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专题 1.13 《直角三角形的边角关系》全章复习与巩固
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、锐角三角函数
1．在正方形网格中， 在网格中的位置如图，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．在 中， ，若 ，则 的正切值是（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时
针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值（ ）
A． B．1 C． D．
4．如图，折叠矩形 的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知 ，
．则 的值是（ ）A． B． C．2 D．5
知识点二、 特殊角三角函数值的计算
5．如图，已知 的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则 的值是（
）
A． B． C． D．1
6．下列计算错误的有（ ）
① ；② ；③ ；④
．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．当锐角 的 时， 的值为（ ）
A．小于 B．小于 C．大于 D．大于
8．如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形 ，也可以
拼成正方形 ，则菱形 面积和正方形 面积之比为（ ）
A．1 B． C． D．知识点三、 解直角三角形
9．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离 为 ，在A点测得D点的仰
角 为 ，在B点测得D点的仰角 为 ，则乙建筑物的高度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在 中， ， 是 边上的高，则下列选项中不能表示
的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点
D，得到矩形AB′C′D′，此时旋转角为θ，若tanθ＝ ，则cos∠ADD'为（ ）A． B． C． D．
知识点四 、锐角三角函数与相关知识的综合
13．如图，在四边形 中，E，F分别是 ， 的中点，若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在 中， ．边 在 轴上，顶点 的坐标分别为 和
．将正方形 沿 轴向右平移当点 落在 边上时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD= ，则线段
AB的长为（ ）A． B．2 C．5 D．10
16．如图， 中， ，点 在 上， ．若 ，
则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
知识点五 、利用三角函数解决实际问题
17．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼
底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（
）
A． 米 B．90 米 C．120 米 D．225米
18．如图，在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C
地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（ ）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
19．比较下图长方形内阴影部分面积的大小，甲（ ）乙。
A．＞ B．＜ C．＝
20．如图，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点
升高________米（ ）
A．11.25 B．6.6 C．8 D．10
二、填空题
知识点一、锐角三角函数
21．如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， ，且 ，
，连接 ，则 ______．
22．如图， 是平面镜，光线从 点出发经 上的点 反射后照射到 点，若入射角为，垂足分别为 ，且 ，则 的值为
_______．
23．已知：如图， 中， 的面积等于9，则 ______．
24．如图，在正方形网格中有 ，则 的值等于______．
知识点二、 特殊角三角函数值的计算
25．计算： ＝______________．
26．如果 ，则 的形状是________．
27．若cos（α﹣15）°＝ ，则α＝_____．
28．四边形具有不稳定性．如图，矩形 按箭头方向变形成平行四边形 ，当
变形后图形面积是原图形面积的一半时，则 ________．知识点三、 解直角三角形
29．如图，点 、 、 、 在同一平面内，点 、 、 在同一直线上，且 ，
在点 处测得点 在北偏东 方向上，在点 处测得点 在北偏东 方向上，若
千米，则 ， 两点的距离为__千米．
30．如图，在梯形 中， ， ，则下底
的长为________．
31．在 中， ，
（1）已知： ，则 __， ___， ________；
（2）已知： ，则 _______， _______；
（3）已知： ，则 ______， _______， ________；
（4）已知： ，则 _______．
32．如图，某商店营业大厅自动扶梯 的倾斜角为 ， 的长为12m，则大厅两层之
间高度为_______________________m．（结果保留一位小数）（参考数据： ，
， ）.知识点四 、锐角三角函数与相关知识的综合
33．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的
东西，互相以长补短．在菱形 中， ．如图，建立平面直角坐标
系 ，使得边 在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．
34．如图，P（12，a）在反比例函数 图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为
_____．
35．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝
BO，反比例函数y＝ (x＜0)的图象经过点A，若S ＝ ，则k的值为________．
△AOB
36．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为
______．知识点五 、利用三角函数解决实际问题
37．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平
距离为18 m的地面上，若测角仪的高度为I.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，
则教学楼的高度是____．
38．如图，一辆小车沿着坡度为 的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时
该小车离水平面的垂直高度为_____________.
