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专题1.13 特殊平行四边形动点问题（专项练习）
一、单选题
类型一、菱形动点问题
1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，
PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( )
A．4 B． C．6 D．
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边
上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点
B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为
边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交
CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形 B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形
C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形 D．若t＝6，则四边形DEBF为正方
形
4．如图，点O为矩形 的对称中心，动点P从点A出发沿 向点B移动，移动到点B停止，延长 交 于点Q，则四边形 形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩
形
C．平行四边形—矩形—菱形—矩形 D．平行四边形—菱形—平行四边形
类型二、矩形动点问题
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），
将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点（含端点），E为CD中点，F为CP中
点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（ ）
A．由小变大 B．由大变小
C．先变大后边小 D．先变小后变大
7．如图，四边形 是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），
则 的值为（ ）A．1 B． C．2 D．无法确定
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝
BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到
△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（ ）
A． 或2 B． C． 或2 D．
类型三、正方形动点问题
9．如图，正方形 的面积为 ，点 为 边上一动点，点 为 边上一
动点，连接 、 ，点 和点 在运动的过程中始终保持 ，则 的周长
（ ）
A． B．8cm C．6cm D．4cm
10．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP
于点E．连接EC，若 ，则△CDE的面积是（ ）A．18 B． C． D．14.4
11．如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD的中点，E是边AB上的一个动
点（不与A重合），以线段AE为边在正方形内作等边△AEF，M是边EF的中点，连接
PM，则在点E运动过程中，PM的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
12．如图，在正方形有 中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结
DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作
⊥DE交DG的延长线于点H，连接 ，那么 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
类型一、菱形动点问题
13．如图（1）是一张菱形纸片，其中 ， ，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为 ；如图（3），将纸片再沿 折
叠，点E的对应点为 ．当 与菱形的边垂直时，BE的长为______．
14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD交于点O，BD＝4，点E
为OD的中点，点F为AB上一点，且AF＝3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则
PF﹣PE的最大值为 ___．
15．如图，已知等边三角形 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， 分别为线
段 和线段 上的动点，且 ，有以下结论：①四边形 为菱形；②
；③ 为等边三角形；④ ．其中正确结论有__________．
（填序号）
16．如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将
△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C．已知 BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD
为直角三角形时，线段AF的长为______．类型二、矩形动点问题
17．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点E是BC边上一动点，连接AE．将
△ABE沿AE翻折得到△AEF，连接DF．当△ADF的面积为 时，线段BE的长为______．
18．已知矩形ABCD中，AB＝6．点E为AD上一个动点，连接CE，将 沿CE
折叠，点D落在点F处，当点F为线段AB的三等分点时，AE的长为______．
19．如图，矩形 中， ， ，动点 、 分别从点 、 同时出发，
以相同的速度分别沿 、 向终点 、 移动，当点 到达点 时，运动停止，过点
作直线 的垂线 ，垂足为点 ，连接 ，则 长的最小值为________．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是CB上的一个动点，把 DCE沿
DE折叠，若点C的对应点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上，则CE的长度为△_____．
类型三、正方形动点问题21．如图，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 是 边上一
个动点，连接 ，将四边形 沿 折叠，得到四边形 ．
（1）若 ， ， 三点在同一条直线上，则 的大小为______°；
（2）若 ，则 ， 两点的连线段的最小值为______．
22．如图，正方形ABCD的边长为3，点G在边AD上，GD＝1，GH⊥BC于点H，点
E是边AB上一动点（不与点A，B重合），EF⊥CD于点F，交GH于点Q，点O、P分别
是EH和GQ的中点，连接OP，则线段OP的长度为__________．
23．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边BC、DC上的动点，且EF
＝4，Q为EF中点，P是边AD上的一个动点，则PQ+PB的最小值是_____．
24．如图，正方形 中，点E为 边的中点，点P为边 上一个动点，连接
，以 为对称轴折叠 得到 ，点B的对应点为点F，若 ，当射线
经过正方形 边的中点（不包括点E）时， 的长为_____________．三、解答题
25．如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，A点坐标为
（-1，3）．
(1)求出点B、C的坐标：
(2)在x轴上有一动点Q，过点Q作PQ⊥x轴，交BC于点P，连接AP，将四边形
AOBP沿AP翻折，当点O刚好落在y轴上点E处时，求点P、D的坐标．
26．如图，在矩形ABCD中， ， ，动点P从点A出发，以2cm/s
的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以lcm/s的速度沿CD向点D移动（点
P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．
（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；
（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．27．已知矩形 中， 是 边上的一个动点，点 ， ， 分别是 ， ，
的中点．
（1）求证： ；
（2）当 是 的中点时，四边形 是什么样的特殊四边形？请证明你的结论．
28．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB
边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：
①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．参考答案
1．B
【分析】
连接BP，通过菱形 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面
积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出 的值．
解：连接BP，如图，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=BC=20÷4=5，
又∵菱形ABCD的面积为24，
∴SABC=24÷2=12，
又SABC= SABP+SCBP
∴SABP+SCBP=12，
∴ ，
∵AB=BC，
∴
∵AB=5，
∴PE+PF=12× = ．故选：B．
【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量
关系，求出PF+PE的值．
2．B
【分析】
利用三角形中位线性质求解即可.
