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专题 08 一线三角型
【基本模型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
【例题精讲】
例1.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
(1)求证： ABE∽△ECD；
(2)若AB＝△4，AE＝BC＝5，求CD的长．
例2．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若
， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结
CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【变式训练1】如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结
AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）当△CEF的面积最大时，求EC．
【变式训练2】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，
BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
【变式训练3】如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF
于点J，当 ＝ 时，求 ；
（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当 ＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝ ．
【课后训练】
1．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB ，P是AD边上一动点，沿
过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点 处，当 是直角三角形时，PD的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
2．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E
逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________， CEF
面积的最小值是 ________． △
3．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一点，连接 ，将 沿 折叠使点落在 点，连接 并延长交 于点 ，连接 ．若 是以 为腰的等腰三角形，则 的长为
________．
4．等边 ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕
P点旋转△．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断 EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图△2，求 EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，△求PE的长．
5．【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，
CF，延长CF交AD于点G．（1）求证： ．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若 ， ，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ，
，求 的值（用含k的代数式表示）．
6．在 中与 中， ， ，将
绕点 顺时针旋转，连接 ，点 分别是 的中点，连接 ．（1）观察猜想
如图1，当点 与点 重合时， 与 的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）类比探究
当点 与点 不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，
请说明理由．
（3）问题解决在 旋转过程中，请直接写出 的面积的最大值与最小值．
7．已知正方形 的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边 、 的
延长线交于点E、F，连接 ．设 ．（1）如图1，当 被对角线 平分时，求a、b的值；
（2）当 是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索 绕点A旋转的过程中， 的面积是否发生变化？请说明理由．
8．如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG
分别交CD、BC于点F、G．
（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．
（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG的大小是否发生变
化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．
（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，
并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．
（4）如图3，连接CE交FG于点H，若 ，请求出CF的长．
9．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G
点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，
①求证：EF＝EG；
②求AF的长．
（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且
BG＝10时，求AF的长．
