文档内容
专题 1.14 《直角三角形的边角关系》全章复习与巩固
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、锐角三角函数
1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为
（ ）
A． B．1 C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值
是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形 中 ， ， ， ，把
沿着 翻折得到 ，若 ，则线段 的长度为（ ）A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC= ，BC=2，则
sin∠ACD的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点二、 特殊角三角函数值的计算
5．在△ABC中，若cosA= ，tanB= ，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．若α为锐角，且 ，则α等于（ ）
A． B． C． D．
7．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
8．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝ ：2，CP：BP＝1：2，连接EP
并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②
＝PB•EF；③PF•EF＝2 ；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④
知识点三、 解直角三角形
9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在
Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以
tan15° ．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（
）
A． B． ﹣1 C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四
个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．其中正确的结论有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，在 中， ， ，将 绕点 旋转得到 ，
使点 的对应点 落在 上，在 上取点 ，使 ，那么点 到 的距离等于
（ ）．A． B． C． D．
12．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标
为(0，3 )，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D
的坐标为( )
A．( ， ) B．(2， ) C．( ， ) D．( ，3﹣ )
知识点四 、利用三角函数解决实际问题
13．如图，矩形 的对角线交于点O，已知 则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC= ，∠ADC= ，则竹竿AB
与AD的长度之比为A． B． C． D．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边
BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则( )
A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=21
16．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗
杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+ ）米
二、填空题
知识点一、锐角三角函数
17．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在 处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点 处，EF为折痕，连接
．若CF＝3，则tan ＝_____．
18．如图．在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点
上,则 的正弦值是__________．
19．如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正
方形 、 ，连接 、 ，则 _________．
20．在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点B在y轴的正半轴上， ．
矩形 的顶点D，E，C分别在 上， ．将矩形 沿x轴向右平移，
当矩形 与 重叠部分的面积为 时，则矩形 向右平移的距离为
___________．知识点二、 特殊角三角函数值的计算
21．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=9，
BC=12，则cosC=_____．
22．如图，四边形ABCD是矩形， ， ，以点A为圆心，AB长为半径画弧，
交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
23．已知|sinA﹣ |+ =0，那么∠A+∠B= ．
24．已知：tanx=2，则 ＝____.
知识点三、 解直角三角形
25．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，
，则 =___．26．如图，∠MON＝60°，点A 在射线ON上，且OA＝1，过点A 作AB⊥ON交射线OM
1 1 1 1 1
于点B，在射线ON上截取AA，使得AA＝AB；过点A 作AB⊥ON交射线OM于点
1 1 2 1 2 1 1 2 2 2
B，在射线ON上截取AA，使得AA＝AB；…；按照此规律进行下去，则A B 长为
2 2 3 2 3 2 2 2020 2020
_____．
27．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡角
为45°， 的坡角 为30°，则 的长为 ________ 米 （结果保留根号）
28． 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 ，在 内有一点
，M，N分别是 边上的动点，连接 ，则 周长的最小值是
_________．知识点四 、利用三角函数解决实际问题
29．如图，某校教学楼 与实验楼 的水平间距 米，在实验楼顶部 点测得
教学楼顶部 点的仰角是 ，底部 点的俯角是 ，则教学楼 的高度是____米（结
果保留根号）.
30．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得
A，B两点的俯角分别为 和 若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同
一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米 结果保留根号 ．
31．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面
坡度为1： ,则斜坡AB的长是__________米．32．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 的长为______ ．（结果保
留根号）
三、解答题
33．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点
D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结
EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t
秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，
请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．34．已知： ， ，求 的算术平方根．
35．如图，在平面直角坐标系中，l是经过A（2，0），B（0，b）两点的直线，且b0，
点C的坐标为（2，0），当点B移动时，过点C作CD⊥l交于点D．
（1）求点D，O之间的距离；
（2）当tan∠CDO= 时，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，直接写出△ACD与△AOB重叠部分的面积．
36．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D
的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的
坡度i=1： ，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度
AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）
参考答案
1．B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为
等腰直角三角形，即可求出所求．
解：如图，连接BC，由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选B．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股
定理是解本题的关键．
2．A
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，
得出 ，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出 再由三角
函数定义即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE= BC= AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴ ，
∴EF= AF，
∴EF= AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF= x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握
矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
3．B
【分析】根据已知，易求得 ，延长 交 于 ，可得 ，则 ，
再过点 作 ，设 ，则 ， ， ，在
中，根据 ，代入数值，即可求解．
解：解：如图
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，延长 交 于 ，
∴ ，则 ， ，
过点 作 ，设 ，则 ， ，
∴ ，∴在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三
角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．
4．A
【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求
sin∠ACD转化为求sinB．
解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB 3．
∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B
．
故选A．
【点拨】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难
度适中．
5．A
解：试题解析：∵cosA= ，tanB= ，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
6．B
【分析】根据 得出α的值．解：解：∵
∴α-10°=60°，
即α=70°．
故选B．
【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，
题型以选择题、填空题为主．
7．C
【解析】
试题解析：∵sin30°=cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选C．
8．B
【分析】由条件设AD= x，AB=2x，就可以表示出CP= x，BP= x，用三角函数
值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值
就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．
解：解：设AD= x，AB=2x
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB
∴BC= x，CD=2x
∵CP：BP=1：2
∴CP= x，BP= x
∵E为DC的中点，
∴CE= CD=x，∴tan∠CEP= = ，tan∠EBC= =
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°
∴∠CEB=60°
∴∠PEB=30°
∴∠CEP=∠PEB
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴
∴BE·BF=EF·BP
∵∠F=∠BEF，
∴BE=BF
∴ ＝PB·EF，故②正确
∵∠F=30°，
∴PF=2PB= x，
过点E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°，
∴EF=2EG=2 x
∴PF·EF= x·2 x=8x22AD2=2×（ x）2=6x2，
∴PF·EF≠2AD2，故③错误.