解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点，
∴ ，
∵点E在BC边上从点B向点C移动，
∴当点E运动到点C的位置时，EF最小，此时，EF=4-1=3，
∴线段MN的最小值为1.5.
故选：B
【点拨】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E运动到点C的位置时EF最小
是解答此题的关键.
3．D
【分析】
由▱ABCD，得EB FD，再证△BOE≌ DOF（AAS），得BE=DF，即可得出四边形
BEDF是平行四边形，可以判定A；当t=4时△，则AE=2t=8，证△ADE是等边三角形，
DE=AE=8，再因四边形DEBF是平行四边形，所以四边形DEBF是菱形，可判定B；当t=2
时，则AE=2t=4，同理可得四边形DEBF是菱形，可判定C；当t＝6时，则AE=2t=12，在
AE上截取AG=AD=8，连接DG，证∠BED>120°≠90°，所以四边形DEBF不可能是正方形，
可判定D．
解：A、∵▱ABCD，
∴AB CD，即EB FD，
∴∠BEO=∠DFO，∠EBO=∠FDO，
∵OB=OD，
∴△BOE≌ DOF（AAS），
∴BE=DF，△
∴四边形BEDF是平行四边形，
故此选项正确，不符合题意；B、当t=4时，则AE=2t=8，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
在Rt ABD中，∠ADB=90°，∠A=60°，
∴∠AB△C=30°，
∴AD= AB=8，
∴AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=8，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
故此选项正确，不符合题意；
C、当t=2时，则AE=2t=4，
∴ ， ，
，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴∠AED=∠ADB=90°，
∴∠BED=90°，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形；
故此选项正确，不符合题意；
D、当t＝6时，则AE=2t=12，
在AE上截取AG=AD=8，连接DG，如图，∵∠A=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠AGD=60°，
∴∠AED<60°，
∴∠BED>120°≠90°，
∴四边形DEBF不可能是正方形；
故此选错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判
定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．
4．B
【分析】
根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形APCQ的形状变化情况，这个四边形
首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B
重合时是矩形．
解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化一次为：平行四边形—菱形—平行四边
形—矩形
故选：B．
【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等
知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】
由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得
C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt ABE中，由勾股定理得出方程，解方程
即可． △
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，
由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，∠DC'E=∠C=90°，
∴∠AC'D=90°，
∴AC'= =4，
设CE=C'E=x，
在Rt ABE中，BE=5-x，AE=x+4，
由勾股△定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，
解得：x=1，
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折
变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
6．B
【分析】
连接DP，则EF为△CDP的中位线，当点P由B向A运动时，DP由大变小，利用中
位线的性质即可得到结论．
解：连接DP，
∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF为△CDP的中位线，
∴EF＝ DP，
在Rt△DAP中，由勾股定理得，
DP＝ ，
当点P由B向A运动时，
AP的长度逐渐减小，
∴DP减小，∴EF由大变小，
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形
中位线．
7．A
【分析】
过点D作 交AO于点E，由平行的性质可知 ，
等量代换可得 的值.
解：如图，过点D作 交AO于点E，
四边形 是矩形
故选：A.
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.
