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专题1.15 角的平分线（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、角平分线的性质定理及证明
1．如图，在 ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于
F，交AC于E△，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+ ∠C；
②AE+BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S CEF＝ab．
其中正确的是（ ） △
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
2．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外
角∠ACF,以下结论：
①AD∥BC；②∠BDC＝ ∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD； ④BD平分∠ADC;
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点 是 的中点， ， 平分 ，下列结论∶①
② ③ ④ ,四个结论中成立的是（ ）A．①②④ B．①②③ C． ②③④ D．①③
类型二、角的平分线的性质定理
4．如图，已知在四边形 中， ， 平分 ， ， ，
，则四边形 的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面
积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5
C．7 D．3.5
6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，
BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）A．10 B．7 C．5 D．4
类型三、角平分线的判定定理
7．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（
）
A．一定相等 B．一定不相等 C．当BD=CD时相等 D．当DE=DF时相等
8．如图，在 和 中， ， ， ， ．
连接 、 交于点 ，连接 ．下列结论：
① ；② ；③ 平分 ；④ 平分
其中正确的结论个数有（ ）个．A．4B．3 C．2D．1
9．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则
PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
类型四、角平分线的性质的实际应用
10．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若
∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与
∠ABO之间的大小关系一定为（ ）
A．互余 B．相等 C．互补 D．不等
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB
于点E，且AB＝10，则△EDB的周长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
类型五、作角平分线
13．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
14．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y
轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于
点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，
小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于 EF
长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为(
)
A．40° B．55° C．65° D．75°
二、填空题
类型一、角平分线的性质定理及证明
16．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，
过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC= ∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确
的结论有_____（将所有正确答案的序号填写在横线上）．17．如图所示，已知 ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于
D，且OD＝4，则 A△BC的面积是_____．
△
18．如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平
分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D = 90°；④∠DBF = 2∠ABC． 其中正确的结论有
______________．
类型二、角的平分线的性质定理
19．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对
全等三角形．
20．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，
∠FAE=19°，则∠C=______度．21．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有
____________(填写正确的序号)．
①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．
类型三、角平分线的判定定理
22．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=___．
23．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，
∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
24．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的
延长线于F，则∠CAF的度数是______.类型四、角平分线的性质的实际应用
25．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，
OD=5，则△ABC的面积=_________.
26．如图， 是 的角平分线， 于 ， 的面积是
，则 __________．
27．如图所示，在 中， ， 平分 ， 于 ， ，则
________．
类型五、作角平分线
28．如图，在Rt ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，
△BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作
射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则 ACD的面积是_____．
△
29．如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交
于点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，
作射线 交 于点 ．若 ，则 _____．
30．如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按
以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分
别以C，D为圆心，以大于 CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE
交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为_____．三、解答题
31．如图，AD平分∠EAC，若∠C=55°，∠EAC=110°，AD与BC平行吗？为什么？请根
据解答过程填空（理由或数学式）
解：AD∥BC．理由：
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC= ∠EAC（ ）
∵∠EAC=110°（已知）
∴∠DAC= ∠EAC= °
∵∠C=55°（已知）
∴∠C=∠
∴AD∥BC（ ）
32．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.33．如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.
求证：CE=CF．
34．如图，在 中．
利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离 的长 等于PC的长；
利用尺规作图，作出 中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
35．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交
AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第
(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作
OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说
明你的理由.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判
断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④．
【详解】
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB
＝180°﹣ （180°﹣∠C）
＝90°+ ∠C，①正确；
∵EF∥AB，
∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴FO＝FB，
同理EO＝EA，
∴AE+BF＝EF，②正确；当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，
∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OD＝OH，
∴S CEF＝ ×CF×OD ×CE×OH＝ab，④正确．
△
故选C．
【点拨】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质.熟练掌握定
理，并能灵活运用是解决此题的关键.
