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专题08 一次函数（三）
考点1：待定系数法求一次函数的表达式
例1．若正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为 ．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）直接写出方程组 的解；
（3）在一次函数 的图象上是否存在点 ，使的 的面积为2，若存在，求出点 坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】见详解
【分析】（1）先求出 点的纵坐标，把 点的坐标代入 ，求出 即可；
（2）根据方程组的特点和 点的坐标得出答案即可；
（3）设直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，则 ， ，求出 和
的面积，分为两种情况：①当 点在第一象限时，则 ，②当 点在第三象限时，则
，根据三角形的面积求出 点的纵坐标或横坐标，即可求出答案．
【详解】解：（1）将 代入 ，得 ，则点 坐标为 ，
将 代入 ，得 ，解得： ，所以一次函数的解析式为 ；
（2） 方程组 的解为 ， 方程组 的解为 ；
（3）设直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，则 ， ，， ，
①当 点在第一象限时，则 ，设 的横坐标为 ， ，
解得： ，即点 的横坐标是1，把， 代入 得： ， ；
②当 点在第三象限时，则 ，设 的纵坐标为 ， ，解得： ，
即点 的纵坐标是 ，把 代入 得： ， ，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二次一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函
数的解析式，三角形的面积等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．
例2．如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，过点
作直线 将 分成周长相等的两部分，则直线 的函数表达式为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，直线 把 分成周长相等的两部分，则 ，利用直线 的解析式
求出 ， ，则 ，则利用 可求出 ，所以 ，然后利用
待定系数法求直线 的解析式即可．
【详解】解：如图，直线 把 分成周长相等的两部分，则 ，
当 时， ，则 ， ，当 时， ，解得 ，则 ，
， ， ， ，解得 ，
，设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ．故选： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，
先设 ；再将自变量 的值及与它对应的函数值 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方
程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上
点的坐标特征．
【练习1】已知一次函数的图象与直线 平行，且过点 ，那么一次函数的表达式是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行可得 ，再把 代入解析式即可得出答案．
【解答】解：设一次函数的表达式 ， 一次函数的图象过点 ， ，
一次函数的图象与直线 平行， ， ， ， ，故选： ．
【点评】本题考查了两直线相交和平行，掌握两直线平行时 的值相等是解题的关键．
【练习2】一次函数图象与直线 交于点 ，且与直线 无交点，则这个一次函数的表
达式为 ．
【答案】
【分析】由题意设这个一次函数的解析式为 ，再把点 的坐标求出来，代入解析式及可以求
出 值，就可以求出其解析式．
【详解】解： 点 在 上， ， 这个一次函数图象与直线 无交点，
这两个一次函数的解析式比例系数 的值相等，为3．设这个一次函数的解析式为 ，由题意得
，解得 ． 这个一次函数的解析式为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了两条直线相交和平行的问题，涉及了在直线上的点能使解析式成立，由待定系数法求一次函数的解析式．
【练习3】如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，过点 的直线 平分
的面积，则直线 相应的函数表达式为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由一次函数 求得 、 的坐标，根据题意求得 的坐标，然后根据待定系数法即可求
得．
【详解】解： 一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，
令 ，则求得 ，令 ，求得 ， ， ，
过点 的直线 平分 的面积， ， ，设直线 的解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ，故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得 点的坐标是
解题的关键．
【练习4】一次函数 的图象经过点 ，且与正比例函数 的图象交于点 ．
（1）求点 的坐标；（2）求一次函数的表达式；
（3）看图直接说出关于 为未知数的不等式 的解集．
【答案】见详解【分析】（1）把 代入正比例函数的解析式即可求得纵坐标，即可得到 的坐标；
（2）根据待定系数法即可求得；
（3）根据图像即可求得．
【详解】解：（1）把 代入正比例函数 得， ， ；
（2） 一次函数 的图象经过点 ， ， ，解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（3）观察图像可知，不等式 的解集为 ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关
键．
考点2：一次函数与一元一次方程
例3．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：
（1）方程kx+b=0的解；
（2）式子k+b的值；
（3）方程kx+b=-3的解．
【答案】（1）x=2；（2）-1；（3）-1.