8．B
【分析】
由矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，∠A=90°，根据已知条件推出四边形
MNCD的矩形，得到∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5，根据折叠的性质得到C′D＝CD＝5，C′E=CE，根据勾股定理得到MC′＝ ＝ ＝3，再由勾股定理即可
得到结论．
解：设CE＝x，则C′E＝x，
∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，
∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，BN＝AM，
∴DM＝CN＝4，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∵∠NCD＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5
由折叠知，C′D＝CD＝5，
∴MC′＝ ＝ ＝3，
∴C′N＝5﹣3＝2，
∵EN＝CN﹣CE＝4﹣x，
∴C′E2﹣NE2＝C′N2，
∴x2﹣（4﹣x）2＝22，
解得，x＝ ，即CE＝ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图
形是解题的关键．
9．A
【分析】
先根据正方形的性质得AB AD ，∠BAD ∠B °，把△ADF绕点A顺时针旋转
°可得到△ABG，接着利用“=SAS”=证5明cm = ，=得90到EG=EF=BE+DF，然后利用
9三0角形周长的定义得到 CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD，由此即可解决问题．
解：∵四边形ABC△D为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=90°，又正方形ABCD的面积为 ，
∴
∴把 ADF绕点A顺时针旋转90°可得到 ABG，如图，
∴AG△=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG△=∠B=90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠GAF-∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在 EAG和 EAF中，
△ △
，
∴ （SAS），
∴EG=EF，
而EG=BE+BG=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∴ 的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=5+5=10cm．
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是
利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题．
10．D
【分析】
根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到 ADE和 DCF全等，然后即可得到
CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到D△F和DE的△关系，再根据勾股定理可
以得到DF2的值，然后即可计算出 CDE的面积．
△解：作CF⊥ED于点F，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE+∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF＝ DE，∠CFD＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在 ADE和 DCF中，
△ △
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴DF＝ CF，
∵∠CFD＝90°，CD＝6，
∴DF2+CF2＝CD2，
即DF2+（2DF）2＝62，
解得DF2＝7.2，
∴S CDE＝ ＝2DF2＝2×7.2＝14.4，
△
故选：D．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形
的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．
11．A【分析】
连接PF，由已知，M在∠FAE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小，于是得到当
P，F，M三点共线时，PM的值最小，连接AM，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，
∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．
解：如图，连接AM，
∵P是边AD的中点，AD=6，
∴AP=3，
连接PF，
由已知，M在∠FAE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小
∴此时P，F，M三点共线时
连接AM，
∵△AEF是等边三角形，M是边EF的中点，
∴AM⊥EF，∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，
∴PM ，
故选 A．
【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的理解
题意是解题的关键．
12．B
【分析】
作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明
△BNH是等腰直角三角形，可得结论．
解：如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，
∵AD=AB，
∴DM=BE，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，
∴∠DFG=90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵ ，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴∠3=∠4，
∵∠ADC=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EDG=45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，
∴∠1=∠BEH，
在△DME和△EBH中，
∵ ，
∴△DME≌△EBH（SAS），
∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，
∴ ，
∴ ，即 = ．
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解
决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全
等．
13． 或
【分析】
分 和 两种情况求解即可．
解：①当 时，如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，BC//AD，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴AF=BF，
在Rt 中， ，
∴ ，
由折叠得，∠∴∠ ，
又
∴ ，
∴ ；
②当 时，如图2，即∠ ，
∴∠ ，
过点E作 于点G，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上，BE的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知
识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
14．1
【分析】