2．C
【解析】
【分析】
根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据
三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出
∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】
解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∠BDC＝ ∠BAC,
∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，
∴④不正确；
即正确的有3个，
故选C．
【点拨】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理
的应用，主要考察学生的推理能力，有一定的难度．
3．A
【解析】
【分析】
过E作EF⊥AD于F，易证得Rt AEF≌Rt AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝
∠AEB；而点E是BC的中点，得△到EC＝△EF＝BE，则可证得Rt EFD≌Rt ECD，得到DC
＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∠△AED＝∠△AEF＋∠FED＝
∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论．
【详解】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt AEF≌Rt AEB(HL)
∴AB△＝AF，∠△AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt EFD≌Rt ECD，
∴DC△＝DF，∠△FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了
三角形全等的判定与性质．
4．B
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的
面积公式即可得到结论．
【详解】
如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形 的面积
故选B.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的
关键．
5．B
【解析】
【详解】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DE=DG，
∴DM=DE，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S =S ﹣S =590﹣39=11，
MDG ADG AMG
△ △ △
S =S = S = =5.5
DNM DEF MDG
△ △ △
6．C
【解析】【详解】
试题分析：如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以
△BCE的面积等于 ,故答案选C．
考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．
7．D
【解析】
【分析】
已知有点到∠BAC的两边的距离，根据角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点
在角的平分线上，要满足∠1=∠2，须有DE=DF，于是答案可得．
【详解】
根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选D．
【点拨】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
做题时要明确题目中有什么条件，要达到什么目的．
8．B
【解析】
【分析】
由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋
∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明
△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分 ，
④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝
∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝
∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而 ，故③错误；即可得出结论．
【详解】
∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴ 平分 ，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与 矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知
识；证明三角形全等是解题的关键．
9．B
【解析】
【详解】
分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的
点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作
PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得
PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答： 解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选B．
10．B
【解析】
【详解】
如图，过点P作PC垂直AO于点C，PD垂直BO于点D,根据角平分线的性质可得
PC=PD，因∠AOB与∠MPN互补，可得∠MPN=∠CPD,即可得∠MPC=∠DPN，即可判定
△CMP≌△NDP，所以PM=PN，（1）正确；由△CMP≌△NDP可得CM=CN，所以
OM+ON=2OC，（2）正确；四边形PMON的面积等于四边形PCOD的面积，（3）正确；
连结CD，因PC=PD，PM=PN，∠MPN=∠CPD，PM>PC，可得CD≠MN，所以（4）错误，
故选B.
11．A
【解析】
【详解】
试题解析：∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，
∴∠CAB=2∠OAB，∠ABD=2∠ABO，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°，∴OA⊥OB，
故选A.
考点：1.平行线的性质；2.余角和补角．
12．D
【解析】
【分析】
先证出Rt ACD≌Rt AED，推出AE=AC， DBE的周长=DE+EB+BD=AB，即可求解．
【详解】△ △ △
解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AED=90°，CD=DE，
在Rt ACD和Rt AED中
△ △
∴Rt ACD≌Rt AED，
∴AE△=AC， △
∴△DBE的周长
=DE+EB+BD
=CD+DB+EB
=BC+EB
=AC+EB
=AE+EB
=AB
=10，
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，能求出AE=AC，
CD=DE是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
13．D
【解析】
【详解】
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直
线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
14．B
【解析】
【详解】
试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，
则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，
∴2a+b=﹣1．故选B．
15．C
【解析】
【详解】
试题分析：由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，
∵∠CAB=50°，∴∠CAD= ∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，
故选C．
考点：作图—基本作图．
16．①③④.
【解析】
【分析】
①根据角平分线的定义得到∠EBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACD，根据外角的性质即可得
到结论；
②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；
③由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到结论；
④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离
相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论．
【详解】
①BE平分∠ABC，
∴∠EBC= ∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE= ∠ACD，
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC= (∠BAC+∠ABC)=∠EBC+ ∠BAC，
∴∠BEC= ∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全
等的结论，故②错误；
③BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE=∠GEB，
∴∠ABE=∠GEB，
∴BG=GE，
同理CH=HE，
∴BG−CH=GE−EH=GH，
∴BG=CH+GH，
故③正确；
④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，∵BE平分∠ABC，
∴EM=ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN=ED，
∴EN=EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如图，
则∠BAC=180 −2z，∠ACB=180 −2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180 ，
∴2y+180 −2z+180 −2x=180 ，
∴x+z=y+90 ，
∵z=y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB=y+90 ，
∴x+∠AEB=90 ，
即∠ACE+∠AEB=90 ，
故④正确.
故答案为①③④.
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质和判定，三角形内
角和定理， 三角形的外角性质等多个知识点.判断出AE是△ABC的外角平分线是关键.
17．36
【解析】
【分析】
过点O作OE⊥AB于E,作OF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得
OE=OD=OF,然后根据三角形的面积列式计算即可得解
【详解】
如图,过点O作OB⊥AB于E作OF⊥AC于F,
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC
∴OE=OD=OF=4
ABC的面积= ×18×4=36
△
故答案为36
【点拨】此题考查角平分线的性质，解题关键在于做辅助线
18．①②③
【解析】
【详解】
分析：根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=
∠FBE，求出∠CBE= ∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根
据平行线的判定得出AC∥BE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答
案．
详解：∵BC⊥BD，
∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，
∵∠ABE+∠FBE=180°，
∴ ∠ABE+ ∠FBE=90°，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE= ∠FBE，
∴∠CBE= ∠ABE，
∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，
∴∠ACB=∠ECB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴∠ACB=∠EBC，
∴AC∥BE，
∵∠DBC=90°，∴∠BCD+∠D=90°，
∴①②③正确；
∵根据已知条件不能推出∠DBF=2∠ABC，
∴④错误；
故答案为①②③．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理
的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
19．3
【解析】
【详解】
试题分析：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在R△AEP与R△BFP中，
t t
，
∴R△AEP≌R△BFP，
t t
∴图中有3对全等三角形，
故答案为3．考点：角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
20．24
【解析】
【分析】
根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在 ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴7△0°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点拨】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、
角的概念及其计算.