【分析】试题分析：（1）直线与x轴交点的纵坐标是0；（2）利用待定系数法求得k、b的值；
（3）根据图形直接得到y=-3时x的值．
【详解】（1）如图所示，当y=0时，x=2．故方程kx+b=0的解是x=2；
（2）根据图示知，该直线经过点（2，0）和点（0，-2），则 ，解得 ，
故k+b=1-2=-1，即k+b=-1；
（3）根据图示知，当y=-3时，x=-1．故方程kx+b=-3的解是x=-1．例4．如图，直线 与直线 相交于点P(a，2)，则关于x的方程 的
解为 _______ ．
【答案】x=1
【分析】根据一次函数图像的交点即为方程的解即可解题．
【详解】由函数图像的几何意义可知，函数图像的交点横坐标即为方程x+1＝mx+n的解，
∴y=2代入y=x+1，解得：x=1，即两条直线的交点为（1，2），故答案为：x=1．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和交点问题，熟悉一次函数图像交点的含义是解题关键．
【练习5】如图所示，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x=（
）
A．1 B．0 C．-4 D．-5
【答案】D
【分析】方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标．
【详解】由图知：直线y=kx+b与x轴交于点(-5，0)，即当x=-5时，y=kx+b=0；
因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=-5，故选D.
【点睛】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一
次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答．
【练习6】若一次函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的解是______．
【答案】【分析】根据一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标即为对应方程的解.
【详解】解：∵一次函数y=kx+b与x的交点坐标是（2，0），∴关于x的方程kx+b=0的解是：x=2.
故答案为2.
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标即为对
应方程的解是解答本题的关键.
【练习7】直线 过点 ，则方程 的解是______．
【答案】
【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【详解】方程ax＋b＝0的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax＋b过B（−3，0），∴方程ax＋b＝0的解是x＝−3，故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 （a，b为常数，
a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从
图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【练习8】如图，已知一次函数 图象，关于x的方程 的解为______________．
【答案】 .
【分析】直接根据图象找到 的自变量的值即可．
【详解】解：观察图象知道一次函数 、 为常数，且 的图象经过点 ，
所以关于 的方程 的解为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，能结合图象确定方程的解是解答本题的关键．
【练习9】已知一次函数y=kx+1与y=- x+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b=0的解．
【答案】x=﹣3．【分析】首先将（2，5）点代入一次函数解析式求出k，b的值，进而解方程得出答案．
【详解】∵一次函数y=kx+1与y=- x+b的图象相交于点（2，5），∴5=2k+1，5=﹣ ×2+b，
解得：k=2，b=6，则kx+b=0为：2x+6=0，解得：x=﹣3．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确得出k，b的值是解题关键．
考点3：一次函数的实际应用--方案问题
例5．为了优化环境，将对某一小区环境进行绿化，现有甲、乙两家绿化公司进行了投标，各自推出了绿
化收费方案如下：甲公司绿化费用 （元 与绿化面积 （平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司：绿化面积不超过1000平方米时，统一收取费用5000元；绿化面积超过1000平方米时，超过部分
每平方米收取3元．
（1）求甲、乙公司绿化费用 （元 与绿化面积 （平方米）的函数表达式；
（2）如果该小区目前的绿化面积是1500平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的绿化费用较少？
【答案】见详解
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得甲公司绿化费用 （元 与绿化面积 （平方米）
的函数表达式，再根据题意，即可写出乙公司绿化费用 （元 与绿化面积 （平方米）的函数表达式；
（2）将 代入（1）中相应的函数关系式，然后比较大小即可解答本题．
【详解】解：（1）设甲公司 关于 的函数表达式为 ，
函数图象经过 ， ， ，解得 ，
即甲公司 关于 的函数表达式为 ；由题意可得，当 时， ，当 时， ，
由上可得， ；
（2）当 时， ，当 时， ，
， 选择乙公司绿化费用较少．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用数形结合
的思想解答．
【练习10】如图所示，是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y(元)与通话时间x(分)之间的函数关
系．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上，那么选
择________种业务合算．
【答案】甲．
【分析】根据函数图象可以分别求得甲、乙两种业务对应的函数解析式，从而可以求得两种花费相同情况
时的时刻，然后再根据函数图象即可解答本题．
【详解】设乙种业务对应的函数解析式为y＝kx，则50k＝10，得k＝0.2，
即乙种业务对应的函数解析式为y＝0.2x，设甲种业务对应的函数解析式为y＝ax＋b，
解得
即甲种业务对应的函数解析式为y＝0.1x＋10，∴令0.2x＝0.1x＋10，得x＝100，
即当通话时间为100分钟时两种业务花费一样多，
由图象可知，当通话时间在100分钟以上，甲种业务比较合算，故答案为甲．
【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，熟练掌握一次函数是解题的关键.