39．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的
俯角为60°,则建筑物CD的高为________ m．40．如图．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD是AC边
上的高，则BD的长为______cm．
三、解答题
知识点一、锐角三角函数
41．已知在 中， 求 及 的值．
知识点二、 特殊角三角函数值的计算
42．先化简再求值： ，其中 ．
知识点三、 解直角三角形
43．如图， ， ， 于点E， 于点F．
（1）求证： ；
（2）已知 ，求 的值．知识点四 、锐角三角函数与相关知识的综合
44．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证： ；
（2）若BE＝ ，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
知识点五 、利用三角函数解决实际问题
45．某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看
台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢
架杆AD和8C（杆子的底端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．
（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长）．
参考答案
1．A
【分析】过A点作AD BC，结合格点图形，利用勾股定理及锐角三角函数定义求解即可；
解：如图，过A点作AD BC，在 中， ，则
，∴ ．
故答案为：A
【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形，熟练运用锐角三角函数的定义求
锐角三角函数值是解题的关键．
2．B
【分析】根据已知可设 ，则 ，根据三角函数的定义从而求出 的正切值．
解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了是锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握正切函数的定义．
3．B
【分析】根据旋转的性质求出∠DEC的度数，再根据特殊角三角函数值求值即可．
解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC＝55°，
又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，
∴∠ACB＝∠AED＝100°，
∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，
∴tan∠DEC＝tan45°＝1，
故选：B
【点拨】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质求出角度，熟记特殊角
三角函数值．
4．A
【分析】先根据矩形的性质得CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC
＝BC−BF＝4，设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD−DE＝8−x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得
到42＋（8−x）2＝x2，解得x＝5，即EF＝5，然后在Rt△AEF中根据正切的定义求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6，
∴FC＝BC−BF＝4，
设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD−DE＝8−x，
在Rt△CEF中，
∵CF2＋CE2＝EF2，
∴42＋（8−x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴EF＝5，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝ ；
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
5．B
【分析】根据图像和勾股定理得出AB2，AC2，BC2的值，进而得出△ABC是等腰直角三角
形，即可得出结果．
解：设每个小正方形的边长为1，由网格构造直角三角形可得，AC2＝12＋32＝10，AB2＝12
＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠C＝45°，∴sinA＝sin45°＝ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了锐角三角函数．由网格构造直角三角形，并求出AB2，AC2，BC2的值
是解决本题的关键．
6．C
【分析】利用特殊角的三角函数值逐个代入计算判断即可；
解：① ， ，故左右不相等，错误；
② ，正确；③ ，错误；④
，错误．
错误的有3个，
故选择：C
【点拨】本题主要考查特殊三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关
键．
7．A
【分析】明确cos45°＝ ，余弦函数随角增大而减小进行分析．
解：根据cos45°＝ ，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
【点拨】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
8．C
【分析】设直角三角形的长直角边长为 ，短直角边长为 ，根据菱形的性质可得 ，从而得到 ， ，即可解答．
解：设直角三角形的长直角边长为 ，短直角边长为 ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了本题考查了菱形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，正
确的理解题意是解题的关键．
9．B
【分析】作CD⊥AB于D，则△BCD是等腰直角三角形，得BD=CD，∠BCD=45°，求出
∠ACD=30°，由直角三角形的性质得AD= AC=3，BD=CD= AD=3 ，即可得出答案．
解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，∠BCD=45°，
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，
∴AD= AC= ×6=3，CD= =3 ，
∴BD=CD=3 ，
∴AB=BD+AD=3 +3=3（ +1）；
故选：B．
【点拨】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角
形的性质等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．B
【分析】在 中，解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作
AF⊥CD于点F，在 中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的
高度．
解：如图，过点A作 于点F，在 中，
， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即乙建筑物的高度为 ．
故答案选：B．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角
求得相应线段的长是解题的关键．
11．D
【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，再在三个直角三角形
中分别表示出tanB即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，
∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，
又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
在Rt△ABC中，tanB= ，故A可以表示；
在Rt△ABD中，tanB= ，故B可以表示；
在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC= ，故C可以表示；
D不能表示tanB；
故选：D．
【点拨】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用
是解题关键．
12．C
【分析】过点D'作D'E⊥AD于点E，设D'E＝3x，AE＝4x，在Rt△AD'E中，由勾股定理得：
AD'＝5x＝10，得x＝2，则D'E＝6，AE＝8，DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DED'中，
由勾股定理求得DD'的长，即可解决问题．
解：过点 作 于点 ，
将矩形 绕点 逆时针旋转至 恰好经过点 ，
， ，，
，
设 ， ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
，
， ，
，
在 中，由勾股定理得：
，
，
故选： ．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，以及三角函数等知识，作
辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
13．C
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理的逆定理得到
∠BDC=90°，根据正弦的定义计算即可．
解：连接 ，
∵E，F分别是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴△BCD是直角三角形， ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知识，掌
握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．B
【分析】先画出 落在 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解 的长度，结合正
方形的性质，从而可得答案．
解：由题意知：
四边形 为正方形，
如图，当 落在 上时，
由
故选【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角
三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
15．C
解：分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求
出AO，根据勾股定理求出AB即可．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD= ，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= =5，
故选C．
点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的
关键．
16．C
【分析】先根据 ，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据
，即可得cos∠DBC=cosA= ，即可求出BD．
解：∵∠C=90°，
∴ ，∵ ，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC= =3，
∵ ，
∴cos∠DBC=cosA= ，
∴cos∠DBC= = ，即 =
∴BD= ，
故选：C．
【点拨】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
17．C
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得
然后利用三角函数求解即可求得答案．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则
在Rt△ABD中，由
在Rt△ACD中，由∴
故这栋楼的高度为 m．
故选： ．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题．掌握准确构造直角三角形是
解此题的关键．
18．B
解：试题分析：根据题意可得：∠DAB=70°，AD∥BE，AC=10，AB=8，BC=6，根据勾股
定理的逆定理可知∠ABC=90°，根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，则∠CBE=110°-
90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上.