21．①③④
【解析】
【分析】
根据角平分线的意义及其性质可以对各项的正确性质作出判断．
【详解】
解：由角平分线的定义可知PA=PB，∴OP垂直平分AB，①正确，②错误；
又在△OPA和△OPB中，∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，∴OA=OB，PO平分∠APB，③、④正确；故答案为①、③、④．
【点拨】本题考查三角形的应用，熟练掌握角平分线、中垂线的意义和性质以及全等三角
形的判定和性质是解题关键．
22．120°
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点O是三个角的平分线的交点，再根据三
角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列
式计算即可得解．
【详解】
∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是三个角的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）= （180°-60°）=60°，
在△BCO中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°．
故答案为120°．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的内角和定理，
角平分线的定义，熟记性质并判断出点O是三个角的平分线的交点是解题的关键．
23．150°
【解析】
【分析】
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD
的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】
∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为150°
【点拨】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．
24．45°
【解析】
【详解】
试题解析：∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA=FD，
∴∠FDA=∠FAD，
∵∠FDA=∠B+∠BAD，
∠FAD=∠CAF+∠DAC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠CAF=∠B=45°．
25．50.
【解析】
【分析】
根据△ABC的三条角平分线交于O点，故点O到三角形各边的距离相等，即△ABO、
△ACO、△BCO的高相等，再把这三个三角形的面积加起来即为△ABC的面积.
【详解】
∵△ABC的三条角平分线交于O点，
∴点O到三角形各边的距离相等，
即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，h=5,
∵△ABC的周长为20，即AB+AC+BC=20,
∴S =S +S +S
ABC ABO ACO BCO
△ △ △ △
= AB h+ AC h+ BC h
= （AB+AC+BC） h
= 20 5=50.
【点拨】此题主要考察三角形内角平分线的性质.
26．2cm
【解析】【分析】
过点D作 ，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE=DF，根据等高的
三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的
面积，进而求出DE．
【详解】
如图，过点D作 ，垂足为点F
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DE=DF
∵ 的面积是
∴
即
∴DE=2cm
故答案为：2cm．
【点拨】本题考查了三角形的问题，掌握角平分线的性质、等高的三角形的面积之比等于
其底边长之比是解题的关键．
27．
【解析】
【分析】
由角平分线的性质定理，得到CD=DE，然后等量代换即可得到答案．
【详解】
解：∵在 中， ，
∴DC⊥AC，
∵ 平分 ， ，
∴CD=DE，∴ ；
故答案为：8cm；
【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理，
正确得到CD=DE．
28．15
【解析】
【分析】
作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
【详解】
解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S = •AC•DQ= ×10×3=15，
ACD
△
故答案为15．
【点拨】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线
的性质．
29． ．
【解析】
【分析】
利用基本作图得BD平分 ，再计算出 ，所以 ，利用
得到 ，然后根据三角形面积公式可得到 的值．
【详解】解：由作法得 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
故答案为 ．
【点拨】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线 ．
30．2 ．
【解析】
【分析】
作高线BG，根据直角三角形30度角的性质得：BG=1，AG= ，可得AF的长．
【详解】
如图，作高线BG，
∵MN∥PQ，
∴∠NAB=∠ABP=60°，
由题意得：AF平分∠NAB，∴∠1=∠2=30°，
∵∠ABP=∠1+∠3，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴AB=BF，AG=GF，
∵AB=2，
∴BG= AB=1，
∴AG= ，
∴AF=2AG=2 ，
故答案为2 ．
【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、直角三角形30度角的性质，此
题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
31．见解析.
【解析】
【分析】
根据角平分线定义求出∠DAC，求出∠C=∠DAC，根据平行线的判定（内错角相等；两直
线平行）得出即可．
【详解】
角平分线的定义；55°；∠DAC；内错角相等；两直线平行
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意找角的等量关系从而得到平行关系．
32．详见解析
【解析】
【分析】
（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得
AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【详解】
（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中， ，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应
角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
33．详见解析.
【解析】
【分析】
利用BF平分∠ABC知∠CBF＝∠DBE，又∠ACB=90°,CD⊥AB得∠CFB＝∠DEB，再利
用对顶角相等得∠CFB＝∠FEC，即CE＝CF.
【详解】
证明：∵∠ACB＝90°,CD⊥AB
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°
∵BF平分∠ABC
∴∠CBF＝∠DBE
∴∠CFB＝∠DEB
∵∠FEC＝∠DEB
∴∠CFB＝∠FEC
∴CE＝CF
【点拨】此题主要考察角平分线的定义，并通过角的等量变换，等腰三角形的判定进行证
明.
34． 作图见解析； （2）作图见解析.【解析】
【分析】
由点P到AB的距离 的长 等于PC的长知点P在 平分线上，再根据角平分
线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于一点，
然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点
A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；
根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到
AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半
长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD
即为所求）．
【详解】
如图，点P即为所求；
如图，线段PD即为所求．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握
基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
35．（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，
△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．
【解析】
【分析】
（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故
∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、
△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC
的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍
成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
【详解】
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠ACO= ∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进
行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
