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专题 19 立体几何综合小题必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
3．如图，空间四边形 中，点 在线段 上，且 ， 为 的中点，
，则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
4．已知 ， ， 是三个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．已知四棱锥 的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm）的正三角形，俯视图为正方形，则
该四棱锥的体积（单位： ）是（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体 中，则直线 与直线 所成角大小为（ ）
A． B． C． D．
7．正方体 的棱长为 ， 为侧面 内动点，且满足 ，则 面积的最小
△
值为（ ）
A． B． C． D．
8．在直三棱柱 中， . 、 分别是 、 的中点， ，则
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．9．如图，在正方体ABCD﹣ABC D 中，则以下结论错误的是（ ）
1 1 1 1
A．BD∥平面CB D B．AD⊥平面CB D
1 1 1 1
C．AC ⊥BD D．异面直线AD与CB 所成的角为45°
1 1
10．已知向量 ＝(2m＋1，3，m－1)， ＝(2，m，－m)，且 ，则实数m的值等于（ ）
A． B．－2
C．0 D． 或－2
11．正方体ABCD-ABC D 中，E，F分别是线段BC，CD 的中点，则直线AB与直线EF的位置关系是（
1 1 1 1 1 1
）
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
12．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A． B．0 C． D．
13．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（ ）
A． cm B．10 cm
C． cm D．30 cm
14．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体P ABC中，设E，F分
别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF（此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）
A．6个 B．8个
C．10个 D．12个
15．在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，且 ，则四棱锥外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B．已知向量 ，则 、 与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．已知空间向量 ， ，则D．已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是
17．如图，正方体 的棱长为4，以下结论正确的是（ ）
A．直线 与 是异面直线
B．直线 与 平行
C．直线 与 垂直
D．三棱锥 的体积为
18．如图，正方体 的棱长为1，点 是棱 上的一个动点（包含端点），则下列说法正
确的是（ ）A．存在点 ，使 面
B．二面角 的平面角大小为
C． 的最小值是
D． 到平面 的距离最大值是
19．已知 、 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
20．在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A． ＝2 － － ； B． ；
C． ； D． ＋ ＋ ＋ ＝0；
21．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足
的是（ ）
A． B．C． D．
22．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点
与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）
A．该正方体的核长为2 B．该正方体的体对角线长为
C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为
23．在正三棱柱 中， ， ， 与 交于点 ，点 是线段 上的动点，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点 ，使得
C．三棱锥 的体积为
D．直线 与平面 所成角的余弦值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．已知正方体ABCD-ABC D 的棱长为2，M、N分别为BB、BC的中点，则三棱锥N-DMC 的体积为
1 1 1 1 1 1
___________.
25．已知正三棱锥的底面边长是 ，侧棱与底面所成角为 ，则此三棱锥的体积为__．26．如图，在直三棱柱 中，∠ACB＝90°， ，则异面直线 与AC所成角
的余弦值是__________________．
27．已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．
28．如图，已知平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱 长为3，且
，则 __.