【练习11】甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用 （元 与绿化面积 （平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每
月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的 与 的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养
护费用较少．
【答案】见详解
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；
【详解】解：（1）设 ，则有 ，解得 ， ．
（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为 元，
选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的
关键．
考点4：一次函数的实际应用--行程问题
例6．爷爷和他的孙子小明星期天一起去爬山．来到山脚下，小明让爷爷先上山，然后追赶爷爷，如图所
示，两条线段分别表示小明和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（小明开始爬山时
开始计时），请看图回答下列问题：
（1）爷爷比小明先上了 米，山顶离山脚 米．
（2）写出图中两条线段的交点表示的实际意义 ．
（3）小明在爬山过程中何时与爷爷相距20米？
【答案】（1）100，450；（2）小明爬山10分钟时，正好追上爷爷；（3）小明在爬山过程中第8分钟和第12分钟时与爷爷相距20米．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到爷爷比小明先上了多少米，再根据小明10分钟上了300
米，15分钟到达山顶，可以求得山顶离山脚的距离；
（2）根据题意和函数图象中的数据，可以写出图中两条线段的交点表示的实际意义；
（3）根据函数图象中的数据，可以得到小明和爷爷对应的函数解析式，然后即可得到相应的方程，从而
可以得到小明在爬山过程中何时与爷爷相距20米．
【详解】解：（1）由图象可得，爷爷比小明先上了100米，
山顶离山脚300÷10×15＝450（米），故答案为：100，450；
（2）由题意可得，图中两条线段的交点表示的实际意义是在小明爬山10分钟时，正好追上爷爷，
故答案为：小明爬山10分钟时，正好追上爷爷；
（3）设爷爷对应的函数解析式为y＝kx+b， ，解得
即爷爷对应的函数解析式为y＝20x+100，设小明对应的函数解析式为y＝ax，
10a＝300，解得，a＝30，即小明对应的函数解析式为y＝30x，
令20x+100﹣30x＝20或30x﹣（20x+100）＝20，解得，x＝8或x＝12，
即小明在爬山过程中第8分钟和第12分钟时与爷爷相距20米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
【练习12】一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离
为 千米，出租车离甲地的距离为 千米，两车行驶的时间为 小时， 关于 的图象如图所示：
（1）客车的速度是 千米/小时，出租车的速度是 千米小时：
（2）根据图象，分别直接写出 关于 的关系式；
（3）求两车相遇的时间；
（4）x为何值时，两车相距 千米．【答案】（1）60，100；（2）y=60x（0≤x≤10），y=-100x+600（0≤x≤6）；（3）两车相遇的时间为
1 2
小时；（4） 小时或 小时．
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，列式进行计算即可得解；
（2）根据两函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）由 列出方程，求出即可；
（4）由两车相距100千米，可得|y-y|=100，即可求解．
1 2
【详解】解：（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km，所以，客车速度=600÷10=60（km/h），
出租车速度=600÷6=100（km/h），故答案为：60，100；
（2）设客车的函数关系式为y=kx，则10k=600，解得k=60，所以，y=60x（0≤x≤10），
1 1 1 1 1
设出租车的函数关系式为y=kx+b，则 ，解得 ，
2 2
所以，y=-100x+600（0≤x≤6），故答案为：y=60x（0≤x≤10），y=-100x+600（0≤x≤6）；
2 1 2
（3）当出租车与客车相遇时，60x=-100x+600，解得x= ．所以两车相遇的时间为 小时；
（4）由题意可得：|-100x+600-60x|=100，∴x= 或 ，答：x为 小时或 小时，两车相距100千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
考点5：一次函数的实际应用--最大利润问题
例7．商场销售甲种服装每件的利润为40元，乙种服装每件的利润为30元．计划购进这两种服装共100件，
其中甲种服装不少于65件，不超过75件．在5月1日当天对甲种服装以每件优惠 元的价格
进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，则商场进货( )件甲种服装能获得最大利润．
A．65 B．70 C．75 D．100
【答案】C
【分析】利用总利润＝销售甲种服装的利润＋销售乙种服装的利润，建立函数关系式，利用一次函数的性
质求利润的最大值即可．
【详解】解：设甲种服装购进 件，总利润为 元，根据题意得
∴ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，掌握列一次函数关系式与利用一次函数的性质求最大值是解题关
