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专题 2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】
【新高考专用】
1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
本节是高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，从近几年的高考
情况来看，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题
时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利
用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结
合，综合性强，考查难度较大.
【知识点1 函数的单调性与最值的求法】
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的
原则.
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的
函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
3．常见奇偶性函数模型
(1)奇函数：
①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
(2)偶函数：
①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数.
【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)= ，则T=2a；
(5)若f(x+a)= ，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点 对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 对称.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2024·全国·模拟预测）下列函数中，在区间(0,+∞)上是减函数的是（ ）
1
A．y=−3x+2 B．y=x3 C．y=x2−1 D．y=−
x
【变式1-1】（2024·海南海口·模拟预测）函数 的单调递减区间是（ ）
f(x)=x2−4|x|+3
A．(−∞,−2) B．(−∞,−2)和(0,2)
C．(−2,2) D．(−2,0)和(2,+∞)
【变式1-2】（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间(−∞,0)上单调递减的是（ ）
1
A．f(x)=x B．f(x)=−
x
C． D．
f(x)=x2+2x f(x)=|x|
【变式1-3】（2024·江西·二模）已知函数f (x)=¿若f (a)=f (a+3)，则g(x)=ax2+x的单调递增区间为
（ ）(1 ) ( 1)
A． ,+∞ B． −∞,
8 8
(1 ) ( 1)
C． ,+∞ D． −∞,
2 2
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x2+ax+1在(2,6)上不单调，则a的取值范围为（ ）
A．(2,6) B．(−∞,2]∪[6,+∞)
C．(4,12) D．(−∞,4]∪[12,+∞)
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若函数f(x)=4|x−a|+3在区间[1,+∞)上不单调，则a的取值范
围是（ ）
A．[1,+∞) B．(1,+∞)
C．(−∞,1) D．(−∞,1]
【变式2-2】（2024·天津河北·一模）设a∈R，则“a>−2”是“函数f (x)=2x2+4ax+1在(2,+∞)上单
调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[ 1 )
【变式2-3】（23-24高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知函数f (x)=¿是 − ,+∞ 上的减函数，则a的取值
2
范围是（ ）
[ 1]
A． −1,− B．(−∞,−1]
2
[ 1)
C． −1,− D．(−∞,−1)
2
【题型3 函数的最值问题】
【例3】（2024·安徽淮北·二模）当实数 变化时，函数 最大值的最小值为（ ）
t f (x)=|x2+t|,x∈[−4,4]
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）若f (x)=|x+2|+|3x−a|的最小值是4，则实数a的值为（ ）
A．6或−18 B．−6或18
C．6或18 D．−6或−18
【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若对于任意的x，y∈(0,+∞)，
都有f(x)+f(y)= f(xy)+2，当x>1时，都有f(x)>2，且f(3)=3，则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-3】（2024·全国·三模）已知函数f (x)=bx−(b+3)x3在[−1,1]上的最小值为−3，则实数b的取值
范围是（ ）
[ 9 ]
A．(−∞,−4] B．[9,+∞) C．[−4,9] D． − ,9
2
【题型4 函数的奇偶性及其应用】
【例4】（2024·广东惠州·模拟预测）已知 在R上的奇函数，当 时， ，则
f(x) x>0 f(x)=x2−2x−1
f(f(−1))=（ ）
A．2 B．−2 C．1 D．−1
x+1
【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）若函数f(x)=ln +a是奇函数，则实数a的值是（ ）
2(x−1)
A．2 B．−2 C．ln2 D．−ln2
【变式4-2】（2024·河南·模拟预测）已知f (x)是定义在R上的偶函数，∀x∈R,f (4−x)=f (x)，当
x∈[−2,0]时，f (x)=x2+4x，则f (2023)+f (2024)+f (2025)=（ ）
A．−2 B．0 C．−6 D．−4
【变式4-3】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 满足：对任意实数 ， ，都有
f (x) x y f (f (x+ y))=f (x)+f (y)
成立，且f (0)=1，则（ ）
A．f (x+1)为奇函数 B．f (x)+1为奇函数
C． 为偶函数 D． 为偶函数
|f (x+1)| |f(x)−1|
【题型5 函数的对称性与周期性综合】
【例5】（2024·河北·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且f (2x+1)为奇函数，f (2x+4)=f (2x)，
则一定正确的是（ ）
A．f (x)的周期为2 B．f (x)图象关于直线x=1对称
C．f (x+1)为偶函数 D．f (x+3)为奇函数
【变式5-1】（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数 的定义域为R， ， ，则
f (x) f (f (x+ y))=f (x)+f (y) f (1)=1
下列结论错误的是（ ）
A．f (0)=0 B．f (x)是奇函数(1 )
C．f (2024)=2024 D．f (x)的图象关于点 ,0 对称
2
【变式5-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数f (x)满足：f (x)+f (x+2)+f (x)f (x+2)=1，f (−1)=0，
则下列说法正确的有（ ）
A．f (x)是周期函数
B．f (2024)=0
C．f (2+x)=f (2−x)
D．f (x)图象的一个对称中心为(0,1)
【变式5-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足f (2x+6)=f (−2x)，且
(5)
f (x−1)+f (x+1)=f (−2)，f =1，现有下列4个结论：
2
①f(2024)=1；
②f (x)的图象关于直线x=−3对称；
③f (x)是周期函数；
2025
④ ∑(−1) kkf ( k− 1) =2025 .
