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专题 19 立体几何初步（Ⅱ）（七大题型+模拟精练）
目录：
01 平面的基本性质
02 空间共点、共线、共面等问题
03 异面直线
04 空间直线与平面的位置关系
05 空间平面与平面的位置关系
06 空间中的角、距离问题综合
07 空间中动点、旋转、翻折等动态问题
01 平面的基本性质
1．下列说法正确的是（ ）
A．若直线 两两相交，则直线 共面
B．若直线 与平面 所成的角相等，则直线 互相平行
C．若平面 上有三个不共线的点到平面 的距离相等，则平面 与平面 平行
D．若不共面的4个点到平面 的距离相等，则这样的平面 有且只有7个
2．下列说法正确的是（ ）
A．四边形确定一个平面
B．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
C．经过三点确定一个平面
D．经过一条直线和一个点确定一个平面3．已知 是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 是平面 内不共线三点， ，则
C．若直线 ，直线 ，则 与 为异面直线
D．若 且 ，则直线
4．下列结论正确的是（ ）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面.
⊄
02 空间共点、共线、共面等问题
5．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中 ， ， ，且 ，则下列结论一
定成立的是（ ）
A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点
C． D．
6．如图，在三棱柱 中， 分别为 的中点，则下列说法错误的是
（ ）
A． 四点共面 B．
C． 三线共点 D．03 异面直线
7．设 ， 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 是异面直线 D．若 ，则 或 ， 是异面直线
8．已知四边形 是矩形， 平面 为 的中点，则异面直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆锥 的母线长为 ， 是底面圆的直径， 为底面圆周上一点， ，当圆锥 的
体积最大时，直线 和 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．直线l与平面 成角为 ，点P为平面 外的一点，过点P与平面成角为 ，且与直线l所成角为
的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．4条
04 空间直线与平面的位置关系
11．若 ， 为两条直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 与 相交
12．如图，已知四棱锥 中，平面 平面 ， ，
分别为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)若侧面 为等边三角形，求四面体 的体积．
13．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 底面
，点E在棱 上.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，点E为 的中点，求二面角 的余弦值.
14．如图，在四棱锥 中， 平面 为等边三角形，
，点 为棱 上的动点．
(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 的大小为 时，求线段 的长度．
05 空间平面与平面的位置关系
15．已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则D．若 ， ， ， ，则
16．如图，已知四棱锥 中，底面 为平行四边形，点 分别在 上.
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)若点 满足 ，则点 满足什么条件时， 平面 ？并证明你的结论.
17．如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 为菱形， ， 平面
，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
18．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成， 为半个圆柱上底面的直径，
， ，点 ， 分别为 ， 的中点，点 为 的中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 是线段 上一个动点，当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
06 空间中的角、距离问题综合
19．在平行六面体 中，已知 ， ，则下列
选项中错误的一项是（ ）
A．直线 与BD所成的角为90°
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为90°
D．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
20．在四棱锥 中， 为等边三角形，四边形 为矩形，且 ，平面 平
面 ，则直线AC与平面 所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．1
21．已知棱长为1的正方体 分别是AB和BC的中点，则MN到平面 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
22．在四面体 中，平面 平面 ， 是直角三角形， ，则二
面角 的正切值为 ．
07 空间中动点、旋转、翻折等动态问题
23．若将正方体 绕着棱AB旋转 后，CD所在位置为 的位置，则直线 和平面
所成的角为 .
24．边长都是为1的正方形 和正方形 所在的两个半平面所成的二面角为 ， 、 分别是对
角线 、 上的动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．如图， ， ， ， , 为 的
中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到 的距离.
26．已知棱长为1的正方体 内有一个动点M，满足 ，且 ，则四棱锥
体积的最小值为 .
27．如图1，在矩形 中，点 在边 上， ，将 沿 进行翻折，翻折后
点到达 点位置，且满足平面 平面 ，如图2．
(1)若点 在棱 上， 平面 ，求证： ；
(2)求点 到平面 的距离．
28．在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线 为平面 与平面 的交线，现
有如下说法
①不存在点 ，使得 平面
②存在点 ，使得 平面
③当点 不是 的中点时，都有 平面
④当点 不是 的中点时，都有 平面其中正确的说法有（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④
一、单选题
1．（2024·西藏·模拟预测）已知 ， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ，
， ．设甲： ，乙： ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·安徽芜湖·三模）下列说法正确的是（ ）
A．正方体各面所在平面将空间分成27个部分
B．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行
C．若空间中四条不同的直线 满足 ，则
D．若 为异面直线， 平面 平面 ，且 与 相交，若直线 满足 ，则 必平行
于 和 的交线
3．（2024·山东济南·二模）已知正方体 分别是 的中点，则（ ）
A． 平面
B． 平面C． 平面
D． 平面
4．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的一点，
则下面结论中错误的是（ ）
A．
B． 平面
C．平面 平面
D． 平面
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 为
的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则点 的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．（2024·辽宁·三模）如图，已知正四面体 （所有棱长均相等的三棱锥）， ， ， 分别为， ， 上的点， ， ，分别记二面角 ， ， 的
平面角为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示是一个以 为直径，点 为圆心的半圆，其半径为4， 为线段
的中点，其中 ， ， 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半
圆围成一个以 为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（ ）
A． 为正三角形 B． 平面
C． 平面 D．点 到平面 的距离为
8．（2024·浙江绍兴·二模）在边长为4的正三角形 中，E，F分别是 ， 的中点，将 沿着
翻折至 ，使得 ，则四棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·湖南衡阳·三模）设 ， 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是
（ ）A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
10．（2024·贵州六盘水·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体 中，点P是线段
上的动点，则（ ）
A． 的面积为
B．三棱锥 的体积为
C．存在点P，使得 ⊥
D．存在点P，使得 ⊥平面
11．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形 中，四边形 为正方形， ，
，F为AB中点，现将 沿 折起到面 位置，使得 ，则下列结论正确的
是（ ）A．平面 平面
B．若 为 的中点，则 平面
C．折起过程中， 点的轨迹长度为
D．三棱锥 的外接球的体积为
三、填空题
12．（2024·福建泉州·模拟预测）若将正方体 绕着棱AB旋转 后，CD所在位置为
的位置，则直线 和平面 所成的角为 .
13．（2023·广西·模拟预测）如图，已知在矩形 和矩形 中， ， ，且二面角
为 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
14．（2024·山东·模拟预测）如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直，点 在正方形
及其内部运动，点 在矩形 及其内部运动．设 ， ，若 ，当四面体 体
积最大时，则该四面体的内切球半径为 ．
四、解答题
15．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
16．（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥 的底面为正方形，其中点 在平面 上的投影为 ，
点 在线段 上.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 与平面 所成角为45°，求二面角 的余弦值.
17．（23-24高三上·山东枣庄·期末）如图，直四棱柱 的底面为平行四边形， 分别为
的中点.
(1)证明： 平面 ；(2)若底面 为矩形， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求 到平面
的距离.
18．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在多面体 中，侧面 为菱形，侧面 为直角梯
形， ， ， 为 的中点，点 为线段 上一动点，且 ， ，
.
(1)若点 为线段 的中点，证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，且 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角
的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
19．（2024·江西南昌·二模）如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，
得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆 的直径，
，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为 ，图一中，点 是椭圆上的动
点，点 在底面上的投影为点 ，图二中，椭圆上的点 在底面上的投影分别为 ，且
均在直径AB的同一侧.(1)当 时，求 的长度；
(2)（i）当 时，若图二中，点 将半圆均分成7等份，求 ；
（ii）证明: .