键．
【练习13】某厂计划生产A、B两种产品共50件,已知A产品每件可获利润700元,B产品每件可获利润
1200元,设生产两种产品的获利总额为y(元),写出y与生产A产品的件数x之间的函数表达式
____________.
【答案】y=60000-500x
【分析】先表示出B种产品的数量进而利用A，B种产品的利润进而得出总利润.
【详解】设生产两种产品的获利总额为y（元），生产A产品x（件），则B种产品共（50-x）件，
∴y与x之间的函数关系式为：y=700x+1200（50-x）=60000-500x；故答案为y=60000-500x.
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的解法和函数最值求法等知识，得出y与x的关系式是解题关键．
【练习14】如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)
的函数关系，图②是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系．已知日销售利润=日
销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是( )
A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元
【答案】C
【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）
的函数关系为z＝−x＋25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关
系为y＝ t＋100，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【详解】解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；
B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝kx＋b，
把（0，25），（20，5）代入得： 解得： ，∴z＝−x＋25，
当x＝10时，z＝−10＋25＝15，故正确；
C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝kt＋b，
1 1
把（0，100），（24，200）代入得： ，解得： ，∴y＝ t＋100，
当t＝12时，y＝150，z＝−12＋25＝13，∴第12天的日销售利润为：150×13＝1950（元），第30天的日
销售利润为：150×5＝750（元），750≠1950，故C错误；
D、第30天的日销售利润为：150×5＝750（元），故正确．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
1．一次函数 的图象如图所示，则关于 的方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标的横坐标，即可得出方程的解．
【详解】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是(﹣2，0)，
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b=0解答．
2．某个一次函数的图象与直线 平行，并且经过点 ，则这个一次函数的解析式为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行时 的值相等，设出所求解析式，把已知点坐标代入计算即可．
【详解】解：由一次函数的图象与直线 平行，设直线解析式为 ，
把 代入得： ，即 ，则这个一次函数解析式为 ．故选： ．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的图象，熟练掌握待定系数法是解本题
的关键．
3．已知一次函数的图象经过点 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则这个一次函数的表达式为
A． B．
C． 或 D．无法确定
【答案】C
【分析】设一次函数解析式为 ，先把 点坐标代入得到 ，再用 表示直线与 轴的交点坐标
为 ， ，根据三角形面积公式得到 ，然后解关于 的方程即可得到一次函数解析式．
【详解】解：设一次函数解析式为 ，把 代入得 ，
当 时， ，解得 ，则直线与 轴的交点坐标为 ， ，
一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为3， ，解得 ，
一次函数解析式为 或 ．故选： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，
先设 ；将自变量 的值及与它对应的函数值 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程
或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
4．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组
成，则一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果可节省（ ）元．
A．4B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式，再分别求出
当x=1和x=5时，y值，用10×5-44即可求出一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果节省的
钱数．【详解】解：设y关于x的函数关系式为y=kx+b，当0≤x≤2时，将（0，0）、（2，20）代入y=kx+b中，
，解得： ，∴y=10x(0≤x≤2)；当x>2时，将（2，20），（4，36）代入y=kx+b中，
，解得： ，∴y=8x+4（x≥2）．当x=1时，y=10x=10，当x=5时，y=44，