2
k=1
其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 利用函数的性质比较大小】
【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，若对∀x∈R都有f (3+x)=f (1−x)，
且f (x)在(2，+∞)上单调递减，则f (1)，f (2)与f (4)的大小关系是（ ）
A．f (4)b>c B．a>c>b
C．aa>b
【变式6-2】（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在R上的函数f (x)满足f (1−x)=f (3+x)，且在
上单调递增， ， ， ，则（ ）
(−∞,2] a=f (π) b=f (√3) c=f (0)
A．af(−2)>f(1) B．f(−2)>f(1)>f(−3)
C．f(−3)>f(1)>f(−2) D．f(1)>f(−2)>f(−3)
【题型7 利用函数的性质解不等式】
【例7】（2024·陕西商洛·一模）已知函数 ，若不等式 成立，
f(x)=−2x3−3x+2 f (a2−1)+f(−a−5)>4
则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2)∪(3,+∞) B．(−2,3) C．(−∞,−3)∪(2,+∞) D．
(−3,2)
【变式7-1】（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数f (x)在[0,+∞)上单调递增，则不等式
f (2x+1)−f (x−1)>−3x2−6x的解集为（ ）
A．(−∞,−2)∪(0,+∞) B．(−∞,−1)∪(0,+∞)
C．(−2,0) D．(−1,0)
【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数y=f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，对任意的x ，
1
， ，都有 x f (x )−x f (x ) ，若函数 的图象关于点 成中心对称，
x ∈(0,+∞) x ≠x 2 2 1 1 >0 y=f (x+1) (−1,0)
2 1 2 x −x
2 1
4
且f (1)=4，则不等式f (x)> 的解集为（ ）
x
A．(−1,0)∪(0,1) B．(−1,0)∪(1,+∞)
C．(−∞,−1)∪(0,1) D．(−∞,−1)∪(1,+∞)
【变式7-3】（2024·广西柳州·三模）设函数f (x)是定义在R上的奇函数，且对于任意的x，y∈R，都有
.若函数 ，则不等式 的解集是（ ）
|f (x)−f (y)|<|x−y| g(x)−f (x)=x g(2x−x2)+g(x−2)<0
A．(−1,2) B．(1,2)
C．(−∞,−1)∪(2,+∞) D．(−∞,1)∪(2,+∞)【题型8 抽象函数的性质综合】
【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，对于任意实数x，y满足
f (x+ y)+f (x−y)=f (x)f (y)，且 f (1)=1，则下列结论错误的是（ ）
A．f (0)=2 B．f (x)为偶函数
C．f (x)为奇函数 D．f (2)=−1
【变式8-1】（2024·安徽·二模）已知函数y=f (x)(x≠0)满足f (xy)=f (x)+f (y)−1，当x>1时，f (x)<1，
则（ ）
A．f (x)为奇函数 B．若f (2x+1)>1，则−10恒成立，则下列结论正确的是（ ）
(2)
A．f =6 B．f (2x)=2f (x)
3
C．f (x)为奇函数 D．f (x)在区间(0,+∞)是单调递增函数
【变式8-3】（2024·广西玉林·三模）函数f (x)对任意x，y∈R总有f (x+ y)=f (x)+f (y)，当x<0时，
1
f (x)<0，f (1)= ，则下列命题中正确的是（ ）
3
A．f (x)是偶函数 B．f (x)是R上的减函数
C．f (x)在[−6,6]上的最小值为−2 D．若f (x)+f (x−3)≥−1，则实数x的取值范围为[3,+∞)
【题型9 函数性质的综合应用】
【例9】（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足f (x+1)=3f (x)，当x∈(−1,0]时，
|2x+1|−1
f (x)= .若∀x∈(−∞,t]，f (x)≥−18，则t的取值范围是（ ）
3
[10 ) [10 11] ( 10] ( 10]
A． ,+∞ B． , C． −1, D． −∞,
3 3 3 3 3
【变式9-1】（2024·河南新乡·三模）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，
3
f(x)=x(2−x).若对任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤ 成立，则a的取值范围是（ ）
8
[7 ) [5 )
A． ,+∞ B． ,+∞
2 2( 3] ( 5]
C． −∞,− D． −∞,−
2 2
【变式9-2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数f (x)=|x−1|−1，下列结论正确的是（ ）
A．f (x)是偶函数
B．f (x)在(0,+∞)上单调递增
C．f (x)的图象关于直线x=1对称
D．f (x)的图象与x轴围成的三角形面积为2
【变式9-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数y=f (x)是定义在R上的函数，f (1+x)=f (1−x)，函数
f (x+1)的图象关于点(−1,0)对称，且对任意的x ,x ∈[0,1],x ≠x ，均有
1 2 1 2
，则下列关于函数 的说法中，正确的个数是（ ）
x3f (x )+x3f (x )>x3f (x )+x3f (x ) y=f (x)
1 1 2 2 1 2 2 1
①f (x+2)=f (x−2)；
( 13) (26)
②f − f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时
f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f(10)>100 B．f(20)>1000
C．f(10)<1000 D．f(20)<10000
6．（2024·上海·高考真题）已知f (x)=x3+a，x∈R，且f (x)是奇函数，则a= ．
