轴于 ，作 关于 轴的对称点 ，连接 交直线 于 ，可 得 ，证明 ， ，可得 ， ，同理可得 直线 为 ，直线 为 ，再求解函数的交点坐标即可；（3）如图，设直线 为 ，求解 ，可得 ，由 ，求解点P的横坐标 为 ，结合 ，直线 将三角形 的面积分割为3∶5的两个部分，可得 或 ，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， 解得： ， 即点 的坐标分别为 ， 设直线 为 ， 将点 的坐标代入一次函数表达式 得： ，解得： ， 故直线 的表达式为： （2）解：如图，过 作 于 ，交 轴于 ，作 关于 轴的对称点 ，连接 交直线 于 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 同理可得直线 为 ，直线 为 ，∴ ，解得： ， ∴ ； 同理： ，解得： ， ∴ ， 综上： 或 ； （3）解：如图， ∵ ， ， ∴ ， ∵直线 为 ， ∴设直线 为 ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，解得 ， ∴点P的横坐标为 ， ∵ ，直线 将三角形 的面积分割为 的两个部分， ∴ 或 ，∴ 或 ， 解得： 或 ， ∴ 或 ； ∴点P的横坐标为 或 ； 11．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知函数 的图象与y轴交于点A，一次函数 的图 象经过点 ，与 x轴以及 的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为 ． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形 的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说出理由． 【答案】(1) ， ， (2) (3)存在，点P的坐标为 或 【分析】（1）对于直线 ，令 求出 的值，确定出 的坐标，把 坐标代入 中求出 的值，再将 坐标代入 求出 的值，进而将 坐标代入求出 的值即可； （2）过 作 垂直于 轴，如图1所示，四边形 面积等于梯形 面积减去三角形 面积， 求出即可； （3）在 轴上存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑： ① ；② ，分别求出 坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线 ，令 ，得到 ，即 ， 把 代入 中，得： ， 把 代入 得： ，即 ， 把 坐标代入 中得： ，即 ； （2）解：过 作 轴，垂足为 ，如图1所示，由（1）可知：一次函数 的解析式为 ， ∴令 ，则有 ，解得： ， ∴ ， ， ； （3）解：如图2所示，设 ， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当 时， ， ， ， ；②当 时，由 横坐标为1，得到 横坐标为1， 在 轴上， 的坐标为 ， 综上， 的坐标为 或 ． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质， 待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中， ，且 满足 ，连接 交 轴于点C， 在 轴的负半轴上，过点 作直线 的平 行线交 轴于点 ． (1)求 的值； (2)如图1，若 轴上存在一点 ，使得三角形 的面积为8，求出点 的坐标； (3)如图2，点 为直线 上一点，使得 ．且点 在第二象限（ 表示三角形 的面 积） ①求点 的坐标；（提示：可以去思考一下 与 面积的关系 ②求点 的坐标（用含 的式子表示）． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 或 (3) 【分析】本题考查了非负数的性质、一次函数的斜率与解析式、三角形面积的计算以及坐标与图形的性质． 解题的关键是利用非负数的性质求出点的坐标，通过平行线斜率相等确定直线解析式，结合坐标法计算三 角形面积并建立等量关系求解未知点坐标． （1）根据平方数和算术平方根的非负性，列出关于a、b的方程组并求解； （2）设出点P的坐标，利用三角形面积公式（以y轴上的线段为底，另一点横坐标绝对值为高）建立方程， 求出P的坐标； （3）①先求出直线 的斜率，利用平行线斜率相等得到直线 的解析式，进而求出与y轴交点D的坐 标；②求出 的面积，根据面积关系列出关于点Q坐标的方程，结合直线 的解析式表示出Q的坐标． 【详解】（1）解： 且 ， ∴ , 解方程组：两式相加得 ，得 ，将 代入 ，得 ，则 ． ∴ ， ； （2）解：由（1）知 ， ，设 在y轴上）． 的长度为 ， 点B到y轴的距离为4， ∵ ， ， 即 ， 解得 或 ， ∴点P的坐标为 或 ． 答：点P的坐标为 或 ； （3）①解 ， ，设直线 的解析式为 ． ∴ 解得： ， ∵ ，故设直线 方程为 ，将点 代入求得 ， ∴直线 的解析式为 ， 令 ，得 ， ∴点D的坐标为 ． ②解：由①知 ， ， ， ． ， ． 直线 的解析式为 ， 设 ．， ∴ ， 代入直线 解析式得 ， ∴点Q的坐标为 ．