10×5-44=6（元），故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，
观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式是解题的关键．
5．港口 A、B、C 依次在同一条直线上，甲、乙两艘船同时分别从 A、B两港出发，匀速驶向 C 港，甲、
乙两船与 B 港的距离 y（海里）与行驶时间 x 时）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是(
)
A．甲船平均速度为 60 海里/时 B．乙船平均速度为 30 海里/时
C．甲、乙两船在途中相遇两次 D．A、C 两港之间的距离为 120 海里
【答案】C
【分析】根据函数图象中的数据和题意，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图可得，甲船的平均速度为：30÷0.5＝60（海里/小时），故选项A正确；
乙船的平均速度为：90÷3＝30（海里/小时），故选项B正确；甲乙两船在途中相遇一次，故选项C错误；
A、C两港之间的距离为30＋90＝120海里，故选项D正确；故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．小卖部从批发市场购进一批李子，在销售了部分李子之后，余下的每千克降价3元，直至全部售完．销
售金额（元）与李子销售量（千克）之间的关系如图所示．若销售这批李子一共赢利220元，那么这批李
子的进价是_____元．【答案】10
【分析】观察函数图象，利用单价＝总价÷数量及数量＝总价÷单价，可分别求出李子的原价及降价后销
售的数量，设这批李子的进价是x元/千克，根据利润＝销售收入−成本，即可得出关于x的一元一次方程，
解之即可得出结论．
【详解】李子的原价为600÷40＝15（元/千克），降价后销售的数量为（720﹣600）÷（15﹣3）＝10（千
克）．
设这批李子的进价是x元/千克，依题意，得：720﹣（40+10）x＝220，解得：x＝10．故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是
解题的关键．
7．某商店销售每台 型电脑的利润为100元，销售每台 型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进
， 两种型号的电脑共100台，设购进 型电脑 台，这100台电脑的销售总利润为 元，则 与 的
函数关系式______________
【答案】
【分析】根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式．
【详解】解：根据题意，y=100x+150（100-x）=-50x+15000；故答案为：
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式．
8．某公司新产品上市 天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单
件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是__________元．【答案】1800
【分析】从图1和图2中可知，当t=30时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达到最大，所以由
日销售利润=销售量×每件产品销售利润即可求解．
【详解】由图1知，当天数t=30时，市场日销售量达到最大60件；
从图2知，当天数t=30时，每件产品销售利润达到最大30元，
所以当天数t=30时，市场的日销售利润最大，最大利润为60×30=1800元，故答案为：1800
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，也考查了学生的观察能力、理解能力和解决实际问题的能力，仔
细审题，利用数形结合法理解题目已知信息是解答的关键．
9．一次函数 与 的图象平行，且经过点 ，则这个一次函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】先利用两直线平行问题得到 ，然后把 代入 求出 的值即可．
【详解】解： 一次函数 与 的图象平行， ， ，
将 代入， ， ，一次函数的表达式为 ．故答案为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，
先设 ；再将自变量 的值及与它对应的函数值 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方
程或方程组；
然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
10.已知一次函数 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为 ．【答案】
【分析】根据三角形的面积公式求出 ，把点 的坐标代入一次函数解析式计算，得到答案．
【详解】解：一次函数 与 轴的交点 的坐标为 ，则 ，由题意得， ，
解得， ，则点 的坐标为 ， ，解得， ，
一次函数的表达式为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算，掌握
一次函数图象与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
11．甲、乙两人以相同路线前往离学校 的地方参加植树活动．图中 ， 分别表示甲、乙两人前往
目的地所行驶的路程 与时间 的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）甲比乙早出发______ ；
（2）乙出发______ 后，两人相遇，这时他们离学校______ ；
（3）甲的速度是______ ，乙的速度是______ ；