取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，当P与P'重合，P'、
E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长．解：如图，取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．
则PE＝PE'，
∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，
当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，
PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴AB＝BD＝AD＝4．
∴OD＝OB＝2．
∵点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，
∴BF AB＝1，
∵∠ABD＝60°，
∴△BE'F为等边三角形，
∴E'F＝FB＝1．
故PF﹣PE的最大值为1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，
熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．
15．①②③④
【分析】
①由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；②利用SAS即可判定
ABE≌△CBF；③由全等三角形的性质可知BE=BF，∠ABE=∠CBF，再结合
△∠ABC=∠ABE+EBC=60°，即可求出∠EBF=60°，即证明 BEF为等边三角形；④由
∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+FCG即可判断．△解：由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故①正确．
∵在 ABE和 CBF中，
△ △
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
故②正确；
∵△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，
∴△BEF为等边三角形，故③正确；
∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+FCG，∠FCG=∠BFG=60°，
∴∠CFB=∠CGE，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等
三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的
关键．
16．2或
【分析】
分当 时和当 时两种情况讨论求解即可．
解：如图1所示，当 时，取CD中点H，连接 ，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，E为AB中点，
∴ ，∠A=180°-∠B=60°， ，
由折叠的性质可知 ， ，
∴ ，
连接EH，∵ ，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴ ， ，
∵由三角形三边的关系可知，当点 不在线段EH上时，必有
，这与 矛盾，
∴E、 、H三点共线，
∴ ，
∴△AEF为等边三角形，
∴ ；
如图2所示，当 时，连接BD，ED，过点F作FG⊥AB于G，
∵∠ABC=120°，四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵E是AB中点，
∴DE⊥AB，
∴∠ADE=30°，
∴∠EDC=90°，
∴此时 三点共线，
由翻折的性质可得 ，
∵FG⊥AE，∠A=60°，∠AEF=45°，
∴∠AFG=30°，∠GFE=45°，
∴AF=2AG，EG=FG，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2或 ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角
形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜
边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
17．
【分析】
过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，求出AM长，再根据勾股定理列出方
程求解即可．
解：过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，
由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，
∵△ADF的面积为 ，
∴ ，
∵AD＝5，
∴ ，
∴ ，∵∠ABN=∠BAN=∠AMN=90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴ ，∠BNM=90°，AB=MN=3，
∴FN=MN-FM=2，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长，
利用勾股定理列方程．
18．
【分析】
根据题意可求出 ， ．再根据折叠的性质和矩形的性质可
得出 ， ，从而可利用勾股定理求出 ．设 ，
则 ．在Rt 中，再次利用勾股定理即可列出关于x的等式，解出x
即得出答案．
解：∵AB＝6，点F为线段AB的三等分点，
∴ ， ，
根据折叠和矩形的性质可得出 ， ，∴ ．
设 ，则 ．
∵在Rt 中， ，
∴ ，
解得： ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查矩形与折叠，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
19．4
【分析】
因为EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF⊥BC时，
即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合，即可求解．
解：∵动点 、 分别从点 、 同时出发，以相同的速度分别沿 、 向终点 、
移动，
∴AE=CF
∴EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上，
∴当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与
F重合，
∴CP=
故答案为：4
【点拨】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P的位置是解题的关键．
20．
【分析】
利用垂直平分线的性质得出 = = DC，则△D C是等边三角形，进而利用勾
股定理得出答案．
解：如下图，连接 ，∵点 在AB的垂直平分线上，
∴点 在DC的垂直平分线上，
∴ = = DC，则△D C是等边三角形，
设CE= x，易得DE= 2x，
由勾股定理得： (2x)2 -x2= 62，
解得： x= ，（负值舍去）
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，等边三角形的性质，
解题的关键是证明△DC 是等边三角形．
21． 67.5
【分析】
（1）易得 ，利用翻折的性质得到 ；
（2）连接 ， ， ，易证 ，得到 ， ，
当 ， ， 在同一条直线上时，FQ最小，计算可得．
解：（1）如图1，易得 ，
∴ ，
故答案为：67.5；
（2）如图2，连接 ， ， ，
易证 ，∴ ， ，
当 ， ， 在同一条直线上时， 最小，最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握
翻折的性质是解题的关键．
22．
【分析】
取QH的中点M，连接OM，由正方形及矩形的性质得出AG＝EQ，GH＝CD＝3，
∠EQH＝90°，求出QE＝2，由三角形中位线定理得出OM＝ QE＝1，OM∥EQ，求出PM
的长，根据勾股定理可得出答案．
