文档内容
专题1.13 角的平分线（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题.
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：∵DC平分∠ADB ,
又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F，
∴PE=PF
特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件
要点二、角的平分线的判定
角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F，
又∵PE=PF
∴DC平分∠ADB ,
即点P在∠ADB的平分线上。
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E.
1
（2）分别以D、E为圆心，大于2 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）作射线OC.
∴射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心，
三角形内心到这个三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.
三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC
P P,P,P
的内心为 1，旁心为 2 3 4，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角平分线的性质定理及证明
1．如图，在 中， 平分 交 于点 ， ，分别交 ，
于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易证△AFE≌△AFC，进而问题可求证；
（2）由（1）可得∠AEC=∠ACE=40°，然后根据三角形外角的性质可求解．
（1）证明：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFC（ASA），
∴ ；
（2）解：由（1）可得△AFE≌△AFC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵ ， ，
∴∠AEC=∠ACE=40°，
∴ ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性
质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关
键．
举一反三：
【变式1】如图，已知点E在AB上，CE平分∠ACD，∠ACE＝∠AEC．求证：
AB∥CD．分析：要证明AB∥CD，根据平行线的判定方法，只需证明∠AEC=∠DCE，显然结合
已知以及角平分线的定义就可解决．
证明： 平分 ，
，
又 ，
，
．
点睛：本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同
旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于
同一直线的两条直线互相平行.
【变式2】如图所示，已知 ， 平分 ， 平分 ，求证：
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分
∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC，根据三角形外角的性质即可
得出结论．
：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋ ∠C＝∠C＋ ∠A，
∴∠E＝ （∠A＋∠C）．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知
以上知识点是解题的关键．
类型二、角的平分线的性质定理
2．如图所示，在四边形 中， 平分 ，求证：
．
【分析】过点C分别作 于E， 于F，由条件可得出△CDF≌△CEB，
可得∠B=∠FDC，进而可证明∠B+∠ADC=180°．
证明：过点C分别作 于E， 于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E， 于F，
∴CF=CE，在Rt△CDF与Rt△CEB中，
∴ ，
，
，
.
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明△CDF≌△CEB进而
得出∠B=∠FDC．
举一反三：
【变式1】如图，在四边形 中， ，点E，F分别在 ， 上，
， ，求证： ．
【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质
定理得到CB=CD．
【详解】
解：连接AC，
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是
连接AC，证明三角形全等．
【变式2】完成下面的推理过程：
如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3.试说明：AB∥CD；
解：∵CB平分∠ACD，
∴∠1＝_______，(_________)．
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝______，
∴AB∥CD(_________)．
【答案】角平分线的定义，3，内错角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的性质得到∠1=∠2，而∠1=∠3，则得到∠2=∠3，根据“内错
角相等，两直线平行”即可得到结论．
解：∵CB平分∠ACD，∴∠1=∠2（角平分线的定义）．
∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为角平分线的定义，3，内错角相等，两直线平行．
【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
类型三、角平分线的判定定理
3．如图， ，M是BC的中点，DM平分 ，求证：AM平分
．【分析】
由题意利用角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，以及到角
两边距离相等的点在角的角平分线上进行分析证明．
解：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
【点拨】本题考查角平分线性质和角平分线的判定，熟练掌握角平分线的性质“角的
平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且
BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所
以由HL可知RT△BED≌RT△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD
是∠BAC的平分线．
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，
∴RT△BED≌RT△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．
【点拨】本题考查直角三角形的全等与角平分线的判定，灵活运用HL定理及角平分
线的判定定理是证题关键．
【变式2】如图，在△ABC中，CF＝EB．∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，
DF＝BD．
（1）求证：点D在∠BAC平分线上．
（2）若AB＝18，AF＝12，求CF的长．
【答案】（1）见详解；（2）3【分析】
（1）先根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CD＝ED，进而即可得到结论；
（2）设CF＝x，则AE＝18−x，AC=12+x再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可
得出结论．
（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴DE＝DC．
∴AD平分∠BAC；
（2）解：设BE=CF＝x，则AE＝18−x，AC=12+x
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即12＋x＝18−x，
解得x＝3，
即CF＝3．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质定理的逆定理，全等三角形的判定和性质定理，
熟知到角两边的距离相等的点在角平分线上点解答此题的关键．
类型四、角平分线的性质的实际应用
4．如图，已知 ，点 分别在射线 上移动， 的平
分线与 的外角平分线交于点 .（1）当 时， .
（2）请你猜想：随着 两点的移动， 的度数大小是否变化？请说明理由.
【答案】（1）45°；（2）随着 两点的移动， 的度数大小不会变化，理由详
见解析.
【分析】
（1）根据直角三角形的内角和和角平分线的性质即可得到答案；
（2）由于∠ABN是△AOB的外角，从而得到∠ABN=90°+∠BAO，再根据角平分线
的性质及三角形外角定理可得∠CBD=45°+ ∠BAO，∠CBD=∠ACB+ ∠BAO；接下来通
过等量代换可得即可得到∠ACB=45°，由此即可得到结论.
解：（1） 因为 ， ，所以 ， ,
则根据角平分的性质可知 ， ,则有
；
（2）随着 两点的移动， 的度数大小不会变化.
理由如下：
∵ 平分
∴
∵ 平分
∴
∵ 是 的一个外角
∴
∴
∵ 是 的一个外角
∴
∴
【点拨】本题考查角平分线的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握角平分
线的性质和三角形外角定理.
举一反三：
【变式1】某小区为方便M、N两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路的交叉区域内设置一个垃圾投放点P，现要求P点到两条道路的距离相等，且使
，请你通过尺规作图找出这一P点（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】因为使P到AB、AC两条道路的距离相等，所以点P应在∠BAC的平分线上；
而且要使PM=PN，所以点P还应在MN的中垂线上，即∠BAC的平分线和MN的中垂线的
交点，即为点P．
解：
点P即为所求．
【点拨】此题考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及作法，难度中等．
【变式2】如图，已知BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF，CE交于点
D．求证：AD平分∠BAC．
【详解】根据BE=CF，∠BDE＝∠CDF，∠BED＝∠CFD得出△BDE和△CDF全等，
从而得出DE=DF，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案．
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC
类型五、作角平分线5．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【分析】
（1）利用基本作图作∠ADB的平分线DE；
（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得
∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法
得到结论．
解：（1）如图：
（2）∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE．
∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直
线的垂线）．也考查了平行线的判定．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．
【答案】（1）作图见解析（2）∠BDC=72°
解：（1）作图如下：
（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°．
∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD= ∠ABC= ×72°=36°．
∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．
（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：
①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于 EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于
点D．
（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的
性质得出
∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可．
【变式2】两个城镇A、B与两条公路l、l 位置如图所示，电信部门需在C处修建一
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座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l，l 的距离也
1 2
必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不
写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）解：作出线段AB的垂直平分线；作出l l 和夹角的角的平分线．它们的交点即为所
1 2
求作的点C（2个）．
【详解】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相
等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即
为所求作的点C．由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