29．如图，在空间四边形OABC中， ，点M在OA上，且 ，N为BC的中
点，则用向量 表示向量 ________．30．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面
ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，则球O的表面积为___________.任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．在三棱锥P－ABC中， ， PAB， PAC， PBC的面积分别记为 ，
△ △ △
且 ，则此三棱锥的内切球的半径为（ ）
A． B．
C． D．
2．在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到
了一些有趣的结论.已知直线 平面 ，直线 平面 ，F是棱BC上一动点，现有下列三个结论：
①若 分别为棱 的中点，则直线 平面 ；
②在棱BC上存在点F，使 平面 ；
③当F为棱BC的中点时，平面 平面 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．③ B．①③ C．①② D．②③
3．已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A、B、C在下底面圆的圆周上，且 ，
点Р在上底面圆的圆周上，则 的最小值为（ ）
A．246 B．226 C．208 D．198
4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内
角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体
各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲
率为 ，故其总曲率为 ，则四棱锥的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点E，F，且 ，则三棱锥
的体积为（ ）
A． B． C． D．不确定
6．如图已知正方体 ，点 是对角线 上的一点且 ， ，则（ ）A．当 时， 平面 B．当 时， 平面
C．当 为直角三角形时， D．当 的面积最小时，
7．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，
则a2等于（ ）
A．2 • B．2 • C．2 • D．2 •
8．如图一，矩形 中， ， 交对角线 于点 ，交 于点 ．现将 沿
翻折至 的位置，如图二，点 为棱 的中点，则下列判断一定成立的是（ ）A． B． 平面
C． 平面 D．平面 平面
9．点M是棱长为3的正方体 中棱 的中点， ，动点P在正方形 （包
括边界）内运动，且 平面 ，则 的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方体 中，点M在线段 (不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是（
）
① 平面 ； ②异面直线 与 所成角的取值范围是 ；
③ 平面 恒成立； ④三棱锥 的体积不是定值．
A．①③ B．①② C．①②③ D．②④
11．在四面体 中， 平面 ， ， ， ，则该四面体的外接
球的表面积是（ ）
A． B．100π C． D．20π12．已知圆锥 的母线长为 ，侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，四棱锥 的底面为矩形， 底面 ， ， ，点 是 的中点，
过 ， ， 三点的平面 与平面 的交线为 ，则下列结论中正确的有（ ）
（1） 平面 ；
（2） 平面 ；
（3）直线 与 所成角的余弦值为 ；
（4）平面 截四棱锥 所得的上、下两部分几何体的体积之比为 ．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
14．在四棱锥 中，平面 平面 ，且 是边长为2的正三角形， 是正方形，
则四棱锥 外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
15．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为 ，则该
四面体内切球的体积为（ ）
A． π B． π
C．4 π D． π
16．在棱长为2的正方体 中，点 ， ， ， 分别为棱 ， ， ， 的中点，
若平面 平面 ，且平面 与棱 ， ， 分别交于点 ， ， ，其中点 是棱 的中
点，则三棱锥 的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
17．已知球 ，过其球面上 ， ， 三点作截面，若点 到该截面的距离是球半径的一半，且
， ，则球 的表面积为（ ）（注：球的表面积公式A． B． C． D．
18．如图，在正三棱柱ABC-ABC 中，AC=CC ，P是AC 的中点，则异面直线BC与AP所成角的余弦值
1 1 1 1 1 1
为（ ）
A．0 B． C． D．
19．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各
侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 、 、
，则 （ ）
A． B． C． D．
20．如图，二面角 的大小是 ，线段 ． ， 与 所成的角为 ．直线 与平面
所成的角的正弦值是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
21．如图，已知正方体 ，则四个推断正确的是（ ）
A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
22．正方体 的棱长为2，E，F，G分别为 的中点，则（ ）A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为 D．点C到平面 的距离为
23．正四棱锥 的所有棱长为2，用垂直于侧棱 的平面 截该四棱锥，则（ ）
A．截面可以是三角形
B． 与底面 所成的角为
C． 与底面 所成的角为
D．当平面 经过侧棱 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1
24．如图，等腰直角三角形 的斜边 为正四面体 的侧棱， ，直角边 绕斜边 旋
转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 体积的最大值为B．三棱锥 体积的最小值为
C．存在某个位置，使得
D．设二面角 的平面角为 ，且 ，则
25．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是
60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．向量 与 的夹角是60°
D．直线 与AC所成角的余弦值为
26．正方体 中， 是棱 的中点， 在侧面 上运动，且满足 平面 .以
下命题正确的有（ ）A．侧面 上存在点 ，使得
B．直线 与直线 所成角可能为
C．平面 与平面 所成锐二面角的正切值为
D．设正方体棱长为1，则过点 ， ， 的平面截正方体所得的截面面积最大为
27．如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方
形对角线AC和BF上移动，且 .则下列结论中正确的有（ ）
A．当 时，ME与CN相交
B．MN始终与平面BCE平行
C．异面直线AC与BF所成的角为
D．当 时，MN的长最小，最小为28．(多选)如图，ABCDABC D 为正方体，下面结论正确的是（ ）
1 1 1 1
A．BD∥平面CB D
1 1
B．AC ⊥BD
1
C．AC ⊥平面CB D
1 1 1
D．异面直线AD与CB 所成的角为60°
1
29．已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接
EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
30．下图中正方体 边长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 平面
B．正方体 外接球与正四面体 外接球半径相等均为C．正四面体 内切球半径为
D．四面体 内切球半径为
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．空间四面体 中， ， ， ，直线 和 所成的角为 ，则该
四面体的外接球的表面积为 __.