解：取QH的中点M，连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵EF⊥CD，GH⊥BC，
∴四边形AEQG，四边形GHCD为矩形，
∴AG＝EQ，GH＝CD＝3，∠EQH＝90°，∵DG＝1，
∴AG＝EQ＝2，
∵O，M分别为EH，QH的中点，
∴OM＝ QE＝1，OM∥EQ，
∴∠OMP＝90°，
∵P为GQ的中点，M为QH的中点，
∴PQ＝ GQ，QM＝ QH，
∴PM＝PQ+QM＝ ，
∴OP＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是
解题得关键．
23．
【分析】
延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的
值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一
点Q距离的最小值B′Q＝B′C﹣2，根据勾股定理即可得到结论．
解：如图所示：要，
延长BA到B′，使B′A＝AB，
PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，
根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，
圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝CB′﹣2，
∵BC＝AB＝4，
∴BB′＝8，
∴B′C＝ ＝ ＝4 ，B′Q＝B′C﹣2＝4 ﹣2，
∴PB′+PQ的值最小是4 ﹣2，
即PQ+PB的最小值是4 ﹣2，
故答案为：4 ﹣2．
【点拨】本题考查了正方形的性质、轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的找到P
点的位置是解题的关键．
24．1或
【分析】
分EF经过正方形ABCD另三边三种情况求解即可
解：①EF经过CD边中点O时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA， ，
∵点O是CD边中点，点E是BC边中点，
∴ ．
∵CE=CO=1，
∴ ，由折叠得 ，
∴ ．
∴ ，
作FG⊥AB于G，作EH⊥FG于H，如图，
设FH=x，则BG=EH=FH=x，
∵ ，
∴PG＝FG=x+1，
∴BP=2x+1，
由勾股定理得 ，
由折叠得PB=PF，
∴ ，
解得 ．
∴ ，
∴点P在AB外，不符合题意；
②EF经过AD边中点 ，如图，
此时， ，
∴BP=BE=1；
③EF经过AB中点 ，如图，∵ B=BE，
∴ ．
由折叠得 ，
设PF=x，则 ，
∴ ，
∴x= ，即BP= ，
综上，BP的长为1或 ，
故答案为：1或 ．
【点拨】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想
是解答本题的关键．
25．(1)B （3，1）、C （2，4） (2)D （3，5）、P（ ，3）
【分析】
（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H，证明△AGO≌△OHB，根据三角形
全等 的性质可得出结论；
（2）根据对称性和全等的性质可得D （3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从
而可求出点P坐标．
解：(1)
分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；∵四边形 AOBC 是正方形
∴AO= BO ，∠AOB =90°
∴△AGO≌△OHB
∴ AG= OH ，OG= BH
∵A 点坐标为（-1，3）
∴ AG =3，OG=1
∴ OH =3， BH=]
∴ B （3，1）
同理可得C （2，4）
(2)
∵点O与点 E 关于 AP 成轴对称
∴AO=AE， AP⊥OE 且平分 OE
∴E （0，6）
根据上面全等可以得到 D （3，5）
∴点 P 的纵坐标是3
∵点 P 在直线 BC 上
∴设直线 BC 为 y = kx + b ，
由条件可得 ，
解之得
∴y=-3x+10
当y=3时，∴P（ ，3）
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助
线构造全等三角形是解答本题的关键．
26．（1）2；（2）当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．
【分析】
（1）由矩形的性质，得 ，继而列出关于t的一元一次方程即可解题；
（2）过点P作 于点E，先证明四边形APED是矩形，再根据矩形的性质解得
EQ的长，最后在 中，根据勾股定理解题即可．
解：（1） 四边形APQD为矩形．
，
，
，
,
当 时四边形APQD为矩形;
（2）过点P作 于点E，
，
四边形APED是矩形．
，
，
在 中， ，
， ， ，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．
【点拨】本题考查矩形的判断与性质、勾股定理，涉及解一元一次方程、解一元二次
方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
27．（1）详见分析；（2）当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形，证明详见分
析
【分析】
(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定解答即可；
(2)根据菱形的判定解答即可．
解：(1)∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE， ，BF＝FC，
∴∠CFH＝∠FBG，FH＝BG，
∴△BGF≌△FHC；
(2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形．
当E是AD的中点时， AE＝ED，
∵四边形 是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D=90 ，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE，
∵BE＝2FH，CE＝2FG，
∴FH＝FG = ，
∴EH＝HF＝FG＝GE，
∴四边形EGFH是菱形．
【点拨】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关
键是根据全等三角形的判定和菱形的判定解答．
28．(1)见分析 (2)①3；②6
【分析】
（1）利用AAS证 NDE≌△MAE，得出NE＝ME，进而得出结论；
（2）①当四边形A△MDN是矩形时∠AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM
的值；
②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由∠DAB＝60°，得出 AMD为等边三角形，
△进而求出AM的值．
解：(1)
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD
∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE
∵点E是AD边的中点
∴AE＝DE
∴ NDE≌△MAE（AAS）
∴△NE＝ME
∴四边形AMDN是平行四边形
(2)
解：①当四边形AMDN是矩形时
∠AMD=90°
在菱形ABCD中AD＝AB＝6
∵∠DAB＝60°
∴∠ADM=30°
∴AM= AD=3
故答案为：3．
②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM
∵∠DAB＝60°
∴△AMD为等边三角形
∴AM=AD
在菱形ABCD中AD＝AB＝6
∴AM=6
故答案为：6．【点拨】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的
直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键