在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC= x
∵tan∠PAB= =
∴∠PAB=30°
∴∠APB=60°
∴∠AOB=90°
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO= x，PO= x
∴4AO·PO=4× x· x=4x2
又EF·EP=2 x· x=4x2
∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．
故选，B
【点拨】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切
值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数
表示出线段的长度是关键．
9．B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接
AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
解：解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝
AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝ ，CD＝ ，故选：B.
【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作
辅助线得到22.5°的直角三角形.
10．B
【解析】
试题解析：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵AE= AD= BC，
∴ ，
∴CF=2AF，故②正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 ，即b= ，
∴tan∠CAD= ．故④不正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解
直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：
相似三角形的对应边成比例．
11．D
【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得 的长，进而可得 的长，
过点D作DM⊥BC于点M，过点 作 于点E， 于点F，如图，则四边
形 是矩形，解Rt△ 可得 的长，即为FM的长，根据三角形的内角和易得
，然后解Rt△ 可求出DF的长，进一步即可求出结果．
解：解：在 中，∵ ， ，
∴AC=2AB=4，
∵将 绕点 旋转得到 ，使点 的对应点 落在 上，
∴ ，
∴ ，
过点D作DM⊥BC于点M，过点 作 于点E， 于点F，交AC于点N，
如图，则四边形 是矩形，
∴ ，在Rt△ 中， ，∴FM=1，
∵ ，
∴ ，
在Rt△ 中， ，
∴ ，
即点 到 的距离等于 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出
辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．
12．A
【解析】
解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0， ），∴AC=OB= ，
∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°= × =3．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落
在点D处，∴∠BAD=30°，AD= ．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠DAM=30°，∴DM= AD= ，∴AM= ×cos30°= ，∴MO= ﹣3= ，∴点D的坐标为（ ， ）．故选A．
13．C
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB
＝DC，再解直角三角形判定各项即可．
解：选项A，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，
选项A正确；
选项B，在Rt△ABC中，tanα＝ ，
即BC＝m•tanα，
选项B正确；
选项C，在Rt△ABC中，AC＝ ，即AO＝ ，
选项C错误；
选项D，∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝ ，
选项D正确.
故选C．
【点拨】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
14．B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
解：在Rt△ABC中，AB= ，
在Rt△ACD中，AD= ，
∴AB：AD= ： = ，
故选B．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参
数解决问题．
15．B
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出
DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出
EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得.
解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴ =y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM= CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12-3-x=9-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2，
即2x-y2=9，
故选B．16．A
解：试题分析：根据CD：AD=1:2，AC=3 米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，
∠D=90°可得：BD= =8米，则BC=BD－CD=8－3=5米.
考点：直角三角形的勾股定理
17．
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过
AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
解：解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90° ，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝ = ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性
质是解题关键．
18．
解：分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可
得出结论．
详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC
为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC= = ．
故答案为 ．
点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，
两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19．
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、
∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
解：解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形∴EC= ，∠ECD=
同理：CG= ,∠GCD=
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三
角形是解答本题的关键．
20．2
【分析】先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，
根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形 与 重叠部分的面积为 列出关
系式求出 ，再利用一次函数关系式求出 =4，即可得到平移的距离.
解：∵ ，
∴OA=6，
在Rt△AOB中， ，
∴ ，
∴B（0， ），
∴直线AB的解析式为： ，当x=2时，y= ，
∴E（2， ），即DE= ，
∵四边形CODE是矩形，
∴OC=DE= ，
设矩形 沿x轴向右平移后得到矩形 ， 交AB于点G，
∴ ∥OB，
∴△ ∽△AOB，
∴∠ =∠AOB=30°，
∴∠ =∠ =30°，
∴ ,
∵平移后的矩形 与 重叠部分的面积为 ，
∴五边形 的面积为 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴矩形 向右平移的距离 = ，
故答案为：2.
【点拨】
此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.
21．
解：试题分析：线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.根据DE是BC的中垂线
可得CE=BE=9，CD= BC=6，∠EDC=90°，则cosC= .
考点：中垂线的性质、三角形函数.
