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专题08 一次函数（三）
考点1：待定系数法求一次函数的表达式
例1．若正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为 ．
（1）求该一次函数的表达式； （2）直接写出方程组 的解；
（3）在一次函数 的图象上是否存在点 ，使的 的面积为2，若存在，求出点 坐标；若
不存在，请说明理由．
例2．如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，过点
作直线 将 分成周长相等的两部分，则直线 的函数表达式为
A． B． C． D．
【练习1】已知一次函数的图象与直线 平行，且过点 ，那么一次函数的表达式是
A． B． C． D．
【练习2】一次函数图象与直线 交于点 ，且与直线 无交
点，则这个一次函数的表达式为 ．
【练习3】如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，
过点 的直线 平分 的面积，则直线 相应的函数表达式为
A． B． C． D．
【练习4】一次函数 的图象经过点 ，且与正比例函数 的图象交于点 ．
（1）求点 的坐标；（2）求一次函数的表达式；（3）看图直接说出关于 为未知数的不等式 的解集．
考点2：一次函数与一元一次方程
例3．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：
（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=-3的解．
例4．如图，直线 与直线 相交于点P(a，2)，则关于x的方程 的
解为 _______ ．
例4图 练习5图 练习8图
【练习5】如图所示，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x=（
）A．1 B．0 C．-4 D．-5
【练习6】若一次函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的解是______．
【练习7】直线 过点 ，则方程 的解是______．
【练习8】如图，已知一次函数 图象，关于x的方程 的解为______________．
【练习9】已知一次函数y=kx+1与y=- x+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b=0的解．
考点3：一次函数的实际应用--方案问题
例5．为了优化环境，将对某一小区环境进行绿化，现有甲、乙两家绿化公司进行了投标，各自推出了绿
化收费方案如下：甲公司绿化费用 （元 与绿化面积 （平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司：绿化面积不超过1000平方米时，统一收取费用5000元；绿化面积超过1000平方米时，超过部分
每平方米收取3元．
（1）求甲、乙公司绿化费用 （元 与绿化面积 （平方米）的函数表达式；
（2）如果该小区目前的绿化面积是1500平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的绿化费用较少？
【练习10】如图所示，是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y(元)与通话时间x(分)之间的函数关
系．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上，那么选
择________种业务合算．
【练习11】甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用 （元 与绿化面积 （平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每
月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的 与 的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养
护费用较少．
考点4：一次函数的实际应用--行程问题
例6．爷爷和他的孙子小明星期天一起去爬山．来到山脚下，小明让爷爷先上山，然后追赶爷爷，如图所
示，两条线段分别表示小明和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（小明开始爬山时
开始计时），请看图回答下列问题：
（1）爷爷比小明先上了 米，山顶离山脚 米．
（2）写出图中两条线段的交点表示的实际意义 ． （3）小明在爬山过程中何时与爷爷相距20米？【练习12】一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离
为 千米，出租车离甲地的距离为 千米，两车行驶的时间为 小时， 关于 的图象如图所示：
（1）客车的速度是 千米/小时，出租车的速度是 千米小时：
（2）根据图象，分别直接写出 关于 的关系式；
（3）求两车相遇的时间；（4）x为何值时，两车相距 千米．
考点5：一次函数的实际应用--最大利润问题
例7．商场销售甲种服装每件的利润为40元，乙种服装每件的利润为30元．计划购进这两种服装共100件，
其中甲种服装不少于65件，不超过75件．在5月1日当天对甲种服装以每件优惠 元的价格
进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，则商场进货( )件甲种服装能获得最大利润．
A．65 B．70 C．75 D．100
【练习13】某厂计划生产A、B两种产品共50件,已知A产品每件可获利润700元,B产品每件可获利润
1200元,设生产两种产品的获利总额为y(元),写出y与生产A产品的件数x之间的函数表达式
____________.
【练习14】如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产
品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图②是
一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系．
已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错
误的是( )
A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润
是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元
1．一次函数 的图象如图所示，则关于 的方程 的解是（
）
A． B． C． D．
2．某个一次函数的图象与直线 平行，并且经过点 ，则这个一次函数的解析式为
A． B． C． D．3．已知一次函数的图象经过点 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则这个一次函数的表达式
为
A． B．
C． 或 D．无法确定
4．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图
象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果可节省（ ）元．
A．4 B．5 C．6 D．7
5．港口 A、B、C 依次在同一条直线上，甲、乙两艘船同时分别从 A、B两港出
发，匀速驶向 C 港，甲、乙两船与 B 港的距离 y（海里）与行驶时间 x 时）之
间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A．甲船平均速度为 60 海里/时 B．乙船平均速度为 30 海里/时
C．甲、乙两船在途中相遇两次 D．A、C 两港之间的距离为 120 海里
6．小卖部从批发市场购进一批李子，在销售了部分李子之后，余下的每千克降价3元，直至全部售完．销
售金额（元）与李子销售量（千克）之间的关系如图所示．若销售这批李子一共赢利220元，那么这批李
子的进价是_____元．
7．某商店销售每台 型电脑的利润为100元，销售每台 型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进
， 两种型号的电脑共100台，设购进 型电脑 台，这100台电脑的销售总利润为 元，则 与 的
函数关系式______________
8．某公司新产品上市 天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单
件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是__________元．
9．一次函数 与 的图象平行，且经过点 ，则这个一次
函数的表达式为 ．
10.已知一次函数 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，则一次函数的表达式为 ．
11．甲、乙两人以相同路线前往离学校 的地方参加植树活动．图中 ， 分别表示甲、乙两人前往
目的地所行驶的路程 与时间 的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）甲比乙早出发______ ；
（2）乙出发______ 后，两人相遇，这时他们离学校______ ；
（3）甲的速度是______ ，乙的速度是______ ；
（4）甲行驶的路程 与时间 的函数关系式为______．
12．平面直角坐标系 内，一次函数 经过点 和 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求该直线与 轴的交点坐标．
13．服务质量相同的甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每
月的养护费用 （元 与绿化面积 （平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用3000元；绿化面积超过1000平方米时，每月
在收取3000元的基础上，超过的部分每平方米收取2.5元．
（1）求如图所示的 与 的函数解析式：（不要求写出 的取值范围）；
（2）如果某学校计划投入4000元资金绿化校园，试通过计算说明：选择哪家公司的服务更合算．
14．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到
达图书馆恰好用30 ．小东骑自行车以300 的速度直接回家，两人距家的路程 与各自离
开出发地的时间 之间的函数图像如图所示．（1）家与图书馆之间的路程为__________ ，小玲步行的速度为__________ ；
（2）求小东距家的路程 关于 的函数表达式；
（3）求两人出发后多长时间相遇．
15．已知点 、 在直线 上， 和函数 的图象交于点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）若点 的横坐标是1，求关于 、 的方程组 的解及 的值．
（3）在（2）的条件下，若点 关于 轴的对称点为 ，求 的面积．