32．如图，A、B、C、D、P是球O上5个点，ABCD为正方形，球心O在平面ABCD内， ，
，则PA与CD所成角的余弦值为______．
33．已知圆锥、圆柱的底面半径和体积都相等，则它们的轴截面的面积之比的比值是___________
34．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左图是南北朝官员独孤信的印信，它是由正方
形和正三角形围成.右图是根据这只印信作出的直观图，直观图的所有顶点都在一正方体的表面上（如果一
个正八边形的八个顶点都在这个正方体同一个侧面的四条棱上，那么这个八边形的边长就等于这个直观图
的棱长）.若这个正方体的所有顶点都在半径为 的球面上，则这只印信的表面积为__________.35．如图，在直三棱柱 中， ， ，已知G与E分别为 和 的
中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若 ，则线段DF的长度的平方取值
范围为__________.
36．如图，在长方体 中，已知 ，点 ， 分别在棱 ， 上.二面角
的大小为30°.若三棱锥 的体积为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
___________.37．异面直线a、b所成角为 ，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、D分别在直线a、b上，若
， ， ，则 ________．
38．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，SD⊥面ABCD，点M、N分别是AD、CD的中点，
P为SD上一点，且SD＝3PD＝3，H为正方形ABCD内一点，若SH∥面PMN，则SH的最小值为__．
39．如图，在 中， ， ， 是棱 的中点，以 为折痕把 折
叠，使点 到达点 的位置，则当三棱锥 体积最大时，其外接球的表面积为___________.
40．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是 ，且平面 平面 ，活动弹子 分
别在正方形对角线 上移动，若 ，则 长度的最小值为__________．任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题1．已知四面体ABCD的所有棱长均为 ，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动
点．有下列结论：
①线段MN的长度为1；
②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；
③ 的余弦值的取值范围为 ；
④ 周长的最小值为 ．
其中正确结论的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．已知三棱锥 ，其中 平面 ， ， ， .已知点 为棱
（不含端点）上的动点，若光线从点 出发，依次经过平面 与平面 反射后重新回到点 ，则光
线经过路径长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知锐二面角 的大小为 ， ， ， ， ， ， ，C，D
为AB，MN的中点，若 ，记AN，CD与半平面 所成角分别为 ， ，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．在棱长为2的正方体 中，点 是对角线 上的点（点 与 不重合），有以下
四个结论：
①存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得 平面 ；③若 的周长为L，则L的最小值为 ；
④若 的面积为 ，则 ．
则正确的结论为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④
5．在棱长为1的正方体 中，点P是正方体棱上一点，若满足 的点P的个数
为4，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥 中， ，点 在面 上的投影 是 的垂心，二面角
的平面角记为 ，二面角 的平面角记为 ，二面角 的平面角记为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正方体 的棱长为1， 是 的中点， 是棱 上一点（不包括端点），则下列
结论错误的是（ ）
A．三棱锥 的体积为定值B．存在点 ，使得直线 与直线 相交
C．当 是棱 的中点时，直线 与直线 所成的角为
D．平面 截正方体所得的截面是五边形
8．如图，在等边三角形 中， 分别是线段 上异于端点的动点，且 ，现将三角形
沿直线 折起，使平面 平面 ，当 从 滑动到 的过程中，则下列选项中错误的是（
）
A． 的大小不会发生变化 B．二面角 的平面角的大小不会发生变化
C． 与平面 所成的角变大 D． 与 所成的角先变小后变大
9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的
球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的
表面上有四个点 ， ， ， 满足 ， ，则该“鞠”的表面积
为（ ）
A． B．C． D．
10．已知在 中，斜边 ， ，若将 沿斜边 上的中线 折起，使平面
平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在长方体 中， ， ， ，点 是 的中点，点 为棱 上
的动点，则平面 与平面 所成的锐二面角正切的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知正方体 的棱长为 ，M，N为体对角线 的三等分点，动点P在三角形
内，且三角形 的面积 ，则点P的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．
13．已知半球 与圆台 有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积
取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，等腰直角 中， ，点 为平面 外一动点，满足 ， ，给
出下列四个结论：
①存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得平面 平面 ；
③设 的面积为 ，则 的取值范围是 ；④设二面角 的大小为 ，则 的取值范围是 .