19．C
【解析】
在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，
三角形3面积=三角形4面积，即可得面积甲=面积乙．故选C.
点睛：等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键．
20．C
【解析】
试题分析：设长臂的端点升高x米，根据臂长与下降或升高的距离的关系即可列方程求解.
设长臂的端点升高x米，由题意得
解得则长臂的端点升高8米
故选C.
考点：相似三角形的应用
21．
【分析】过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，连接OE交BC于点G，根据 ，
，可得四边形BOCE是平行四边形，从而四边形BOCE是菱形，则有OE与BC互
相垂直平分，易得OE=AB=2x，CF=GE= OE=x，再由锐角三角函数定义，即可求解．
解：如图，过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，连接OE交BC于点G，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB:BC=2：1，
∴BC=AD，OB=OC，∠BCF=90°，
可设BC=x，则AB=2x，
∵ ， ，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵OB=OC，
∴四边形BOCE是菱形，
∴OE与BC互相垂直平分，
∴EF=CG= AD= x，OE∥AB，∠BCF=∠CGE=∠F=90°，
∴四边形CGEF是矩形，
∴CF=GE= OE，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE=AB=2x，
∴CF=GE= OE=x，∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角
三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．
22．
【分析】设 ，则 ，由物理性质可得入射角等于反射角、法线与 ，则
、 ，则 ，求得 ，即可求解；
解：设 ，则 ，
由物理性质可得入射角等于反射角、法线与 ，
∵
∴法线平行于 ，
∴
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，即
故答案为
【点拨】此题考查了三角函数的定义，涉及了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根
据物理性质找到 求得 的长度．
23．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积求出CD，根据锐角三角函数的定义求出
即可．
解：过C作CD⊥AB于D，∵△ABC中，AB=9，△ABC的面积等于9，
∴ ×AB×CD=9，
∴CD=2，
∴sinB= .
故答案为： .
【点拨】本题考查三角形的面积和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
24．
【分析】首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出
∠ACB=90°，最后根据锐角三角函数的定义求出sin∠ABC的值．
解：∵AB= ，BC= ，AC= ，
∴AB2=BC2+AC2，
∴∠ACB=90°．
∴sin∠ABC= ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理以及锐角三角函数的定义．在直角三角形
中，锐角的正弦为对边比斜边．
25．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，零次幂，负整指数幂进行计算即可．
解：故答案为：
【点拨】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，零次幂，负整指数幂，掌握以上知识是解
题的关键．
26．等边三角形
【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得
答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以
及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定．
27．45
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
解：∵cos（α﹣15）°＝ ，
∴（α﹣15）°＝30°，
则α＝45．
故答案为：45．
【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
28．
【分析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形A'B'C'D'的底边 边上的
高等于 的一半，据此可得∠ 为30°．
解：如图，过点 作 于点E．
设矩形 的边 长为a， 长为b， 长为c，则 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了四边形的不稳定性、矩形与平行四边形的面积公式、解直角三角
形等相关知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
29．
【分析】由 ，在点A处测得点 在北偏东 方向上，可得 ，
，
利用锐角三角函数可求 千米， 千米，在Rt△BCP中 千
米即可．
解： ，在点A处测得点 在北偏东 方向上，
， ，
千米，
千米， 千米，
在点 处测得点 在北偏东 方向上， ， 千米，
在Rt△BCP中，
，
千米，（千米），
故答案为： 千米．
【点拨】本题考查解直角三角形，方位角应用，线段和差，掌握锐角三角函数的定义是解
题关键．
30．8
【分析】平移一条腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
解：如图，作 交 于点E，则四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8．
【点拨】本题考查与梯形有关的问题，平移一条腰是梯形中常见的辅助线，再根据平行四
边形的性质和三角形的性质进行分析．
31．45° 45° 6 8 12 60° 45°
【分析】（1）先利用勾股定理求出a，然后分别求出sinA，sinB即可得到答案；
（2）根据 ， ，先求出b，然后求出a即可；
（3）根据 ， ，即可得到 ， ， ，由此求
解即可；
（4）根据 ， 得到 ，即 ，即可求解.解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°， ， ，
∴ ， ， ，
∴∠A=45°，∠B=45°，
故答案为：45°，45°， ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6，8；
（3）∵ ， ，
∴ ， ， ，∠A=60°
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：12， ，60°；
（4）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴∠A=45°，故答案为：45°.