22． ．
【分析】根据题意可以求得 和 的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就
是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与 的面积之差的和，
本题得以解决．
解：解：连接AE，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积是：
，
故答案为 ．【点拨】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答．
23．90°
【分析】根据特殊角锐角三角函数值即可求出答案．
解：解：由题意可知：sinA= ，tanB= ，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠A+∠B=90°
故答案为90°
【点拨】本题考查特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函
数值，本题属于基础题型．
24．
【解析】
试题解析：分子分母同时除以cosx，原分式可化为： ，
当tanx=2时，原式= ．
故答案为： ．
25．
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明 ，得到 再证明
利用 设 利用三角形的面积公
式可得答案．
解：解：过B点作BE//AD交AC于点E，BE⊥AD，
，
∴
∴
由 ，
∴
设 则故答案为：
26． （1+ ）2019
【分析】解直角三角形求出AB，AB，AB，…，探究规律利用规律即可解决问题．
1 1 2 2 3 3
解：解：在Rt△OAB 中，
1 1
∵∠OA B ＝90°，∠MON＝60°，OA ＝1，
1 1 1
∴AB ＝AA＝OA •tan60°＝ ，
1 1 1 2 1
∵A B ∥A B ，
1 1 2 2
∴ ，
∴ ，
∴AB ＝ （1+ ），
2 2
同法可得，AB ＝ （1+ ）2，
3 3
……
由此规律可知，A B ＝ （1+ ）2019，
2020 2020
故答案为： （1+ ）2019．
【点拨】本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于
中考常考题型．
27．
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
解：解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE= ，
∴DF=CE= ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构
造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
28．
【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点 和 ，连接 ，分别与OA和OB交于
点M和N，此时， 的长即为 周长的最小值．
解：解：分别作出点P关于OA和OB的对称点 和 ，则 （4，-3），连接 ，分别
与OA和OB交于点M和N，此时， 的长即为 周长的最小值．由 可得直线OA的表达式为 ，由 ⊥OA，可设直线 的解析式为
，然后把点P代入得： ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立直线OA和 的解析式可求 的中点坐标，即：
，
解得： ，
设点 由中点坐标公式可得： ，
，
由两点距离公式可得：．
即 周长的最小值 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题及一次函数，解题关键在于找出两个对
称点，利用方程求出点 的坐标．
29．(15+15 )
【分析】过点B作BM⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩
形，继而证明∠CEB=∠CBE，从而可得CE长，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE= ，求
出AE长，继而可得AC长.
解：过点B作BM⊥AC，垂足为E，
则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，
∴BE=CD=15 ，
∵∠CEB=90°，
∴∠CEB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，
∴CE=BE=15 ，
在Rt△ABE中，tan∠ABE= ，
即 ，
∴AE=15，
∴AC=AE+CE=15+15 ，
即教学楼AC的高度是(15+15 )米，故答案为(15+15 ).
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键.
30．
解：【分析】在 和 中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，
然后计算出AB的长．
【详解】由于 ，
， ，
在 中， ，
米，
在 ， ，
米 ，
米，
故答案为 .
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，
解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．
31．
【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角
三角函数关系求出即可．
解：解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，∵斜面坡度为1： ，
∴tan∠ABF= ，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°= ，
解得：PB= ，
故AB= m，
故答案为： .
【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
32．
【分析】如图（见解析），先在 中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直
角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得．
解：如图，过A作 ，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形由图中数据可知， ， ， ，
在 中， ，即
解得
是等腰三角形
则 的长为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直
角三角形的方法是解题关键．
33．（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF= ；（3） 或 ．
解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE= OA=4，∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴ , ，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM= AB=3，DN= OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，∴ ，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF= ；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF= （3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣ t+ ，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（ ， ），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=﹣ x+6，
把G（ ， ）代入得：t= ；②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF= （t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣ t+ ，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（ ， ），
代入直线AD的解析式y=﹣ x+6得：t= ；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为 或 .
考点：四边形综合题.
34．1
【分析】分别求出a,b两数的值，再计算 的算术平方根．
解：解： ，
．
．
．
【点拨】本题考查的是代数式的计算，熟练掌握平方差公式，绝对值，二次根式，三角函
数和负次幂是解题的关键.35．（1）2；（2） ；（3）
【分析】（1）直接利用直角三角形斜边中线的性质即可得出答案；
（2）通过等量代换得出 ，进而求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解
即可；
（3）先通过正切和勾股定理求出OE,AD,CD的长度，然后利用
即可求解．
解：解：（1）连接OD，
，
．
，
，
；
（2） ，
．
，
．
，
，
．
，，
，
．
设直线l的解析式为 ，
将 代入解析式中得
，
解得 ，
∴直线l解析式为 ；
（3）设CD与y轴的交点为E，
， ，
，
．
，
，
∴△ACD与△AOB重叠部分的面积为．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法，解直角三角形和直角三角
形斜边中线的性质是解题的关键．
36．（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）宣传牌CD高约2.7米.
【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形
求出BH、AH.
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，
∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌
的高度.
解：解：（1）过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH= ，∴∠BAH=30°
∴BH= AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）由（1）得：BH=5，AH=5 ，
∴BG=AH+AE=5 +15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15.
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE= AE=15 .∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