其中正确结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
15．已知AB、CD是圆O的两条直径，且 ，如图1，沿AB折起，使两个半圆面所在的平面垂
直，折到点 位置，如图2．设直线 与直线OC所成的角为 ，则（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
二、多选题
16．如图，底面ABCD为边长是4的正方形，半圆面 底面ABCD．点P为半圆弧 (不含A，D点)
一动点．下列说法正确的是（ ）
A．三梭锥P—ABD的每个侧面三角形都是直角三角形
B．三棱锥P—ABD体积的最大值为
C．三棱锥P—ABD外接球的表面积为定值D．直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为
17．已知正方体 的棱长为2，动点 在正方形 内，则（ ）
A．若 ，则三棱锥的 的外接球表面积为
B．若 平面 ，则 不可能垂直
C．若 平面 ，则点 的位置唯一
D．若点 为 中点，则三棱锥 的体积是三棱锥 体积的一半
18．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯
由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为 ，托盘由边长为 的正三角形铜片沿各边中点
的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确（ ）
A．经过三个顶点 的球的截面圆的面积为
B．异面直线 与 所成的角的余弦值为
C．多面体 的体积为
D．球离球托底面 的最小距离为19．已知边长为 的菱形 中， ，将 沿 翻折，下列说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，直线 ， 始终不可能垂直
B．在翻折的过程中，三棱锥 体积最大值为
C．在翻折过程中，三棱锥 表面积最大时，其内切球表面积为
D．在翻折的过程中，点 在面 上的投影为 ， 为棱 上的一个动点， 的最小值为
20．如图， 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形， ， .现将
沿斜边 翻折成△ 不在平面 内）.若 ， 分别为 和 的中点，则在
翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A． 平面
B． 与 不可能垂直
C．二面角 正切值的最大值为
D．直线 与 所成角的取值范围为
21．已知边长为 的菱形 中， ，将 沿 翻折，下列说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，直线 ， 可能相互垂直B．在翻折的过程中，三棱锥 体积最大值为
C．在翻折的过程中，三棱锥 表面积最大时，其内切球表面积为
D．在翻折的过程中，点 在面 上的投影为 ， 为棱 上的一个动点， 的最小值为
22．已知正方体 的棱长为2， 是底面 的中心， 是棱 上一点（不与端点重
合），则（ ）
A．平面 截正方体 所得截面一定是梯形
B．存在点 ，使得三棱锥 的体积为
C．存在点 ，使得 与 相交
D．当 是棱 的中点时，平面 截正方体 外接球所得截面圆的面积
23．在四面体 中， ， ，直线 ， 所成的角为60°， ，
，则四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．已知一正三棱锥的体积为 ，设其侧面与底面所成锐二面角为 ，则当 等于______时，侧面积
最小．25．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，
C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆
的劣弧分别为 ，由这三条劣弧围成的图形称为球面 ．已知地球半径为R，北极为点N，
P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且 ，则球面 的面积为________；若
，则球面 的面积为________．
26．如图，在矩形 中， 是边 的中点，将 沿直线 折成 ，使得
二面角 的平面角为锐角，点 在线段 上运动(包括端点)，当直线 与平面 所成角最
大时， 在底面 内的射影面积为___________.
27．已知三棱锥 的三条侧棱两两垂直， 与底面 成 角， 是平面 内任意一点，则的最小值是________.
A B C D
1 1 1 1
28．已知正方体 的棱长为2，点E是棱 的中点，点 在平面 内，若
， ，则 的最小值为_________．
29．在棱长为 的正方体 中，过对角线 的一个平面交 于 ，交 于 ，得四边形
，给出下列结论：
①四边形 有可能为梯形；
②四边形 有可能为菱形；
③四边形 在底面 内的投影一定是正方形；
④四边形 有可能垂直于平面 ；
⑤四边形 面积的最小值为 .
其中正确结论的序号是_____________30．在棱长为4的正方体 中，E，F分别是 和 的中点，经过点A，E，F的平面把
正方体 截成两部分，则截面的周长为________.