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
32．
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2.
【点拨】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.
33．(2， )
【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD
的长度，即可得到答案．
解：∵四边形 为菱形，
∴AD=AB=CD=2，
∵
∴
在Rt△DOA中，
∴OD=
∴点C的坐标是(2， )．
故答案为：(2， )．
【点拨】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌
握特殊三角函数值是解题关键．
34．
解：试题分析：∵P（12，a）在反比例函数 图象上，
∴a= =5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH= ，
故答案为 ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用
35．－3
解：如图所示,过点A作AD⊥OD,根据∠AOB＝30°,AB＝BO,可得∠DAB＝60°,
∠OAB＝30°,所以∠BAD＝30°,在Rt△ADB中, 即 ,因为AB
＝BO,所以 ,所以 ,所以 , ,根据反比例函数k的几何
意义可得: ,因此 ,因为反比例函数图象在第二象限,所以
36．1
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为
等腰直角三角形，即可求出所求．解：
解：连接 ，
由网格可得 ， ，
即 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
则 ，
故答案为1.
【点拨】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股
定理是解本题的关键．
37．19.5m．
【分析】作DE⊥AB于E，根据tan∠ADE＝ 求出AE，故可求解．
解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝ ，
∴AE＝DE•tan∠ADE＝18 × ＝18，
∴AB＝AE+EB＝18+1.5＝19.5（m），
故答案为：19.5m．
【点拨】此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟知正切的定义．
38．25
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了 x米．
根据勾股定理可得：x2＋（ x）2＝502．
解得x＝25．
即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．
故答案为：25.
【点拨】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公
式：tan （坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．
39．20 m
【分析】延长CD交AM于点E．在Rt△ACE中，可求出CE；在Rt△ADE中，可求出
DE．CD=CE-DE．
解：延长CD交AM于点E，则AE=30．
∴
同理可得
∴ （米）
故答案为
【点拨】考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．
40． ．
【解析】
∵S = AB•BC= AC•BD，∴12×5=13BD，∴BD= cm．故答案为 .
△ABC41． ，
【分析】根据题意可画出图形，然后设 ，由勾股定理可得 ，进而
问题可求解．
解：如图：
由 可设 ，
∴ ，
∴ ， ．
【点拨】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数是解题的关键．
42． ，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求
得 的值，代入计算可得．
解：原式
，
当 时，原式
．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
43．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据平行线性质得∠ABC=∠BCD，即可求证△ABC∽△BCD；
（2）设BC=k，则AC=2k，根据勾股定理可求得AB，再根据△ABC∽△BCD得对应边比值
相等即可解题．
解：（1）∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ；
（2）∵
∴可设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 于点E， 于点F，
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判
定与性质．44．（1）详见解析；（2）2 ．
【分析】（1）利用菱形的性质，由SAS证明 即可；
（2）证 是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在 和 中，
，
∴ （SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴ 是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝ BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2× ＝2 ．【点拨】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握
以上知识是解题的关键．
45．（1）1.2；（2）4.6．
解：试题分析：（1）已知看台有四个台阶组成，由图可看出DH由三个台阶组成，看台的
总高度已知，则DH的长不难求得；
（2）连结CD，则四边形ABCD是平行四边形，从而得到CD=AB，再利用三角函数可求
得CD，AB的长．那么所用不锈钢材料的总长度 就不难得到了．
试题解析：（1）DH= EF= =1.2（米），所以DH为1.2米；
（2）连结CD，∵ ， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AB∥DC，
∴∠CDH=∠BAD=66.5°，Rt△CDH中， ， ， ∴CD≈3，即
AB≈3，∴ =AD+AB+BC≈0.8+3+0.8=4.6（米），即所用材料总长度约4.6米．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