（4）甲行驶的路程 与时间 的函数关系式为______．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ， ；（4）
【分析】（1）利用甲乙图像与t轴的交点来求即可；（2）利用两图像的交点坐标的意义来求即可；
（3）利用交点的意义，分别求出各自所用时间，利用速度，路程与时间的关系求速度即可；
（4）知道甲的速度，路程S=速度×时间即可求出，注意时间t的范围．
【详解】（1）从t轴的交点看甲出发后6min乙才出发，则甲比乙早出发 ；（2）由图中甲乙的两直线交点坐标为（12,6）两人在12min时，与6km处相遇，
12-6=6min，乙出发 后，两人相遇，这时他们离学校12-6= ；
（3）甲的速度是V = ，乙的速度是V ；
甲 乙
（4）甲行驶的路程 与时间 的函数关系式为 ；
故答案为：（1）6；（2）6,6；（3） ；（4） ．
【点睛】本题考查一次函数的行程问题，掌握行程的速度、时间与路程的关系，会看图像，能从图像中获
取信息来解决问题是关键．
12．平面直角坐标系 内，一次函数 经过点 和 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求该直线与 轴的交点坐标．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）分别将A、B两点代入一次函数 得到关于m，n的式子，即可作答；
（2）借助依次函数与一元一次方程的关系进行求解，即将y=0代入函数即可作答．
【详解】解：（1）将 和 代入一次函数 中，得
解得 故答案为： ；
（2）令 ，得 ，解得 ，该直线与 轴的交点坐标为 ；故答案为： ．
【点睛】本题主要考考查了根据一次函数方程计算坐标中的未知量，以及一次函数与一元一次方程的关系，
属于基础题．
13．服务质量相同的甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用 （元 与绿化面积 （平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用3000元；绿化面积超过1000平方米时，每月
在收取3000元的基础上，超过的部分每平方米收取2.5元．
（1）求如图所示的 与 的函数解析式：（不要求写出 的取值范围）；
（2）如果某学校计划投入4000元资金绿化校园，试通过计算说明：选择哪家公司的服务更合算．
【答案】见详解
【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出 与 的函数表达式；
（2）分别求出当 时，甲、乙两公司方案的绿化面积，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设的 与 的函数解析式为 ，则 ，
解得 ， ；
（2）当 时， ，解得 ， ， ，
（平方米）， ， 选择乙公司的服务更合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数表
达式；（2）分别求出当 时，甲、乙两公司方案的绿化面积．
14．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到
达图书馆恰好用30 ．小东骑自行车以300 的速度直接回家，两人距家的路程 与各自离开出发地的时间 之间的函数图像如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为__________ ，小玲步行的速度为__________ ；
（2）求小东距家的路程 关于 的函数表达式；
（3）求两人出发后多长时间相遇．
【答案】（1）4000；100；（2） ；（3）8
【分析】
（1）根据函数图象中的数据可以直接写出家与图书馆之间的路程，根据AB段可计算出小玲步行的速度；
（2）先求出点D坐标，再利用待定系数法即可求得小东距家的路程y与x之间的函数关系式；
（3）先求出AO的函数关系式，再与CD的函数关系式联立方程组即可求得两人相遇的时间．
【详解】解：（1）由图可得，家与图书馆之间的路程为4000m，
小玲步行的速度为：（4000－2000）÷（30－10）＝100m/min，故答案为：4000，100；
（2）4000÷30＝ ，则点D坐标为（ ，0），设CD为y＝kx+b，
将点C（0,4000）和点D（ ，0）代入y＝kx+b得 ，解得 ，
∴小东距家的路程y关于x的函数表达式为 ；
（3）设OA为y＝mx，将点A（10,2000）代入y＝mx得10m＝2000，解得m＝200，
∴OA的函数关系式为y＝200x，令200x＝4000－300x，解得x＝8,答：两人出发后8min相遇．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．15．已知点 、 在直线 上， 和函数 的图象交于点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）若点 的横坐标是1，求关于 、 的方程组 的解及 的值．
（3）在（2）的条件下，若点 关于 轴的对称点为 ，求 的面积．
【答案】见详解
【分析】（1）由于点 、 在直线上，可用待定系数法确定直线 的表达式；
（2）先求出点 的坐标，即得方程组的解．代入组中方程求出 即可；
（3）由于 ，分别求出 和 的面积即可．
【详解】解：（1） 点 、 在直线 上， ，解得 ，
所以直线 的表达式为： ；
（2）由于点 在直线 上，当 时， ，所以点 的坐标为 ，
所以关于 、 的方程组 的解为 ，因为点 是直线 与直线 的交点，
把 ， 代入 中，求得 ．
（3）因为点 与点 关于 轴对称，所以点 ，所以 ， ，所以 ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．方程组
的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一
次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
